（应用数学专业论文）非线性椭圆方程组解的正则性.pdf

上海交通大学博士学位毕业论文 非线性椭园方程 曼堡的垂贝4 性 摘要 本文主要研究非线性椭圆型方程组 d 知0 g d 占g d u 1 的 很 弱解的正则性 这个方程组在非线性弹性力学中是有实际 意义的 我们在不同的条件下 利用不同的方法分别得到了方程或 方程组 1 的 很 弱解的co 4 c 1 占 正则性和部分正则性 1 本文共分三章 第一 二章讨论方程组的 很 弱解的正则性 第 三章讨论方程的弱解的正则性 i 第一章讨论有界区域上的非线性椭圆型方程组 破v 4 g d 占g 虬d u 2 的很弱解的梯度的三一 仁 o 可积性和非线性椭圆型方程组 一d b d d j o 1 m 3 的很弱解与弱解的c 正则性 对一般的方程组 2 我们减弱了 1 w a i l i e c 等的齐次性条件 单调不等式以及l i p s c h i t z 型条件 利用 h o d g e 分解定理来构造试验函数 并进行了一系列复杂的计算 在没 有l i p s c h i t z 型条件的情况下 也得到了与i t z 型条件的情况下 也得 到了与 即在一定的条件下 方程组 2 的很弱解是弱解 对方程组 3 我们增加了l i p s c h i t z 条件 利用m o r r e y 空间法 和c a l i l p a i l a t o 空间法和补洞技巧等来克服非齐次项带来的 单调不 一 圭塑奎望查竺 圭兰竺竺些兰兰一 一一 等式不再成立和b l o w u p 技巧难于适用的困难 得出了方程组 3 在一定的条件下的很弱解和弱解是局部h 6 1 d e r 连续的 特另 地 我 们得到了方程组 3 对应的齐次方程组的弱解甜 c 芝q 第二章讨论有界区域上具有散度结构的拟线性椭圆方程组 一d 口 g 啦d d i 一d 坼g g k g l 女 l n 4 的梯度有界的弱解的c t 一 正则性 这种c l a 正则性结果在控制论等学 科中有广泛的应用 我们在比fs c h u l z 的条件更弱的情况下 通过 建立该方程组的c a c c i o p p o l i 不等式 然后利用mg i a q u i n t a 和e g i u s t i gm o d i e a 建立的研究正则性的直接方法 在小性假设 a 4 成立 而且结构条件 a 3 在弱意义下成立的情况下 我们 得到了方程组 4 的梯度有界的弱解甜的梯度具有占 正则性 即 c 2 q 在没有小性假设 a 4 的情况下 我们得到了方程组 4 的梯度有界的弱解的梯度属于部分co 4 的 第三章讨论有界区域上具有连续系数的p l a p l a c e 方程 一d i v 9 0 d i d r d 丑6 d u 5 以及 一d i v g d i d r d g 8 x 鸬d u 6 的弱解的c 0 一正则性 我们假设9 0 d 1 在关于梯度变量d u 上连续 口0 坫砒 和 g 为c a r a t h e o d o r y 函数 且丑g m d 和厂g 满足控 制增长条件 在这些比第一章第三节更弱的假设条件下 利用一些 代数不等式 凝固系数法 齐次化方法 迭代引理以及m o r r e y 定 理 我们建立了方程 5 和 6 弱解的c 1 c 2 正则性定理 关键词 椭圆方程组 正则性 h o d g e 分解 逆h 6 1 d e r 不等式 m o r r e y 空间法和c a m p a n a t o 空间法 c a c c i o p p o l i 型不等式一7 r e gul a r i t yo f t hew e a ks o l u t i o n s t o n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w em a i n l yd i s c u s sr e g u l a r i t yo ft h ew e a ko rt h ev e r y w e a ks o l u t i o n st oac l a s so f n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m so f t h ef o r m d i v 4 x 肌 b x d u 1 u n d e rv a r i o u sc o n d i t i o n s w eo b t a i nc o r r e s p o n d i n g c o c 1 一 占一 r e g u l a r i t ya n dp a r t i a lr e g u l a r i t yr e s u l t st ot h ee l l i p t i ce q u a t i o n s o rs y s t e m s 1 b y d i f f e r e n tm e t h o d s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h e f i r s tt w oc h a p t e rd i s c u s st h ep r o b l e m sf o rt h ee l l i p t i cs y s t e m s t h el a s t c h a p t e r d e a lw i t ht h ep r o b l e m sf o rt h ee l l i p t i ce q u a t i o n s i nf i r s t c h a p t e r w e d i s c u s st h el p e 0 o 一i n t e g r a b i l i t y o ft h e g r a d i e n t s o ft h ev e r yw e a ks o l u t i o n st on o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s d i v 4 x d b g d u 2 a n dc o 8 r e g u l a r i t yo ft h ev e r yw e a ko rt h ew e a ks o l u t i o n st on o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s d jc 4 一g d d g 0 l j l 3 i nb o u n d e dd o m a i nq u n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s w i t h o u t t h e i r h o m o g e n e o u sc o n d i t i o n s m o n o t o n i ci n e q u a l i t i e sa n dl i p s c h i t zc o n d i t i o n s i 圭塑奎璺查兰苎主竺竺兰些兰兰 t h a nt h a tw h i c h1 w a n i e ca n do t h e rp e o p l ei m p o s e d 0 1 1s o m es p e c i a l s y s t e m s q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s u s i n gh o d g ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m t oc o n s t r u c t t e s t i n gf u n c t i o n a f t e ra s e r i e so f c o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n w e o b t a i nt h es a m er e g u l a r i t yr e s u l t sa st h e mt oam o r eg e n e r a ln o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s 2 u n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n s t h ev e r yw e a ks o l u t i o n s t on o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s 2 a r ew e a k s o l u t i o n s u n d e rt h el i p s c h i t zc o n d i t i o n s u s i n gm o r r e ys p a c ea n dc a m p a n a t o s p a c em e t h o d sa n df i l l i n g h o l et e c h n i q u e t oc l e a ro f f t h ed i f f i c u l t y w h i c h a r o u s e db yt h a tm o n o t o n i ci n e q u a l i t i e sa r en ol o n g e rt r u ea n db l o w u p t e c h n i q u ea r ev e r yd i f f i c u l t t ob eu s e da g a i n w eo b t a i nt h a tt h ew e a k s o l u t i o n so rt h ev e r yw e a ks o l u t i o n st os y s t e m s 3 a r el o c a l l yh 6 1 d e r c o n t i n u o u s e s p e c i a l l y w e o b t a i nt h a tt h ew e a ks o l u t i o n st ot h e h o m o g e n e o u ss y s t e m sc o r r e s p o n d i n gt os y s t e m s 3 l o c a l l yb e l o n g st o c o 一 i ns e c o n d c h a p t e r w e d i s c u s s c l a r e g u l a r i t y w h i c h i so fv e r y i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s i n o p t i m a l c o n t r o ls c i e n c e e t c o ft h e w e a k s o l u t i o n sw i t hb o u n d e dg r a d i e n t st on o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s w i t h d i v e r g e n c es t r u c t u r e s d j 口 x d d 一d g g k x x 1 4 o nb o u n d e dd o m a i n u n d e rt h ew e a k e rc o n d i t i o n st h a nfs c h u l z s a n d u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a ts m a l la s s u m p t i o n a 4 h o l d sa n dt h es t r u c t u r a l c o n d i t i o n a 3 h o l d s i nw e a k s e n s e w e e s t a b l i s ht h e c a c c i o p p o l i i n e q u a l i t yo f t h ew e a ks o l u t i o n st ot h es y s t e m s 4 t h e nw eo b t a i n f r e g u l a r i t yo f t h eg r a d i e n t so ft h ew e a ks o l u t i o n w i t hb o u n d e d g r a d i e n t s t ot h es y s t e m s 4 t h a ti s 础 q w i t h o u tt h es m a l la s s u m p t i o n i v 圭塑茎望查兰苎主兰竺兰些堡兰 一 a 4 w ee s t a b l i s hp a r t i a lc 咄一r e g u l a r i t y o ft h eg r a d i e n t so ft h ew e a k s o l u t i o n sw i t hb o u n d e dg r a d i e n t st ot h es y s t e m s t h ep r o o f i sb yt h ed i r e c t a p p r o a c h t or e g u l a r i t yd u et om g i a q u i n t a e g i u s t ia n dm g i a q u i n t a g m o d i c a t h i sa p p r o a c hw a sd e s c r i b e di nm g i a q u i n t a sm o n o g r a p h i nt h i r dc h a p t e r w ed i s c u s sc o r e g u l a r i t yo ft h ew e a ks o l u t i o n st o p l a p l a c ee q u a t i o n d i v 9 0 d j d r 肌j s x m d u 5 a n d d i v k 0 d i d 2 d u g b g d 6 w i t hc o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t so nb o u n d e dd o m a i n u n d e rt h ec o n d i t i o n s w e a k e rt h a nt h a ti nt h et h i r ds e c t i o ni nt h ef i r s tc h a p t e r t h a t9 0 d u l i s c o n t i n u o u sr e s p e c tt og r a d i e n t sv a r i a b l e sd u b x d u a n d g a r e c a r a t h e o d o r yf u n c t i o n s a n db g d u a n di x s a t i s f yc o n t r o l l a b l e c o n d i t i o n s u s i n ga l g e b r a i ci n e q u a l i t i e s a n df r e e z i n gc o e f f i c i e n tm e t h o d a n d h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d w eo b t a i nai t e r a t i v ei n e q u a l i t y t h u su s i n g i t e r a t i v el e m m aa n dm o r r e yt h e o r e m w ee s t a b l i s h c 1 c 等 r e g u l a r i t y t h e o r e m st ot h ee q u a t i o n 5 a n d 6 k e y w o r d s d e g e n e r a t ee l l i p t i cs y s t e m s r e g u l a r i t y r e v e r s e h 6 1 d e ri n e q u a l i t y h o d g ed e c o m p o s i t i o n m o r r e ya n dc a m p a n a t o s p a c em e t h o d c a c c i o p p o l ii n e q u a l i t y v 第0 章引言 本文主要研究非线性椭圆方程或方程组 击v 0 g d 占g d u o 1 的 很 弱解的正则性 我们在不同条件下 利用不同的方法分别得到了方程 或方程组 o 1 的 很 弱解的c 岫 c 岫 占 正则性和部分正则性 0 1 问题的意义与历史 0 1 1 问题的意义 偏微分方程的研究起源于18 世纪e u l e r d a l e m b e r t l a g r a n g e 和l a p l a c e 的 工作 椭圆方程 组 是l a p l a c e 方程 或 0 和p o i n s s o n 方程 a u 的自然推广 椭圆方程 组 的理论在数学 如微分几何 物理学 如电学 热学 光 学 电磁学 天体物理学 量子物理学等 工程技术 如流体动力学 弹性力 学等 以及实际生活中有着广泛的应用 见文 l q 由于方程或方程组 0 1 在微分几何 拟正则映照 见文 z h l 弹性力学 如非线性弹性静力 学方程组 见文献 l q 第3 0 9 页方程组 6 1 2 控制论 见文 o f c j 等 方面有着广泛的应用 特别是 由于很弱解的可积指数小于自然指数 很弱解 容许解有更多的奇性 见文 l j 2 s e j 这在物理学上以及数学上有很重大的 意义 因而方程或方程组 o 1 一直引起人们普遍的关一t l 见文 g t s y g i m c w l w l h x c l a 等及其参考文献 上海交通大学博士学位毕业论文 o 1 2 问题的历史 对椭园方程 组 的研究主要集中在以下几个方面 解的存在性 唯一性 稳定性与正则性以及其他性质 对线性椭园方程的古典解的正则性的研究的最 高峰 是二十世纪三十年代在s c h a u d e g s j i s l 理论中达到的 1 9 5 7 年 eg i o r g i t t 得出了线性方程的弱解的c o 啊 正则性 1 9 5 8 年 jn a s h l s j l 得出了线性方程的弱 解的c 1 正则性 他俩的工作成为了后人研究微分方程的正则性的基础 开启了 多维线性微分方程正则性研究的新阶段 自他俩的工作之后 越来越多的人们 对椭圆型方程 或方程组 的弱解的正则性产生了广泛的兴趣 见文f e l l g m 0 1 a f j c s 2 6 g 2 等 近几十年来 越来越多的人对如下的a 调和方程和方程组 一d j 乜9x d d i g o 1 m o 1 2 1 产生了浓厚的兴趣 o o m 3 4 o 蜘 在方程组 o 1 2 1 为线性 且弱 解 矽0 2 q 的情况下 1 9 6 4 年 js e r r i n l 3 d l 得出了方程组 o 1 2 1 的弱解的 更高的可积性 即u 1 2 8 q 通过对偶讨论 得出了条件甜 1 2 可以减 弱到 w 1 2 心 这说明 为了保证椭圆方程组弱解的特性 可在更大的 s o b o l e v 空间中讨论 继js e r r i n 之后 文 g m o l h r m e g s 分别得到了与j s e r r i n 类似的结果 但nm e y e r s 与ae h a t 删的方法难于用来处理非线性椭圆方 程组的问题 1 9 9 3 年 l e w i s i t h i 利用w h i m e y 延拓定理m s 目以及a 权函数理论 i c m w 来构造合适的试验函数 得到了高阶椭圆方程组 c 爿b d m u g l d g 壮 o v 矿 l 九 c o d 在瞻 5 q r 中的很弱解甜 很弱解的可积性假设降低了 从而扩大了求解 空间 很弱解这一概念是jl e w i s f u 2 1 首先提出来的 在阡嚣 5 q r j 中 并构 造了一个线性方程组的很弱解 从而说明了方程组的很弱解是存在的 并且不 是弱解 因而研究很弱解在什么条件下是弱解就很有必要 1 9 9 4 年 t1 w a n i e c 和cs b o r d o n e 1 利用h o d g e 分解定理 i s 川来构造试验函数 他们得到了齐次一 调和方程组 a i v a x d 0 o 1 2 2 在略 扭 r 中的很弱解 一定在咄 q r 中 从而 一定是经典弱解 其中 a x 善 为c a r a t h e o d o r y 函数 且满足如下的条件 i l i p s c h i t z 型不等式 f 彳0 孝 4 g f l 6 悟一纠0 孝i j f f 9 2 上海交通大学博士学位毕业论文 i i 单调不等式 4 g 毒 一彳g f l 亏一f 口陪一f 1 2 0 考i i f l 广一2 1 1 1 齐次性条件 彳g 丑善 阻i p 2 u o 孝 1 9 9 6 年 dg i a c h e t t i fl c o n c a i 和rs c h i a n c h i 在文 d f r 中 果推广到非线性方程组 d i v a x d u 0 其中 a x 亭 为c a r a t h e o d o r y 函数 且满足如下的条件 a x u 孝垮 口阱 1 4 g 掌 一a x 刁 6 悟一 7 m 掌l 1 7 7 1 广一2 阻g 0 g d 把文 i s 中的结 0 1 2 3 去掉了文 i s l q b 的齐次性条件 并把文 i s l 的条件 用一般的椭园性条件来代 替 1 9 9 7 年 dg i a c h e t t i 和rs c h i a n c h i 在文 d r 中把文 i s d f r 的结果推广 到非线性方程组的d i r i c h l e t 问题 f 讲谢b d u d i v f 1 一 叼 r 白 r 这里 爿仁 d 所满足的条件与文 d f r 一样 问题出现了 一 对方程组 0 1 2 1 的很弱解 在去掉齐次性条件 单 调不等式的基础上 文 i s d f r d r 中的l i p s c h i t z 型条件能否去掉 或者用 更弱的条件来代替 或者文 i s d f r d r 中的结果能否推广到更一般的非线 性方程组 而对于方程组 0 1 2 1 的弱解的研究 1 9 8 3 年 mg i a q u i n t a i o 州得出了方 程组 一p 0 品g 协 4 d f f f o 1 n 在缈 2 q 中的弱解h 的c 正则性 1 9 9 5 年 grc i r m i 在文 o r c 得出了 方程 f a i v a x d u g x 厂b z f 2 1 o x a q 在条件a x 孝 为c a r a t h e o d o r y 函数 且满足 上海交通大学博士学位毕业论文 i g 鲋 声k 计一1 l 口g 孝磐 口悟 9 k g 善 一a x f 浯一f o 毒 f 下的弱解 的梯度的更高的可积性 1 9 9 8 年 y aa l k h u t o v 在文 y a 中得出了 方程 d i v 0 g d f x 的d i r i c h l e t 问题的弱解的梯度的更高的可积性以及相应的f 估计 其中 系数 a x b g 为严格正定的对称矩阵 且 g 为有界区域q 的闭集q 上的连续 函数 1 9 9 8 年 郑神州在文 z h l 中通过建立c a c c i o p p o l i 不等式以及补洞技巧 不同于文 m c 2 c s l e l 2 3 的方法 来建立拟单调不等式 从而利用b l o w u p 技巧得出了方程组 o 1 2 1 对应的齐次方程组 即 g 0 在 w i p 1 p 中的弱解 的部分c 9 正则性 其中 a x h 为 c a r a t h e o d o r y 函数 且满足 爿g 矗庆于g q xr x m 连续 肛g h b h j 1 4 g 啊 一4 x h 啊一h a l h 一 1 2 1 2 0 l l l i l 1 广一2 一g 五 阻i 2 五爿g 矗l 这里 x d a eh r 和a r 1 9 9 9 年 mar a g u s a 在文 r m 中得出了方 程 一硪v 0 g d 硪矿g 的弱解的l p r 一正则性 其中 d g 0 g 1 x v m o v m o 为b m o 空间的 子空间 其中的函数 g 在球b 一中的b m o 范数 脚 鸟o g l v a q 0 p 0 五 刀 三 2 n 为q 的m o r r e y 空间 其定义见第 一章第三节 我们自然要问 二 文 z h l 中的结果能否推广到非齐次方程组 即方程 组 0 1 2 1 在 不为常数时 能否得到其弱解封的c 正则性 三 文 z h l 6 e 的单调性条件和齐次条件能否去掉 1 9 8 3 年 mg i a q u i n t a 在文 g i m 中得出了方程组 一见 g 坞甜 见丘a 劫 0 1 n 4 上海交通大学博士学位毕业论文 在w 1 2 空间中的弱解 的c 一正则性 其中 a t x 关于变量x 和 连续 1 9 9 0 年 fs c h u l z 在文 s f 3 中研究了形如 a q x d u 城 d l g 一g g l 七 l n o 1 2 4 的方程组 特别是 方程组 o 1 2 4 能够改写成如下的形式 一d j 口 g d u d l 一d g g g 1 i 1 n o 1 2 5 他得出了方程组 o 1 2 5 的l i p s c h i t z 解的梯度的部分h o l d e r 连续性和占 正则 性 其中 口 工 d 为c a r a t h e o d o r y 函数 关于变量x 是连续的 关于梯 度变量d 是l i p s c h i t z 连续的 g 关于变量x 是指数 一h o l d e r 连续的 g k g r q 1 9 9 8 年 y aa l k h u t o v 在文 y a 中得出了方程 d v a x d j g 的d i r i c h l e t 问题的弱解的梯度的更高的可积性以及相应的f 一估计 其中 a x 仁 g 为严格正定的对称矩阵 厂g 满足适当的可积性条件 1 9 9 9 年 m a r a g u s a 在文 刚 中得出了方程 一d 如 口 g d 西矿g 弱解的梯度的三n 2 正则性 其中 系数a i j x v m o v m o 空间为b m o 空1 9 的 子空间 且其中的函数 b 在球b r 上的b m o 范数 跗d 鸟o g l p 一 0 p 0 a h l p 4 q 为q 上的m o r r e y 空间 其定义见第一 章第三节 我们自然要问 四 能否考虑比方程组 o 1 2 5 更广一类的椭圆组的梯 度有界解的更高的正则性 或者文 s f 3 中的口9 x d 关于梯度变量d u 是 l i p s c h i t z 连续的这个条件是否可以减弱 由于含有p l a p l a c i a n 算子的方程在实际生活中有着广泛的应用 人们对含 有p l a p l a c i a n 算子的退缩椭圆方程 一d i v e d r d 厂g b g d u o 1 2 6 产生了广泛的兴趣 s y c g 2 0 0 1 1 9 6 8 年 nu r a l t s v a l u s l 使 用源于d e g i o r g i 的方法得到了方程 一d i v e d r d 厂g j 0 o 1 2 7 在p 2 时的弱解在c 2 中 1 9 7 7 年 ku h l e n b e c k f z q 使用a l m g r e n 扰动方法以 及m o r s e 关于上下解的估计来得到强极大值原理 从而证明了 在p 2 时 方 上海交通大学博士学位毕业论文 程 o 1 2 7 的弱解在c 訾中 1 9 8 2 年 lc e v a n s e l l l 用逼近论的方法证明了 在p 2 且 仁 0 时 方程 o 1 2 7 的弱解在c 2 中 在l p 1 k x 蚰u 牡 d h 协爿j b d h i b g d i d r 这里 七 l n 0 0 是r 上正的 单调递减连续函数 o 是r 上的单调 递增的连续函数 文 t p 2 的 g d u 和b g d u 为c a r a t h e o d o r y 函数 且 一g d 也关于变量z 以及梯度变量d u 可微 爿g d 0 g d 和 b 0 d 还满足 4 g o o a j x 虬 7 离乞 坩 i 善1 2 a a g 幽 7 l r 仁 坩 毒4 g 印l i 击4 g 7 r 取 p 2 1 7 1 口g 叩 r 1 啪 1 其中 k 是 o 1 上给定的常数 f 为正常数 7 e r 一 0 在上述条件下 他 们分别建立了方程 0 1 2 8 的有界弱解的c l 8 正则性 1 9 9 0 年 钱椿林和陈 祖墀 q c l 利用逼近法研究具有可微系数的p l a p l a c i a n 方程 他们得到了方程 一d k 0 d f 2d f 2d l j 0 o 1 2 9 的弱解的c 0 8 正则性结果 这里 函数g f 满足如下的条件 1 g f 恒一j 是一个单调非减有界函数 g o 0 当r 0 时 g 0 2 存在常数d 和q 当 e o q 时 g r 2 d 6 上海交通大学博士学位毕业论文 3 存在常数6 0 o b o 和 t o o 当r 0 t o n g f 6 当t t o 佃 时 g 0 t b o 1 9 9 3 年 谭忠和严子谦m 在没有假设弱解是有界的情况下 得到了方程 o 1 2 6 和更广一类非线性退缩椭圆方程 一d i v a x d b g d u 弱解的c 1 一 i e n 性结果 a x d 为c a r a t h e o d o r y 函数 且关于变量x 以及梯度 变量d 可微 a x d u 和b b d u 还满足 堡秀掣茧白 o l h 2 瞬 圳酱斗j 牛a 旷1 占g c 1 1 9 6 一 i p i a g 这里坫a 为正常数 当1 p h 时q 苎 当p n 时 q 为任何数 2 0 0 0 年 冉 启康和作者 1 t z 把上述有关结果推广到如下的方程 一d i v e d 2 d g j 曰g d u 问题出现了 五 在系数9 0 d 1 2j 关于梯度变量可微 且满足其它一些条 件下 钱椿林和陈祖墀得出了方程 o 1 2 9 的弱解的c 1 8 正则性结果 如果 去掉其中的可微性假设 能得出什么样的正则性结果 如果考虑方程 o 1 2 9 对应的非齐次方程 又能得出什么样的正则性结果 o 2 本文的主要工作 本文将研究以上五个问题 在第一章中 我们讨论r 中的有界区域q 上的非线性方程组 一d i v a x 虬d b g d u o 2 1 的很弱解的可积性以及非线性方程组 一d f 0 g d 口 g o j l m o 2 2 在 g 不为常数的条件下的很弱解与弱解的扔0 g d 占g d i e n 性 对方程组 0 2 1 的很弱解和方程组 o 2 2 的很弱解与弱解的研究困难在 于 1 很弱解的广义微商的可积指数小于自然指数 弱解所在s o b o l e v 空问 上海交通大学博士学位毕业论文 矽 中的p 因而取通常的截断函数与 或0 一 的乘积做为试验函数是行 不通的 我们利用h o d g e 分解定理来构造试验函数 从而把文 l j 2 i s l 的结果 推广到形如 0 2 1 式的非线性方程组 去掉了文 x s l o e 的齐次性条件 单调性 假设 也去掉了文 i s d f r d r 中的l i p s e h i t z 型条件 代之以控制增长条 件 得出了方程组 o 2 1 在黾很接近p 时 在咄t r j 中的很弱解 一定 在咄 b r j p s 中 从而一定是弱解 其中一g 0 g 和 曰g 矗 g 厅 为c a r a t h e o d o r y 函数 满足下面的条件 i 爿9 g h t l0 i 1 w 啦 厶g j i 曰 g z h 1 2 h l l u l 扣 1 护 刚 a j x 矗如 芝a j 矗1 9 h r l o 这里 工 q m 2 为非负常数 五为正常数 l 口 告 g l q 2 g 卫n p p n 在讨论方程组 o 2 1 时 由于我们的方程 组中的a x d u 含有 的指数大于p 一1 的项 并且b x 鸬d u 也含有 因此我 们不能如文 d f r 那样得到关于0 d u j 川的逆h 6 1 d e r 不等式 2 对方程组 0 2 2 的弱解来说 在 厂j 不为常数的条件下 方程组 0 2 2 的单调不等式 不再成立 因而文 g i m z h l 所使用的b l o w u p 技巧就不再适用了 我们利用 文 g i m 中使用的m o r r e y 空间法 m c 2 与c a m p a n a t o 空间法 c s l l 以及齐次化方法 对方程组 0 2 2 对应的齐次方程组 则同样使用 g i m z h l 所使用的补洞 技巧来建立c a c c i o p p o l i 不等式以及单调不等式 得出了方程组 0 2 2 在条 件旯 o n 下的形i p q x l p h 中的弱解的正则性 而在旯 玎时 由于 a 因而迭代引理不再适用了 我们通过选取合适的风 使得迭代引理仍 然适用 从而得出了方程组 o 2 2 的弱解在条件a k m 下的正则性 进而 得出了在五e 一p 时 方程组 o 2 2 的弱解 的h o l d e r 连续指数 与五之 间的多值函数关系式 特别地 我们得出了方程组 0 2 2 对应的齐次方程组 0 1 2 1 的弱解是局部l i p s c h i t z 的 在第二章中 我们研究r 中的有界区域q 上的形如 一d j a g d u j d u k 一d d g g k g l 1 n o 2 3 的椭圆方程组 我们假设系数口9 x u 眈 关于变量工和 是连续的 关于梯度 变量d 甜是指数 o 1 h o l d e r 连续的 并且 g u g 关于变量x 上海交通大学博士学位毕业论文 是指数 0 l 1 h 6 1 d e r 连续的 关于变量 是口 o m a x 1 p 一1 它的很弱解 咄心 r j 都有 r e 2 妞 r j l r l p o o j k i n n u n e n 和zs h u l i n 在文 k z 2 中部分解决了t1 w a n i e c 和 cs b o r d o n e 的猜想 他得出了在p 接近于2 时 可以任意靠近m a 1 p 一1 l ac a f f a r e l l ia n dip e r a l 在文 c p 中得出了 对某类方程 它的可积指数可以提高 到给定的常数 是否存在一类方程 它的很弱解的可积指数可以降低到给定的 指数 或者能否给出n 的大小估计 2 在第二章中 我们得出了方程组 0 2 3 的部分正则性 但没有得出它的奇异集的维数估计 方程组 0 2 3 的梯度的奇异集的h a u s d o r f f 维数是多少 3 对方程组 0 2 3 我们能否 在不假设d u r 心 的情况下 直接从 w l 9 心 得出方程组的弱解的c 一正则 性 最后说明 全文的编排方式 定理 引理 定义 注 m n p q 表示 第m 章第n 节 第p 小节 第q 个定理 引理 定义 注 类似地 公式 m n p q 表示第m 章第1 3 节 第p 小节 第q 个公式 1 0 上海交通大学博士学位毕业论文 第一章非线性方程组很弱解的c o a 正则性 1 1问题的历史 近些年来 越来越多的人对如下的齐次a 调和方程和方程组 一d j 0 0 d d l b o j 1 m 1 1 1 产生了浓厚的兴趣 在方程组 1 1 1 为线性 且弱解 2 的情况下 1 9 6 4 年 js e r r i n 8 叫得出了弱解更高的可积性 即 矽1 2 d 心 通过对偶讨 论 得出了条件 u 可以减弱到 1 2 这说明 为了保证椭圆方 程组弱解的特性 可在更大的s o b o l e v 空间中讨论 继js e r r i n 之后 文 g m 0 1 h r m e g s 分别得到了与js e r r i n 类似的结果 但nm e y e r s 与a e l c r a t 嗍的方法不能用来处理非线性椭圆方程组的问题 1 9 9 3 年 jl e w i s l j 2 1 利 用w h i t n e y 延拓定理m 8 e 1 以及a p 权函数理论 曲 来构造合适的试验函数 得 到了高阶椭圆方程组 0 k d 0 j d 4 0 胁 0 v 叛 九 g p 在降嚣一q r 中的很弱解 一定在阡嚣 5 q r 中 其中 爿g d m u g 满足 椭圆性结构条件 彳 g d g 址a 4 g l a g 9 一日g 口e 矗 以及控制条件 1 4 x d g q x l o n t t g l 1 6 x 这里 a 一 l s s 表示长度小于或等于m 的n 元数组 瓯表示长度等于k 的乃元数组 并构造了一个线性方程组 f a b 毒磬出 0 冒0 上海交通大学博士学位毕业论文 其中 口 g 吒 0 1 静 1 f 毛为k r o n e c k e r 符号 口2 楠 占 o 1 并构造 g i x l 咄i r 伍 x 南 显然 g 为该方程组的很 弱解 从而说明了方程组的很弱解是存在的 并且不是弱解 因而研究狠弱解 在什么条件下是弱解就很有必要 1 9 9 4 年 t1 w a n i e c 和cs b o r d o n e t l s l 利用 h o d g e 分解定理f 6 1 来研究齐次彳 调和方程组 d i v a x 肌 0 1 1 2 其中 4 g 毒 为c a r a t h e o d o r y 函数 且满足如下的条件 i l i p s c h i t z 型不等式 l a x 孝 一4 b f h i e f 0 孝i l f l y i i 单调不等式 a x 孝 一爿g f l 舌一f 口悟一f 1 2 0 舌 i f l y i i i 齐次性条件 a x 鸳 川 2 削g 孝 在上面的条件 i i i i 下 他俩得到了方程组 1 1 2 在嘧心 r 中的 很弱解 一定在嘧 q r h p 屹 中 从而 一定是经典弱解 1 9 9 6 年 dg i a c h e a i fl e t t i 和rs c h i a n c h i 在文 d f r 中把文 i s 的结果推广到更一般的 非线性方程组 d i v 爿 x 甜 d 0 1 1 3 其中 a x 以善 为c a r a t h e o d o r y 函数 且满足如下的条件 爿g 孝瞥 a l 孝1 9 j 彳g f 一a x u r 1 b l f 一刊0 f f j 刊 9 2 陋g 地0 h x d l u l 1 去掉了文f i s 中的齐次性条件 并把文 i s 的条件 用一般的椭园性条件来 代替 1 9 9 7 年 dg i a c h e a i 和rs c h i a n c h i 在文 d r 中把文 i s d f r 的结果推 广到齐次a 调和方程组 1 1 3 对应的非齐次a 调和方程组的d i r i c h l e t 问题 1 2 矿0 彬r 卜 枷时竺 上海交通大学博士学位毕业论文 这里 a x d 所满足的条件与文 d f r 一样 在第二节中 我们利用h o d g e 分解定理把文i t s d f r d r 的结果推广到非线性方程组 d i v a x d b x d u 1 1 4 去掉了文 i s 中的齐次性条件与单调性假设 也去掉文 i s d f r d r 中的 l i p s c h i t z 型条件 代之以控制增长条件 我们得出了方程组 1 i 4 在 吆t q r 中的很弱解 一定在嘧 q r p o 孝 f 下的弱解甜的梯度的更高的可积性 1 9 9 8 年 y aa l l h m o v 在文 y a 中得出了 方程 扔0 g d f x 的d i r i c h l e t 问题的弱解的梯度的更高的可积性以及相应的 估计 其中 系 数彳g g g 为对称的矩阵 且 g 为有界区域q 的闭集五上的连续函数 1 9 9 8 年 郑神州在文 z h l 中研究了方程组 一d r 0 9 g d 0 j l 肌 1 1 5 其中 一g 0 g 关于g q r 连续 满足下列条件 l a x h l h l 1 爿g 啊 一爿g h x 啊一h 2 a i 一h 2 1 2 啊l 鸭i 2 爿g 肋 川即朋g l 这里 x d a e h r 和a r 他用不同于文 m c 2 c s l e l 2 3 z h 方 法来建立拟单调不等式 从而利用b l o w u p 技巧得出了方程组 1 1 5 在 w q x l p 打 中的弱解u 的部分c 正则性 1 9 9 9 年 mar a g u s a 在文 r m e e 得出了方程 一d o g d 幽 厂g 的弱解的r 一 正则性 其中 口g g f g 强气g v m o v m o 为肋空间的 子空间 其中的函数 g 在球b n 中的b m o 范数 m o f x e l 肼 0 p 0 a 月 l p a q 为q 的m o r r e y 空间 其定义见第三 节 对方程组 1 1 4 的很弱解与方程组 1 1 1 的弱解的研究的困难在于 1 很弱解的广义微商的可积指数小于自然指数 因而取通常的截断函数与u 或0 一 的乘积做为试验函数是行不通的 我们采用h o d g e 分解来构造试验函 1 4 上海交通大学博士学位毕业论文 数 在讨论方程组 1 1 4 时 由于方程组 1 1 4