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摘要 摘要 浅水波系统的研究可以从理论上把握港湾的潮汐、涌浪，溃坝， 水环境污染、海啸等问题的规律。随着海洋开发、灾害预防、环境保 护等方面发展的需要，浅水波系统的研究已成为国内外研究的热门课 题之一。孤立波相关性质的研究在揭示波的传播规律、准确解释自然 现象和确定物理材料属性等方面均具有极大的科学研究和应用价值。 本文研究了一类浅水波系统，该类系统是与k d v 方程有着紧密联 系的一系列浅水波方程。本文研究内容主要包括：系统的p a i n l e v e 性 质、显式孤立波构造、b a c k l u n d 变换、行波分类和孤立波的稳定性以 及海啸模型研究等。 第一章介绍了浅水波系统和孤立子理论的研究背景和现状。 第二章讨论了浅水波系统的p a i n l e v e 性质。利用w t c k r u s k a l 判 别法，发现了一类具有p a i n l e v e 性质的浅水波方程。通过研究该方程 中非线性项系数对p a i n l e v e 性质的影响，我们进一步得到了两类具有 p a i n l e v e 性质的新方程。 第三章讨论了浅水波系统显式孤立波的构造问题。把一些经典的 构造方法加以改进，推广到非线性项较复杂的浅水波系统，并且获得 了丰富的孤立波解，特别是发现了一些新型孤立波解，如多重 c o m p a c t o n 解，k i n k c o m p a c t o n 解，非指数型p e a k o n 解和组合波解等 第四章讨论了浅水波系统的b a c k l u n d 变换问题。受一种代数求解 方法的启发，构造了一种求两个方程解之间b a c k l u n d 变换的新方法。 利用改进的齐次平衡法研究了同一浅水波方程两个解之间的b a c k l u n d 变换，并且获得了一些新型孤立波解，即带尖点或奇异点的双孤立波 解。利用p a i n l e v e 截尾法获得了浅水波方程的a u t o b a c k l u n d ，并且发 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 现与改进的齐次平衡法获得的结果是一致的。 第五章讨论了浅水波系统行波的分类问题。利用在极值点和奇点 的定性分析结果，对浅水波系统的行波解进行了分类，确定了更加丰 富的行波解形式，特别是获得了一些特殊形式的孤立波解。本章主要 从以下方面改进了上述定性分析方法：考虑了对流项系数对解形式的 影响，研究了光滑解演变为非光滑解的条件，借助定性分析的结论求 出了系统的新型显式解。 第六章讨论了浅水波系统孤立波的稳定性问题。利用浅水波系统 的一些重要的守恒量和h a m i l t o n 结构，分别研究了浅水波系统的光滑 孤立波解的轨道稳定性和紧孤立波解的线性稳定性，并且证明了在一 定条件下这些孤立波解是稳定的。 第七章讨论了浅水波系统在海啸模型研究中的应用。通过总结已 有的科研成果，给出了海啸和浅水波的关系、海啸的成因和基本特征 以及海啸源模型、传播模型的研究进展，为进一步开展海啸模型研究 提供了理论参考。 第八章是总结和展望。 关键词：浅水波系统；p a i n l e v e 性质；孤立波；b a c k l u n d 变换；分类； h a m i l t o n 结构；守恒量；轨道稳定性；线性稳定性；海啸模 型 a b s t r a c t s h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m sc a nt h e o r e t i c a l l yg r a s pt h el a wo ft i d e s ，s w e l l sa n dt h e d a mc o l l a p s e si nh a r b o r s ，w a t e rp o l l u t i o n ，t s u n a m ie t c w i t ht h en e e d so fo c e a n d e v e l o p m e n t ，d i s a s t e rp r e v e n t i o n ，e n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o n ，t h es t u d yo ft h es h a l l o w w a t e rw a v es y s t e m sh a sb e c o m eah o tt o p i c t h es t u d yo np r o p e r t i e so fs o l i t a r yw a v e si s o fg r e a tv a l u ei ns c i e n t i f i cr e s e a r c h e r sa n da p p l i c a t i o n st oe x p l a i nt h ew a v ep r o p a g a t i o n a n dn a t u r a lp h e n o m e n aa sw e l la st od e t e r m i n et h ep h y s i c a la t t r i b u t e so fm a t e r i a l s ac l a s so fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m sa r es t u d i e si n t h i sd i s s e r t a t i o n t h i ss y s t e m c o n s i s t so fas e r i e so fs h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o n sw h i c hh a v ec l o s er e l a t i o n s h i pw i m k d v e q u a t i o n t h er e s e a r c ho ft h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e sp a i n l e v ep r o p e r t yo fs y s t e m s ， b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，t r a v e l i n gw a v e sc l a s s i f i c a t i o n ，t h es t a b i l i t yo fs o l i t a r yw a v e s a n dr e l a t e dp r o p e r t i e s t h ef i r s tc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts i t u a t i o n o fs h a l l o w w a t e rw a v es y s t e m sa n dt h er e s e a r c ho ft s u n a m i sm o d e l s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ep a i n l e v ep r o p e r t yo fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m s b y u s i n gw t c k r u s k a lm e t h o d at y p eo fs y s t e m sw i t hp a i n l e v ep r o p e r t ya r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，b yc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo fn o n l i n e a rt e r mc o e f f i c i e n t st op a i n l e v e p r o p e r t y , t w on e wt y p e so fs y s t e m sw i t hp a i n l e v ep r o p e r t ya r ed e r i v e d i nc h a p t e r3 ，t h ec o n s t r u c t i o no fe x p l i c i ts o l i t a r yw a v e so fs h a l l o ww a t e rw a v e s y s t e m si si n v e s t i g a t e d w ei m p r o v e ds o m ec l a s s i c a lm e t h o d st of m ds o l u t i o n so f s h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m s 耐t hc o m p l e xn o n l i n e a rt e r m s a n dw eo b t a i na b u n d a n t s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，e s p e c i a l l yw eo b t a i na b u n d a n tn e ws o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ： c o m p a c t o ns o l u t i o n s ，k i n k - c o m p a c t o ns o l u t i o n s ，n o ne x p o n e n t i a lp e a k o ns o l u t i o n sa n d c o m p o s e ds o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，t h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m si s d i s c u s s e d m o t i v a t e db ya n a l g e b r a i cm e t h o ds e e k i n gs o l u t i o n s ，w eg i v e an e w c o n s t r u c t i o no ft h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e ns o l u t i o n so ft w oe q u a t i o n s b y u s i n gi m p r o v e dh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，t h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n t w os o l u t i o n so ft h es a m ee q u a t i o n i ss t u d i e d s o m en e w s o l i t a r ys o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ， s u c ha sd o u b l es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sw i t hp e a k o no rs i n g u l a r i t y b y p a i n l e v e t r u n c a t i o nm e t h o d ，t h ea u t o - b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni sg i v e na n dt h et r a n s f o r m a t i o ni s 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 c o n s i s t e n tw i t ht h er e s u l tb yu s i n gt h ei m p r o v e dh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d i nc h a p t e r5 ，t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fs h a l l o ww a t e r w a v es y s t e m si ss t u d i e d b yu s i n gq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fe x t r e m ep o i n t sa n ds i n g u l a r i t y p o i n t s ，w ec l a s s i f yt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n st ot w ok i n d so fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m s w i t hm a r v e l o u ss t r u c t u r e a b u n d a n ts o l u t i o n sa r ed e t e r m i n e d ，a m o n gw h i c hs o m ea r e s o l i t a r ys o l u t i o n sw i t hs p e c i a lf o r m s i m p r o v e m e n t si nc l a s s i f i c a t i o na n a l y s i sl i ei nt h a t t h ei n f l u e n c eo f c o n v e c t i o nt e r mc o e f f i c i e n t st ot h ef o r m sa n dd i s t r i b u t i o no fs o l u t i o n si s c o n s i d e r e d ，t h ec o n d i t i o no fs m o o t hs o l u t i o n sc o n v e r g et on o n s m o o t hs o l u t i o n si s s t u d i e d ，a n dn e wt y p e so fe x p l i c i ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i s m e t h o d i nc h a p t e r6 ，t h eo r b i t a ls t a b i l i t ya n dl i n e a rs t a b i l i t yo ft h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n s o fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m si sd i s c u s s e d s o m ei m p o r t a n tc o n s e r v a l a t i o nl a w sa n d h a m i l t o ns t r u c t u r ea r eg i v e n t h eo r b i t a ls t a b i l i t yo fs m o o t hs o l i t a r ys o l u t i o n sa n d l i n e a rs t a b i l i t yo fc o m p a c t o ns o l u t i o n sa r es t u d i e d ，a n dt h es o l u t i o n sa r es t a b l eu n d e r s o m ec e r t a i nc o n d i t i o n s i nc h a p t e r7 ，t h ea p p l i c a t i o no fs h a l l o ww a t e rw a v es y s t e m si nt h er e s e a r c ho f t s u n a m i sm o d e l si ss t u d i e d b ys u m m a r i z i n gt h es c i e n t i f i cr e s e a r c ha c h i e v e m e n t ，t h e r e l a t i o n s h i po f t s u n a m i sa n ds h a l l o ww a t e rw a v e ，t h eg e n e r a t i o nm e c h a n i s mo ft s u n a m i s ， t h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c so ft s u n a m iw a v e sa n dt h er e s e a r c hp r o g r e s so ft s u n a m is o u r c e m o d e l sa n dt s u n a m ip r o p a g a t i o nm o d e l sa r ei n t r o d u c e d t h er e s e a r c hi sh o p e dt oo f f e r s o m et h e o r e t i c a li n s i g h t sf o rt h ef u r t h e rr e s e a r c ho nt s u n a m im o d e l s c h a p t e r8i sas u m m a r ya n de x p e c t a t i o n k e y w o r d s ：s h a l l o ww a t e rw a v e s y s t e m s ，p a i n l e v ep r o p e r t y , s o l i t a r yw a v e ， c l a s s i f i c a t i o n ， b a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n ，h a m i l t o ns t r u c t u r e ， c o n s e r v a t i o nl a w s ，o r b i t a ls t a b i l i t y , l i n e a rs t a b i l i t y , t s u n a m i sm o d e l s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密时 学位论文作者签名： z 吣 年舌月f 5 日 锄 日 | 7 ， 名 月 签 易 一】 二y 1 一 撕 年 导 匕日 d 指 加 、j玉 乞 一跋【 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 靴敝储雠译 3 时 的广义d g h 方程不能使用w t c k r u s k a l 方法进行p a i n l e v e 检验。 2 2非线性项系数对广义d g h 方程p ainie v e 性质的影响 在2 1 节中，我们发现了一类具有p a i n l e v e 性质的方程，即 u f u x x t + 2 c o u 。+ a u 2 u 。- i - 烨麒= 2 u x u 。4 - m “。 ( 2 2 1 ) 非线性项系数对( 2 2 1 ) p a i n l e v e 性质的影响引起了我们很大的兴趣，这也有助于发 现一些新的具有p a i n l e v e 性质的方程。 考虑方程( 2 1 1 ) 中的非线性项系数更一般的情形 u t u x r t + 2 0 u ，- i - a u z u 石4 - 朋麒= b u 工u 瓤- i - c u u x x x( 2 2 2 ) 其中口，b ，c 为非线性项系数，当6 = 2 ，c = 1 时即为( 2 2 1 ) 。 下面利用标准的w t c - k n s k a l 方法对方程( 2 2 2 ) 进行p a i n l e v e 分析。 1 6 第二章浅水波系统的p a i n l e v e 性质 将方程( 2 2 2 ) 中的u 展开为( 2 1 2 ) ，并利用领头项分析得到 口：- 2 ，：必彩 ( 2 2 3 ) 同样可以得到“，的递推关系 ( f _ 1 ) ( f 6 ) ( f ；! ! ( ：半) u j = f j ( 痧x ，i f i ，z 。，z j 。，z l ，。) ( 2 2 4 ) 由于共振点要求为整数，故令n - - 2 ( b + 2 c ) z ，则有 c 6 ：_ n - - 4 c ( 2 2 5 ) ， 、7 此时共振点为一1 , 6 ，n 。根据p a i n l e v e 分析要求胛必为正整数。我们目前只研究 0 n 1 0 0 的情况，对于其它n 更一般的情况将在以后的工作中借助软件包进行研 究。通过分析，我们得到了三类方程通过p a i n l e v e 检验，具体计算数据如下： 1 ) 当刀= 3 时，有6 = 一互1 c ，此时方程为 一+ 2 0 ) u x + a u 2 q + 7 甜聪= 一j c 蚝z k + c 甜 相应共振点为一1 , 3 , 6 ，“，的递推关系为 ( + 1 ) ( j 一3 ) ( _ 一6 ) 比j 一( 丸，谚，u o ，h l ，u ，- 1 ) 并且 ：旦，l l ；0 ，比2 ：一必， 旷垫出巫等型堕丝，u s = 一华 其中u 3 , u 6 自动满足。 2 ) 当n = 5 时，有b = 一c ，相应方程为 u t 一“掰+ 2 c o u z + a u 2 u x + 肚埘= 一c u x u x x + c u u x , x 相应共振点为一1 5 ，6 ，u ，的递推关系为 ( j + 1 ) ( j 一5 ) ( j 一6 ) “j 一( 丸，谚，u o ，u a ，u j 一1 ) 并日 1 7 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 铲警，z 1 | 0 铲一掣j c 业，口 “，；。，扰。=二竺!刍兰r-!竺里笠_=生善量考芋2二二型 其中u s ，u 。自动满足。 3 ) 当n = 8 时，有b = 2 c ，此时方程为 “t u x x t + 2 国m x + a u 2 m x + 7 “嬲= 2 c u x u 搿+ c “脚 相应的共振点为一1 , 6 ，8 ，比，的递推关系为 ( j + 1 ) ( j 一6 ) ( j 一8 ) u j = 巧( 吮，谚，u o ，魄，u ，4 ) 并且 = 了2 4 c ，“。一甜3 ；比，= o ，比：= 一五1 一五1 y ， 驴南酽一1 8 c 2 w - - a g 2 勘m 叫2 ) 心= 鑫( 2 毗+ 2 口7 3 9 ) 其中，u 8 自动满足。 小结：当非线性项系数6 ，c 分别满足6 = 一去c ，b = 一c 时，此时对应的( 2 2 2 ) 是两类新的具有p a i n l e v e 性质方程。对于第三种情况即b = 2 c 时的方程( 2 2 2 ) 可以 看作是方程( 2 2 1 ) 的自然推广。 2 3 其它浅水波方程的p a ini6 v o 性质 本节将研究其它两类浅水波方程的p a i n l e v e 性质，包括k ( m ，n ，1 ) 方程和广义 o s t r o v s k y 方程。 一、取m ，n ，1 ) 方程 考虑取m ，n ，1 ) 方程 u ，+ 屈 “) ，+ 尾 “) 。+ 屈h 一；0 ( 2 3 1 ) 其中层，厦，屈是常数，m ，刀为大于1 的正整数，rm ，刀称为非线性强度。当孱；0 时， ( 2 3 1 ) 为k ( m ，n ) 方程【8 4 】，故( 2 3 1 ) 也称为带五阶色散项的k ( m ，n ) 方程。 我们知道，当2 m = n 3 时取m ，n ) 方程具有c o m p a c t o n 解，第三章中我们发 现当2 m = n 3 时r 4 m ，n ，1 ) 方程也具有c o m p a c t o n 解，那么此时r 4 m ，n ，1 ) 方程是 1 8 第二章浅水波系统的p a i n l e v e 性质 否具有p a i n l e v e 性质也引起了我们的兴趣。 1 ) 当m = 以= 2 时，将( 2 3 1 ) 中的”展开为( 2 1 2 ) 的形式，并且利用领头项分析得到 口= - 2 ，= 鲁露 ( 2 3 2 ) 且得到系数u ；的递推关系 ( j + 1 ) ( _ 一4 ) ( j 一5 ) ( j 一6 ) ( j 一6 ) u ，一( 纯，谚，u o ，u l ，u j 4 ) ( 2 3 3 ) 由于共振点出现重复值6 ，6 ，故不能通过p a i n l e v e 检验。 2 ) 当m = n = 3 时，将( 2 3 1 ) 中的u 展开为( 2 1 1 ) d c j j 髟式，利用领头项分析得到 虻- 2 椭_ + 学衙 ( 2 3 4 ) 且u j 的递推关系为 ( j + 1 ) ( j 一3 ) ( j 一4 ) ( j 一4 ) ( j 一5 ) u ，；巧( 吮，谚，u o ，u a ，u ，4 ) ( 2 3 5 ) 共振点出现重复值4 ，4 ，故不能通过p a i n l e v e 检验。通过以上分析可知，具有 c o m p a c t o n 解的两类k ( m ，n ，1 ) 方程不具有p a i n l e v e 性质。当m ，n 取其它值且层，殷，属 不为零时，我们也没有发现具有p a i n l e v e 性质的方程。 二、广义o s t r o v s k y 方程 考虑o s t r o y v s k 方程 6 9 】 “+ 2 ) 。+ 伽。) ，1y u( 2 3 6 ) o s t r o v s k y 方程是一类著名的洋流运动方程，其中是色散项系数，参数y 反应了 地球旋转影响的强度。当7 = 0 时就演化为k d v 方程。由于是一类完全不可积方程， 因此对于该问题的研究就显得比较困难，往往停留在数值模拟上。而且g i l m a n 等 利用反散射方法证明了该方程没有行波解，在本文以下的章节中将会发现广义形 式的o s t r o v s k y 方程是具有行波解的，那么广义形式的方程是否具有p a i n l e v e 性质 也引起了我们的兴趣。下面介绍两类广义o s t r o v s k y 方程： 第一类广义o s t r o v s k y 方程i ，+ a ( u ”) ，+ ”) 一) ，一烨 ( 2 3 7 ) 其中口，是常数。当口= 1 ，历= 2 时，( 2 3 7 ) 为o s t r o v s k y 方程。广义o s t r o v s k y 方 程i 与取m ，n ) 方程也有联系，当y = 0 时，积分一次并令积分常数为零后得到k ( m ，n ) 1 9 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 方程。 下面研究广义o s t r o v s k y 方程i 的可积性问题。 将( 2 3 7 ) 中的u 展开为( 2 1 2 ) 的形式，并且利用领头项分析得到 2 口= 一 m 一，l 由于口为负整数，故只有当m = 疗+ 1 和m = 刀+ 2 时方程( 2 3 7 ) 才能继续进行 p a i n l e v e 检验。利用w t c k r u s k a l 方法，我们发现：对于在上述两种情况下的方程 ( 2 3 7 ) ，若要满足自相容条件当且仅当厂= 0 ，这与取m ，n ) 方程的可积性是一致的 【1 5 3 】。故当7 0 时，广义o s t r o v s k y 方程i 是不通过p a i n l e v e 检验的。 第二类型广义o s t r o v s k y 方程i i ( + ”) ，一肛一) ，一胪 ) ( 2 3 1 1 ) 其中p ( u ) 为u 的多项式，引进这类方程是为了研究洋流运动的复杂性( 详见第三 章) 。利用领头项分析得到脚) 的最高幂次可为1 2 ，3 ，5 ，当0 ，7 0 时，( 2 3 1 1 ) 均不能够通过p a i n l e v e 检验。 第三章浅水波系统的显式孤立波 第三章浅水波系统的显式孤立波 显式孤立波是具有精确表达式的孤立波，对于解释孤立波现象有着重要的作 用，它能直接的反映孤立波的传播规律和运动方式，因此寻找显式孤立波解是一 项非常有意义的工作。数学家和物理学家构造了许多方法用来构造显式解，如 h i r o t a 方法、t a n h 方法、拟设法、相似约化法、逆算符法、变分迭代法、p a i n l e v e 截尾展开法和辅助方程法等。本章利用不同的方法研究几类非线性项比较复杂的 浅水波方程，并且拓展了所用方法的应用范围，从而获得了丰富的显式解，特别 是获得了一些新型的显式孤立波解，如多重c o m p a c t o n 解，k i n k - c o m p a c t o n 解，组 合解，非指数型p e a k o n 解等。 3 1 广义d g h 方程的显式解 考虑广义d g h 方程 8 2 1 u f 一“棚+ 2 c a u 。+ a u m u 算+ 朋掰= 2 u 。u 。+ “脚( 3 1 1 a ) 在2 1 2 节中我们研究了方程( 3 1 1 a ) 的p a i n l e v e 性质问题。 求解广义d g h 方程( 3 1 1 a ) 时，我们遇到两个难点： ( 1 ) 方程中对流项强度m 是一个变量，从而寻找统一求解方法具有一定困难。 ( 2 ) 对于m = 1 时的方程，利用齐次平衡法和t a n h 方法等传统方法不能求其显 式解。 文献【4 4 】通过结合t a n h 法 4 1 和j a c o b i 椭圆展丌法【4 3 】，构造了一种统一的代数 求解方法，获得了更为丰富的显式解。本节进一步推广了此种方法，把平衡关系 式的变量数由两个推广到三个，从而解决了求解广义d g h 方程时的两个难点，并 且获得了在不同对流项强度m 下方程f 3 1 1 a ) 的一些显式解：当m = 1 时方程具有紧 孤立波解( c o m p a c t o n ) 和尖峰孤立波f 挥( p e a k o n ) ；当朋= 2 时方程具有光滑孤立波解 和周期波解；当m = 3 时方程具有周期波解。 作行波变换孝= x c t ，此时方程( 3 1 1 a ) 转变为常微分方程 ( 2 c o c ) u f + a u ”u 孝+ ( c + ) u 3 f 一2 u f u 2 f u u 3 f 一0 ( 3 1 1 b ) 下面给出此种方法在方程邝1 1 b ) q b 应用的主要步骤： 1 引进一个新的变量缈= 缈( 孝) 满足 2 1 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 够- 占 ( 3 1 2 ) 其中占= 1 ，为j 下整数，c 。，印c r 为待定常数。如果函数荟c 伊一旦给定，那 么常微分方程( 3 1 2 ) 可以通过一次积分求解。 2 令方程( 3 1 1 b ) 的解可以表示为下列级数形式 跖2 缈 ( 3 工3 ) 其中n 为正整数，a o ) 口l ，口。为待定常数。把( 3 1 3 ) 代入方程( 3 1 1 b ) 0 0 ，并且借助 下面的导数关系 专6 。驴c j 呼o j 万d 著“ - 三蔼j c f l ) j - 1 + 套c j q j 鲁 ， 我们可以得到最高阶导数项和最高幂次非线性项关于，n ，m 的一个平衡关系式，进 而确定厂，z ，m 的取值范围。与文献 4 4 1 不n 的是，平衡关系式增加了一个变量聊， 可见方程( 3 1 1 a ) 更为复杂。 3 结合，疗，聊的平衡关系式以及( 3 1 2 ) ，把( 3 1 3 ) 代入方程( 3 1 1 b ) 中，令不 同形式的缈和伊( 嘉c j 矿) 2 的系数为0 ，则得到一列代数方程组，通过解此代数方 程组可以求出参数q ，c ，。 4 将参数c o ，c 1 ，一c ，和a o , 口1 ，- a 。分别回代n ( 3 1 2 ) n 0 1 3 ) ，从而可以得到方 程( 3 1 1 a ) 不同形式的显式解。 注：随着，的增大，( 3 1 2 ) 也越难通过积分求解，故此种代数方法考虑，4 的 情形，此时( 3 1 2 ) 转化为 缈= s c o + q c p + c 2 伊2 + c 3 伊3 + c 4 缈4 ( 3 1 4 ) 选取不同的参数c o ，c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，( 3 1 4 ) 解的分布情况如下： 1 指数形式解 缈= 一i 6 1 + e x p ( 占廊) ，其中c s c 4 一o ，c 。= i 4 c 2 ，c ： o ( 3 1 5 ) 2 余弦波解 或者 第三章浅水波系统的显式孤立波 9 一丢毫c o s ( 廊) ，其帆= c 3 = c 却 c 2 o ，c 2 o ，c 4 0 ，其中c o = c l c 4 = 0 ，c 2 0 ( 3 1 1 0 ) 其中c o - c l c 4 - 0 ，c 2 。( 3 1 1 5 ) 下面给出上述代数求解方法的具体做法。令方程的解形如 户j 、飞， 唪 知 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 “2 荟卿( 堋2 酗伊( f ) ( 3 1 1 6 ) 其中伊( 孝) 满足( 3 1 2 ) 。通过平衡最高阶导数项“f “：f ( 或比比。f ) 和最高次非线性项 “”，我们可以得到平衡关系式r = ( m - 1 ) n + 2 。由于r 4 ，故正整数聊，即，的取 值情况为 ( 1 ) m = 1 ，r = 2 ，n 为任意整数 ( 3 1 1 7 ) ( 2 ) m = 2 ，n = 2 ，= 4 ( 3 1 1 8 ) ( 3 ) m = 3 ，n = 1 ，= 4 ( 3 1 1 9 ) 此时对流项强度m 分别为1 ，2 和3 。下面将研究在这三种不同对流项强度下方程 ( 3 1 1 a ) 解的情况： 情形一：当m = 1 时， 方程( 3 1 1 b ) 转化为 ( 2 c o - c ) u 善+ a u u f + ( c + 蚝f 一2 u f u 2 f u u 3 f = 0 ( 3 1 2 0 ) 此时r = 2 ，z 可为任意整数。令n = 2 ，贝1 j ( 3 1 3 ) 为 u = a o + a t 缈+ 口2 缈2 ( 3 1 2 1 ) 其中妒满足妒= 占+ q 妒+ 乞妒2 ，其解的分别见( 3 1 5 ) 一( 3 1 7 ) 。将( 3 1 4 ) f f l l ( 3 1 2 1 ) 代入( 3 1 2 0 ) ，可以得到下面的代数方程组 一c s 口1 + 2 e c o a l + c a a o a l 一4 e , 3 口1 口2 c o 一占3 彳c 1 + 3 c g , 3 a 2 c 1 + + 3 声3 a 2 q 一 3 c 3 a o a 2 c 1 + c 占3 a l c 2 + 芦3 口1 c 2 6 3 a o q c 2 ；0 s 口砰一2 c s 口2 + 4 c , c o a 2 + 2 t ；a a o a 2 8 6 3 口一1k 3 q 口2 c 1 3 占3 彳c 2 + 8 c s 3 a 2 c 2 + 8 声3 a 2 c 2 8 s 3 a o a 2 c 2 0 3 e a a l a 2 1 5 s 3 口2 2 c i 一2 k 3 a q a 2 c 2 0 2 s 口口；一2 4 占3 口2 2 c 2 2 4 占3 a o a 2 a 4 = 0 利用o c = 占3 = 0 0 5 ( 因为g = 1 ) ，通过m a p l e 软件可以得到 =一3c-ac-60-at+3alcl，口：=0，=吾，乞=芎a，q为任意常数。 ” 知 ” 4 口 3 1 或a o ：3 c - a c - _ 6 0 - - a y + 一3 a t g ，a 2 b c o ；0 ，c 2 ：詈，q ，c l 为任意常数。 z aj 结合( 3 1 4 ) 解的分布情况以及( 3 1 2 1 ) 可以得到如下两种形式的解： 1 考虑到占= 1 ，故m = 1 时方程( 3 1 1 a ) 具有p e a k o n 解 2 4 第三章浅水波系统的显式孤立波 =丁3c-ac-6co-ay+qexp(ue x p ( 一括i 孝i ) ( 3 1 z 2 ) = _ 一十q 一、f ii 亏i j p 1 z 口yj ( 3 1 2 2 ) 包含了c h 方程和d g h 方程的p e a k o n 解：令a = 3 ，则( 3 1 2 2 ) 为d g h 方程的 一类p e a k o n 解，此时若y = 2 a , ，则得到x 专时衰减为零的p e a k o n ，这和已有的结 论是一致的【2 4 】；若令口= 3 ，y = 0 ，则得到c h 方程的一类p e a k o n 解，此时若国= 0 ， 则能得到x 寸0 0 时衰减为零的p e a k o n 解，这与c h 方程获得的p e a k o n 解也完全一致 【6 5 】。在文献【1 ，7 ，2 8 】中曾提到c h 方程在国= 0 时才有p e a k o n 解，通过上述分析我 们可以发现当缈0 时，c h t y 程也具有p e a k o n f j 翠，只是当x 专0 0 时衰减为一个非零 常数一缈。 2 方程具有c o m p a c t o n 解 甜= 丁3 c - a c - 6 c o - a y 普酬一黝 ( 3 1 2 3 ) 2 口2 口、3 、7 其中蚓三，而当蚓 三时，( 3 1 2 3 ) 恒为常数3 c - a c 瓦- - 6 c o 一- a y 。若要求 3 c a c 一6 c o a y = 0 ，则可得到有限区间外为零的c o m p a c t o n 解，此时要求d g h 方 程中y = 2 0 ) ，c h 方程则要求缈= 0 。 注：若n 2 ，利用此代数求解方法还未能获得显式解。 结合以上两种情况，我们发现当a 0 时方程具有p e a k o n 解，当a 0 时方程具 有c o m p a c t o n 解，这也揭示了对流项系数a 对解的形式的重要影响。在第五章中， 我们将利用定性分析的方法进一步研究对流项系数a 对解的形式的影响。 情形二：当m = 2 时，相应的n = 2 ，= 4 。此时方程( 3 1 1 b ) 转化为 ( 2 c o c ) “f + a u 2 “f + ( c + y ) 蚝f 一2 u f u 2 f u u 3 f 一0 ( 3 1 2 4 ) 把( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 代入( 3 1 2 4 ) q 了，利用同样的方法可以得到 ：一丝sechu a oz ( 廊)( 3 1 。2 5 ) 2 一l s e c 。l 、c 2 吉)【j ：z ，) 甜：+ 丝s e c 2 a o( 廊) ( 3 1 12 6 ) 甜2 + 一( 、巳亏， p 其中a o ，c 2 满足 a：o-ac+a)-x1 8 a c - 2 a 2 c 2 - 3 6 a c o - 4 a 2 c 2 , - 2 a 2 y 2 江苏大学博士学位论文：一类浅水波系统的孤波分析 ，一1 8 a c - 2 a 2 c 2 3 6 伽一4 a 2 c y - 2 a 2 y 2 2 4 且8 1 3 6 a y 一2 a 2 y