（光学专业论文）周期驱动对玻色爱因斯坦凝聚性质的影响.pdf

济南大学硕士学位论文 曼曼曼曼 皇曼曼 曼曼曼曼曼曼曼 鼍 曼曼曼曼曼曼 一 i i i i 摘 要 1 9 9 5 年 在爱因斯坦理论预言7 0 年之后 经过几代物理学家的不懈努力 首次 在实验上实现了碱金属原子稀化气体的玻色一爱因斯坦凝聚 b e c 使原子处于与激 光对等的地位 这种新物态的获得允许我们用原子代替光子观测非线性效应 它的多 方面的研究价值得到了诸多的关注 b e c 的实现有着十分重要的科学意义和潜在的应 用价值 b e c 对基础研究有重要意义 它联系着物理学的基本理论 又和先进的物理 实验技术紧密相关 同时b e c 在许多领域 如芯片技术 精密测量和纳米技术等领域 都有着广阔的应用前景 这使得b e c 成为理论和实验研究的热门课题 其中 双势阱b e c 模型虽然形式上简单 却蕴藏着丰富的物理内涵 被广泛地用 于研究b e c 的各种动力学性质 并得到了许多非常有意义的现象 如隧穿性质 自囚 禁等现象 这一模型所预言的一些现象已被实验所证实 在纯量子情况下 这种多体 量子系统呈现出量子纠缠特性 并且量子涨落本身对系统动力学性质也有影响 在周 期驱动下 对b e c 双势阱模型相平面的研究 发现了诸如不稳定性 混沌 等许多有 意义的现象 而不稳定性 混沌 的出现能够破坏原子间的相干性 导致b e c 的瓦解 因此对不稳定性 混沌 的控制及其应用的研究 引起了人们的关注 这些也正是本 文所关心的问题 本文主要用b e c 双势阱模型 研究了在周期驱动下系统动力学的相变 特别地研 究了该系统通向混沌的相变过程 及其混沌的量子纠缠熵表示 并进一步研究了混沌 对隧穿的影响 主要工作包括 l 在b e c 对称双势阱模型中的粒子间相互作用项上 加上周期驱动 讨论这种 周期外场对系统动力学性质的影响 特别是系统混沌现象的产生及其量子纠缠熵表 示 研究结果表明 当相互作用较小 相空间为周期轨道 随着相互作用强度的增加 出现了自囚禁现象 当相互作用继续增大 当外加调制频率与系统固有频率达到共振 时 相平面会出现不稳定性现象 即混沌 在混沌区域 粒子在各量子态随机分布 平均布居数差在零附近波动 随着相互作用强度继续增大 系统又会出现自囚禁现象 特别地 我们的研究表明 混沌现象的出现可以用量子纠缠熵来表征 当混沌现象出 现时 两种平均纠缠熵都趋于它们的最大值 这两种平均熵都能很好地反映出系统相 变的各个过程 2 我们进而讨论了混沌现象的出现对系统隧穿性质的影响 研究了在b e c 双势 阱模型中的两势阱能量差项上 加上周期驱动引起的系统相变过程 特别是混沌相变 过程 我们引入h u s i m i 函数来描述b e c 的行为 我们利用系统的h u s i m i 函数随时间 l 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 的演化 研究了相应的量子情况下 混沌现象对系统隧穿性质的影响 以及隧穿随相 互作用强度增强的变化情况 我们发现 当混沌现象出现时 随着体系中粒子间相互 作用的不同 混沌区域的不同 表现出的混沌辅助隧穿的程度也不同 关键词 玻色一爱因斯坦凝聚 双势阱 混沌 纠缠熵 隧穿 i i 济南大学硕士学位论义 a b s t r a c t i n19 9 5 s e v e n t yy e a r sa f t e re i n s t e i nt h e o r y b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e b e c o fa l k a l i m e t a l s a t o m sw a sm a d ei ne x p e r i m e n tf o rt h ef i r s tt i m ei nt h ew o r l dw i t hp h y s i c i s t s e f f o r t w h i c hm a d ea t o m se q u a lt ol a s e ri ns o m ee x t e n t b e c a u s eo ft h i sn e wk i n do fm a t t e rw e c a l lu s ea t o m st oo b s e r v et h en o n l i n e a re f f e c t si n s t e a do fu s i n gp h o t o n s a n dm u c ha t t e n t i o n w a sd r a w nt oi t t h e r ei ss c i e n c em e a n i n ga n da p p l i c a t i o nv a l u eo ft h er e a l i z a t i o no fb e c b e cc o n n e c t s 诚t l lb a s i ct h e o r yo fp h y s i c s a n da l s oc o n n e c t sw i t hp h y s i c a lt e c h n i q u e b e cn o to n l yh a ss o m e t h i n gi m p o r t a n tw i t hb a s i cr e s e a r c h a n da l s oh a sw i d e l ya p p l i c a t i o n o u t l o o ki nc h i pt e c h n i q u e a c c u r a t em e a s u r e m e n t a n dn a n o t e c h n o l o g y s ob e cb e c o m et h e h o t s p o to ft h e o r ya n de x p e r i m e n tr e s e a r c h i nt h i sa r t i c l e w ee x p l o i tt w o m o d em o d e lt oi n v e s t i g a t ed y n a m i c a lp h a s et r a n s i t i o n o fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i t l le x t e r n a lp e r i o d i cm o d u l a t i o n p a r t i c u l a r l y p h a s e t r a n s i t i o nt oc h a o si ss t u d i e d a n de n t a n g l e m e n te n t r o p yd e n o t a t i o no fc h a o s a n dt h e n c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d o u rm a i nw o r ki s 1 d y n a m i c a lp h a s et r a n s i t i o no fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e si nd o u b l e w e l lt r a pw i t h e x t e r n a lp e r i o d i cm o d u l a t i o no ni n t e r a c t i o ni si n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r p a r t i c u l a r l y p h a s e t r a n s i t i o nt oc h a o sa n de n t a n g l e m e n te n t r o p yi ss t u d i e d i ti sf o u n dt h a t w h e ni n t e r a c t i o ni s m i n o r i ti sp e r i o d i co r b i t si np h a s es p a c e s e l f t r a p p i n gi sm e r g e d 析t hi n c r e a s eo f i n t e r a c t i o n w h e nr e s o n a n c eb e t w e e ne x t e r n a lp e r i o d i cf r e q u e n c ya n dn a t u r a lf r e q u e n c y h a p p e n s t h i ss y s t e mc a nt u r nt oi n s t a b i l i t y c h a o s i nc h a o t i cr e g i o n d i s t r i b u t i o no f p a r t i c l e s i sr a n d o m a n da v e r a g eo fp o p u l a t i o nd i f f e r e n c ef l u c t u a t e sa r o u n dz e r o s e l f t r a p p i n gi sr e c u rw i t hi n c r e a s eo fi n t e r a c t i o n e s p e c i a l l y c h a o sc a nb ed e n o t e db y e n t a n g l e m e n te n t r o p y i nt h ec h a o t i cz o n e b o t ho ft w oa v e r a g ee n t a n g l e m e n te n t r o p i e s a p p r o a c ht ot h e i rm a x i m a p h a s et r a n s i t i o n c o u r s ec a nb ew e l ld e n o t e db yt h i st w o e n t a n g l e m e n te n t r o p i e s 2 f u r t h e rm o r e c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d p h a s et r a n s i t i o nt oc h a o so fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e si nd o u b l e w e l lt r a pw i t he x t e m a lp e r i o d i cm o d u l a t i o ni s i n v e s t i g a t e d i i i 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 p a r t i c u l a r l y c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d u s i n gt h ee v o l u t i o no fh u s i m if u n c t i o n r i mt i m e i nt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u mc o n d i t i o n w ei d e n t i f yt h ee f f e c to f t u n n e l i n gb yc h a o s a n d v a r i a t i o no ft u n n e l i n g 晰t l li n t e r a c t i o n i ti sf o u n dt h a t w h e nc h a o se m e r g e s c h a o sr e g i o n a n dc h a o s t u n n e l i n g i sv a r i o u s 舫也i n t e r a c t i o n k e y w o r d s b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e d o u b l ew e l l c h a o s e n t a n g l e m e n te n t r o p y t u n n e l i n g i v 原创 l 生声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究所取 得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的科研成果 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明 确方式标明 本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名 届丞霎 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解济南大学有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留或向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借鉴 本人授权济南 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩 印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 论文作者签名 唐荜羿导师签名 世日期 物则 9 曰 济南大学硕士学位论文 第一章绪论 玻色 爱因斯坦凝聚 b e c 是一个非常奇异的量子现象 1 9 9 5 年 这个现象 在稀薄原子气体中第一次被观察到 l 2 3 1 玻色 爱因斯坦凝聚体系这种奇特物态的获 得使得原子处于与激光对等的地位 4 1 这种新物态的获得允许我们用原子代替光子 观测非线性效应 它的多方面的研究价值得到了诸多的关注 掀起了理论和实验的 各种研究热潮 开展了许多有意义的研究p 堪j 从实验物理学角度 利用日益精密的激光技术等实验手段人们可以精确控制凝 聚体 利用f e s h b a c h 共振技术可以调节原子间的相互作用 从而可以通过给系统加 上一个周期调制的外场 来研究系统在周期驱动下的动力学行为 f e s h b a c h 共振最 早是物理学家f e s h b a c hh 在原子核物理中发现的 9 j 在2 0 世纪9 0 年代初 t i e s i n g a 等预言了在碱金属原子气体系统中存在有f e s h b a c h 共振f l 明 他们提出在这些系统 里 原子碰撞的散射长度可以通过改变磁场来调节 在1 9 9 9 年 m i t 的k e t t e r l e 实验组首先在钠系统中观测到了f e s h b a e h 共振 l 利用f e s h b a c h 共振 可以使散 射长度达到任何一个值 从而可以任意地改变原子间的相互作用 所以f e s h b a c h 共振在b e c 领域应用非常广泛 在理论研究方面 平均场近似下的g r o s s p i t a e v s k i i 方程 g p e l2 j 被成功地应 用于研究b e c 的动力学性质 如整体频率 1 3 1 4 等 并在一定条件下可以把g p e 简 化成两模薛定谔方程1 1 5 1 7 l 从而可以用双势阱模型来描述b e c 系统 双势阱模型 虽然形式上简单 却蕴藏着丰富的物理内涵 被广泛地用于研究b e c 的各种动力 学性质 并得到了许多非常有意义的现象 如隧穿性质陋1 7 1 自囚禁j 1 8 2 9 等现象 这一模型所预言的一些现象已被实验所证实 3 0 1 在纯量子情况下 这种多体量子系 统呈现出量子纠缠特性 2 8 1 并且量子涨落本身对系统动力学性质也有影响1 2 5 翊 在 周期驱动下 对b e c 双势阱模型相平面的研究 发现了诸如不稳定性 混沌 等 许多有意义的现象 1 8 1 9 2 5 3 1 1 而不稳定性 混沌 的出现能够破坏原子间的相干性 导致b e c 的瓦解 因此对不稳定性 混沌 的控制及其应用的研究 引起了人们 的关注 这些也正是本文所关心的问题 本文主要利用b e c 双势阱模型 研究了在周期驱动下系统动力学的檑变 特 别地研究了该系统通向混沌的相变过程 及其混沌的量子纠缠熵表示 并进 步研 究了混沌对隧穿的影响 本文的内容安排为 第二章介绍了玻色 爱因斯坦凝聚体系的基本理论 包括凝 聚体产生的条件和相关理论 实现b e c 的实验技术 b e c 的性质 以及b e c 的自 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 囚禁和遂穿问题 第三章系统地介绍了f e s h b a e h 共振的基本理论 包括f e s h b a c h 共振的发展过程 f e s h b a c h 共振的本质 以及f e s h b a e h 共振改变原子间相互作用的 具体理论知识 第四章详细地讨论了对称双势阱中玻色 爱因斯坦凝聚在周期驱动下 的动力学相交 特别是混沌相变过程 并讨论了动力学相变的量子纠缠熵表示 在 第五章中 我们引入了h u s i m i 函数 研究了混沌行为对系统隧穿性质的影响 以 及隧穿随相互作用强度增强的变化情况 第六章对本论文做了总结 2 济南大学硕士学位论文 第二章玻色一爱因斯坦凝聚的理论与实验概况 2 1 玻色一爱因斯坦凝聚简介 1 9 2 4 年 印度物理学家s t a y e n d r a n a t hb o s e 给著名的物理学家e i n s t e i n 寄了一 篇论文 3 2 1 在这篇论文中 通过把光子看成是全同粒子气体 玻色推导出了黑体辐射 的普朗克规律 e i n s t e i n 很快把b o s e 的理论推广到粒子数守恒的全同原子或分子组 成的理想气体 并在同一年预见了在足够低的温度下这样的粒子将被集体束缚在体系 的最低量子态上 3 3 这就是我们现在知道的玻色 爱因斯坦凝聚 b e c 现象 只有 总自旋为普朗克常量整数倍的玻色子才会出现这样的现象 玻色子凝聚体和形成它的凝聚过程被预见将有许多不寻常的性质 因此实验者们 一直努力想尽各种办法试图在实验室观察到b e c 直到7 0 多年后的1 9 9 5 年 美国 国家标准局和科罗拉多大学联合实验室 j i l a 莱斯大学 r i c e 和麻省理工学院 m i t 用激光冷却 磁势阱束缚和蒸发冷却技术将碱金属原子气体的温度降到肚的 量级 并用吸收谱的方法终于在实验上分别观察到了能够存活几个飞秒的8 7 r b 7l i 和z r n a 原子的b e c t l 3 1 图2 1 展示了8 7 r b 原子凝聚体的图像 j i l a 的c o m e l l w i e m a n 和m 1 t 的k e t t e r l e 因此获得了2 0 0 1 年的诺贝尔物理学奖 左边的图片对 应温度刚好高于凝聚体的气体 中间的图片对应凝聚体刚刚出现 右边的图片对应进 一步蒸发冷却后剩下的非常纯的凝聚体原子 图2 1 在a n d e r s o n 等人1 9 9 5 年的试验中观察到的铷原子凝聚体的速度分布图 2 2 理想均匀玻色气体的玻色一爱因斯坦凝聚 设在体积为y 的容器中存在有 个全同近独立的玻色子组成的气体 讨论b e c 就是分析在不同温度下玻色子在不同能态的分布 3 4 3 5 在己知的温度丁时 处于能级 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 为 的粒子数啊遵守玻色一爱因斯坦统计分布 即 嘉 丽 f 0 1 2 j 3 2 1 2 商2 万硝 卢 乙1 其中 为粒子的化学势 七为玻耳兹曼常数 q 为粒子分布的简并度 则系统的 总粒子数为 佛 南 2 2 分布函数表明 在外参量固定时 岛 哆不随温度r 变化 为找出 随丁 的变化 规律 需要知道 随歹如何变化 因为分布的粒子数 0 哆又不可能为负 所以 必然有 p 蜀一 7 灯 1 i 0 1 2 3 2 3 因此有 t 这罩的i 可以取任意整数 玻色气体的化学势必然低于任何能级的 能量 当取氏为能量的零点时 就有 0 即玻色气体的化学势必定为负 在给定粒子数门 n i v 的情况下 依据粒子数恒定的条件 有 三y 气 一 一n 刀 2 4 v 厶g 岛叫 憎一lv 一一7 从上式可讨论 随丁的变化 从式中可看出 是丁及粒子数密度刀的函数 其中 的q 和q 都与温度丁无关 那么在粒子数密度 z 给定的情况下 温度愈低 上式确定 的 必然升高 就是 的绝对值减小 玻色气体的化学势随温度的减小而增加 l o t o 那么当温度降到某一个确定值瓦时 化学势 将趋近于零 对于宏观的玻色气体 其能级可近似认为是连续变化的 当 o 时 p 哪r 专1 则在计算粒子数密度刀的求和中可用积分代替 我们知道在占专s 如变化范围内 自由玻色子的可能状态数c o s d e 为 吣 如 等 2 所 g 如 2 5 4 粒子数密度的积分表达式为 玎 等寺 2 m j c o 麓 2 6 肛矿2 可 2 土两 乙b 积分式中的瓦表示化学势开始变为零时的温度 也就是临界温度 对积分作变量 代换 令x k t 则积分可化为 三 拧 坐 等俐2 m g l vh疋灯筹1 2 7 拧 一 了l j l 一 lz 3 b p 一 由积分公式 1 一 f 万x t d e 誓 2 6 1 2 2 8 可得对给定的粒子数密度甩 临界温度z 为 互 篆 盎 2 9 如果进一步降低温度 使r 瓦 因 o 而且有o a a t 0 各能级粒子数的和 因此 在7 0 的粒 子数密度 o 式中 己经取o 计算以 蚰 作代换x s 灯 则 5 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 曼曼曼皇曼量曼曼 曼 皇 曼曼舅舅曼舅曼曼曼皇曼曼曼 曼曼曼曼舅曼鼍曼曼皇曼曼皇皇i 曼舅曼曼皇鼍皇葛曼曼皇曼曼曼曼曼舅曼曼曼曼皇曼量曼皇曼舅舅舅 2 铷皙毙 亿 等 2 历 3 圳3 z 上万x i d e 将 2 11 式与 2 7 进行比较可得出 坠 妻 j 2 1 2 a l 1 丁三 n o t n 1 一 2 2 1 2 b f c 当t z 理想量子气体退化为经典理想气体 气体粒子遵守经典统计力学规律 粒子间作弹性碰撞 当温度降低后 但还未达到临界温度 这时占据最低能级的粒子 数可忽略 此时与粒子相联系的德布罗意波长如 厅2 2 n m k t v 2 小于粒子间的平均 距离 理想玻色气体的性质将偏离理想经典气体 当t 瓦时 粒子的德布罗意波长 厶与粒子间的平均距离可以比拟 粒子的德布罗意波彼此重叠 粒子向最低能级迅 速聚集 玻色一爱因斯坦凝聚开始 当t o k 时 就会形成比较纯的玻色一爱因斯坦 凝聚体 所有粒子处在同一量子态 具有相同的相位 体系可用一个宏观的波函数描 述 b e c 是在t r 时 大量粒子凝聚在动量 能量为零的基态 即b e c 是在动量空 间的 凝结 它和水蒸气的凝结为液滴不同 水蒸气的凝结是在坐标空间的凝结 b e c 只在玻色体系才能发生 对于费米体系 不会发生所有粒子全部占据基态的现象 它违背泡利不相容原理 如果费米子形成分子或结成费米原子对 体系变成玻色体系 就可以形成b e c b e c 是一种相变 是转变温度 在t t 时 系统可以看成是两 相混合物 一个是气相 由分布在激发态 占 0 的 吖瓦 3 2 个粒子组成 另一相 是凝聚相 由集聚在基态的 一 叫瓦 3 2 个粒子组成 b e c 是一种宏观量子现象 其 凝聚的体系可以是气体 液体 固体 也可以是原子核和基本粒子 甚至还可以是中 子星或超新星中的物质 我们将 2 9 式的临界温度表达式进行一下变形得 疋 啬 盎 铺 钞 2 1 3 6 济南大学硕 f 学位论义 其中层 赢h 2 乏箍 j 2 对于同样的温度丁 我们定义一个临界密度 钍观6 2 洋 3 2 锣 亿 由此可得形成b e c 的条件为 r n c 纠2 2 1 6 鳓 即可以从两个途径实现b e c 一是降低系统的温度 使其低于给定密度下的临界 温度 二是提高系统的粒子数密度 使其超过给定温度下的临界密度 我们也可以将 2 9 式改写为用德布罗意波长和粒子数密度的关系 如 帕 2 6 1 2 奶 如 刀一蜘 2 6 1 2 秘 2 1 7 2 1 7 式说明 当粒子的德布罗意波长缸与粒子间的平均距离相近时 粒子的 波包彼此重叠 体系表现为不可分辨的玻色气体 玻色子发生量子力学相变 在z 时 体系出现宏观粒子占据同一基态的状态 即发生玻色一爱因斯坦凝聚 需要说明的是 玻色一爱因斯坦凝聚体的产生并不是靠粒子之间的某种相互吸引 作用力而聚到一起的 而是一种统计结果 玻色一爱因斯坦凝聚是一个热力学的动态 平衡过程 凝聚体和非凝聚体之间通过不断进行能量交换 凝聚的原子会成为非凝 聚粒子 非凝聚原子也会变为凝聚粒子 2 38 e c 的实验实现 2 3 1b e o 在实验上的实现 前一节从理论上得到了实现b e c 的条件 研究表明 在实际中由于粒子间的相 互作用 能否形成玻色 爱因斯坦凝聚 还与粒子的s 波散射长度有关 科学家们经 过多年的探索 终于在碱金属原子中实现了b e c 这是因为碱金属原子有三个吸引 入的特性 l 第一 通过激发容易得到共振线 可以利用光散射使得原子气云的能量 和密度更加明显 原子气云是位置和时间的函数 这样一来就可以容易地获取样品的 有关信息 第二 碱金属原子之间的相互作用相对于其他原子来说比较弱 s 波散射 长度a 大约为l o s e m 而在要求的密度下 粒子间的空问距离大约为1 0 一c m 第三 碱金属原子之间的相互作用可以通过对自旋态的选择 态密度以及外势场的应用加以 7 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 改变 1 9 9 5 年7 月 原子气体的b e c 首次在磁光阱中实现 在低到1 7 0 n k 的温度以下 时观察到b e c 继续冷却得到了很纯的b e c 美国科罗拉多州国家标准和工业技术 研究所的c o m e l l 和他的同事cw i e m a n 带领一批学生和博士后从事玻色 爱因斯坦凝 聚的研究达六年之久才实现了这种凝聚 l 他们的工作小组简称为j i l a j o i n ti n s t i t u t e f o rl a b o r a t o r ya s t r o p h y s i e s j i l a 的科学家们首次制取的玻色 爱因斯坦凝聚是一个 非常小的铷原子球 直径约为2 0 岬 它被正常的铷原子所环绕 它有三个非常显著 的特征 第一 在一个很宽的热速度分布上出现了一个峰 它的位置在零速度处 第 二 处在低速峰上的粒子在温度下降到一定程度时发生急剧增加的现象 第三 这个 峰表现出非热的 各向异性的速度分布 他们实验工作的过程是这样的 首先将9 7 r b 蒸气通过激光冷却 然后将其束缚 在磁陷阱中 通过蒸发冷却技术进一步冷却 蒸发冷却的主要作用是将那些能量超过 平均值的原子 逐出 磁陷阱 留下来的原子就达到更低的温度 这种方法是以牺牲 磁光阱中的原子数来达到n k 级的低温 当温度降到1 7 0 n k 粒子数的密度达到 2 5 1 0 1 2 c m 3 时 凝聚开始发生 约2 0 0 0 个原子被挤压在一个很小的空间里成为一 个 超原子 并维持了1 5 秒以上 这个凝聚体的行为表现象单个实体 j i l a 小组 实验上的成功取决于其中的一个关键结构 他们采用了一种新构型的磁陷阱 这是一 个大的球四极矩场和一个小的以7 5 k h z 旋转的均匀横向场的叠加 这样一来就可以 起到抵消样品中粒子数损失的作用 从而提供紧的稳定的约束 1 9 9 5 年1 0 月 麻省理工学院 m i t 的凯特勒 k e r e d e 等人用碱金属钠 n a 在实验 上也实现了b e c 3 1 他们认为 实现b e c 的困难之一就是造成原子损失的热振荡 v i b r a t i o n 为了减小这种效应 他们取消了造成振荡的真空泵 并采取措施以防止 空气扰动而产生对激光束的影响 他们采用了使原子尽可能快的冷却方法来减少这种 效应 这种快速冷却的方法是凯特勒研究小组的一个很明显的特色 他们能在7 秒内 使相空间的密度增大六个数量级 这种快速凝聚的速度要比j i l a 研究小组高出3 0 多倍 这种快速凝聚的速度对后来研究凝聚有十分重要的意义 m i t 研究小组的另一 个独特点是他们采用了一种形状类似于苜蓿叶的线圈 这种线圈所产生的势阱使之限 制原子的能力更强 在凝聚态中包含有更多的原子 从而粒子的数密度超过1 0 1 4 c m 3 如此高密度的样品为研究超冷稠密物质中的输运过程性质提供了可能 3 6 1 就在同一年 r i c e 大学的h u l e t 等人在具有负散射长度 口 0 玻色 爱因斯坦凝 聚将是稳定的 而当a 0 表示相互排斥 作用 口 0 随着阱深增大 吸引成分 增加 a 随之减小 当v 圪时排斥与吸引效果相当 这是口 0 阱深再增加 吸引 成分占上风 a 变为负值 以后a 的绝对值增加直到a 寸一 这时阱中将出现束缚 态 根据 3 2 式 相应的相移为万专万 2 阱深再增加 a 的值跳变到 o 然后继 续减小 相应的束缚态结合能增加 虽然此时a 0 却对应更强的吸引 原子间的相 互作用力与价电子的自旋取向有关 在碱金属里 最外层电子只有一个 两个碱金属 原子的相互作用势在价电子自旋平行时比自旋反平行时的阱要低一些 图3 2 a 排斥方势阱 b 散射长度随势阱深度的变化 4 0 一 了 图3 3 在f e s h b a c h 共振附近散射长度随磁场的变化关系 由原子核自旋与价电子自旋合成的超精细自旋作用 使得原子在散射过程中自旋 状态可以发生变化 设价电子自旋平行的原子低能入射时 在进入势阱后自旋变为反 平行 这时原子看到的是一个更高的势阱 比动能要高 它们被囚禁了 即变为束缚 1 8 济南大学硕士学位论文 量曼曼曼曼i ii i i 曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 曼曼曼曼曼鼍曼曼曼曼曼舅皇璺曼曼鼍曼曼 态了 如果在反平行的势阱中正好有一个束缚态的能级在附近 原子就暂时就以束缚 态存在于自旋反平行的势阱中 对能量很低的一对原子而言自旋平行的道是丌道 自 旋反平行的道是闭道 直到超精细相互作用使这对原子的自旋变成平行时较低的势阱 就变得畅通无阻了 它们就分离 完成散射过程 当在闭道中 f 好有一个能级和丌道 的散射态能量相同时 这就被称为共振 当能级差很小时 发生的散射称为共振散射 和势散射不同 原子在势阱中要度过一段时间 等待自旋再次变更取向 通常共振散 射比势散射时间要大几个数量级 共振散射的散射截面的宽度比势散射截面曲线的宽 度要小得多 在共振散射为主时 散射长度也随之发生变化 口 一去 3 5 式中a 是远离共振时的散射长度 r 是共振峰宽度 共振时a 专 重要的是 闭 道的束缚态位置 即参数g 可以用磁场来调节 令束缚态的磁距为觞 单个原子的磁 距为 那么散射态的磁距为2 鸬 磁场中散射态和束缚态的能量差为 2 一风 b 从而得到在f e s h b a c h 共振系统中 散射长度口随磁场b 的变化关系 口 嘞一去 a o 一獗石丽f a 0 一矗 6 其中玩是共振发生的磁场位置 发散宽度 是一个常数 当远离共振时 散射长度趋 于一个恒定值a o 当靠近共振时 在鼠两侧 散射长度分别向正无穷和负无穷发散 见图3 3 利用f e s h b a c h 共振可以使散射长度达到任何一个值 从而可以任意地改 变原子间的相互作用 所以目前f e s h b a e h 共振在玻色 爱因斯坦凝聚领域应用得非常 广泛 3 2 有f e s h b a c h 共振的玻色气体 玻色气体的多体理论是在2 0 世纪5 0 年代发展起来的哺别 它解决的第一个难题 是如何处理原子间的硬核势 两个原子之间存在有范德瓦耳斯力 当它们之间的距离 比较近时 它们的相互作用趋于无穷大 被称作硬核势 由于有发散性 硬核势很难被 直接用于微扰计算 李政道和杨振宁等首先解决了这个难题 他们发现可以用一个简 单的接触势代替硬核势来进行理论计算 这个接触势的大小和原子的散射长度成正 比 这种用有效的相互作用势代替微观势的方法正是现代理论物理中广泛采用的建立 有效场理论方法的一个雏形 1 9 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 对于三维有排斥作用的玻色气体 传统理论有以下几个主要结果 1 在转变温 度下 系统中存在有玻色一爱因斯坦凝聚 2 系统的基态除了凝聚部分外还包括和 b c s 波函数相似的量子亏缺 3 系统的低能元激发是声波 声频和波矢的大小成正 比 4 所有的物理量都可以通过微扰论进行精确计算 微扰参数是气体参数1 8 n n a 3 其中刀是原子密度 a 是散射长度 虽然传统的玻色气体理论发展得很完善 但是它也 有美中不足的地方 传统的玻色气体理论只适用于稀薄的气体 即气体参数小于1 的 情况 4 8 n n a 3 1 的玻色气体 传统理论无法处 理 在目前实验里研究的碱金属原子气体都是稀薄的气体 当前的一个研究方向是利 用f e s h b a c h 共振增大散射长度 以达到强相互作用区域来进行研究 虽然实验里在 强相互作用区域还不能使系统足够稳定进行研究 但是在稀薄的情况已经发现了和传 统理论存在差异的新颖现象 由于1 9 9 8 年 k e t t e r l e 实验组首先在钠系统中通过测 量原子非弹性散射速率发现了f e s h b a c h 共振 实验中的原子气体都是被势阱束缚 的亚稳系统 非弹性散射导致原子从系统中丢失 而丢失速率随散射长度的增加而增 加 所以非弹性散射速率的峰标志着f e s h b a c h 共振的位置 k e t t e r l e 等在实验中发 现原子丢失速率比理论估算要大许多 这也对实验上研究强相互作用区域造成了很大 困难 因为在强相互作用区域很难有足够的时间来进行观测 2 0 0 2 年 w i e m a n 实验组 利用f e s h b a c h 共振使8 5 r b 原子气体中的散射长度有一个方波似地变化 当散射长度稳 定后他们发现原子数目在周期性的振荡 而振荡频率正是双原子分子的能量嘞1 由于 粒子不能无中生有 惟一合理的解释是系统中粒子除了处在原子态外还可以处在双原 子分子态 所以如果忽略粒子的丢失 总的粒子数是守恒的 当时还没有直接观测双原 子分子的实验手段 这个实验成为证明系统中存在分子态的间接证据 2 0 0 3 年 北京 大学的尹澜等用多体理论成功地解释了这两个实验的结果嘲1 他们发现在f e s h b a c h 共振附近 有弱相互作用的玻色气体和通常理想的稀薄气体有很多相同之处 但也有 不同的地方 最主要的不同点是在f e s h b a c h 共振附近的玻色气体有一个分子类型的 元激发 这正是w i e m a n 实验组观测到的原子数目振荡对应的激发模式 此外 由于分 子能量比原子能量低 系统中任三个原子会经过互相碰撞最后形成一个双原子分子和 一个原子 并保持能量和动量守恒 这个过程被称作三体重组过程 三体重组过程是造 成此系统中粒子丢失的主要原因 尹澜等计算的三体重组速率和k e t t e r l e 实验组测 量的粒子丢失速率相吻合 近年对有f e s h b a c h 共振的玻色气体又有了新的实验进展 在跖r b 系统中 w i e m a n 实验组发现 当接近强相互作用区域时原子数目的振荡频率和双原子分子能量出现差 2 0 济南大学硕士学位论文 量曼 曼曼曼舅曼曼皇曼 曼曼曼曼曼i i 一 一i i i i 一 i il a 鼍曼曼曼曼曼苎曼曼曼 异嘧1 他们认为这是由于相互作用增强所导致的 目前尚没有令人满意的解释 在钠系 统中 k e t t e r l e 实验组成功地将原子从系统中剔除 从而得到了纯分子系统嘲 观测 到了分子的玻色一爱因斯坦凝聚 而理论上对有强相互作用的玻色气体的研究还处在 探索阶段 因为强相互作用历来是理论物理中的难题之一 目前比较流行的观点是当 散射长度趋于正无穷时玻色气体会费米化 指的是玻色一爱因斯坦凝聚会消失 而且系 统的能量密度会和粒子密度的5 3 次方成正比 与理想费米气体的能量密度关系相似 h e i s e l b e r g 等用试探性波函数法得到了这一关系 然而至今仍无一个严格的理论 来证明费米化的观点 有强相互作用的玻色气体性质仍然是一个谜 2 1 刷期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 第四章对称双势阱玻色一爱因斯坦凝聚系统在周期驱动下的动 力学相变及其量子纠缠熵表示 4 1 双势阱b e c 体系的动力学方程和经典形式哈密顿 对双势阱b e c 体系 其两模近似薛定谔方程为 1 刀 剥 日 4 1 其中口 b 分别是粒子出现在两个势阱中的概率幅 总概率i 口1 2 l b l 2 1 体系的哈密 顿为 h 考一互c i b l 2 j 口 2 1 2 1 2 一乏 2 1 2w 4 2 其中参数c 表示粒子间的相互作用强度 2 7 5 引 y 是两势阱的能量差 1 是两势阱的耦 合系数 本文的讨论是基于粒子间的相互作用为排斥作用 c 0 双势阱是对称y 0 的情况 同时 为了方便比较和计算 取 1 如果粒子数足够大 这个系统能够用平均场近似很好地描述 在平均场近似下 令口 l 口 p b l b l e 并引入布居数差s 阡 l a l 2 和相对相位9 皖 o o 则 堕d t 6 堡d t 6 丝d t 一 堕d t 口 塑d t 4 3 由薛定谔方程 4 1 有 z 鲁 争 一号6 4 a f 丝d t 一兰2 口 一兰2 旦2 s 6 4 4 b 取 4 4 a 和 4 4 b 式的复共轭 得 一 百d a 考一争 一 4 5 a 一l 警 一 k 啪 一 一一口十i 一二 十一sj d 出2 22 4 5 b 量曼曼曼曼皇曼曼曼曼1 i 鼍i i 曼皇曼曼曼皇量曼 曼皇曼曼曼 曼曼笪曼曼曼皇曼 曼葛曼皇曼曼曼 h t 算b 4 4 6 一b 4 5 b 一f 4 4 口 a 4 5 口 j 得 坐一 ab a b d 2 删 f s i n 乡 4 6 t i i v i l 又j a 4 2 l b l 2 l i b l 2 l a l 2 s 所蝴 厚 6 厚 代入 4 6 得 尘d t v 厉亍s i n 秒 4 7 又考虑到a b 口 b 2 a b e o s o 即 瑚 字 字c o s 口 8 对 8 两边对f 求导 再计算一l ib 4 5 口 口 4 4 6 6 4 4 口 一 口 4 5 6 得 塑一 寿伽0dt 1 2 4 9 一 一岱 芦 一cs r 49 一c j 矽是一对经典形式哈密顿系统的正则变量 满足尘d t 一嚣 警 百o h 因此上 面的薛定谔方程 4 1 变成为经典形式的哈密顿体系 何 一昙s 2 1 正了c o s 0 4 1 0 其极值在p 0 刀处 极值点对应相平面中的不动点 这些不动点对应体系的本征态 在平均场近似下 在系统的相互作用项上外加形式为c c o 1 s i n c o t 的周期调 制 则经典形式哈密顿 4 1 0 变为 日 一i 1s 毛o i s i n 耐 1 正了c s 秒 4 1 1 相应的s 0 的动力学方程 4 7 和 4 9 变为 叠 届如秒 41 2 a 拈一刚 s 砌 一啬c 0 阳 4 1 2 b 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 4 2b e c 通向混沌的相变行为 系统相空间哈密顿系统的演化行为由方程 4 1 2 支配 随着相互作用系数c 0 的 不同出现不同的变化情况 对于这个系统 我们感兴趣的是粒子间相互作用的大小对 系统动力学行为的影响 可令周期驱动频率国取固定值 本文中取国 1 0 同时 为 了方便与量子情况作比较 在数值计算中取初值为s l 口 0 也就是说在初始时 刻 所有的粒子都分布在一个阱中 且两阱的相对相位为o 步长为h 2 万 a 1 0 0 0 计算初始时间为t o 0 结束时间为t 5 0 0 0 0 在计算过程中 我们每隔外加周期驱 动的一个周期2 万 m 取一个值 来做相空间中的p 6 i n c a r e 截面 图4 1 绘出了初值为 j l 口 0 的轨道在相互作用参数c n 取值不同时的相图 图4 2 a 示出了布居数 差对时间的平均值 s 随 的变化情况 图4 1 相平面中系统哈密顿的演化 a b c d 分别表示 c o 1 0 3 0 11 0 1 3 o 时势阱中粒子布居数差和相对相位的关系 济南大学硕士学位论文 图4 2 a 经典情况平均布居数差的平均值随靠的变化曲线 b 粒子数n 5 0 量子情况平均布居数差随靠的变化曲线 如图4 1 a 所示 当c 0 比较小 处于0 c o 2 时 布居数差s 在卜1 1 之间变 化 相对相位0 在 0 2 万 内变化 粒子分布是平衡分布 即约瑟夫森振荡 对应的布 居数差对时间的平均值妇 0 见图4 2 a 中0 c o 2 的区域 随着c 的增强 当 2 c o 反映出粒子在两个阱中分布的平衡程 度 j 0 表明粒子在两个阱中分布不平衡 越趋近于l 粒子数分布越不平衡 表明大多数粒子集中在一个阱中 也就是说 j 越大 自囚禁现象越明显 当c 0 改变范围到1 0 7 c 0 1 2 8 时 相空间出现了不稳定性 混沌 现象 见图 4 1 c 粒子在整个相空间的分布是随机的 使得布居数差的平均值发生突变 并 在零附近波动 见图4 2 a 中1 0 7 c o 1 2 8 后 相空间混沌现象消失 又出现了自囚禁现象 见图 4 1 d j 在 0 1 之间变化 口单调增加 相应的 j 0 接近于s 的初值1 见图 4 2 a 中c o 1 2 8 的区域 混沌现象的出现 可以由最大李雅普诺夫 l y a p u n o v 指数五来表征 最大李雅 普诺夫指数名的计算公式为 5 9 名 1 上yh l 竺塑二婴 鬯 i 昙巫 4 一 i m2 tm 智 穗 j 2 2 2 13 800 1 2 5 周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚性质的影响 其中丁为计算时选取的总的演化时间 m 为数值计算的总步数 在最大李雅普诺夫指数兄的计算公式 4 1 3 中 变量 函 8 0 的计算 由 4 1 2 式的线性化方程 d 6 s 一vi n 0 下坠蠡 s 0 订了知 4 14sin c o a 一v 产 留 s l j d k 4 a m 一s 2 警叫h t n a t 筹肌群阳 4 1 4 b 确定 4 1 4 式描述了由 4 1 2 式确定的系统状态 s 0 的变化率 西 8 0 最大李 雅普诺夫指数旯表征的是这种变化率以指数行为演化的长期平均效果 当最大李雅普 诺夫指数兄 0 时 系统处于混沌状态 且正的力值越大 系统越混沌 当最大李雅 普诺夫指数旯 0 时 系统不处于混沌状态 本文首先用最大李雅普诺夫指数五