第六章 应力应变关系.pdf

第6章 应力应变关系 塑性变形时应力与应变的关系称 为本构关系 其数学表达式称为 本构方程或物理方程 6 1 弹性变形时的应力应变关系6 1 弹性变形时的应力应变关系 6 2 塑性变形时应力应变关系特点6 2 塑性变形时应力应变关系特点 6 3 增量理论6 3 增量理论 6 4 全量理论6 4 全量理论 6 5 应力应变顺序对应规律6 5 应力应变顺序对应规律 主要内容 主要内容 6 1 弹性变形时的应力应变关系弹性变形时的应力应变关系P 55 虎克定律 2 E G 广义虎克定律 xyz yzx zxy 1 E 1 E 1 E x y z v v v xy yz zx zx 2G 2G 2G xy yx E 弹性模量v 泊松比 E G 2 1 v 剪切模量 mm 12 E v xmxmx y z 11 E2G 1 2G 1 2G x y z 1 2 yxyyz xzxz xyzxyyzzx G 比列及差比形式 1 2 xyyzxyyz zxzx xyyzzxxyyzzx G 结论 结论 在弹性变形中包括改变体积的变形和改变形状的变形 前者与球应 力分量成正比 后者与偏差应力分量成正比 写成张量形式 广义虎克定律改写为 弹性变形时的应力应变关系的特点 应力与应变完全成线性关系 即应 力主轴与全量应变主轴重合 弹性变形是可逆的 与应变历史 加载过程无关 应力与应变之 间存在统一的单值关系 弹性变形时 应力张量使物体产生 体积变化 泊松比小于0 5 6 2 塑性变形时应力应变关系特点塑性变形时应力应变关系特点 体积不变 泊松比v 0 5 应力 应变为非线性关系 全量应变与应力主轴不一定重合 塑性变化不可逆 无单值一一对应 关系 与加载路径有关 对于应变硬化材料 卸载后的屈服应 力比初始屈服应力高 A B C D O C D S S a J I A D B C ff F F E O 初始屈服轨迹 后继屈服轨迹 不同加载路线的应力与应变不同加载路线的应力与应变 b a 应力 应变曲线b 屈服轨迹 J I A D B C ff F F EO 初始屈服轨迹 后继屈服轨迹 b J I A D B C ff F F EO 初始屈服轨迹 后继屈服轨迹 b 6 3 增量理论增量理论 又称为流动理论 是描述材料处于塑性状态时 应力与应变增量或 应变速率之间关系的理论 全量应变 前面我们讨论过的应变 都是反映微元体在某一变形过程或 变形过程的某个阶段终了时的应变大小 所以可叫做 全量应变 应变增量 就是变形过程中某一短阶段中的应变 以物体在变形过程中 某瞬时的形状尺寸为原始状态 在此基础上发生的无限小应变就是应变 增量 记为 xzyzxyzyx dddddd 1 Levy Mises理论理论 材料是刚塑性材料 即弹性应变增量为零 塑性应变增量就是总 的应变增量 材料符合Mises屈服准则 每一加载瞬时 应力主轴与应变主轴重合 塑性变形时体积不变 s e xyz123 ijij ijij dddddd0 dd dd 0 y ijij dd 应变增量与应力偏增量成正比 应变增量与应力偏增量成正比 d 为瞬时的非负系数 加载时为变 值 卸载时为0 Levy Mises方程 d d dd d d d x zx x yz x xy z z y y x x 差比形式 d d d d dd d xz xz zy zy yx yx dd mxx xyxmymxy ddd d 22 yx 2 yx d d d 22 zy 2 zy d d d 22 xz 2 xz d d d 222 xyxy 6d6d 222 yzyz 6d6d 222 zxzx 6d6d 2222222 xyyzzxxyyzzx 2 d dd dd dd 6 ddd 3 e 22222222 xyyzzxxyyzzx 2 d dd dd dd 6 ddd 9 e 22222222 xyyzzxxyyzzx 9 d dd dd dd 6 ddd 2 e 222222 xyyzzxxyyzzx 1 6 2 e 2222222 xyyzzxxyyzzx 2 6 e 222 9 d2d 2 ee d3 d 2 e e yxyyz exzzx xyzxxx ddd dddd3 2 e 因此 xmxyz xyz zx zxy xyxyyzyzzxzx 21 dd d d 32 d1 2 d1 d 2 d1 d 2 3d3d3d d d d 222 xx e e e yy e e z e eee eee 2 Prandtl Reuss理论 塑性增量方程2 Prandtl Reuss理论 塑性增量方程 总应变增量由弹 塑性两部分组成 e ij p ijij ddd p ijijij e ijijmij d3 dd 2 11 2 dd dHook 2GE P e e 定律求微分 ijijij ij ijijijm mm 1 d d d 11 2 2G dd d d 1 22GE dd E e p epp d d d d dd xxxxxm 偏应变增量为 因为体积不变 即 ppp ppp p p x p ddd0 ddd d0 3 d dd dd d d d d dd 22 dd d dd 22 dd d dd 22 xyz xyz m e xx e xyxyxy xy x xxxyxy yyz yyyzyz zxz zzzxzx dd GG dd GG dd GG 即 所以 同理 增量理论特点 增量理论特点 Prandtl Reuss理论与Levy Mises理论 的差别在于前者考虑弹性变形而后者 不考虑 都指出了塑性应变增量与应变偏量之 间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得 能表达加载过程的历史对变形的影 响 能反映出复杂的加载情况 卸载时仍按虎克定律求解 p ij d p ij d S 3 2 1 O 面 平行于S沿着屈服表面的法线方向 1 2 3 O x y 4 复杂加载途径 0 0 2 t pr t pr z t pr t pr t pr m 2 0 2 3 1 t pr t pr z 2 0 2 ijij dd 1 0 1 2 0 2 t pr t pr ddd z 由增量理论 所以 例题 已知两端封闭的薄壁圆筒 内径为r 壁厚为 t 承受内压 p 从而产生塑性变形 如果材料是各向同性的 并忽略筒壁上的径 向应力 试求切向 轴向和径向应变增量的比值 所以 解 解 由于 6 4 全量理论6 4 全量理论 简单加载 各应力分量按同一比例增加 应力分量比例增加 中途不能卸载 因此加载从原点出发 应力主轴与应变主轴重合 变形体不可压缩 在上述条件下 小塑性变形的情况下 汉基提出 为瞬时的正值比例常数 在整个加载过程中可能是变量 因为 所以 对于塑性变形相当大的塑性加工问题时 可以忽略弹性应变 坐标轴 取主轴时 注 注 虽然全量理论只适用于微小变形和简单加载条件 但由于全量理论表示的是应力与全应变 一一对应的关系 这在数学处理上比较方便 因此许多人用这个理论解某些问题 近年来的研 究表明 全量理论的应用范围大大超过了原来的一些限制 然而该理论仍缺乏普遍性 一般认 为 研究大塑性变形的一般问题 采用增量理论为宜 3 2 e e mmkg ee 80 25 0 0 2 rz t pr t pr t pr t pr t pr m 2 0 2 3 1 1100 25 42 1200 2 2 2 mmkg mmkg t pr r 个大气压 2 2 13 2 32 2 21 325 42 12003 2 3 2 1 mmkg t pr e 例题 两端封闭的薄壁筒 直径为400mm 壁厚为4mm 承受内压100个 大气压 从而产生塑性变形 如果材料的应力 应变曲线为 试求壁厚的减少量 解 由于 所以 mmkg ee 80 25 0 44 80 325 80 e e e e r e e r t t 2 3 25 3252 3 2 3 ln 0 mm t t tt e 72 3 9288 0 0743 0 2 3 exp 0 0 0 mm tt 285 0 9288 01 0 由应力 应变曲线 由全量理论 所以 6 5 应力应变顺序对应规律应力应变顺序对应规律 塑性变形时 当主应力顺序 123 不变 且应变主轴方向 123 13 0 0 不变时 则主应变的顺序与主应力顺序相对应 即 123 mmm 根据Levy Mises方程 123 123 mmm ddd d 123 ddd 由于初始应变为零的变形过程 可视为几 个阶段组成 在时间间隔t1中 应变增量为 1111 1 2121 1 3131 1 tm t tm t tm t dd dd dd 在时间间隔t2中 1212 2 2222 2 3232 2 tm t tm t tm t dd dd dd 在时间间隔tn中 11 22 33 tnmn tn tnmn tn tnmn tn dd dd dd 由于主轴方向不变 各方向的应变全量 总应变 等于各阶段 应变增量之和 即 11 1 22 1 33 1 n n n d d d 121211122212 tttnn ddd 12 12112212 122