（系统分析与集成专业论文）随机高阶非线性系统的控制器设计与稳定性分析.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“”) | 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士囤论文随机高阶非线性系统 的控制器设计与稳定性分析，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博 士口硕士翻学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外 不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签名：剀勃 日期：洲。6 - 7 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“) 随机高阶非线性系统的控制器设计与稳定性分析系本人在曲皂师范大学 攻读博士口硕士d 学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士母学位论文。 本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位 的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可 以公开发表论文的全部或部分内容。 黜珥 日期：沙f 口6 。7 础睥 群 名名签签者师作导 摘要 在利用李雅普诺夫稳定性理论对随机非线性系统设计全局镇定控制器时，即便对于 简单的线性定常系统，闭环系统也会变成高度的非线性方程，而由此闭环系统所给出的输 入输出信号往往又是复杂的随机过程，所以，“非线性”与“随机 是控制理论研究的主 要困难所在正是由于这一根本原因，控制理论的许多典型而又基础的问题长期悬而未决 本文将着重研究随机高阶非线性系统的状态反馈和输出反馈镇定问题 主要成果包括： 1 第二章研究了一类具有奇整数比次方的随机高阶非线性系统的依概率全局渐近稳 定问题通过采用增加幂次积分方法和选取合适的李雅普诺夫函数，所设计的线性光滑的 状态反馈控制器使得系统是依概率全局渐近稳定的更进一步，我们解决了状态反馈依概 率逆最优问题 2 第三章研究了一类具有奇整数比次方的随机高阶非线性系统的输出反馈控制问题 通过采用增加幂次积分方法，引入一个新的标量变换和选取合适的李雅普诺夫函数，所设 计的输出反馈控制器使得闭环系统是依概率全局渐近稳定的，输出被几乎处处调节到原点 我们也解决了依概率逆最优问题 关键词随机高阶非线性系统，奇整数比次方，状态反馈控制，输出反馈控 制，逆最优镇定，依概率全局渐近稳定 i a b s tr a c t w h e ng l o b a ls t a b i h z a b l ec o n t r o l l e r sf o rs t o c h a s t i cn o n l i n e a rs y s t e m sa r ed e s i g n e db y u s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , e v e nf o ras i m p l el i n e a rt i m e - i n v a r i a n ts y s t e m ，i t sc l o s e d - l o o ps y s t e mc a 3 ：lu s u a l l yb et r a n s f o r m e di n t ot h eh i g h l yn o n l i n e a re q u a t i o n t h ei n p u t - o u t p u ts i g n a l sg i v e nb yt h ec l o s e d - l o o ps y s t e ma r eu s u a l l yc o m p l e xs t o c h a s t i cp r o c e s s ，s o “n o n l i n e a r a n d “s t o c h a s t i c a r et h em a i nd i f f i c u l t yf o rc o n t r o lt h e o r yi n v e s t i g a t i o n b e c a u s eo ft h i se s s e n t i a lr e a s o n ，m a n yt y p i c a la n db a s i cp r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r ya r e n t b e e ns o l v e df o ra l o n gt i m e t h i sp a p e rw i l lf o c u so nt h es t u d yo ft h ep r o b l e m so fs t a t e - f e e d b a c ka n do u t p u t f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o rs t o c h a s t i ch i g h - o r d e rn o n l i n e a rs y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n si n c l u d e ： 1 t h es e c o n dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo f g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei np r o b - a b i l i t yb ys t a t e - f e e d b a c kf o rac l a s so fs t o c h a s t i ch i g h - o r d e rn o n l i n e a rs y s t e m sw i t har a t i o o fo d di n t e g e r sp o w e r b ye x t e n d i n gt h ea d d i n ga p o w e ri n t e g r a t o rt e c h n i q u ea n dc h o o s i n g a na p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n ，al i n e a rs m o o t hs t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e ri s e x p l i c i t l y c o n s t r u c t e dt or e n d e rt h es y s t e mg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei np r o b a b i l i t y f u r t h e r m o r e ， w ea d d r e s st h ep r o b l e mo fs t a t e - f e e d b a c ki n v e r s eo p t i m a ls t a b i l i z a t i o ni np r o b a b i l i t y 2 t h et h i r dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo fo u t p u t f e e d b a c kc o n t r o lf o rac l a s so f s t o c h a s t i ch i g h - o r d e rn o n l i n e a rs y s t e m sw i t har a t i oo fo d di n t e g e r sp o w e r b ye x t e n d i n g t h ea d d i n gap o w e ri n t e g r a t o rt e c h n i q u e ，i n t r o d u c i n gan e wr e s c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n ，a n d c h o o s i n ga na p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n ，a no u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e ri sc o n s t r u c t e dt o r e n d e rt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei np r o b a b i l i t ya n dt h eo u t p u t c a nb er e g u l a t e dt ot h eo r i g i na l m o s ts u r e l y f u r t h e r m o r e ，w ea d d r e s st h ep r o b l e mo fi n v e r s e o p t i m a ls t a b i l i z a t i o ni np r o b a b i l i t y k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ch i g h - o r d e rn o n l i n e a rs y s t e m s ，ar a t i oo fo d di n t e - g e r sp o w e r ，s t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l ，o u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l ，i n v e r s eo p t i m a l s t a b i l i z a t i o n ，g l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i z a t i o ni np r o b a b i l i t y i i 目录 摘要i 第一章预备知识1 第二章具有奇整数比次方的随机高阶非线性系统的状态反馈镇定4 2 1引言与问题描述4 2 2 控制器的设计与分析5 2 3 仿真例子1 1 2 4 结论1 3 第三章具有奇整数比次方的随机高阶非线性系统的输出反馈镇定1 4 3 1引言与问题描述1 4 3 2 输出反馈控制器的设计1 5 3 3控制器分析2 4 3 4仿真例子2 7 3 5结论2 9 第四章全文工作总结与展望3 0 参考文献3 2 作者攻读硕士学位期间完成的论文3 6 致谢3 7 第一章预备知识 全文为简单起见，酞+ 表示所有非负实数集，r n 表示佗维欧氏空间对于一个给定 的向量或矩阵x ，x ? 表示它的转置，r n x ) 是方阵x 的迹，i x l 表示向量x 的欧几 里得范数表示i 阶连续可微和函数集连续、严格单调、零点等于0 的全体函数 7 ( ) ：r + hr + 称为疋类函数；若l i m 。，y ( s ) = o o ，则称这类尼函数为瓦类函数； r + r + 到r + 的函数( s ，t ) 疋c 表示对给定的t ，p ( ，t ) 瓦，而给定8 ，卢( s ，) 是单调下 降的且l i m ( s ，t ) = 0 对于一个j i c o 。类函数7 ，它的导数存在且为咒类函数，岛表 示一个变换岛( s ) = s n ) 一1 ( s ) 一，y ( ( ，y ) 一1 ( s ) ) ，其中 ) 一1 ( s ) 为掣的逆，l s v ( x ) 全瓦o v ，( z ) ， 戤= 口r ：q 1 ，q = 景1 ，m ，扎为奇整数 考虑如下的随机非线性系统 如= f ( x ) d t + g t ( z ) 反j ，z ( o ) = z o r ? ，( 1 1 1 ) 其中z p 是系统状态，u 是定义在完备概率空间( g t ，厂，户) 上的m 维的标准维纳过程 布莱尔可测函数，：p 一p ，g t ：融一即m 关于z 是局部李普希兹的 定义1 1 n ：对任意的函数v ( x ) c 2 及相应的随机非线性系统( 1 1 1 ) ，我们定义如 下的微分算子c ： 州= 百o r ( x ) 他一1 n 掣 z ) ) ( 1 1 2 ) 定义1 2 n ：对于随机非线性系统( 1 1 1 ) ，当f ( o ) = 0 ，g ( 0 ) = 0 ，如果对任意的e 0 ， t 0 和x 0 黔 o ) ，存在一个尼c 类函数p ( ，) 使得p i z ( 亡) i 0 ，下面的不等式成立 i z i c i 可i d 葡c 制i 计d + 甬d 一妒i d 1 - 引理1 3 【3 5 】：设z 1 ，x np 为正实数，则 ( x l + + x n ) p m a x n p 一1 ，1 ) ( 贯+ + 瑶) 引理1 4 【2 4 】：设p 戤，z ，y 为实值函数，则对任意的常数c 0 ，如下的不等式成立 l 护一圹l p f z y l ( x 一1 + 旷一1 ) c i z y l l ( x y ) p 一1 + 旷一1 i 引理1 5 ：设z ，y 为任意的实数且p 砒，则 一( x - - y ) ( 矿一旷) 一而1 ( x - y ) 卅 证明：因为p 时，由引理1 1 ，我们有 i z 一可l p 2 p 一1 l 扩一旷i 在( 1 1 3 ) 两边同时乘上l z y i 可得 l z y i p + 1 2 p 一1 i z 一秒i i 矿一圹i 我们考虑如下两种情况： 情况1 ：当z y 0 ，( 1 1 4 ) 变为 ( x 一耖) 升1 2 p 一1 ( z y ) l x p 一旷i ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 容易证明，对于任意的z i i ( ，p 戤，f ( z ) = x p 是增函数，因此护旷，由此可得 ( x y ) p + 1 2 p 一1 ( z 一) ( 妒一y p ) 成立 情况2 ：通过对称性，当z y 0 ，c 2 0 ，和一个非负函数w ( x ) 使得 a l ( i x l ) y ( x ) 口2 ( i x l ) ，c y 一c 1 ( z ) + c 2 ， 成立，则 ( i ) 对于系统( 1 1 1 ) ，在 0 ，o o ) 上存在几乎必然惟一的解； ) 当c 2 = 0 ，f ( o ) = 0 ，g ( o ) = 0 ，w ( x ) = q 3 ( ) ，其中q 3 ( ) 是一个瓦类函数，则平 衡点z = 0 是依概率全局渐近稳定的且尸 n m t l z ( ) i = o ) = 1 考虑如下的随机非线性系统 如= ，( z ) 出+ 雪1 ( z ) d 4 - 彘( z ) 让r d t ，t , o 乏n ，( 1 1 5 ) 其中z 和u 的定义如( 1 1 1 ) ，：r n _ r n ，雪1 ：郧一r n m 和奶：r n _ r n 为局部李普 希兹的布莱尔可测函数，“是系统输入我们给出如下的依概率逆最优镇定问题的解 引理1 7 - 考虑如下的控制律 u = 口 ) = 一 冗( z ) 以( l 彘v ) t 刍制麦辫 ；， ( 1 1 6 ， 其中y ( x ) 是备选李雅普诺夫函数，7 ( ) 为瓦类函数，它的导数存在且为i c 类函数， r ( x ) i i r ( z ) r 0 为一个矩阵值函数如果控制律( 1 1 6 ) 使得系统( 1 1 5 ) 关于y ( x ) 是 依概率全局渐近稳定的，则控制律 乱+ = q + ( z ) = 一 箬冗( z ) 一1 ( 如y ) 丁尘过亍苫兰铲 ，p 2 ( 1 1 7 ) 解系统( 1 1 5 ) 的依概率逆最优镇定问题，通过使得代价函数 j c 乱，= e 1 的情况下，类似于确定性系统 9 】， 2 5 及相关论文，系统( 2 1 1 ) 的雅克比线性既不可控也不可反馈线性化，因此现存的设计工具很难应用于系统( 2 1 1 ) 最近， 3 2 】首先解决了带有随机逆动态的随机高阶非线性系统的状态反馈镇定，f 2 7 1 ，f 2 8 1 ， 3 3 1 分别考虑了更为一般的具有不同系统结构的随机高阶非线性系统的状态反馈镇定问题 所有存在的状态反馈镇定的结果都是基于随机非线性系统的次数为奇整数然而对于具有 4 奇整数比次方( 既r 黔) 的随机高阶非线性系统，据作者所知，这类系统的状态反馈镇定 问题还没有被考虑 本章通过采用增加幂次积分方法和选取合适的李雅普诺夫函数，我们给出了一个系统 的设计方法，并得到了光滑的状态反馈控制器，此控制器保证闭环系统在原点是依概率全 局渐近稳定的更进一步，我们解决了状态反馈的依概率逆最优问题 2 2 控制器的设计与分析 本章的目标是对随机高阶非线性系统( 2 1 1 ) 设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统 在原点是依概率全局渐近稳定的，并且此控制器是依概率最优的本章的控制目标基于下 面的假设条件 假设2 1 ：对每一个也( 亡) ，i m - - 1 ，钆，存在正实数和胁使得 0 0 为常数， 通过( 1 1 2 ) ，( 2 1 1 ) 和假设2 2 ，可得到 c = 七g ( d 1 ( 亡) + ) ) + 互3 后1 等n 1 ( z 1 ) 好( z 1 ) ) = 加) 后l g z ；+ 碉 ( z 1 ) + 互3 磷m z l ) 1 2 七， ( d ，( 亡) z ；一入z 2 。) + a 七。；z 2 + 7 + a l + 兰。；) 后。；+ r 选取第一个光滑的虚拟控制如下 z 2 - = - - 5 1 乳( 坐等塑) 孝，c i , 1 o , 并且注意到一g z 0 ，0 a 0 为设计参数，q 一1 j ，如，= 1 ，i 一1 ) 为正常数接下来，我们将证 明( 2 2 1 4 ) 对于第i 个备选李雅普诺夫函数 k 1 ，兢) = k 一1 1 ，戤一1 ) + 互1 能龟4 仍然成立 由( 2 1 1 ) 和( 2 2 1 3 ) ，我们有 和 已= 砚+ 玩一l x i 一1 + + 玩一1 6 1 2 1 ( 俐z r + 1 + bd k ( t ) z ；+ 1 + 胞) + ( 孔) ) d t 、 k = l k = l + ( + 善i - 1 谢删) t 山 、 七= 1 7 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 通过( 1 1 2 ) ，( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 7 ) 可得 c k 一q l , j f j 3 + + 也( 亡) g z r + 1 + p 一1 i 已一1 1 3 i z ；一x i 。7 i 懈苫i - 1 城略，+ g ( 蒯+ p i - 1 山删引) 惫= 1 、 _ j c = 1 7 + 互3 畅白2 晚( 毛) + k = l b i 一1 b k c k ( x k ) 2 ( 2 2 1 8 ) 我们主要化简( 2 2 1 8 ) 中的最后四项通过( 2 2 1 3 ) ，引理1 1 1 4 和假设2 1 ，2 2 ，我们有 肛一1l 邑一11 3 i z ；一x i i 肛c 一1 l & 一1 1 3 i 毫l l ( x i z ：) r 一1 + x i 。一1 l ( b i , 一1 ，1 + 玩，钳) g j + p i ，1 等打， i 一1 g 玩- 1 一b k d k ( t ) x r k + 1 k = l t 一1 p i 已1 3 b i 一1 b k k + 一如靠l r k = l i - 1 2 卜1 弘钟 k = l b i 一1 k ( 1 & + | r + 陋七& l ) = 2 r 一1 弘l & 1 3 ( b i 一1 b 2 b l + 7 l 1 l + ( 玩一1 b 1 + b i 一1 6 3 醍+ r ) i 已l r + + ( 玩一玩一2 + 醒写) i 已一1 i r + 阮一，l 毛i ) b i ，1 ，2 + r + + b i , i - 1 , 2 受譬+ 风，2 毋+ r ， 等 ( 蒯+ 苫i - - 1 懒溆) ) 、 七= 1 i i - 1 ki 口t 乜钟( i x d r + 坑k 吲r ) m - - - - 1 k = l j = l = 口l i & 1 3 ( d i 1 ll x , i + 也，2 ，1i z 2 i r + + 哦，扛1 ，1 i 戤一1 1 7 +k i r ) a l k , l , i 1 3 ( ( 也，1 ，1 + 2 一1 哦，2 ，1 虻) 1 1 7 + 2 r - 1 ( 画，2 ，1 + 反3 1 ) l 已f r + + 2 , - 1 ( d i ，i 一1 ，1 + 6 0 1 ) i & 一l i + l 矗i ) b i , 1 ，3 ；+ r + + b i , i 一1 ，3 等+ p i ，3 毋+ r ， 8 ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ：! t 一1 2 3 口2 2 龟2 ( ( 魂，1 ，2 + 2 r 也，2 ，2 6 + r ) 莓：+ r + 2 r ( 也，2 ，2 + 反，3 ，2 6 扩r ) 十r + + 2 r ( 反乒一l ，2 + i b 。l 一+ r c l 一+ r + 2 i 毋+ r ) 玩，l 4 扣+ h i , i - l , 4 孽等+ 胁，4 毋扣， ( 2 2 2 2 ) 其中氏1 ，氏2 ，俄，3 ，店，4 ，b i , , - 1 , 1 , 玩，i ，l ，玩，1 ，2 ，b i , i - l , 2 ，玩，1 ，3 ，b i , i - l , 3 ，玩，1 ，4 ，玩， 一1 ，4 为正常 数，并且有 拟控制器 使得 q 12 臼一1 ，1 一魄，1 ，2 一h i , 1 ，3 6 i ，1 ，4 0 ， c 五, i - 22 q 1 t 一2 6 t ，i 一2 ，2 一玩，t 一2 ，3 一玩，t 一2 ，4 0 c i , i - 1 ：q 一1 i 一1 一b i ，t 一1 ，1 一b t ， ，1 一玩，i l ，2 一b i ，l 一1 ，3 一玩l 一1 ，4 o z i + - 】2 6 i 已，z 。2 一昏， 6 ；：( 警) 5 ，c i ，t 0 ， k5 一白，1 ；竹一q ，t - l g 等一q t g 扣+ 孽( 也( t ) 略1 一入z 算1 ) 一q ，专 扣一一q ，扣1 9 等一q t 毋扣+ 噍( 亡) g ( 珞1 一z 算1 ) 墨一q ，j g 竹十肛i 已1 3 1 z r + 一z 篝，l ， j = l 其中风：a ，1 + 胁，2 + p i ，3 + 风，4 为正实数 当t ：n 时，通过选取实际控制律 u = z ：+ 】2 - b - - o n , n , 0 1 n5 u = z 二+ 12 5 9 n 0 ， ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) h； 沥 竹以、夕磅飞，砖 、， 卜 站 缸 似 斗 巩 一 十 钆 以 卅2 巩 玩 猡 似胤妃一睁 脚卯申 如 舻，氟卜弋磁 2 t q ，p m 瑶 魄 魄 忍 ； 争 一 v i 二砸一1臣 蛐一如 山“一 地产 坫烈 i i 咿 0 为标量值函数选取 7 ( s ) = 南s 学， 则( ) 1 ( s ) = s r 3 ，将其代入t t ( s ) 的定义得 选取 ) 一南s 字= 熹s 字 通过( 2 2 3 3 ) ，( 2 2 3 5 ) ，我们有 雌，= ( 字幽) 一， 一陋岛忙( 字娥) 南眇 = 一( 3 南铲3 字坛) ； = 一k 厶， ( 2 2 3 2 ) ( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 4 ) ( 2 2 3 5 ) ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) ( 2 2 3 7 ) 与( 2 2 2 6 ) 具有相同的形式由于( 2 2 3 7 ) 使系统是依概率全局稳定的，通过 ( 1 1 7 ) ，( 2 2 3 2 ) ，( 2 2 3 4 ) 和( 2 2 3 6 ) ，我们可以得到逆最优控制器( 2 2 2 9 ) 再由( 1 1 8 ) ， ( 2 2 3 4 ) 和( 2 2 3 6 ) ，我们可得代价函数( 2 2 3 0 ) 2 3仿真例子 考虑如下的系统 5 1 4 如，2 z ；出+ 孟z 幽， 如2 = ( ( 6 + c o s 亡) u + 亏1 z ) 出+ 菊1 z 2s i n z 。幽， ( 2 3 1 ) 1 1 其中d 1 ( ) = 1 ，c f 2 ( 亡) = 6 + c o s t ，f l ( z 1 ) = 0 ，1 ( z 1 ) = 击z ；3 ，厶( 牙2 ) = z 5 1 3 ，2 ( 牙2 ) = l x 2s i n x 2 显然a 1 = 肛1 = 1 ，a 2 = 5 ，肛2 = 6 我们需要证明如下的不等式： 嘉勋l扣2sinx2 面z 2ls 而积 ( 2 3 2 ) 当i x 2 1 = 0 时，可得i 击z 2 s i n z 2 l = 击z ；3 ；当0 1 = 5 1 0 为尺度因子，妒1 = 矽1 ，慨= n 1 r + 丑+ l l r i - - i ，i = 2 ，n 由n 1 和假 设3 1 容易得到 妒。i = i 矽，l 口切，l 半= 口l z 。i 半， 蚓= 丽尝。一南( 恢i 字+ + i 蚓字) ，江2 ，n ( 3 2 3 ) 输出反馈控制器的设计可以分为两部分 1 5 3 2 1 状态反馈控制设计 器 在这个子节中，在假设所有状态可测的情况下，我们将构造出部分线性状态反馈控制 第1 步：引入6 = x l ，构造第一个李雅普诺夫函数( 善1 ) = j p l 甜，其中p 1 0 为常数， 通过( 1 1 2 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，和n 1 ，可得 c k ( 1 ) =脚鹩r 十互3 p 1 器n 洲z 。) 妒1 ( z 。) t ) = 嘶，器z ；+ 耋p 。g 协( 1 2 0 爝( 铲谚) 协昏升z 铲7 ) 选取第一个光滑的虚拟控制如下 我们可得 z 2 = m b l 6 山= ( 等+ ，e l , 1 o , c ( f 1 )n ( - c z ，1 + 7 + p 1 ；( z ；一x 2 ) ) 第2 步：定义已= x 2 一x 2 = z 2 + b l x l 由( 3 2 2 ) 得 d 已= n ( x ；+ b l x ；) d t + ( 妒2 ( 牙2 ) + 6 1 妒l ( z 1 ) ) r d w ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 选取李雅普诺夫函数k 幅，已) = 随) + j p 2 酲，其中p 2 0 ，通过( 1 1 2 ) ，( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) ， 可得 c k ( 矗，已) n ( - c l ，1 + r - 4 - p l g ( z ；一x 2 + ) ) + n p 2 9 ( z ；+ 6 1 z ；) + 耋p 。彦i 妒。( 牙2 ) + 6 。妒。( z ，) 1 2 n ( - c l ，1 + r + p 2 2 。x a + p l g ( z ；一x 2 r ) + b - c ，。3 x 。r + 互3 忱e 2 2 似动+ 6 ，妒。( z 1 ) | 2 ) 1 6 ( 3 2 8 ) 使用引理1 1 ，1 2 ，1 4 ，和( 3 2 3 ) ，我们有 p l g ( z ；一x 2 )c p l 划3 i 已ii ( z 2 一z ；) 一1 + z 一1 c p l l 1 1 3 i 已i r + c p l 6 r _ 1 i 1 1 2 扣l 已 ( b 2 ，1 ，1 + b 2 ，2 ，1 ) f ；+ + p 2 ，1 露+ r ， b l p 2 器z ；b l p 2 i 已1 3 i 已一5 1 6 1 2 - 1 b l p 2 1 2 1 3 ( 1 6 1 7 + 1 6 1 11 7 ) b 2 ，1 ，2 r + p 2 ，2 9 押， 主p 。髫似互2 ) + 6 。妒。( z 。) 1 2 3 p 2 器( 妒弛) + 6 2 。妒。2 ( z 。) ) 3 p 2 n 2 器( ( 2 1 一；1 + 6 1 2 ，1 1 + t + 2 n 1 一；z ! + ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 3 p 2 口2 器( ( 2 1 一；1 + 磅+ 2 1 + r n l 一；6 ；+ r ) f ；+ r + 2 1 + r n l 一；+ r ) 5 2 ，1 ，3 器扣+ p 2 ，3 9 秆， ( 3 2 1 1 ) 其中, 0 2 ，1 ，p 2 ，2 ，以，3 ，b 2 ，1 ，1 ，b 2 2 1 2 ，b 2 ，1 ，2 ，b 2 ，1 ，3 为一些待设计的正常数将( 3 2 9 ) ( 3 2 1 1 ) 代入 ( 3 2 。8 ) 得 c k ( 6 ，已) n ( - c 2 ，1 ；+ r + 优g ( z ；一x 3 ) + p 2 r ，。3 x 。* + p 2 露+ r ) ，( 3 2 1 2 ) 其中c 2 ，1 = c 1 ，1 一b 2 ，1 ，1 5 2 ，2 ，1 一b 2 ，1 ，2 一b 2 ，1 ，3 0 ，p 2 = p 2 ，1 + p 2 ，2 + 见，3 选取光滑的虚拟控 制器 z ；= - b 2 2 ， 将( 3 2 1 3 ) 代入( 3 2 1 2 ) ，我们有 c k 幅，) 。f 。 6 25 l c 2 2 + p 21 芦1 ) ，c 2 ，2 0 ， n ( - c 2 ，1 + r c 2 ，2 琵+ r + p 2 9 ( z ；一x 3 ) ) ( 3 2 1 3 ) 第i ( i = 3 ，n ) 步：假设在i 一1 步，存在一组虚拟控制器x 。1 ，z ；，定义如下 z ：= 0 ，1 = x l z ；= x l ， x k = 一k 一1 & 一1 ，& = x k x k = x k + b k 一1 & 一1 ，k = 2 ，i ， 使得第i 一1 个备选李雅普诺夫函数k 一( 1 ，毛一1 ) = i 1 善j 乃g 满足 酬矗胚j 譬+ r _ p i - 1 j = l叫r ，) ， c k 一( 6 ，已一- ) ( 一q 一j 譬甚，( z ；一z ；r ) ) ， 1 7 ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) 其中b l ，b i - 1 0 为设计参数，q 一1 j ，磅，0 = 1 ，i 一1 ) 为正常数我们将证明( 3 2 1 5 ) 在第i 步仍然成立 由( 3 2 2 ) 和( 3 2 1 4 ) ，我们有 和 6 = x i + 玩一l x i 一1 + + 玩一1 b l x l ， 始= e 。，+ 萎i - 1 玩一- 6 七z ；+ ，) 班+ ( 仇c 副+ 喜i - 1 玩一玩c 氟，) t 咖郫2 1 6 ， 考虑如下的备选李雅普诺夫函数 k ( 6 ，锄= 一1 ( 6 ，& 一1 ) + 五1 肌白4 ， 其中p i 0 为常数由( 3 2 1 5 ) 一( 3 2 1 7 ) 可得 c k ( 6 ，已) n ( 一q 一1 j g + r + a 毋z o 。+ p t 一暴，( z ；一x i 。r ) + a 毋 、 j = 1 b i - 1 6 蠡z ：+ 1 + 矽3 白2 通过( 3 2 3 ) ，( 3 2 1 4 ) ，引理1 1 1 4 ，我们有 秘 一1 蛾( 毛) + 玩- 1 k 仇( 列 k = l 鼽一1 甚1 ( z ；一x i 盯) c p i 一1 i 已一1 1 3 i & l l ( x 一z ；) r 一1 + z ：r 一1 一1 ( 兢，t 一1 ，1 + 玩， ，1 ) g 譬+ p i ，1 9 + r ， i 一1 轨等玩一t b k x k + 。鼽l 已1 3 b i 一，k i 靠+ 。一b k s k r k = l k = l t 一1 忱( 磊)