（应用数学专业论文）弯曲与扭转联合作用下一类非线性梁方程的初边值问题.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 弯曲与扭转联合作用下 一类非线性梁方程的初边值问题 摘要 目前 由于实际问题和其它学科的推动 以及数学自身的发展 使偏 微分方程成为了数学理论与实际应用之间的一座重要的桥梁 在自然科学 和工程技术领域很多重大问题都可以归结为非线性偏微分方程的研究 因 此 非线性偏微分方程是偏微分方程的重要研究领域 非线性双曲型偏微分方程是非线性偏微分方程的一个重要组成部分 目前关于它的定性研究主要是以局部解的存在性 整体解的存在性 正则 性 及能量衰减估计等为主 本文以力学中弯曲与扭转联合作用下具有结构阻尼的振动问题为背 景 建立如下非线性偏微分方程组 豇埘 五 4 一 口 j 1 叫2 d x f f i m 出 h 五 1 c f i y i i 6 v 4 1 一风v 2 2 2 并在初始条件 和边界条件 比 0 五 o u 3 o o 口 o 1 4 o f u x f 2 o f u 2 1 r 0 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 v o f v 1 f y 2 0 f v c 动 1 f 0 6 下 研究了该方程组的整体弱解 强解和古典解的存在 唯一性 具体研究内容如下 首先 对与本文相关的非线性偏微分方程 组 的发展和研究现状进 行了简单的总结和评述 其次 文章给出了一些重要概念和引理 并对部分符号做了说明 第三 利用g a l e r k i n 方法证明了方程组 1 一 6 的变形问题 丢 驴 c 丢 妒 丢 2 9 2 2 伊 2 一缸 仆 1 2 d x p m d x u 2 驴 驴 c 丢 卅 丢帅 州v 2 n d o v 2 q t 厶劢 整体弱解的存在 唯一性 第四 证明了问题 1 6 强解的存在 唯一性 第五 进一步证明了问题 1 一 6 经典解的存在 唯一性 关键字 弯曲与扭转联合作用 非线性偏微分微方程组 初边值问题 g a l e r k i n 方法 太原理工大学硕士磷究生学位论文 l n 重t l a l b o u n d a r yv a o u ep r o b l e m sf o rak 薹n do f n o n l i n e a rsys t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a b s t r a c t p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r i d g eb e t w e e nm a t h e m a t i c s t h e o r ya n da c t u a la p p l i c a t i o n t h er e s e a r c ho np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s e d o np r o b l e mi np h y s i c so rm e c h a n i c sa n ds oo n i sn o to n l yam o s ti m p o r t a n t c o n t e n to ft r a d i t i o n a la p p l i e dm a t h e m a t i c sb u ta l s oas i g n i f i c a n tp o r t i o no f m o d e mm a t h e m a t i c s w i t ht h er e s e a r c hp r o g r e s s i n g t os o m ep r o b l e mt h a tc a n b ea p p r o x i m a t e l ys o l v e df o r m e r l yw i t hl i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w e m u s tc o n s i d e rt h ee f f e c to fn o n l i n e a rf a c t o rn o w s o t h es t u d yo np a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nf o c u s e so nn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e q u a l i t a t i v ea n a l y s i st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sv e r yd i f f i c u l t a n d i ti sab i gt r o u b l et od e a li ti nac o m m o nw a y j u s ta sl i n e a re q u a t i o n s w h e n s t u d yt h e m w e a r ea p tt oc o m b i n er e l e v a n ta c t u a lm o d e lt i g h t l y i nr e c e n ty e a r s t h e q u a l i t a t i v es t u d y o nn o n l i n e a rq u a l i t a t i v e p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nm a i n l yf o c u s e so nt h ee x i s t e n c eo fp a r t i a ls o l u t i o n s g o b a l 1 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 s o l u t i o n sd o n te x i s tp e r h a p s t h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n s r e g u l a r i t ya n d t h ee s t i m a t i o no nt h ee n e r g yd e c r e a s e i nt h i sp a p e r w ep r e s e n ts o m er e s u l t sc o n c e r n i n gt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a r s y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 历 硝 z i 4 4 一 口 胪 1 2 d x u o u o d x 甜 2 石 1 qq 硝 西 钔一成 2 f 2 t 2 t h ea b o v es y s t e mi sam a t h e m a t i c a lm o d e lw h i c hd e s c r i b e sc o u p l e df l e x u r a la n d t o r s i o n a lo s c i l l a t i o n so fa no p e nc r o s s s e c t i o nb e a m w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo f f i n d i n g a n dv s o l u t i o n so f t h es y s t e m i 2 v e r i f y i n gt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s u x o u o 工 a x o 甜l x v x 0 v o x 口 x 0 l x u 0 u 0 f 甜但 0 u 2 0 f o v 0 v 0 1 2 o 1 2 1 o t h ep a r t i c u l a rc o n t e n ti sf o l l o w i n g 3 4 5 6 1 w em a d es i m p l es u m u pa n dc o m m e n to nt h ed e v e l o p i n ga n da c t u a l i t yo f a t u d yo np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dc o m m e n to nt h ed e v e l o p i n ga n d a c t u a l i t yo fs t u d yo np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n de q u a t i o n sr e l e v a n tw i t ht h i s p a p e r 2 w eg i v es o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n di e m m a s 3 w i t hg a l e r k i n m e t h o d t h r o u g ht h r e es t e p s a p p r o x i m a t es o l u t i o n p r o p h e t i ce s t i m a t e c o n s t r i n g e n c y w ei m p a r t e dt h ep r o v et ot h ee x i s t e n c ea n d 太原理工大学硕士研究生学位论文 u n i q u e n e s so f w e a ks o l u t i o n so fn o n l i n e a rs y s t e mo fb e a me q u a t i o n s 1 一 6 4 p r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t r o n gs o l u t i o n 5 p r o v e dt h ee x is t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ec l a s s i c ss o l u t i o n k e y w o r d s f l e x u r a la n dt o r s i o n a l n o n l i n e a rs y s t e mo fp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s g a l e r k i nm e t h o d v 太原理工大学硕士研究生学位论文 工2 c q c q c 7 a d 口甜 h q h f q i 1 0 忆 r 0 t h p o 丁 日 符号说明 r 2 中的开子集 如q o 1 x o 1 q 上r n 次连续可微函数全体 c q n c q 即无穷可微连续函数全体 在q 中具有紧支集的c q 的函数 u 的t 2 阶广义导数 h q h 2 q 函 d a ur q h 聊 c 孑 q 在h q 中的闭包 h i l b e r t 空间r q 上的内积 h i l b e r t 空间l 2 q 上的范数 b a n a n c h 空间x 中的范数 从 o 丁 到h i l b e r t 空间h 的平方可积函数全体 从 o 丁 到h i l b e r t 空间h 的p 函数全体 r o r h 从 o 丁 到h i l b e r t 空间h 的本性有界函数全 声明尸明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在指导教师的指导下 独立进行研究所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果 对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本声明的 法律责任由本人承担 论文作者签名 车函驾 日期 加 舌 6 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管 使用学位论文的规定 其 中包括 学校有权保管 并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件 学校可以采用影印 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文 学校可允许学位论文被查阅或借阅 学校可以学术交流为目的 复制赠送和交换学位论文 学校可以公布学位论文的全部或部分内 容 保密学位论文在解密后遵守此规定 签名 盐函荔日期 地星 f z 导师签名 日期 太原理工大学硕士研究生学蕴论文 第一章绪论 k f c h h o f f 型方程研究掇述 偏微分方程是数学理论与实际应用之间的 座重要的桥粱 很多领域中的数学模型 都可以用偏微分方程来攒述 例如许多重要的物理 力学学科魏基本方程本身就是偏微 分方程 从微积分理论形成后不久 长裳以来 人们一直用偏微分方程来攒述 解释或 预见各种自然现象 并利用各门学科和工程技术 取得了显著成效 以应用为目的 或 以物理 力学等其它学科 包括数学的其它分支 中的闯题为背景的编微分方程豹研究 不仅是应雳数学的传统分支 丽鼠是当代数学中的一个重要维成部分 偏微分方程作为数学的一个分支独立地加以研究是予十八世纪初开始的 基于物 理 力学 凡鸯学等方嚣豹需要 首先热以研究的是三种基本线性方程 波动方程 热 传导方程秘调秘方程 并以多元徽积分学秀主要工具 形成了许多至今仍在广泛使用的 有效方法 这都属于经典偏微分方程理论的范畴 其后 一方面由于实践中不断提出新 豹研究谍题 磊计算机鳇出现为偏微分方程韵研究戏果提供了强有力的实现手段 因两 编徽分方程的应用领域翦所未觅媳扩大了 另 方面 大量素材麓积桑进 步提出了将 它系统化的任务 随之 在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的泛函分析方法 为处理 线性及非线性编微分方程靛闻题提供了一个强有力的框架和工具 并在实践中己得到广 泛莳应用 之后 囊现的广义函数 拟微分算予 f o u r i e r 积分算子 偏局部分柝 超函 数等新的强有力的理论和工具 不仅极大地改变了线性偏微分方程的面貌 并开始应用 手处理非线性编微分方程翡问题 非线性双曲型偏微分方程是非线性偏微分方程酶一个重要组成帮分 酲前关于它酌 定性研究主要以局部解的存在性 整体解的存在性 正则性 及能量衰减估计等为主 懿e b i h a r ay i h y a m a c hy f 魏 a r o s i oa g a r a v a l d is t 3 1 疆究了定义在 维空闻孛有巽开 集q 上的退化双曲方程 k r i c h h o f f s t r i n g 嚣 国 蠢妒1 2 鳓封 2 o 1 1 1 q 其中掰 b 是实数 局部解的存在性 o n ok t 如5 1 和m a n f r i nr f 6 分别研究了无界区域上 太原理工大学硕士研究生学位论文 具有阻尼的退化k r i c h h o f f 方程 西一 口 6j 1 1 1 2 d x u 2 z i 0 q 1 1 2 并给出了系统在某些条件下不存在整体解 而在另外的条件下及某个s o b o l e v 空间上 给出了整体解的存在 唯一性及渐近性证明 w e b bgf 1 7 1 m a s s a t tp t 8 1 和o n ok 1 9 则 研究了强阻尼退化非线性k r i c h h o f f 型波动方程 西一 口 6 胪 1 2 出 甜 2 枷 0 1 1 3 q 整体解的存在性 渐近稳定性及爆破性质 o n ok 1 1 0 1 k o u e m o u p a t c h e us 1 1 和a a s s i l a m 1 1 2 1 研究了非线性阻尼作用下的非线性k r i c h h o f f 型波动方程 舀一 口 6 j 1 甜 1 1 2 d x u m g z j 0 整体解的存在性和能量指数衰减估计 1 1 4 上述是关于k r i c h h o f f 型弦方程的一些结果 下面对非线性k r i c h h o f f 型屈曲梁 方程的研究结果罗列如下 d i c k e yrw 1 1 3 1 和p e r e i r ad c 1 等研究了轴向力作用下的非线性屈曲梁方程 西一铡 4 一 口 6 胪 1 2 出 甜 2 0 1 1 5 整体解的存在 唯一性及正则性 d eb r i t oeh i 1 b l i e rp t l 6 i d eb r i t oeh 1 1 7 1 和n i s h i h a r a k 给出了上述屈曲梁方程在加入阻尼后系统的整体解的衰减估计 另外 g u p t ac p 1 9 1 和s e n k y r i km 1 等对某些外载荷作用下非线性弹性梁方程也给出了解的存在唯一性定 理 b a l l l 2 1 1 研究了较一般的具有结构阻尼的非线性梁方程 u 4 脚 一 口 6 胪 1 2 d x 8 j f i u i d x 2 0 1 1 6 的稳定性问题 证明了在一定的齐次边界条件下 初边值问题解的存在唯一性 张建文 等1 2 2 1 2 3 1 考虑了非线性本构关系及介质阻尼作用将上述方程进行推广 证明了几类非线 太原理工大学硕士研究生学位论文 性梁方程在线性边界条件的整体解的存在唯一性及解的渐近性 上述关于梁方程腧研究均为一个方程 如果不仅考虑材料的糕性效应 结构阻尼的 作用 还考虑若不是在对称平面内振动 那么弯雠振动通常与扭转振动联合起来 则可 建立如下弯曲与扭转联合作用下具有结构阻尼的非线性梁方程组 露 西 嚣固 臻蚕 一戤 胪 2 d x r hj u 嵇 u g d x u 2 z qn 硝 西 4 1 一忍 2 五 其中g 搿 7 艿 孱编 现为正常数 且c 2 0 是固定的 设c q 为q l zm 阶连续可微实值函数类 并记c 瞒 l q c 辅 z 4 d f 2 为 m l c q 的子集 它由具有q 中紧支集的那些函数组成 d f 0 中的拓扑为严格诱导的极 限 孽若所有的筑的支集在一个共同的紧集趸内 置对任何拂有翌 1 o 则称 纯一0 d q d f 2 的对偶空间用d q 表示 记 2 为主2 上买僵l e b e s g u e 司测因毂歹一歹 戈 班组威瓣h i l b e r t 窆 剐 歹 其中i 俐 吣 n f 工 2 a x i 1 7 中的范数用1 1 表示 r 中两函数 及g 的内积记 作 g 羔 x g x d r 我们用r o 丁 表示 o t 上本性有界可测实值函数类 r o r 是b a n a c h 空f q 其 模为i 厂 脚 蒜 l 溅i 知刈 空间r 叫咿 删 o 聊可以同样 的方式定义 若g g c 卿 令 g 拼 薹f l 等l 出 设 g 为使 g l 辨 o o 的那些函数g 组成的c 册 q 的子集 我们定义s o b o l e v 空问h q 为0 q 在模i i i 下完备化 即 h 心 是由豁 2 q 中具有广义嚣数筹 r 哟扣 k 俄 即直至职阶导数均为平 0 譬 太原理工大学硕士研究生学位论文 方可积函数的一切函数组成 d q 在h q 中的闭包记为日孑 q 用h 1 q 表示 日孑 q 的对偶空间 如果我们把 2 q 与其对偶空间视为恒同 则可以得到 d q ch f q cl 2 q ch 1 q cd 7 q h i l i e r t 空间h q 可类似定义 其元素f 的一种模为 州圹 三 i 号笋i 拗一 其中 与s 为非负整数 而导数为广义导数 在p q 甜 上iz i d x o o 中 我们记怯峪21 u i p d x 设x 为b a n a c h 空间 令1 p 0 0 若f 以x 中的度量关于f 可测 且使 i i f i i 矿 以x o o 则称厂属于三 o 丁 j 其中 川 圳 如 暇功 1 p 俄g e 啦y 0 露 擎囊涉 哭l y 蚪y 0 舛肛 以下为g r o n w a l l 不等式的其它两种形式 1 设厂 l o o r l 尼 o c 为常数 若对 切f o t 确 岛 是王确拯 凡 c o e 幻 2 设滋在如 r 可积 m o 矽 c o f 0 且 o 妒o c f 卅g 如g 灿 v o 7 缈 g 瑚胁泌 v f o 丁 引理4 i 2 1 1设x 为h i l b e r t 空问或可分的b a n a c h 空间 其对偶空间为x y 设 y 连续且稠密地嵌入到x 中 若稚声斗篷在r o t x 中弱星收敛 虽礼一z 在 r o t y 中弱星收敛 则z z j 在r o t y 中成立 弓l 理5 粒l l s 汹l e v 嵌入定理 心 专c 筒 其中凇 兰 霆 霹 7 太原理工大学硕士磷究堡学位论文 h 1 q 呻c h2 心 专c 1 h q c 卅 恒 弓 理6 1 2 1 1 s c h w a r z 不等式 x 为内积空闻 则对饪何x y x 有 墨罗 酬x l y 其中 为内积诱导的范数 引理 1 2 1设v h 为h i l b e r t 空间 v 7 胃 分别为y 的对偶空间 v 按口中拓 扑 它只是b a n a c h 空间 为v 按膨中拓扑的熬轭空间 若y 连续且稠密地嵌入到 中 则 连续稠密地嵌入到 中 特别的vch h cv 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 第三章整体弱解的存在性 唯一性 本章考虑了非线性梁方程组 1 2 1 一 1 2 6 的初边值问题 利用g a l e r k i n 方法 通过先验估计证明了此类方程组的初边值闯题弱解的存在唯一性 3 1 主要定理 定理3 1 1 设 v oes 2 毪 l 2 c 0 z 五 l 2 o 0 r q 则对于v 0 存在 m m m v 使得甜 vel o t s z 矗 r o t f f f 2 l ll 2 o t s o 矽 f o r r q 且知 v 满足初始条箨 并在下述意义下满足方程组 1 2 i 1 2 2 郎对凡乎处处 的 0 t v 缈 丢 趣咖 丢 多 力 d 盛t u2 2 铲 2 一似 肛 1 2 出 p m 甜m 出 2 咖 z 缈 3 i 1 e 鲁 费 妨 7 署 也妒 d v z f a t z 一蔬 孔 矽 一 五 力 3 1 2 定理3 1 2 定理3 1 1 中的解唯一 下面我们用g a l e r k i n 逼近方法得到弱解的存在性 其中弱解的存存巾牛证明分为四步 3 2 近似解 设 哆j 为是中具有足够光滑性的完备正交基 对任意固定的拼 我们寻求函数 肿 肺 f z g 州 f v 肿 r f 置l j l 使得对v 妒 三 磁 c 是 麓 满足逼近方程组 舀 缈 c 吒o 伊 西 r 缈 2 u 2 f 矿 2 一橛 j 托 叫2 d x f f 款 t d x x 材 f 驴 i 鳓 qn c i i t 妒 y 矿 f 神 艿 o 妒 2 p o e 2 f 讲 五o 伊 9 3 2 1 3 2 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 和初始条件 且 0 o 西 0 o 吒 0 材o m 0 v o 一 嵋 m 争q 在是中强收敛 在蔓中强收敛 在r q 中强收敛 3 2 3 在r q 中强收敛 注意到系统 3 2 1 一 3 2 3 是关于函数g 聊 1 2 聊 的二阶非线性常 微分方程组的柯西问题 由常微分方程理论知 存在t 0 使得系统 3 2 1 一 3 2 3 的解存在 a i 而得u o 和v o 下面通过作逼近解 和v 的先验估计 可将 r 和 f 拓广到对一切的 0 均有意义 3 3 先验估计 在 3 2 1 式中取伊 2 西 f 可得 2 喀 o c 吒 f 2 以 f 群 2 0 1 2 材 o 2 h i z 一位 舭 d x 似 t a x x 甜踟 2 h z 2 on 把 如 2 应 石dk r 1 2 甜 2 西 嘞 丢卜等 f 1 2 蟛 f 2 屯 一丢l 1 2 代入上式 得 丢肛 f 1 2 丢p 等 1 2 2 l u d 1 2 口丢l 2 j 2 三丢峭 4 三 阳1 2 2 2 们 i r a f 2 c 啪 f a 3 3 1 在 3 2 2 式中取伊 2 谚 可得 c 2 t y 吃 2 谚 f 万 f 2 口 一孱 2 口 厶 f 2 0 1 0 太原理忑大学硕士磷究生学位论文 把 v a 味2 吒 丢k 2 y 境2 多 i d 一 2 f 2 v 2 嘞 一鲁 2 代入上式 得 丢眵 f 2 万丢l v f 1 2 热妄 v 2 2 石 矗 f 一2 e i j f 矗 f 2 2 f 屯 f 一2 c f 吒 f 记 霹 r k 蜡 渺 f 2 a 旧 r 卜斗翱 1 4 y h f 2 艿障 r 1 2 展旧 r 1 2 则有 面d 毛 z 2 愀 1 2 吾 知阳p 2 f l t 如 一2 c 吒 f 矗 f 2 f f 一2 c 甜 吒 f 3 3 3 在 3 3 3 式薅端从0 到f 积分 可得 舶 2 归 r 1 2 斫 i 1 聪陋 2 2 毋 2 l z f f 五 f 屯 出一2 c 舀 f 吒o 2 h 毛 o 2 l 石 螽 嘞 f d o 1 m 0 1 d t 2 c 鼬谢 f l 2 c l 训 l b o 3 3 4 其中 最 囝 譬 o 2 谚 2 g 甜薹 i 2 昙 掰 q 1 4 7 争 嘲2 司y 2 反 2 由 3 3 4 式 得 2 里西 2 癜 芝1 羹丢l 碟 d 2 功一2 c k 屯 f l 2 f f 石o 螽j l 五 f 吒 班 2 c 强 i l v i 岛 o 因为c 2 7 所以乓 o 根据 3 2 3 式的收敛性及孳l 理6 可得 q y q k 叫2 2 窿 碟 2 兰陋 叫4 c h 2 j 眵 f 2 反旧 0 1 2 2 忙训2 d t 氐 2 卫露 1 2 出 三豇丢睃 2 2 国一幻k r i 吒 l s2 f 五 f 婚御o l 五 f 吒o 瘟 2 c b 黻 l 玩 o c c i 1 2 阻f 1 2 a t c sc c m i n c l c 2 c m i n q c 2 薹 q 滓 f 2 岛l f 2 国 王镀m 刊怕1 2 g 峨z 1 2 l0 坷 h f 1 2 j i v 2 r 1 2 屁睇 r 1 2 a t 3 3 5 其中c 为常数 以后不再声明e 在不同的地方滚示不同的常数 面条件 2 y 中的 是 固定的常数 不随c 的变化而变化 在下文中也不再声明 嘲 3 3 5 式 得 q 啪 1 2 材劁2 口阶 1 2 扣叫 c m 1 2 万协 2 磊m 1 2 蓬c c m i n q c 2 f c i 矗 f 1 2 f 材 f 1 2 口i t 2 f 1 2 主i 甜 f i c k 删2 艿 曙 1 2 反睃 叫2 瑚 由引理3 可得 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 i 舀 l 甜2 z i 搿g l l 寸 l l f i v 等 l c 再毒 3 3 4 式 得 胖 j 2 d t c 因为 o v m o f 0 由引理1 及陂 f 睇 黎l f 婶 g f 馥 太原理王大学硕 研究生学位论文 v g z o 2 2 甭 f g g t i t f 参9 g o 弦 f f g f 馥 r 吒 g 刃jr 艿 f g 出 f 艿 f g t d t f q 蟛 g f 势凌 f z l f g f 馥 f 磊 g 盛 r 丢眇 1 杉 g 廊一j c r z f g 矽 r 筋 g 冲 接下来分别证明 a f 蠡 艿 口在r o r r q 中成立 在引理4 中 令x 是 y 一上2 q 则x 墨 y r q 故f f i 艿 口在 r 0 歹 l 2 q 势中成立 b 刁 z r 1 在q 中几乎处处成立 魄毯影 伤 有f 矧2 蠡谤 搬 褥f 泌 二 q 廖 f 材 g f 逑 f 9 9 a r t f v t g t d t 故 斗材 屹专v 在 l 2 q 中弱星收敛 而 川一万 g 在r 9 中强收敛 也弱星收敛 所以 7 z f f v 在q 中几乎处处成立 c 石 i 甜 1 2 甜 2 在r o r r q 中成立 因为 j o r 是 在 o r r q 中稠密 故v 妒 r o r 曼 有 f 磊一旷 阿轴 矽冲 f 苁一眇 1 2 哆 缈渺 f 妒 1 2 甜孑 一p p 舢 妒渺 r 眇 1 2 蟛 一 1 2 譬 妒砷 因为v 妒 r o 歹 是 cz 织r r 鳓 且 2 u 声 2 峥石在r o r r 蛹 中弱星收敛 所以r 粥 哕u1 问 1 9 0 d t 0 南予 1 4 太原瑗t 大学硕士研究生学位论文 问一l u 0 1 2u 2 a d t l 伊玲 2 u a u 2 叫 喇k 郴 批一叱n i i 擘 1 1 s d l t l i 2 瓴璐 l g t l g l k l 2 o t s l l f i 材 1 2 譬 一l 甜 1 1 2 材譬 缈 坊f i f 1 u 2 一 i t t 2 掰爹 妒 峦 l f 2 一甜o 甜 z o 甜孑 伊 破i l l 鸭 2 蟛 咖魂l lfi 鲜 一甜l r q 8 掰尉i 如 1 i l 是 i 醒一1 1 l 妒l f q 魂l j 先证明以下序列弱星收敛 a 在r o 丁 中 材譬 一2 一 z 孙 彤2 哆 彬2 专 v 孙 哆2 弱星收敛 因为 r 蟛 一2 硼 r e 4 触 r 虬 缈 坊 且e 4 伊 o 丁 r q c o 乃墨 所以 r 形2 缈 r e 4 缈 讲专f c 4 纠坊 r z c 2 一z 缈 同理可证 f v t 2 一2 缈jr p t 2 哆2 础 b 在r o 丁 中 眇 1 2 蟛 一 妒 1 2 甜 孙 m 弱星收敛 v c e 0 丁 有 w o e 0 7 1 r q 因此 舯玎甜譬 触专r 川2 u 2 m 卿 故 1 驯2 u 2 一 一 旷 j 2 甜 2 1 一 在r o 丁 中弱星收敛 1 6 太藤理t 大学硕圭磷究生学燕论文 l 列埋h j 得 如 匕 陬匕 在p 9 r 孛弱星收敛 丢陂 2 材p 专 丢f 1 2 在r r 三2 q 中弱星收敛 e 在三怫 o p 中 玉 蟛2 j 黛 鼬 嘭2 弱星收敛 南于 专 螽 在r o r 中弱星收敛 故 声 q 4 一 圾彬4 在r o r 中弱星收敛 焉 蝣 一4 z i 譬 嵋2 z i 4 但 q 2 掰戮 葫 嘭2 啼 蝣 扮 嘭2 在r 皖砷弱星收敛 d 在d o 中 以 哆 专 巍 吩 露 叶 影 弱星收敛 v 矽 以谚 有 f f 靠芦哆 卿 f f 一础 出 上 一伊破 r 哆纸旃 出 一r 以 触 弱理 f f 吧出 触 一r h z i 触 且多 d 谚r r 魄 9 d d 0 t c 誊 9 r 所以 r 一 打一 触 r 一 矗 0 d t 因此 f 萎露哆威 触专f 薹峨蠢 弛 同理 f 薹哆 威 触专舅 薹蛾森 融 e l l 上述证明 可得 彬2 专 材伸 彬2 在r o r 弱星收敛 哆 蟛2 哼f v 弧 矽2 在r o r 弱星收敛 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 厅孑 一2 一 t i c 2 2 在r o 丁 弱星收敛 以 一 打 在d o 乃中弱星收敛 吒 寸 哥 在d o 丁 中弱星收敛 眦 1 2 够 哼啦 j 2 甜 2 1 在r o n 中弱星收敛 丢眇 1 2 堙 专 丢 1 2 在r 丁 r q 中弱星收敛 令 专o o 在 3 2 1 一 3 2 2 式两边取d 7 o t 中的极限 得 订 一 c 哥 纠 一2 打 舶 嵋2 一 甜m 1 2 d x p i 出 甜 2 一 z n q c 舀 厂 哥 艿 p 2 一反 v 2 以 再由基 j 在s 中的稠密性及当 巳 缈在是中成立时 有 巳 专伊 巳一2 一缈 2 在r q 中收敛 所以对v 缈 s 有 舀 缈 c 移 咖 2 妒 2 打 缈 2 一位 胪 1 2 d x p m 甜 出 材 2 伊 z 咖 nn c 舀 伊 r v 咖 万 n 缈 2 一成 1 舶 缈 厶 缈 下面证明缸 v 满足初始条件 并引入函数空间辞 o 丁 扣 c 1 0 丁l 甲 丁 o a 证明甜 0 v o 由于 且专 在r 0 丁 r q cl 2 o 丁 r q 中弱星收敛 西 一曲在r 0 丁 r q cr 0 7 r q 中弱星收敛 则有 c o t l z d 及 o 有意义 且v 缈 r q 有 因为 一i 1de l 土 以 声 西j 土 西 砂 西 j l o w a t 一土 甜 功 1 8 太器瑾工大学硕士研究生学位论文 r 轧 胁 r j 扎洲出 衍 薹 叼 卜f 一馥边 一 o 则 o 一r r e a f 螽 q 瞪 d t 一o 并一f 彩 毋 密 且毋 l 2 o t l 2 n cz 0 丁 r q 所以r q d t f 沁 旃 由于甲 o 的任 意性 有 o 彩 o 力 且 o 专鳓 故豁 u o 同理 由屹专y 吒 谚在三 o 丁 上2 q 中弱星收敛 可得v o 1 o b 证明瞻 o 驴 o k 由于 西 伊 一 z i 妒 1 i p 妒 寸 舀 妒 在r 0 丁 中弱星收敛 剡有鑫 c o t f q 及薮 有意义 且v 尹 三2 辅 有 ef i萱i抖 i 幻 洲 出专j 霸 出 j 故 q w d t 一土 舀 斫 丽 f 以 则 承 r f 吒洲出 魂 c 以伊甲e f 轧出功 也 一 磊 o 则 一f 魄 v o d j 咖岬 胁 一 z i o o j q 岬 d t 一一 量毋 叠 魄r r q cl o 歹 r q 所以f 蛾 q d t f v v d 又由于甲 的 任意性 有 西 o 妒 一 西 o 力 且z i o u 1 故西 o u l 同理 由 屹 缈 专 步 纠 吃 一蛾 在r o d 中弱星收敛 可得多 0 毪 综上所述 z o u o v o 峋 z j o 矿 o m 密弹311 证毕 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 5 整体弱解的唯一性 假设 历 矿 每 矿 是方程组 1 2 1 一 1 2 6 的两组解 记甜 万一厅 1 可一哥 则有u o 0 0 0 将 历代入 3 1 1 式 得 嚣 伊 c 舌 缈 麦 孙 缈 2 历 缈 2 缸 肛m 1 2 出 户m 厅 1 出 历 i 伊m z 力 qo 再将 4 历代入 3 1 1 式 得 嚣 伊 c 带 缈 者 舢 缈 2 露i 孙 缈 2 口 j 1 荭m 1 2 出 p m 历 出 石 1 缈m z 伊 nn 3 5 1 减去 3 5 2 得 i 缈 c 哥 力 五 2 1 缈 2 劲 缈 2 o t u 缈 1 3 5 1 3 5 2 肛m 1 2 d x 户m 西 1 出 历1 1 缈m 一 1 万m 1 2 出 户m 1 1 出 石m 伊m 0 3 5 3 nqnn 同理 将1 矿代入 3 1 2 式 得 c 翥 伊 y 哥 缈 万 矿 孙 缈 2 屈 矿 n 妒 1 厶 纠 再将v 矿代入 3 1 2 式 得 c 荔 9 爹 妒 万 矿 孙 缈 2 屁 矿 n 缈 1 厶 缈 3 5 4 减去 3 5 5 得 其中 因为 c 咖 厂 哥 伊 万 2 f 缈 2 层 1 缈 1 0 在 3 5 3 和 3 5 6 中分别取缈 z i 缈 t 再两式相加 得 互口d i 厅1 2 i 甜 2 1 2 口i z 1 1 2 厂l 叫2 万i v 2 1 2 届o i v lj 1 2 2 c 矗 口 i 矗 2 1 2 厶 o 厶 胪 1 2 出 以应 n 记 f 厅m 出 西 n 一胪 1 2 出 以呐 q p 五 出 以五 1 q l 胪 1 2 出 访 1 1 一胪 f 2 出 以五 1 nn 3 5 4 3 5 5 3 5 6 太原理王大学硕士研究生学位论文 且 厶 j 1 刮2 出 以矗m n 肛1 2 联貊 1 q 胪 1 2 威 班西m n 一胪 1 2 出 班蚋 n 一胪 2 斑 秽奶 n 一胪 1 2 出 以蚋 n 瑟 l 2 一 纛 2 曩 n 蠡 l 曩 2 掰f n 螽 l l 话 1 1 2 一眵 1 2 万t n 一霸t n 霸 1 螽 l c t u 群f n 兹 1 甜f 1 蠡毫一fu 2 c i d x 一 掰 2 鑫 g 掰f 2 疗l 一 一砘一 矛孙 西 酽 i l u l 苏 博n 1 一 i i 剌 甜 1 西 护 i 妙秽 h 萨 l i u l 1 2 l z i l 2 i 叫2 e 盯 垆1 2 0 z 7 2 0 1 2 胛 万i v 2 f 2 屁p 1 2 2 c 西 谚 丢以 2 i 铲 1 2 2 厶 一2 厶 2 i i o l c 1 1 2 2 l 材 2 1 2 在上式两边从0 到t 积分 得 而e o 0 所以 所以 e f e o ci 1 甜 1 1 2 l 西1 2 卜 2 1 2 a t e f c f 1 甜i l 1 2 i 舀1 2 l 材 2 1 2 a t 因为c 2 厂 所以牟 o 且有 q y 喇2 垆1 2 口p 1 2 c 2 i 叫2 叫v 1 2 风l v 1 1 2 太原毽工大学硕士研究生学位论文 c i 卜 1 2 l 叫2 卜 2 i 2 d r c m i n a q 1 c m i n a e 1 1 m 叫2 f i 茚 垆1 2 a t 姗瘴 2 叫2 碟妒 2 坞嘲2 妒 2 反p 2 a t 由引理3 可得甜 0 1 0 故历 u 一v 哥 定理3 1 2 证毕 太原理工大学硕士研究生学位论文 第四章整体强解的存在 唯一性 本章有同样的方法 并利用第三章已证的结论 研究方程组 1 2 1 一 1 2 2 在初边值条件 1 2 3 一 1 2 6 下强解的存在 唯一性问题 4 1 主要结论 定理4 1 1 设 v 0 s m z 厶 是 z 五 r o o o r q 对于v 丁 o 存在函数对函 v 使伽 v 在p o 丁 r q 中满足初始条件和方程组 舀 硝 西 4 甜 4 一缸 胪 1 2 d x u o u o d x 2 石 qo 硝 却 钔一屁v 2 五 4 1 1 4 1 2 r u 1 r 0 t s i 矗 r o t s 2 n l 2 o r s t r 0 丁 最 舀 矿 r o t l 2 f f 2 定理4 1 2 定理4 1 1 中的解唯一 下面证明方程组强解的存在性 证明步骤与定理3 1 1 相似 4 2 近似解 设 为s 中具有足够光滑性的完备正交基 对任意固定的聊 n 我们寻求函数 材 e g f m e q m 使得它们在 0 f 中满足方程 及初始条件 舶 吃 z 甜 一 口 j 1 吓d x f i o u o 出 等 石 n o c i 万0 西鬈 一属r 2 厶 2 4 4 2 1 4 2 2 4 3 估计 太原瑗工人学硕士研究生学位论文 材 x o 辫 m l u m x o u z 风w 一 s 1 x o v o e r w j v o 1 下面对近似解 进行先验估计 估计l 现将 4 2 1 式与缈 螽 f 作内积 得 做变形 得 在墨中 在s 中 在墨中 在 中 玩 f 甜 4 c 吒 f 矗 和 簖 4 f 簖 0 露 f 一似 j 1 碟 f 1 2 d r p f 甜 f 斑 甜 4 嘞 a f t 簖 f qn 群 o 菇m 2 c 蟛 办 f z i 厅 f 瓤 f 西 f 4 2 3 p f t d x x 甜 西 秽 4 3 1 n 将 4 2 2 式与妒 蟛 作内积 得 c 如 f 厂 吒 f 蟛 f j f 1 4 f 一屈 y 2 吐雌 f 正 f 1 4 做变形 得 c 毋 蟛 y 蟛 o 蟛 f 万 蟛 f 罐 岛 蝶 f 喀 f 爿2 蟛 0 4 3 1 和 4 3 2 式相加 化简后 锝 2 5 4 3 2 吨 彬辨臻 商 i 辨咚 i ox l 记 则 太原理工大学硕士研究生学位论文 丢丢 i 蟛 r 1 2 i 1 2 口睃 1 2 y l 蟛 r 1 2 万旧 1 2 屁眵 r 1 2 i 西 1 2 石 2 砰 f 2 蟛 一c 掣 f u 2 f 一c 鲜 f 蟛 f 一m 1 2 西乳 川r 一似 咖踟 出 西黜 甜瓢 i i 簖 f l l 一2 f 蟛 f i c 睇 f 矗 f 一c 群 f 蟛 f i 材三 1 2 l 五等 f i l 西 材 l 西2 材2 f d x i 如 r 卜 1 2 i 1 2 砷 1 2 y 卜 1 2 万i v r 1 2 风睃 1 2 已 o i 五 o 1 2 卜 o 1 2 口卜 o 1 2 y i 诈 o 1 2 j 限 o 1 2 成睃 o 1 2 由 4 2 3 的收敛性知已 o c 在上式两边从0 到f 积分 由 4 2 3 的收敛性和已 知条件 可得 三啪 艄 f 1 2 坊 即 所以 s 五1e o 王m 2 面 f 陋 上l 2 f 蟛 f 陋一c 咿 f 矗 f c 西 o 诈 o 舭 佩幻 蜊 西 i j 蟛 z 2 l 出雠 f 乳 陋 c c i 旧 f 1 2 西踟 卜2 桫 1 2 a r t c 艘 f 矗乳 i 已 2 肌知 1 2 a c t 一知孵 f 2 恸l c c 胂乳 1 2 桫 r 1 2 i 乳 1 2 a t 因为c 2 y 所以牟 专燃r 1 2 c 万协 1 2 l 2 肚玎a c t 一2 c 孵 西踟 l 冽 2 艄阻抄 卜锎酬2 太琢理工大学硕士研究生学位论文 一秒黝m 阳h 怕h h 捌洲1 2 拶拶 2 岛协r 1 2 2 肛黜 1 2 d t 令q l c 2 7 c f i 则q 秽2 0 且有 y 所以 c j 矗 1 2 i f 1 2 口l 等 f 1 2 十c f t 等 1 2 8 l v f 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