浙江省数学高考中的圆锥情结——透视高考立体几何命题的本质.pdf

第9期 宋文泉 等 浙江省数学高考中的圆锥情结 4 7 浙 江 省 数 一 学 高 考 中 的 圆 锥 情 结 1 一 一 透视高考立体几何命题的本质 0 宋文泉 施刚良 德清县第三中学浙江德清3 1 3 2 0 1 圆锥是立体几何中的一个非常重要的模型 在 鹪析几何 中 圆锥曲线就是 以圆锥为载体截得 的 浙江省的数学高考试题中 有些立体几何和解析几 何问题表面上看与圆锥无关 但通过挖掘我们可以 发现它们与圆锥有着深刻 的联系 由此也可以看出 命题者 的深意 1 试题本质的透视 例 1 如图 1 已知 AA B C D是 A B的中点 沿 直线 C D 将 A C D 折 成 A C D 所 成 二 面 角 A C D B的平面角为 则 A A D B A D日 C A C B D A C B 2 0 1 5 年浙江省数学高考理科试题第8 题 C B 图 1 图 2 分析本题可以从取平面 A D C的特殊位置 来判断选项 这样做对付选择题是可以的 而且对 学生而言这样做既快又准 但作为教师我们当然不 能这样草草了事 应该进一步加以研究 挖掘命题 者的深意 事实上 过点A作 A P上D C 垂足为 P 延 长 A P交 B C于点 联结 A P 则 A P R为二面角 A C D B的平面角 我们可 以发现 A C D是沿着 直线 C D这条旋转轴转动的 由此可以想到构造圆 锥这个模 型 如图 2 点 A 在共底圆锥 C P D P的 底面上转 动 厶4 P R 并且在 等腰 AP A A 中 0 c 厶4 P R 2 同理 在 等 腰 D A A 中 LA D B 2 LA A D 因为A D A P 所以等腰AD A A 的腰长比AP A A 的长 并且 2 个等腰三角形的底相 同 根 据 三 角 形 大 边 对 大 角 可 知 A A D LP A A 故 A D B a 在没有折之前 2者都等于 1 8 0 通过上述论证过程 笔 者发现点 D是线段 A B 的中点是多余的 有可能是命题者为了降低试题的 难度有意而为之 体现了命题者的人文关怀 但是 通过构造圆锥来破解此题 应该是命制此题的本质 所在 于是 我们可以得到此高考题的一般形式 例 2 如 图 1 已知 AA B C D是线段 A n 不包 括线段的端点 上 的一 点 沿直线 C D将 AA C D折 成 A C D 所成二面角A C D B的平面角为 0 c 则 A A DB O l B A DB C A C a D A C B 无独有偶 2 0 1 5年浙江省数学高考文科第 7 题同样可 以通过构造圆锥来解决 例 3 如图 3 斜线段 A B与平面 O t 所成 的角 为 6 0 为斜足 平面 上的动点 P满足 曰 3 0 则点 P的轨迹是 A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线的一支 2 0 1 5年浙江省数学高考文科试题第7 题 A 图 3 图 4 分析依题意 点 P的轨迹为以斜线段 A B为 旋转轴 母线与A B所成的角为 3 0 的圆锥面 因直 线 A B与平面 所成的角为 6 0 故平面 沿垂直 于母线 A D方向去截 截面显然为椭圆 此题的命制背景是 人教 A版选修 1 1 第3 6 3 7页 探究与发现 为什么截 口曲线是椭圆 由此 可见高考试题源于课本 又高于课本 因此 我们在 高考复习时 要以课本为本 适当变式和拓展 这样 才能提高复习的有效性 4 8 中学教研 数 学 对此试题也可进行一般化 得到结论 结论 1 如图 3 设斜线段 A B与平面 O t 所成 的角 为 0 B为 斜 足 平 面 O L上 的动 点 P满 足 LP A B 3 0 则 1 当 0 0 3 0 时 点 P的轨迹为双 曲线 的 一 支 2 当 0 3 0 时 点 P的轨迹为抛物线 3 当3 0 0 9 0 也 即 A A 2 B D 4 5 要存在某个位置 使直线 A D与 直线 B C垂 直 必 须 使 得 A iD A 9 0 也 即 厶4 A B D 4 5 此时 笔者才真正看到 了问题的 本质 产生一种 柳暗花明 的感觉 原来从构造圆 锥这个模型来解决此题 会变得如此简单 真 的是 图形一见 答案出现 类 比上面的论证过程 可以将此试题推广为如 下结论 结论 2 已知t Z MB C D 将 aA B D沿平行 四边 形 的对角线 B D所在的直线进行翻折 在翻折过程 中 1 不存在某个位置 使得直线 A C与直线 B D 垂直 2 只要LA B D 4 5 必存在某个位置 使得直 线 A B与直线 C D垂直 3 只要 LA D B 4 5 必存在某个位置 使得直 线 A D与直线 B C垂直 例 5 如 图 7 在 长方 形 A B C D 中 A B 2 B C 1 E为 DC的中点 F为线段 E C 端点除外 上的一 动点 现将 AA F D沿 A F折 起 使 得平 面 A B D上平 面 A B C 在平面 A B D 内过点 D作 D K上 A B K为垂足 设A K t 则 t 的取值范围为 2 0 0 9年浙江省数学高考理科试题第 1 7题 图 7 分析如 图 8 A 肋 沿 A F折 起 的过程 中 母 线 A D 的轨迹是 以 A F为旋 转轴 形 成 的 圆 锥 面 当 平 面 A A B D D 上平面 A B C 在平面 A B D D 内过点 D 作 D K上 C 图 8 C A B K为垂足 此时点 D 0 K必定共线 并且 D K上 A F 于是 A AA D F 即 A K 从 而 D F t 1 故 t Jk 又因为 1 D F 2 所以 9 0 这也就是高考试题中要加上点 F为 线段 E C 端点除外 的原因 由此可见命题者的又 一 人文关怀 这也是命题者命题的又一深意 需要 我们用心去思考 和体会 我们在平 常的教学实践 中 为了进一步提高学生 的数学思维能力 可 以通 过变式题 的形式向学生提供如下试题 第 9期 唐 昊天 关于一 类双曲线系的 2个结论 关 于 一 类 双曲 线 系 的 2个 结 论 唐昊天 复旦大学附属中学上海2 0 0 4 3 3 双曲线的弦长和双 曲线系问题在平面解析几 何中非常多见 笔者发现对于一类 由平移变换形成 的双 曲线系存在一个有趣 的弦长问题 下面向读者 展示这个有关双曲线系和弦长的性质 2 2 定义 1 一般地 将双 曲线 一 1 其 中 a o a b 0 的中心 0平移到 P m k i n t 所得 到的 一 系 列 双 曲 线 一 a l 其 中 0 b 0 m R 称 为平移双 曲 线系 其 中 t 为 固定 的常 数 Y k x t 称为平移双 曲 线系的根轴 此时 的根轴不 能与 轴互相垂直 3 图 1 图 1中 该种平移变换的几何意义是使得双 曲 线 中心 0先沿着坐标轴方 向平移到点P 0 t 然 后点 P再在根轴上运动 性质 1 平行或重合 于平移双 曲线系根轴 的 直线截平移双曲线系中所有双曲线所得弦长相等 证明 设 平 移 双 曲线 系方 程 为 一一 a 1 其 中 6 0 0 m R 平行于 平移双 曲线系所有双 曲线 中心所在直线的直线方 程为 Y k x n 先考虑 当t 0时情形 将直线方程和平移双 曲线系方程联立 得 b m 一 a k x n k m a 2 b 例 6 如 图 7 在 长方形 A B C D 中 A B 2 B C 1 E为 D C的中点 F为线段 E C 端 点除外 上的一 动点 现将 AA F D沿 A F折起 使 得 A D上 B C 在平面 A B D 内过点 D作 D K上A B K为垂足 设 A K t 则 t 的取值范围为一 例 7 在长方形 A B C D中 A B 2 B C 1 F为 线段 D C 端 点 除 外 上 的 一 动 点 现 将 AA F D 沿 A F折起 使得 A D j B C 在平面 A B D内过点 D作 D K上A B K为垂足 设 A K t 则 t 的取值 范围为 11 一 这样一变式 使得题 目的难度陡然提升 但有 助于提高学生分析问题 解决 问题 的能力 对他们 数学思维能力的提升是非常有帮助的 3 2点体 会 3 1 命题者的人文关怀 2 0 1 5年浙江省数学理科卷 的难度较 大 对学 生思维能力 的考查要求较高 社会上议论纷纷 通 过对理科第 8题和文科第 7题 的研究 我们发现命 题 者并非是 冷面杀手 还是有一些人文关 怀的 因素在里面的 这样的深意在试卷的其他试题中也 有所体现 这需要我们用心思考和体会 为了更好 地让学生 看 出 试题的本质 命题者往往会搭一 些 脚手架 这些都需要学生具备一定 的 慧眼 这就是我们在教学实践 中要培养 的数学 素养 否则命题者的好心会变坏事 只有通过平常的渗透 和积累 才能体会命题者的良苦用心 3 2 培养学生的建模意识 从 2 0 0 9年 2 0 1 2年 的浙江省数学高考立体几 何题我们可 以发现 利用圆锥模型的思想解决问题 是多么重要 如果学生能抓住这个模 型 这些题