（计算数学专业论文）现代势论及其在数值计算中的应用.pdf

现代势论及其在数值计算中的应用 摘要 现代势论已经被广泛地应用于科学技术的数值计算 本文回顾了现代势论 与数值逼近有关的部分理论 探讨了它在数值计算中的应用 特别是在g a u s s 型求积公式中的应用 第一章简单介绍了现代势论的背景 第二章重点介绍了现代势论中的测度 势能 f e k e t e 点 g a u s s l o b a t t o 点和积分公式等基本内容 第三章讨论现代 势论在数值计算中的应用 包括误差估计 插值点的选取 测度收敛和容度收 敛等内容 并给出例子 第四章是本文关于g a u s s 型求积公式的新工作 讨论 了e s l a h c h i 等在文献 o nn u m e r i c a li m p r o v e m e n to fg a u s s l o b a t t oq u a d r a t u r e r u l e s 的算法 对他们的算法进行了修正 并给出了新算法 以具体的例子说明 新算法 第五章是总结和展望 关键词 现代势论逼近论误差估计f e k e t e 点势能 m o d e r np o t e n t i a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n si nn u m e r e a l c o m p u t i n g a b s t r a c t m o d e r np o t e n t i a lt h e o r yh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt on u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s i ns c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e rr e v i e w sp a r to ft h em o d e r n p o t e n t i a lt h e o r y w h i c hi sr e l a t e dt on u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n a n dd i s c u s s e si t s a p p l i c a t i o ni n n u m e i r c a lc o m p u t a t i o n s e s p e c i a l l yi nt h eg a u s sq u a d r a t u r ef o r m u l aa l g o r i t h m c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fm o d e r np o t e n t i a lt h e o r v c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ee s s e n t i a l so ft h em o d e r np o t e n t i a lt h e o r ys u c ha sm e a s u r e s p o t e n t i a le n e r g y f e k e t e p o i n t s g a u s s l o b a t t op o i n t sa n di n t e g r a lf o r m u l a c h a p t e r3d i s c u s s e si t sa p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s w h i c hc o v e r se r r o r e s t i m a t e s c o n f i g u r a t i o no fi n t e r p o l a t i o np o i n t s c o n v e r g e n c ei nm e a s u r ea n di n c a p a c i t y a n dp r e s e n t ss o m e e x a m p l e s c h a p t e r 4i st h en e ww o r ko n g a u s s q u a d r a t u r ef o r m u l a w h e r ew ed i s c u s st h ea l g o r i t h m si nt h ep a p e ro fe s l a h c h e t c o nn u m e r i c a li m p r o v e m e n to fg a u s s l o b a t t oq u a d r a t u r er u l e s w ec o r r e c t s o m ep r o b l e m si nt h e i ra l g o r i t h m sa n do f f e ran e w a l g o r i t h m a n dg i v eac o n c r e t e e x a m p l et oi l l u s t r a t et h er e a s o n a b i l i t yo fo u ra l g o r i t h m c h a p t e r5g i v e ss u m m a r y a n dp r o p o s e st h ef u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s m o d e r np o t e n t i a lt h e o r y f e k e t ep o i n t s p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o nt h e o r y e r r o re s t i m a t e s e n e r g y 插图清单 图3 5 1c h e b y s h e v 多项式零点的a r c s i n e 的渐进分布 1 9 图3 6 1 指数函数y 矿在 1 l 上两种情况的l a g r a n g e 插值与原函数图 象的比较 2 2 图3 7 1 线段 0 1 范围内电荷分布情况 2 3 图4 2 2 等腰直角三角形 2 8 表格清单 表格4 2 1n 5 时的w 和毒的值 2 7 表格4 2 3求积系数w 和积分点的面积坐标 厶 乞 乞 2 8 表格4 4 1 文献 2 0 的表格1 3 2 表格4 4 2 文献 2o 的表格2 3 3 表格4 8 1 根据文献 2 0 中的口 p q 而 f 1 2 玎求得的心 f 1 2 力 和误差e 4 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得金8 垦王些 盔兰或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 媾签字日期 碲 6 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解合肥工业大学有关保留 使用学位论文的规 定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论 文被查阅和借阅 本人授权合肥工业大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 刘春 签字日期 c 萨g 月7 日 学位论文作者毕业后去 向 工作单位 通讯地址 导师签名 懿乃 签字日期 略年6 月扩日 电话 邮编 致谢 在此论文完成之际 谨向我的导师林京教授表示衷心的谢意 在我研究生学 习期间 无论在学习上 思想上 还是生活上 导师都给予了耐心细致的教导 和无微不至的关怀 在论文的选题 研究及撰写过程中 导师倾注了大量的心 血 导师严谨的治学态度 一丝不苟的敬业精神 诲人不倦的高尚师德 将使 我终身受益 感谢研2 0 0 5 级3 4 班全体同学对我的关心与帮助 从你们身上我学习到好 多东西 同时也认识到自己的不足之处 你们和我一道度过了研究生的快乐时 光 我还要感谢我的家人 是他们长期默默地付出和支持 才使我能够顺利完 成学业 在此表示我衷心的感谢 最后感谢论文评阅专家在百忙之中对我论文做出的指导 作者 刘春 2 0 0 8 年5 月1 5 日 第一章绪论 1 1 研究背景简介 位势论起源于物理学的万有引力学说和静电学 远在1 8 世纪 l a g r a n g e 就 注意到力场是一个函数 称为n e w t o n 位势 的梯度 在三维欧氏空间 一个单 位质点g 的引力场在点x x y 的n e w t o n 位势等于把一个单位质点从无穷远移 1 到x 点所做的功 其值为 因此 一个质量分布 的引力场在x 的n e w t o n l x y i 位势是 扩 j 奇础 1 1 1 l a p l a c e 进一步证明了 在不分布质量的地方 位势满足偏微分方程a u 0 这样 物理问题便化为求解偏微分方程的数学问题 直到上个世纪末 位势论 的三个基本理论 即极小值原理 收敛性质以及d i r i c h l e t 问题已经建立 但是 一直到上世纪末 位势论的研究限于n 维欧氏空间的n e w t o n 位势 n 3 1 和对数 位势 n 2 1 即所谓的经典位势论 本世纪以来 随着测度和积分理论 泛函分析 一般拓扑学 抽象代数以 及概率论的发展 位势论也得到蓬勃的发展 开辟了新的研究方向 创造了新 的方法 位势论的进一步发展使得位势论的三个基本理论的重要性日益突出 因为无论是古典的还是现代的 位势论中的许多其他性质可以由这些原理导 出 联系到数学基础研究中的公理化思想 就逐步建立起位势论的公理化体系 也就是公理化位势理论 也是近年来位势论迅速发展中的显著特点之一 位势论与其他数学分支的联系与发展可以从以下两个方面来看 第一 由于古典理论中 位势本身是一个奇异积分 在不分布质量的地方 是一个调和函数 满足l a p l a c e 方程 所以它与实变函数 解析函数 以及偏 微分方程密切相关 实际上 位势论是从它们独立以来的一个分支 一百五十 年来 位势论的发展与上述数学分支相互渗透 现在仍是如此 这是位势论研 究的主要方面 从近年来研究成果来看 绝大部分也是属于这个方面 第二 位势论与概率论的联系 概率论同位势论一样也有长远的发展历史 但是只是在最近半个世纪 它们之间的本质联系才被揭示出来 这对两者的发 展都产生了重大的影响 值得特别注意 位势论发展的显著特点是广泛地利用了近代拓扑 泛函分析 概率论等的 思想和方法 同时反过来 它也影响了其他数学分支的发展 它越来越广泛地 深入地与相邻分支 如复分析 拓扑学 几何测度论 微分几何 微分方程 调和分析等相互结合与渗透 从位势论的发展史可以看到 位势论是在r i e m a n n 的函数论的推动下发展壮大的 而现在 位势论反过来用现代化的分析工具从 各方面来加强函数论 这可以说是一个反哺的过程 张鸣镛在 1 中对位势论 与其他数学分支的联系及发展做了详细的说明和介绍 所以研究位势论就显的 非常有必要 随着位势论的不断发展 逐渐形成了现代势论的概况 现代势论的发展在 国内来说是非常缓慢 到目前来说 可能没有哪一门教材来详细介绍势论的内 容 但是在国外的发展已经相当成熟和完善 有一大批学者和工作人员对现代 势论的研究做出了很大的贡献 以e b s a f f 等代表对势论的主要内容像势能 能量 测度等内容做出了一系列的结果 并形成了完整的体系 现代势论作为一门应用广泛的学科 在物理和数学中的应用更是广泛 尤 其是在物理中的能量问题 最小能量点的分布 势能 及其数学中的测度 逼 近论等内容的应用更是广泛 本文回顾了现代势论与数值逼近有关的部分理 论 探讨了它在数值计算中的应用 特别是在g a u s s 型求积公式中的应用 1 2 文章章节分布和研究结果 本文的章节分布如下 第二章主要介绍现代势论的有关内容 其中以f e k e t e 点 势能 容度 g a u s s l o b a t t o 点及与f e k e t e 点有关的定理 第三章重点介绍现代势论在逼近中的应用等有关内容 其中包括f e k e t e 点在有关插值点的选取 利用现代势论对误差估计等方面的应用 并给出例子 第四章介绍g a u s s 型求积公式 主要介绍g a u s s l o b a t t o 积分公式的相关 问题 第五章对本文做一个总结和展望及下一步的工作 研究结果 1 f e k e t e 点对于误差估计的作用 2 f e k e t e 点对于插值点的选取问题的影响 3 对于一类特殊图形上的f e k e t e 点的分布给出了探讨 4 g a u s s l o b a t t o 积分公式的改进和误差估计 并给出一系列算法和最小 二乘的结论 并给出实例进行说明 2 第二章现代势论 随着位势论的不断发展 逐渐形成了现代势论的概况 现代势论中经典的 内容包括容度 势能 能量 测度 f e k e t e 点等方面 本章我们主要介绍一下 与逼近论有关的现代势论的内容 2 1 容度 p a d e 逼近式的某一序列的收敛性问题 一般而言是非常困难的 一个p a d o 逼近式序列的收敛与否 不仅依赖于函数f z 的特性 也和这些序列的具体取 法密切相关 试想 要从一个二维的p a d o 表中选取一个序列 显然可有任意多 的方式 这便决定了收敛性问题的多样性和复杂性 对于p a d 6 表的列序列 d e m o n t e s s u s 定理对于半纯函数给出其在圆盘上的收敛性 该定理是目前所知最 精致的收敛结果 对角序列是另外一种自然的选择 尽管在 2 中对s tie l t j e s 级数证明了对角序列的收敛性 但对于一般的函数 只能在测度意义下或某些 条件下获得收敛性 较广泛一些的序列 诸如射线序列 m n 1 m i n 或抛 物线序列乃至更一般的序列也值得考虑 然而这些序列的收敛性一般也只能在 测度或容度意义下方可建立 即代替在某一区域上的收敛性 这里要除掉该区 域中一个任意小的集合 后来人们发现 测量该区域最合适的量就是容度 在经典的d em o n t e s s u s 定理中 如果p a d 6 逼近式的分母的次数n 不是恰 好与 厂 z 的极点的个数k 相同 而是大于极点的个数 那么相应的结论不能成 立 从该定理的证明可以看出 可以看出的问题是 r e n z 的极点除有k 个 收敛于f z 的极点外 其余的极点的位置是不确定的 所以仅仅除掉f z 的领 域 不能保证 m n 1 z 的收敛性 m o o 以固定 特别是由于这些极点的位置 不确定 我们甚至得不出在某一区域上的收敛结论 而只能考虑 依测度 收 敛 粗略的说 厂 z 与 m z 在某区域中除掉一个测度很小的 破坏 区 域可以很接近 为了说明依测度收敛的某些结果可改造成依容度收敛 而且这 种改造确实有本质上的改进 后来人们发现容度是度量该 破坏 区域更合适 的量 所以我们有必要介绍一下容度的概念 我们首先介绍有关容度的内容 定义2 1 1 心1c h e b y s h e v 多项式的定义 设e 为复平面上的有界闭集 只是所有首项系数为一的以次多项式的全体 如果e 中存在多项式 z 满足 m z e a el z i r a 础i n m 酣a x p z i 2 l 1 那么 则称瓦 z 1 为e 上的c h e b y s h e v 多项式 如果取e 一1 1 1 那么由经典的逼近理论知 瓦即为c h e b y s h e v 多项式 即 z z 2 1 一 c o s 胛a c c o s z l 2 1 2 且m 警l 瓦 z l 0 瓦0 2 卜 对于一般的区间f 口 b 上的c h e b y s h e v 多项式 可由线性变换 一x k 去 6 一口 吒 6 口 2 1 3 厂11 打一i 而得到 且 l 去 6 一口 l l tj 定义2 1 2 乜1 双纽线 双纽线区域 设见 z 是一咒次多项式 那么曲线i 见 z i c c 0 称之为双纽线 而区域 l 见 z i c 称为双纽线区域 引理2 1 3 乜1 设p 只 e 是双纽线区域i p z 卜c 则有 瓦 z e p z 2 1 4 我们不加证明的引用几个定理 定理2 1 4 乜1 如果e 是一个无穷有界闭集 那么e 包含在双纽线区域 厶 k z e l 0 换言之 一个零容度集不包含连续统 例2 1 1 乜1 圆周l z i r 的容度为r 但其测度为零 4 这说明 将依测度收敛的结果改进成依容度收敛是有本质上的改进的 定理2 1 9 乜1 容度具有以下的性质 f 单调性一一若巨ce 2 则c 印 巨 c 印 岛 i i 齐次性一一在变换t z a z b l f 有 c 印 丁 e h 却 e 例2 1 2 为了方便说明问题 我们给出几种特殊集合的容度 1 e 1 1 则c a p e 去 2 e 口 6 则印 e 竿 3 e z h r 则c a p e r 4 e z l z l 0 在空间r 中的n 个点的相异点集w x i 定 义r i e s zj 一能量如下 巨 广 2 2 2 叫i t x j l 其中i i 为殴几里得空间距离 当s 0 时的定义就是 昂 否l o g 网1 一 篆 1 g 同1 他 2 3 对于参数s 和空间维数d 之间的关系以及相应的点的分布文献 2 3 2 4 3 3 3 4 都做了详细的分析和说明 同时对于曲线上 高维流形上 d 维 空间 单位立方体等特殊图形的最小能量点都做了详细的分析 尤其是在参数s 和空间维数d 的关系不相等时 对于殴几里德空间球面上的r i e s zs 一能量分布 在 2 4 中做了深入的研究 设a 是殴几里德空间的r d 的流形 如何寻找能够很好地表示a 的离散点 这一问题就自然的被研究 最常见的是当流形a 是区间 一1 1 时 我们可以选 择 2 2 1 的n 个等距点 使得a 能够更好的离散化 这些点在 1 1 上具 有 b e s t p a c k i n g 问题的很好性质 通常情况下 我们称一个不同点集 二 五 ca 能够解决紧集a 的n 个点的 b e s t p a c k i n g 问题 如果 下面的式子成立 m 鹭i n l i 一巧l 罂琶卿p l 葺一 i 2 2 4 悖 l 而一 i5 焉笔巧弩l 葺一 i lz z 4 其中国 薯并是集合a 的n 个点的子集 但是当我们为 1 1 上的积分公式或光滑函数的多项式插值时 上述方法 是不可取的 这就会出现典型的r u n g e 现象 同时我们也知道多项式历来被认 为是最好的逼近工具之一 用多项式作插值函数即代数插值 对于这类插值 插值多项式的次数随着节点个数的增加而升高 然而 高次插值的逼近效果往 往是不理想的 随着节点的加密采用高次插值 虽然插值函数会在更多的点上 与所逼近的函数取相同的值 但是从整体上看 这样做不一定能改善逼近的效 果 事实上 当n 增大时 就会发生上述所说的r u n g e 现象 如果选择上述的等距点结果就很糟糕 那是因为多项式的插值算子随着n 的增大而呈几何的增长 当 专 时 选择 一1 1 上的n 个点具有a r c s i n e 的分布 车竺号 这些点就是所谓的古典的c h e b y s h e v 多项式 万 1 一x 2 巧 x e o s n a r c c o s x 的零点 相应的多项式插值算子的形式是o 1 0 9n 于是 很自然的就把一维的多项式插值 或g a u s s 积分公式 与a r c s i t i e 分布联系在 一起了 文献 2 3 中指出 对于任意一个首项系数为一的多项式 p 石 兀 x 一薯 满足 专1 0 8 网1 l o g 加 f 2 2 5 其中v 是正规的测度h 寺 毛表示在点x 处的单位点质量 撕酬 扣南脯黝帔黼黼能一蛐姗黼吼能量 积分可以定义为 厶时 l g 寺 x 础 r 2 2 6 其中 为 一1 1 上的任意的概率测度 当能量达到最小时 此时的测度就是 a r c s i n e 分布 也称为a 卜1 1 1 上的平衡测度或r o b i n 测度 m f e k e t e发现了多项式插值和离散形式的能量积分 厶 舻o g i 辛 x d f 之间的关系 对于给定n 我们想找到n 个点集 ca 使得对数能量 毛 计5 吾l o g 南 磊 1 0 9 同1 2 7 6 达到最小 其中n 个点的集合 一 是a 的子集 注意 上述使得能量达到最小的那些点就是下面要介绍的f e k e t e 点 2 3f e k e t e 点 f e k e t e 点是势论中的一个重要内容 之所以称为f e k e t e 点是为了纪念m f e k e t e 在古典的带权能量问题的离散性方面所做的贡献而命名的 相关的内容 还有带权的f e k e t e 点 超限直径及f e k e t e 多项式 我们首先介绍有关f e k e t e 点 f e k e t e 多项式的定义 定义2 3 1n 阳在复平面c 的紧子集 上定义无限多个不同的点而 z 乙 使得它们之间的距离尽可能的远 f e k e t e 的主要思想就是在一个紧集e 上找到一些点 使得它们之间的距离尽可能的远 于是考虑v a n d e r m o n d e 行列式 矿 工 x 2 吒 i 砰 i 五 h x 霹 群 1 一 1 兀 x i 弘 e 2 3 1 l g s j s n 其中任意一个点鼍 e 则v 有以下的形式 y 而 而 矗 兀 x j 一一 2 3 2 i g 0 以一珐带权的f e k e t e 点就是以参数 口 2 a n 一1 一l 2 b n 一1 一1 的j a c o b i 多项式的零点 对于线段上心刀的和d 维立方体上他们的f e k e t e 点就是g a u s s l o b a t t o 点 所以对 于三角形区域上的凡妇纪点也有这种可能 众所周知 根据高阶多项式插值和积分的性质 g a u s s l o b a t t o 积分点已经 普遍应用到数值理论中 但是g a u s s l o b a t t o 积分点仅仅对于像线段和正方形这 样的张量型区域是明确的 怎样把g a u s s l o b a t t o 数值理论扩展到像三角形等非 张量型区域就很不明确了 m a t a y l o r b a w i n g a t e r e v i n c e n t 做出了关于计算三角形区域的f e k e t e 点的 新算法心钉 并且给出了对于次数超过1 9 次的三角形区域的一些结果 对于次 数d 1 0 的这些f e k e t e 点就是非常出名的具有最小l e b e s g u e 常数的点 同时这一 算法也稳固了b o s 在 3 9 中的关于三角形边界的f e k e t e 点是一维的 g a u s s l o b a t t o 点的假设 2 6 有关f e k e t e 点之间距离的定理 为了说明问题 我们定义一些记号 令k 为复平面c 上的连续统 k 在c cu o 1 上的无界补集为e 记f o e k 上的n 个点的集合 点 受 靠 cx n 2 2 6 1 称为 一t h f e k e t e 点 如果下式成立 a n x 卫 睁彘r 燃 驯乃 z k l 2 6 2 k 上的 一t hf e k e t e 点位于i 饱上 连续统k 和r 具有相同的n t h 9 f e k e t e 点 k 的外部区域e 有一个以 处为极点的格林函数g z g z 1 在e 上除 外都解析且在r 上值为0 在e 上可以定义 比问 g 貉 根据定义知 2 6 3 其中c a p k 为k 的容度 z 为一映射函数 于是可以把g z 扩展到c 上的连 续函数 定义如下 g z v u 廖 z 2 6 4 其中v 为r o b i n 常数 u 脚 z 为与测度彩和f e k e t e 有关的势能 k i v a r i 和p o m m e r e n k e 在文献 3 3 3 4 中得到 1 n t hf e k e t e 点在有界连续统中两点之间的距离 d 薯 x j l 五一 l 号 2 6 5 2 在c 1 光滑的若当曲线上n t hf e k e t e 点之间的距离为 d 薯 卜 i 熹 2 6 6 3 对于光滑和凸的情况下 任意两相邻 一t h f e k e t e 点之间的距离 d 卜x t i 警 2 6 7 下面给出与格林函数有关的 一t hf e k e t e 点两点之间的距离关系 命题2 6 1 口力设g 在f 的邻域内满足l i p 无条件且去 允 1 则存在一个常数 艿 0 使得对所有的n 和每个k 邻域上的n t hf e k e t e 点集 缶 磊 知 有 嘧铲彘i 南 2 6 8 成立 证明 根据f e k e t e 点的最大值性质可得n 1 次多项式 p z 兀 号 2 6 9 j j j k k 1 j 在r 上满足 lj l p z 兀 i 扣l 七 1 i 玉iy oi p k z l n 1 g z 在e 上解析且i 仇 z i 一1 g z o 所以在e 上也 有i 见 z l n a g z o 于是当g 彘 o 则由g 的三驴五条件知 对于某一常数 a 当i z 一彘i n 1 m 有 l o g p z i 一1 g z 一g 色 圭 1 h 则结果很显然 另一方面 如果 彭一郇i 2 n 刈 则有 1 i 仇 白 一p k 6 k 旧戤 w 刮 防一磊 4 9 n m 从而我们可以得到 i 白一彘l 瓦而1 得证 注 此命题给出了任意两个f e k e t e 点之间的最小距离 利用这一结果我们 可以用来解决逼近论中有关误差估计的问题 第三章现代势论在逼近中的应用 在古典的逼近论中其实很多方面都体现了现代势论的内容 但是我们不在 意这些常见的问题形式 本章我们主要介绍一些我们经常用到的现代势论的有 关内容 并举例 3 1 有关误差估计 逼近论中关于误差估计的理论已经形成了完整的系统 因为误差估计是用 来判断逼近效果的标准 所以对于误差情况的理论显得非常重要 对于不同的 计算公式 逼近公式 都会有不同的误差估计式 3 1 1 有理逼近的误差估计公式 有理逼近的误差估计公式很多 我们主要介绍几个有关的p a d 6 逼近的引 理 对于任一固定的n 当m 时 m n s a 的收敛性和误差估计比较简 单 而对于固定的k 当刀 时 n k n r 以入 的收敛性与 n 1 n r s a 的收 敛性一致 因此主要考虑 n 1 n s 入 的收敛性及误差估计 任意给定一个无穷三角阵 z l 1 z l 2 一 乙加 i 令 k z n z 一缸 v o 1 3 1 1 或 z 押 z 1 r i 1 一z z 3 1 2 为研究厂 z 的以圪 z 为生成多项式的p a d 6 型逼近 r e n s 入 的收敛性问题 我们不加证明的引用几个定理 引理3 1 1 邸 设函数 z 在区域d 内解析 缸 则i z 的以 k z 兀 z 为生成多项式的p a d 6 型逼近 n 一1i n z 在 z p 一气l 潞iy 一w i 乙 舻1 2 的任一紧子集上一致地以几何速度收敛于i z 并且对任意的z d 有 1 2 凰l 厂 z 一 n l n z 卜南s u p i y 1 刮 文献 3 2 j 给出了积分形式的误差公式如下 引理3 1 2 3 2 l 设函数厂 z 在区域d 内解析 m n z 是 z 的以圪 z 为生 成多项式p a d 6 型逼近 则 他 胁 z 意 去 端咖 其中7 一是区域d 内的任一包围原点o 与点z 的简单闭曲线 引理3 1 3 口2 1 若厂在 z l z l 1 内可析 如果 m n p q 则有误差公式 掣 南z 捌焉 1 2 耐甚l 1 卜z j 叫一 h 引理3 1 3 在文献 1 7 中指出 误差公式其实质上就是估计 m 问引a xf m n z 卜鞘净i d 其中c 是与m 甩 无关的常数 但是一般地情况下对于q 的零点知道不多 那么 就要估计 问题就是 多大时使得卜 最小 当 多大时 使得 m n 为h 提供最好的逼近 故必须计算 十 o 小帅鞘 其中 r z l 为线性l e b e s g u e 测度 为充分小的数 而我们利用势论可以得到确卜 1 的上界 详见 17 而且依测度收敛的某些结果可以改造成依容度收敛且有本 质上的改进 c a r t o n 引理中所除掉的集合就是双纽线区域l q 晰 z l 叩棚 而容度 是测量该区域大小的更合适的量 利用f e k e t e 多项式代替相应的多项式 且使得区域内的任意点满足 l z 一气l 佣m a x z 一乙i 荨 3 1 9 其中6 为充分小的数 利用c a p q m z l 7 求出的值可以达到充分小 则剩余的区域部分仍满足 逼近的结果 但是这一方法具有一定的限制性 因为容度和测度有时相差很多 故本文对上述问题对这一方法不做太多探讨 3 2 利用现代势理论进行的误差估计 本小节我们主要是利用现代势论的有关知识求相应的误差公式 3 2 1 一类 z 一1 n 型误差公式 有关第二类f r e d h o l m 积分方程具有以下形式 x s y s aj 七 s t x t d ta s t b 3 2 1 其中k s t y s 分别为定义在 a b 内的连续函数 方程 3 2 1 的解x s 可以展成为函数值系数的幂级数 x s f s 入 y o s y t s a y 2 s 入2 以入 3 2 2 其中y o s y s 乃 j 七 s f y o a t 七 s 为第玎个核f 1 见文献 3 1 在多项式空间p 定义线性泛函西 p c 妒 x s 甩 0 1 3 2 3 令l x a 1 表示等值线 g z l o g o 乓为f 盯的内部 再设尾在e 的外部没有极限点且关系式 l 1 1 细 l i m r f i i z 一叫 却 e e x p c z 3 3 2 对于k 的每一个有界闭子集一致地成立 若 z 在e 上解析 在乞 对于某一p 1 内半纯且恰有k 个极点 计及重 数 q 则当m 充分大时 r e n z 存在且 r e k z 恰有七个极点 当 m 专o 时它们分别收敛于诸 而且序列 肌 七 z 在髟 q 的每一个紧子 集上一致地收敛于厂f z l 定理3 3 1 是d em o n t e s s u s 定理到多点p a d 6 逼近的推广 3 4 有关测度的误差估计公式 3 4 1 依测度收敛 一般来说 p a d 6 逼近的对角序列和一般序列没有好的结果 在这个方向的工 作有按较弱意义的收敛定理和在一致有界区域的收敛定理 在p a d 6 逼近序列按 测度收敛的研究方面 j n u t t a l l 1 9 7 0 年 首先取得了突破 之后 陆续有一 些推广j n u t t a l l 的结果的工作 1 9 7 3 年 c h p o m m e r e n k e 把j n u t t a l l 的结果推广 成按容度收敛的定理 1 9 7 9 年 h w a l l i n 进一步把c h p o m m e r e n k e 的定理推广到 多点的p a d 6 逼近序列中 在d em o n t e s s u s 定理中 如果p a d 6 逼近式的分母的次数n 不是恰好与f z 1 的极点的个数k 相同 而是大于极点的个数 那么相应的结论不能成立 从该 定理的证明可以看出 可能看出的问题是 r e n z 的极点除有k 个收敛于 厂 z 的极点外 其余的极点的位置是不确定的 所以仅仅除掉 厂 z 的领域 不 能保证 m n 1 z 的收敛性 肌 o o n 固定 特别是由于这些极点的位置不确 定 我们甚至得不出来在某一区域上的收敛结论 而只能考虑 依测度 收敛 粗略的说 f z 与 m n z 在某区域中除掉一个测度很小的 破坏 区域可 以很接近 虽然这个 破坏 区域的测度可任意小 但其分布位置随r t l 变化 3 4 2 依容度收敛 容度是现代势论中的一个非常重要的量 由前面的介绍可以知道 引入容 度的概念并说明依测度收敛的某些结果可改造成依容度收敛 而且这种改造确 有本质上的改进 依测度收敛的结果都是以c a r t a n 引理为基础的 所以我们 首先引入c a r t a n 引理 c a r t a n 引理心3 如果q 是一个首一的代数多项式 那么不等式l q z l 矿对 于复平面上除去一个测度不超过研2 的集合之外的所有z 均成立 但是只有当q 的玎个零点都重合时 所除掉的集合f 的测度恰为聊2 在其 他的情况下 f 的测度都小于聊2 换言之 前面所说的除掉的那个 破坏 集 合的测度可能远小于万 我们将用容度来代替测度 事实上 c a r t a n 引理中所 除掉的集合就是双纽线区域i q z i 2 扣0 1 一 1 3 6 1 的等距结点作为插值点 据r u n g e 证明 上述等距点不是最理想的插值点 这 是因为多项式插值算子的形式随着n 的增大而呈现几何的变化 最后证明了在 一l 1 上 当 专o o 时 n 个点具有渐进的反正弦分布见 2 3 即这n 个点为 c h e b y s h e v 多项式巧 x c o s n a r c c o s x 在 一1 1 的零点 古典的势理论表明 能量积分 x o u 2j l o g 由p y d p f 3 6 2 其中p 为支撑在 一1 1 上任意的概率测度 当厶 加达到最小时 d p 为a r e s i n e 分 布 此时的f e k e t e 点为c h e b y s h e v 多项式乙 x c o s a r c c o s x 在 一l 1 的零点 即 i 2k雨 1 tr kxk c o s k l 2 拧 3 6 3 i f 下 l 拧 0 3 b 3 l 疗十1 当然 对于任意区间 a b 可以通过坐标变化 瓦 告 6 一日 吒 6 口 3 6 4 归一化到区间 一1 1 求得其上的f e k e t e 点的分布 3 6 2f e k e t e 点与l a g r a n g e 插值的联系 关于f e k e t e 点在插值理论有很多文献都提到过相关的知识 如在多项式插 值的误差估计的情况下就有说到此方面的内容 我们知道有很多种插值方法 在这些插值多项式中 我们可以看到在给定的插值点薯 j o l 2 刀 上 n 厂 x 而我们关心的当然就是在非插值节点x 上p z 逼近厂 x 的精度 1 9 如何 因此我们非常有必要研究插值余项兄 x x 一见 x 的大小 非常著名 的l a g r a n g e 形式的插值余项有下面的定理 定理3 6 1 n 3 1 设 工 在 口 6 上有 l 1 阶连续导数 x o 而 而e a 6 是互异 的插值节点 作s x 的 z 次三咿口僻形式的插值多项式见 x 则有 嘶m 刮小需冉卜拈 6 3 6 5 从上面的定理我们可以得到 i r x l 群i 工一而l l x 一五l i x 一而i i x 一矗i 3 6 6 显然它可看作是由两部分组成的 第一部分m a 1 划取决于被插值函 j i 口 口 x o o 数 而与采取何种插值方法及插值节点的选取无关 第二部分 石 币x x o i i x 工 i i x 而i i x 一矗i 与厂 x 无关 而与插值点的位置有关 当 厂 斛1 x 在区间 口 6 上有界 并令鸩 卅m a 叫x 1 1 一肘1 x l 有上述的结果 但是 除整函数以外 一般来说 高阶导数增长甚快 而且在使用插值公式时 忍不 能取得太大 在大多数的情况下 由上式计算出的误差远大于实际误差 由于第一部分可以说是我们无法控制的 这里我们主要研究第二部分 减 小第二部分同样可以缩减误差 这样问题就归结为求函数 f x o w z 毛 2 黝渺一稚i 3 6 7 的极小值 其中x o 而 x 2 x n 口 b 对于 口 6 卜1 1 由前面我们介绍有关f e k e t e 点的知识知道 当且仅当 兀卜一魄i 是与零的最小偏差值为2 的c h e b y s h e v 多项式2 c o s n 1 a r c c o s x 时 也就是当且仅当 砟 c s i 2 k 雨 1 t r 尼 o 1 2 z 3 6 8 砟2 c o s 芝丽 七2 u 1 z 疗 j b 5 f 达到最小值 由上面的定理我们直接的就可以得到下面的结论 定理3 6 2 1 对于 口 6 一1 1 当所取的插值点为x k c o s 等篙半导 k 0 i 2 n 时 定理3 6 1 中的误差为 i j 2 x i j i i i j i i i i m 一a x l l 厂 1 x l 3 6 9 并且因子杰不能通过变动孔再做改进 同理 我们可以利用简单的线性变换不难得到相应于一般区间 a b 的结果 2 0 也就是说 关于在整个插值区间上的余项极小化问题 与前面所说的 c h e b y s h e v 最小零偏差多项式直接相关 即为使插值余项在整个区间上尽可能的 小的 最佳 插值节点组 应该取该区间上最小零偏差多项式的零点 由上面的知识介绍及f e k e t e 点的定义 我们知道f e k e t e 点是l a g r a n g e 插 值的理想点集 事实上 兀 z 一 厶吐 z 岩竽 一 兀 札一 满足 f l z f 1 对于vz 但是选择了f e k e t e 点 则l e b e s g u e 常数最多为拧 即 l s u p z i l w z 甩 z e 岸 1 特别地 当p 为次数不超过刀一1 次的多项式 则有 恍i p l l p l l h 如 下面我们考虑最常见区间 l 1 上的l a g r a n g e 插值与f e k e t e 点的关系 l a g r a n g e 插值基函数 x 可以利用v a n d e r m o n d e 行列式来表示 m 盥琵掣 其中矿 q 是以f e k e t e 点a i i 0 1 刀为元素的v a n d e r m o n d e 行列式 利用f e k e t e 点的极大值性质很容易证明 骧i x i l o f 聍 3 6 1 4 而且我们可以得到另外一个结论 定理3 6 3 乜8 1 l a g r a n g e 插值基函数 x 满足 一m a x z i x 1 当且仅当在其上的f e k e t e 点a j i 0 1 挖上 证明 令f z 兰乎 x 9 f lf x 是2 刀次的多项式 我们设 q 毛 则 i o f 哆 菇 1 o j n i o 由定义知在点口j i o 1 力上的确能达到最大值l 但是在除去端点一1 1 外的内部点上 f 工 o 于是 x 一1 在任意内部点q 均有双重零点 这就意 味着f 在每个刀一1 个内部点处都是两次达到最大值1 即在内部点会有2 n 1 次 端点处2 次 一共会出现2 1 2 2 n 次 又因为y x 是2 n 次的多项式 2 l 故在 1 1 上只有在f e k e t e 点a j 上达到最大值 得证 定理3 6 3 说明了f e k e t e 点的特殊作用 上面我们也提到f e k e t e 点和插 值点的关系 下面我们就举出具体的实例来说明问题 例3 6 1 我们做指数函数y e 在 1 1 上两种情况的l a g r a n g e 插值与 原函数图象的比较 1 任意选择三个 一1 1 上的插值点 一1 p 1 i 一专 p ii o 1 2 1 1 上的f e k e t e x k c o s 篙旱导 七 1 2 3 以 3 相应的 坐 生 y k e8 k 1 2 3o 上面两种插值点所做的l a g r a n g e 插值图象如图3 6 1 较 函数图象的比 从上面的实例可以看出f e k e t e 点比任意选取的插值点效果要好 3 6 3 本节总结 本节通过对f e k e t e 点的性质分析 可以看出它对于最优插值点的选择 插 值余项的进一步估计都有很好的结果 从而说明了f e k e t e 点在逼近论中的作 用 3 7 一类不规则图形的f e k e t e 点的分布 由前面的介绍我们知道 对于区间 圆和球上的f e k e t e 点的分布e b s a f f 等做了详细的分析和证明 在现代势论中 求能量极小值时 f e k e t e 点起了很 2 2 大的作用 但对于一些不规则的非凸图形的f e k e t e 点的分布未做分析 而这 类模型在生产实践中有很重要的意义 本节我们就对一类特殊的图形做出了分 析 为了简单说明问题 我们就取三点做为代表 我们首先要解决的问题就是在什么情况下由区间上三点过渡到线段上一点 和圆上两点 也就说 线段上的点怎么由线段过渡到线段上和圆上的点的结 合 由e b s a f f 等做的工作我们可以知道 容易确定一线段上的三点电荷位 置 现在我们让一个端点变成一个小圆 开始时三点位置保持不变 但逐渐增 加半径 时 我们观察点在什么情况下会离开线段到圆上 在半径多大时 会 出现点的重新分布 我们知道 只有能量比原来增大时 电荷才会移动 不失一般性 在线段 o 1 范围内考虑 如图3 7 1 所示 一 c靡 翼 r o 0 弋岁 红0 图3 7 1 线段 0 1 范围内电荷分布情况 点0 f a q 的坐标分别如图所示 其中p h 垂直于0 q 0 p q 代表初 始的三个点 假设0 f 三 1 三 3 7 2 2 24 令t c o s 0 则 3 7 2 式变形为 2 r t x l 4 r 1 r t 2 了1 3 7 3 令厂 f 2 r t x 1 4 r 1 一r t 2 若t 为f r t 的极点 则有 鲁功乒而习物r 8 r 1 r t 解 3 7 4 式得 8 r t 2 s t 2 t 2 1 2 3 0 3 7 4 3 7 5 由 3 7 3 和 3 7 5 解得 旦 1 1 一 3 7 6 即 1 1 由题设条件知 要使电荷由线段上过渡到圆上 半径尸必须满足 3 7 7 一 一 l3 52 也就是说当半径0 1 时 线段上的电荷分布不发生改