热学教程习题参考解（第五章）.doc

热学教程习题参考答案习 题习题5-1图 习题5-2图5-1设有如图所示的为实线界面限定的任一系统，以压强对抗外界均匀压强，使系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中,系统的体积增加，试证明：(1)外界对系统所作的体积功为；(2)若过程是准静态过程,则此体积功又可表示为。证明：(1)气体体积膨胀做功实际是抵抗外界的力做功，所以系统体积增加，系统对抗外界做功为，则外界对系统做的体积功为；(2)如果是准静态过程，则系统和外界之间的压强相差一个无穷小，即，则此体积功为。5-2一系统由如图所示的A状态沿ABC到达C态时，吸收了334.4J的热量,同时对外作126J的功。试问：(1)若沿ADC到达C；则系统作功42J，这时系统吸收了多少热量？(2)当系统由C态沿过程线CA回到A状态时，如果外界对系统作功是84J，这时系统是吸热还是放热？其数值为多少?（答：(1)250J；(2) -292J.）解：根据热力学第一定律（1）（2）系统向外界放出热量为292J。5-3试在图上画出为理想气体所完成的、以下准静态过程的曲线：(1) ;(2);(3),其中为常数.并计算当它们体积由变至时所作的功.(答:(1);(2)0;(3).)解：画图略；由(1) ，(2) ，对比理想气体状态方程，可知，则(3) ，对比理想气体状态方程，可知，则5-4某过程中给系统提供热量2090J和作功100J,问内能增加多少?(答：2190J)解：由热力学第一定律：现：，则：5-5气体的摩尔定压热容随温度改变的规律服从公式：，其中是常数，物质的量为mol气体在一个等压过程中，温度从变到，求气体与外界间所传递的热量。(答:。)解：由热容公式：5-6摩尔数相同的两种理想气体，一种是单原子气体，另一种是双原子气体，从同一状态开始经历三种不同的过程:(1) 等温膨胀；(2) 等压膨胀；(3) 绝热膨胀，体积膨胀为初始体积的两倍，问：这两种气体对外所作的功是否相同？从外界吸收的热量是否相同？为什么？答：等温膨胀和等压膨胀两种气体做功与分子结构无关，所以做功相同，绝热膨胀因为做功与绝热指数有关，所以做功不同。等温膨胀吸热与做功相同，绝热过程不吸热，所以这两种过程从外界吸收的热量相同，等压过程因为与定压热容有关，所以两种气体吸收的热量不同。5-7将400 J热量传给标准状态下的2 mo1氢气,试问:(l)若温度不变，氢的压强、体积各变为多少? (2)若压强不变,氢的温度、体积各变为多少? (3)若体积不变，氢的温度、压强各变为多少?(答:(1)0.916 atm,48.9m;(2)279.9 K, 45.9m;(3)282.6 K,1.035 atm.)解：已知：，标准状态下的体积（1）等温过程，解出：（2）等压过程：，解出：（3）等体过程，解出：5-8装备一无摩擦的活塞的气缸内贮有27的 lmo1氧气，活塞对气体保持latm的恒定压强,现将气体加热，直到温度升高到127为止。(1)试在图上画出此过程的曲线。(2)在此过程中气体作了多少功？(3)气体内能变化如何？(4)给气体传递的热量有多少？(5)如果压强为0.5atm，气体作了多少功?（答：(1)300K，1atm，0.0247m，400K，1atm，0.0329m；(2)830J；(3)2078J；(4)2909 J；(5)830J.）解：(1)图略(2)等压过程：(3) (4) (5) 5-90.040kg的氦气温度由17升为127.若升温过程中:(l)体积保持不变;(2)压强保持不变;(3)不与外界交换热量,试分别求出气体内能的改变,吸收的热量和外界对气体所作的功.(答:(1)=1.37J,=0;(2)=1.37J, =2.29J, =9.2J;(3)=1.37J,=0,=-1.37J.)解：已知：(1)等体过程：(2)等压过程：(3)绝热过程：5-10分析实验数据表明，在1atm下，从300K到1200K范围内,铜的定压摩尔热容可表示为:,其中2.310,5.92,的单位为(J/molK).试计算在1atm下,当温度从300K增到1200K时铜的焓改变.(答:2.47J/mol.)解：等压条件下系统吸收的热量等于系统焓的增量，所以5-11设一摩尔固体的状态方程可写作;内能可表示为,其中均为常数.试求(1)摩尔焓的表达式;(2)摩尔热容.(答:(1) ;(2).)解：(1) (2) 由5-121 mol的理想气体进行绝热膨胀时,试证明:气体对外所作的功可写为下列三种形式:.证明：课上讲过，略。5-13在标准状况下的0.016kg氧气,经过一绝热过程对外界作功80 J，求终态的压强，体积和温度.(答: 265 K,0.91 atm,12.1 L .)解： ，绝热过程，氧气的，解出：5-141mol氧的温度为300K，体积为2.010m。试计算下列两过程中氧所作的功：(l)绝热膨胀至体积为体积为2010m；(2)等温膨胀至体积为体积为2010m，然后再等容冷却，直到温度等于绝热膨胀后所达到的温度为止；(3)将上述两过程在图上表示出来；(4)说明两过程中作功的数值差别的原因。(答:(1) 3.75J；(2) 5.73J.)解：（1），绝热膨胀，氧气的（2）先等温膨胀，再等体冷却，5-15在标准状况下，lmol单原子理想气体先经过绝热过程，再经过等温过程，最后压强和体积均增为原来的两倍，求整个过程中气体所吸收的热量。若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同，吸收的热量（答：，）解：设开始状态为1，中间状态为2，终了状态为3，由理想气体状态方程和已知条件，则。单原子理想气体的，(1)先绝热再等温，则由，解出：(2)先等温再绝热，则由，解出：习题5-16图5-16如图所示，有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A和B，其中各盛有1mo1的理想气体氮。今有加热器将334.4 J的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持1.00 atm，(1)求A部和B部温度的改变以及各自吸收的热量(导热板的热容量可以忽略)。(2)若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上讨论.(答:(1) 6.67 K，139.2J，195.2J；(2)11.4 K, 0，334.4 J，0.)解：（1）固定导热板，此时A是等体过程，B是等压过程，而且两者温度始终相等，（2）活动绝热板，这时A是等压膨胀过程，气体温度变化为B中的气体是等压绝热过程，则，即，由热力学第一定律：可知：，即B是在状态不变的状态下平移的。习题5-17图5-17设有如图所示的一种测定气体绝热指数 的装置。经活塞B，将气体压入容器A中，使其中的气体压强略高于大气压。然后迅速开启再关闭活塞C，此时气体绝热膨胀到大气压强，经过一段时间,容器中气体的温度又恢复到与室温相同，压强变为。试给出应用实验测定的气体压强值，计算的表达式。（答：.）解：由于P1略大于P0，当开启C后，将有一部分气体冲出容器A，把仍留在A中的气体作为研究对象，则从开户C后到关闭C前，系统经历准静态绝热膨胀过程，由状态1（P1，T0）到状态2（P0，T2）；从关闭C到留在A的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态2（P0，T2）到状3（P2，T0）。绝热过程中： 等体过程中：联立求解：取对数：化简，得：5-18. 克列门(Clment)和德索姆(Dsormes)实验：气体在容器中压缩至高压，将活门打开，放出气体，使之达到与大气相等的压强，随后立即关闭活门。等到容器的内外温度相等后，测出容器中的气体压强。用表示气体的绝热指数，试证明:.证明：方法同上题。5-19试求等压过程中，空气吸收的热量有百分之几用来对外作功，有百分之几转变为内能。并以此说明的原因。(答:28.6 %, 71.4 %)解：空气看做双原子理想气体，的原因：等压过程中吸收的热量（由决定）只有一部分用来增加内能，另外一部分用来对外做功，而内能的增加由决定，因此。5-20某气体服从状态方程,内能为,为常数。试证明,该气体的绝热过程方程为:,这里的。证明：绝热过程，由热力学第一定律：对状态方程微分：消去dT，化简：由于，则有积分：即：（得证）5-21设有一个两端封闭的气缸,被一个质量为、面积为S的活塞分隔成体积分别为的两部分，其中都充满压强为的气体.现把活塞略微推离平衡位置，释放后活塞将作小振幅振动。若气体中发生的过程可看作绝热过程，并忽略摩擦，求活塞的振动周期。(答:)解：设t时刻活塞的位移是x，在活塞左右体积分别为，左右两边的空气压强分别为活塞所受的合力为由此可见，活塞将做简谐振动，故振动周期为5-22设有直立式绝热气缸，配有面积为和质量为的无摩擦绝热活塞。气缸中有温度为的mol单原子理想气体，与活塞的重量达到力学平衡。一个质量为 的重物从离活塞高度处掉落到活塞上，并随后与活塞粘在一起运动。若活塞的运动是弱耗散性的，故最终运动将衰减掉。试问：重新建立热和力学平衡后的气体终态温度和压强各为多少？(答：，.)解：按题意可知，缸中气体的初始温度，初始压强，初始体积，活塞离缸底的初始距离为。重物跌落到活塞上达到平衡后，气体的终态压强为。再应用绝热过程方程，可分别求得气体的终态体积和温度：和式中的是气体的绝热指数。5-23把水银注入两端都开口的U形管中，水银柱的总长度为。(1)现若略微地压一下U形管一端的水银面，水银柱在U形管中发生小振幅振荡，试证：忽略摩擦的振动周期为；(2)现将U形管的一端封死，留在其中的空气柱高度为。再让U形管中的水银柱作小振幅振荡，若空气可处理为理想气体，试证：忽略摩擦的振动周期为,其中的是大气压强的水银柱高；(3)证明:绝热指数 .证明：（1）水银柱在偏离平衡位置后，受到的恢复力为，它与位移成正比，方向相反，故水银柱在其平衡位置附近作简谐震荡，振动方程为：由此可见振动角频率为，振动的周期为。（2）水银柱作振动时，封闭一端中的气体受到绝热压缩，其中气体满足绝热过程方程，即压强与体积的变化应满足关系式：。若用表示气体作用于水银柱的力，则可知。故水银柱的运动方程为 或 ，由此可见，水银柱将在气体的膨胀和压缩过程中产生的力作用下，作简谐运动。若考虑到开口端的压强等于大气静压：，可得此简谐运动的角频率为：相应的周期为：（3）应用（1）和（2）的结果，可知：，故得气体的绝热指数为。5-24大气层温度随高度降低的主要原因是，低处与高处各层间不断地发生空气交换。由于空气的导热性能很差，所以它在升降过程中发生的膨胀和压缩能近似为准静态的绝热过程。试证明大气层中的温度梯度为：，式中的是大气压强，分别为其密度和温度；。解：由绝热过程方程可知 或者应用态函数焓，可将此方程改写为：，即大气中的温度梯度为：，这就是要证明的。在证明上式中，用到理想气体的状态方程和大气压强随高度作指数衰减的规律：。5-25利用大气压强随高度变化的公式，同时假设上升空气的膨胀准静态的绝热过程，试证明:，式中的为地面的温度和压强,而是高度处的压强。解：由大气压强随高度作指数衰减和在绝热过程中空气温度随高度变化的规律（见5-24题）可得： 和 ，所以温度随压强的变化应遵循的规律为，或者 。再由上列制约空气温度变化的微分方程，求得温度随高度的变化规律：，式中的温度是高度处的空气温度。由此可得要证明的公式： 。 习题5-26图5-26. 如图所示，潮湿空气绝热持续地流过山脉。气象站M和M测得的大气压强都是100 KPa，气象站M测得大气压强为70 KPa。在M处空气的温度是20。随空气上升，在压强为84.5 KPa的高度处(图中的M)开始有云形成。空气由此继续上升，经1500 s后到达山顶的M站。上升过程中，空气里的水蒸汽凝结成雨落下。设每平方米上空潮湿空气的质量为2000Kg，每千克潮湿空气中凝结出2.45g的雨水。若已知空气的定压比热为常数1005 J/KgK；山脚M处的空气密度可取1.189 Kg/m；云层中水的汽化潜热为KJ/Kg；又1.4,9.81 m/s。(1)试求出在云层底部M高度处的温度；(2)假定空气的密度随高度线性地减少，试问M和M两站间的高度差为多少？(3)在山顶M处测得的温度应为多少？(4)试求出由于空气中水蒸气的凝结，在三小时内形成的降雨量，若设M和M之间的降雨量是均匀的。(5)试问在山脉背面的气象站M3处的温度为多少？讨论M处空气状态，并与M处的比较。(提示：空气可处理为理想气体，忽略水蒸气对空气热容和密度的影响。温度计算精确到1K，高度计算精确到10m，降雨量精确到1 mm.)(答:(1)279 K;(2)1408 m;(3)271 K; (4)35 Kg/m2;(5)300 K.)解：（1）由于在处的温度K，压强KPa，当空气绝热上升到气象站处时，压强降为KPa，故若取湿空气的绝热指数，则可求得该处空气的温度为 K；（2）由于与的压强差是由于空气柱的重力造成的，故有 式中的是与两地的高度差；是与两地间湿空气的平均密度，依据密度随高度线性变化的假设，可得 再应用理想气体状态方程可得：m。（3）空气从到经绝热膨胀，温度从降至，即K。此外，已知1kg湿空气的降雨量为2.48g；而每凝结出1kg雨水，将放出2500kJ的热量，故因此引起的空气温度升高为K。所以到达处，空气温度为K。（4）按题意湿空气在处形成云，在和之间云层中的水蒸汽凝结成雨落下，在1500s中从每1kg的潮湿空气中凝结出2.45g雨水。由于每平方米土地上空有2000kg潮湿空气，故可知，平均地讲，每秒钟内降落到1平方米土地上的降雨量应为： g /m2s ,故可得3小时内在每平方米的土地上的降雨量为35.3 kg，即约35mm的降雨量。（5）空气从到经绝热压缩，温度从升至，即：K。由此可见，山脉背面气象站处的干燥空气的温度较之处的略高，这主要是因从潮湿空气中凝结出雨水时放热造成的。 习题5-27图5-27如图所示，1mo1的理想气体沿直线AB，由状态A(，)变化到状态B(，)。试求：(l)若巳知(k为常数)，求此过程中的k值：(2)此过程中与，与的关系：(3)此过程中内能的改变，对外所作的功，吸收的热量：(4)分别单原子和双原子气体两种情况，写出此过程中气体摩尔热容的公式。（答:(1) ;(2)，；(3)；=， (4) .）解：(1) (2)由过程方程及1mol理想气体状态方程：，解出，(3)(4)5-28.一定量的氧气压强为=1.0atm，体积为=2.3L，温度为=26；经过一个多方过程，达到压强=0.50atm，体积为=4.10 L，求：(l)多方指数；(2)内能的变化：(3)对外界做的功：(4)吸收的热量。(答:(1)=1.19；(2)-64.3J；(3)133J；(4)69.2J。)解：(1)由多方过程方程：，可知(2) 已知氧气的(3) (3) 5-29某一理想气体的=1.33，试确定其定容摩尔热容量和定压的摩尔热容量。(答：=25.2 J/molK，=33.5 J/molK。)解：由，解出5-30试从多方过程的功热量和内能公式出发，证明：当时由这些公式可以导出等压等温绝热和等容过程的功热量和内能公式。证明：已知多方指数为的多方过程中计算其功、热量和内能的公式分别为：，和。对于绝热过程，故得，；对于等压过程，故得， 和 ；对于等容过程，故得，；对于等温过程，故得，和。由此可见，为了从多方过程计算功、热量和内能的公式，得到等温过程中相应量的计算公式，需要评估不定式的数值。由多方指数的定义式可知：。由高等数学知道，当终态温度非常靠近初态温度时，函数 趋向零的行为，可以近似为，故将趋向，这样可得在等温过程中：。5-31对于l mol范德瓦耳斯气体，证明经节流膨胀后，其温度变化为:.设气体的摩尔热容量为常数。解：我们知道，节流膨胀过程是等焓过程，过程初终态的焓相等：。态函数焓定义为。对于范氏气体，它的内能 ，而由范氏状态方程可知 ，故由等焓条件可得：。5-32设有一体积为的容器，置于温度为的恒温器内。容器被隔板分为体积相等的A和B两部分：A中充满质量、压强和摩尔质量为的范德瓦耳斯气体，B为真空。抽去隔板后发生向真空的等温自由膨胀，试求初终态之间的内能差、压强差和熵差。( 答:,.)解：质量为范氏气体的物质量为mol，由于气体的摩尔数在过程中不变，故可将范氏气体的状态方程写为 ，其中，是乘上摩尔数后的范氏修正量，它在过程中是不变的常数。虽然向真空的自由膨胀是一个不可逆过程，但其膨胀前后的状态都是平衡态，故其间发生的态函数的改变与气体所经历的路径无关。设气体经历可逆的等温过程从初态1到终态2，其间发生的内能和熵改变，可由可逆等温过程的微分方程组：和求得。考虑到范氏气体的，故得：，。至于压强差，则可由范氏方程求得：。5-33. 设有四周绝热的容器，被隔板分为体积相等的A和B两部分：A中有压强为的1mol非理想气体；B为真空.抽去隔板后，发生向真空的自由膨胀。(1)若此非理想气体是范德瓦耳斯气体，求初终态间的内能差和温度差。若已知仍成立，3.310atmcm6/mol2，23.4cm3/mol，1L，求温度差的数值。(2)若此非理想气体某种满足变形范德瓦耳斯状态方程：，其中是一个常数，试求初终态间的内能差和温度差，并讨论什么情况下温度效应消失。若已知24.6 atmL/mol，求温度差及零温度效应时的值。（答：(1)，-0.13 K；(2)，；-0.13 K; 74 cm.)解：（1）一个绝热的向真空自由膨胀过程是一个不可逆的等内能（）过程，但初终为平衡态之间的温度差与过程经历路径无关，故可用等内能的可逆热力学微分方程得到。对于范氏气体 。故可得温度差 。当时，得K。（2）对于变形的范德瓦耳斯状态方程： 。故可得初终态之间的温度差为：。当时，得K。当时，温度效应消失，此时的。这就是说，存在一个初始的临界体积 m3/ mol =74.6 cm3/ mol ，达到该体积值时，温度效应消失。讨论：范氏气体的内压强在物理上是由于气体分子之间存在引力造成的，所以当气体的体积膨胀时，气体分子间的势能增加，为了保持总内能不变，气体分子的动能将减少，从而气体降温。遵从变形的范氏方程的气体内压强由两部分组成：由气体分子间的引力造成的减量部分和由气体分子间的斥力引起的增量部分，所以随气体体积膨胀，前者导致气体分子的势能增加，而后者却导致分子的势能减少。两者之间的竞争，决定气体最终是升温，还是降温。只要适当地选择气体膨胀的初始体积，我们可以达到一种情况，此时两者引起的增减效应，旗鼓相当，互相抵消，温度效应消失。5-34. 设有绝热壁包围的气缸,被一绝热活塞分隔为A和B两室,活塞可在气缸中无摩擦地自由移动.A、B两室中各贮有1 mol绝热指数为的理想气体,初始压强体积和温度都等于.现在设想有一电热器对A室气体徐徐加热,直到气体压强等于为止.试问:(1)A、B两室内的气体的终态温度和体积分别为多少?(2)在加热过程中,A室气体对B室气体作了多少功?(3)电热器给A室气体传递了多少热量?(4)A室气体的熵变为多少? (答:(1)，；，；(2)；(3)；(4).)解：（1）设B室中气体的终态压强，摩尔体积和温度为；A室中气体相应的终态参量为。则由B室中气体的绝热过程方程 ，可求得其终态体积为；相应的终态温度为。再应用A室中气体的状态方程 ，可求得其终态温度为。不难看出A室中气体的终态体积为 ；（2）A室气体对B 室气体做的功，等于B室气体绝热过程中内能增量，故式中的。（3）由热力学第一定律可知，电热器传递的热量 （4）应用计算理想气体熵变的公式，可得A室气体的熵变为： 习题5-