（应用数学专业论文）超球面的特征及曲面无穷小等距.pdf

摘要 本文分为两部分 第一部分首先讨论了欧氏空间中超球面的特征 总结了关于超球面特征的一些定理 得到了e 3 e e 中关于超球 面特征的几个等价定理 并给出了简单证明 然后推广了几个定理得 到 定理a 设m c e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 t o i 1 2 聆 o m 的点为脐点 h i c 1 日 c 则m 是超球 面的一部分 定理b 设mc e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 局 0 i 1 2 h 2 c 2 c 则m 是超球面的一部分 定理c 设m c e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 t o i 1 2 n o m 的点为脐点 在肘上存在正函数z m 专r 口 使得 f d k 0 成x y 且矩阵 州 对于f 五 工 两两否相等 f l f 厶 山 1 2 3 刀是半正定的 其中 厶 厶一z 七 6 艟 2 f 厶 则m 是超球面的部分 第二部分对e 中的曲面引入无穷小等距的概念 运用偏微分方程 的理论 椭圆型方程组的求解理论 将e 3 e 4 中曲面无穷小等距 的一些结果进一步推广 得到了关于e 中曲面无穷小等距的一个定理 定理d 设有界区域d c r 2 膨d 寸e 4 为曲面 以 m 专 m 是 截面 对任意m m 形式i i 是正定的 并且在点i n 处向量 与 中曲率向量日不正交 设v 是肘的无穷小等距 对任意点肼 m 向 量 圪属于由l m 和 l 所张成的向量空间 如果历 o m 正交于乙 加 则在肘上 有v 0 关键词 超曲面 正交曲率线网 脐点 超球面的一部分 无穷小等 足巨 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n s i s to ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t w ed i s c u s s e d t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fh y p e r s p h e r ei ne u c l i d e a ns p a c e s u m m a r i z e d s o m et h e o r e m sa b o u tt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fh y p e r s p h e r e w eo b t a i n e d s o m ee q u i v a l e n tt h e o r e m so nt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so f h y p e r s p h e r e i ne 3 e 4 e 5 e 6a n dg i v e ns i m p l ep r o o f g e n e r a l i z e ds e v e r a lt h e o r e m s t h e o r e ma l e tm c ze 1b eac o m p a c th y p e r s u r f a c ew i t ha n o r t h o g o n a ls y s t e m o f1 i n e so f c u r v a t u r e s u p p o s e t o i 1 2 撑 t h eb o u n d a r ya mo fmc o n s i s t so fu m b i l i c a l p o i n t s 墨 c 1 h c t h e nmi sap a r to fah y p e r s p h e r e t h e o r e mb l e tmce 1b eac o m p a c th y p e r s u r f a c ew i t ha n o r t h o g o n a l s y s t e m o f1i n e so f c u r v a t u r e s u p p o s e 电 0 i l 2 n c 2 t h e nmi s ap a r to fa h y p e r s p h e r e t h e o r e m c l e tmce 4 州 b e ac o m p a c th y p e r s u r f a c e i t ha n o r t h o g o n a ls y s t e m o f1 i n e so fc u r v a t u r e s u p p o s e 置 o i 1 2 n 多t h eb o u n d a r yo mo fmc o n s i s t so fu m b i l i c a l p o i n t s t h e r e i s o n m l d t 0 z m 哼rb e i n g p o s i t i v ef u n c t i o n ss u c ht h a tt h em a t r i x 柚m i sp o s i t i v e l y s e m i d e f i n i t e f o r p a i r w is e d i f f e r e n t f j i j 2 l i 厶 厶一z 七 6 址 2 厶 t h e n mi sa p a r t o f a h y p e r s p h e r e i nt h es e c o n dp a r t t h ec o n c e p t i o no fi n f i n i t e s i m a l i s o m e t r yo f s u r f a c e si ne i s i n t r o d u c e d w eg e n e r a l i z e d s o m er e s u l t sa b o u t i n f i n i t e s i m a li s o m e t r yi ne 3 e 4 e 5b yt h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o l u t i o no fp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n do b t a i n e d a t h e o r e ma b o u ti n f i n i t e s i m a li s o m e t r yo fs u r f a c e si ne t h e o r e md l e t 胍d e dc r 2ab o u n d e dd o m a i n b ea s u r f a c e 疗 m 斗 吖 isas e c t i o n f o r mi i i sp o s i t i v e l y d e f i n i t ef o rm m v e c t o rn a n dm e a nc u r v a t u r ev e c t o ri sn o t o r t h o g o n a la tm l e tvi si n f i n i t e s i m a li s o m e t r yo fm 匕b e l o n g t ot h ev e c t o rs p a c es p a n n e db y l 肘 a n d m f o rm m i f m a m 圪o r t h o g o n a lt o 乙 m t h e n v 0o nm k e y w o r d s h y p e r s u r f a c e o r t h o g o n a ls y s t e m o fl i n e so f c u r v a t u r e u m b i l i c a lp o i n t p a r t so fh y p e r s p h e r e i n f i n i t e s i m a li s o m e t r y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地 方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名 词零君签字日期 砷6 月l 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留 使厢 学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采 用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 1 司家君 签字日期 刎年6 月1 日 导师签名 签字日期 超球面的特征及曲面无穷小等距 1 引言及主要结果 1 1 引言 超曲面是余维数为一的子流形 而球面或超球面是全脐的凸 超 曲面 因此关于球面或超球面特征的刻画是微分几何中一类非常有意 义的工作 再次 曲面的无穷小等距也是微分几何中的一个研究热点 它主要研究两个曲面在满足什么条件下是相差一个刚体运动 或是同 一曲面在不同坐标系下的表示之间的关系 一直以来 许多数学工作者在关于球面或超球面特征的刻画方面 做了很多工作 试着用不同的方法 从各种角度去刻画球面或超球面 的特征 得到了许多结果 首先s c h n e i d e r 等人在文 1 卜一 5 中给出 了与 表示由i i 确定的高斯曲率 有关的球面或超球面的一些 整体特征 用墨 k 和h 去刻画球面或超球面的特征 接着姜树民在 文 6 中证明了一些用托 k 和h 去刻画球面或超球面特征的命题的 对偶命题 1 也成立 陈省身在文 7 中得到了欧氏空间中超球面的一个 特征 接着吴跃生在文 8 中推广了陈省身的结果 得到了欧氏空间 中超球面的另一个特征 使著名的h 一定理 k 一定理成为其推论 赵国 松在文 9 中利用超曲面的高斯映射得到了超球面的一个特征 a s v e c 在文 1 0 1 1 中研究了e 1 中超曲面的一些性质 得到了关 于超球面特征的一系列定理 后来陈抚良教授推广了a s v e c 的一些结 果 他在文 1 2 中得到了关于 和 中超曲面为超球面部分的充分条 件的两个定理 在文 1 3 中得到了关于 和e 5 中超球面特征的两个定 理 在关于无穷小等距理论的研究方面 0 b o n n e t 盯首先在1 8 7 6 年研究了e 3 中保持平均曲率h 的无穷小等距变形 并且得到了h c o n s t 的曲面允许非平凡这种变形的经典结论 接着 c g r a u s t e i n 1 9 4 2 e c a r t a n 5 1 1 9 4 2 与s s c h e r n 1 9 1 1 9 8 5 i m r o u s s o s 圳 1 9 8 6 和y a n gw e nm a o 1 1 9 8 8 对这种变形做了许多进一步 的工作 得到了曲面允许非平凡这种变形的充分必要条件 同时 s v e c 盯研究了e 3 中曲面的无穷小变形问题 对著名的猜想 两个 等距的曲面是i 等距的 进行了较深刻的研究 并对e4 中超曲面无穷 小等距进行了初步的研究 后来 陈抚良扭 州教授首先对e 5 中曲面无 超球面的特征及曲面无穷小等距 穷小等距进行了研究并得到了一些漂亮的结果 周圣武口引研究了特殊 w e i n g a r t e n 曲面的无穷小等距 宋来忠 胡松林让引等人研究了s 3 中 曲面的无穷小等距 宋来忠 杨文茂凹 颜敬先 州等人研究了曲面的 中 一无穷小等距 程新跃 1 3 列研究了常曲率空间中超曲面的无穷小等 距理论 本文首先在第三章中 讨论了欧氏空间中超球面的特征 总结了关 于超球面特征的一些定理 得到了e 3 中关于超球面特征的 几个等价定理 并给出了简单证明 然后推广了几个定理 其次在第 四章中 对e 中的曲面引入无穷小等距的概念 运用偏微分方程的理 论 椭圆型方程组的求解理论 得到了关于e 中曲面无穷小等距的一 个定理 本文所研究的曲面或超曲面都是指紧致带边的曲面或超曲面 砬 表示曲面或超曲面的主曲率 c c l g 等表示常数 1 2 主要结果 现将本文得到的主要结果叙述如下 定理1 设mr e 3 为紧致曲面 满足 岛 o i l 2 a 膨的点 为脐点 在m 上存在正函数z 专8 使得石戤 五必 0 则m 是 球面的一部分 定理2 设m c e 3 为紧致曲面 满足 岛 o i 1 2 o m 的点 为脐点 存在定义在d 3 l q m x k 2 m 瓦o f 则m 是球面的一部分 定理3 设m c e 3 是曲面 且满足 毛 0 i 1 2 o m 的点为 脐点 存在一个定义在d 蜀 m h 2 m c 殿上的函数g 咒 儿 使 得在肠上有g 日 马 0 且在由g m 耽 o 所确定的予集d c d 上 丝 0 箜 0 其中上面两个不等式至少有一个是严格的 则m 是 劬 球面的一部分 2 超球面的特征及曲面无穷小等距 定理4 设m c 是紧致曲面 满足 岛 0 i 1 2 o m 的点 为脐点 蜀 q 易 g 则m 是球面的一部分 定理5 设m c e 5 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 毫 o i 1 2 3 4 o m 的点为脐点 q c 1 岛 c 2 则必是超 球面的一部分 定理6 设m c e 6 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 毫 o i 1 2 3 4 5 a m 的点为脐点 珥 c 1 h 2 c 2 则m 是 超球面的一部分 定理7 设m c e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 岛 0 i t 2 j 一 疗 多o m 的点为脐点 马 c 1 日 c 则m 是超 球面的一部分 j 定理8 设m c e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 而 o i 1 2 以 且 c 2 c 则肘是超球面的一部分 定理9 设m c e 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 k 0 i 1 2 疗 a 膨的点为脐点 在肘上存在函数z 肠一r 使得 z 戤 o 成立 且矩阵 胁 对于 石 五 工 两两不相等 扣l 石 五 厶 1 2 3 是半正定的 其中 厶 无一彳 七 6 廿 2 厶 则m 是超球面的部分 定理1 0 设有界区域d c r 2 坛d 三 为曲面 阼fm 一 膨 是 截面 对任意m m 形式 o 是i e 定的 并且在点埘处向量疗 与 中曲率向量万不正交 设v 是m 的无穷小等距 对任意点埘 m 向 量 属于由l 肘 和 所张成的向量空间 如果m 0 3 1 圪正交于 l m 则在m 上 有v 0 超球面的特征及曲面无穷小等距 2预备知识 1 斯托克斯公式 定理2 1 1 i 设m 是一紧致微分流形 o m 是肘的边界 国为 m 上一个疗一1 次外微分形式 则i d 国 i 矗薪 2 极大值原理 定理2 2 1 i 设吖是一微分流形 0 3 4 是m 的边界 工为膨上 的一个二阶椭圆型线性算子 若有一函数 肘一r 满足 在时上 有f o 且巧 0 在a m j 有 0 则在m 上有f 0 3 拟解析函数 定义2 3 1 1 设d 为r 2 上的有界区域 a d 为其边界 在d 上给 定函数a o u v 屯 v c u u v i j 1 2 在d j 考虑关于函数f 霉d 9 r 的方程组 2 3 1 其伴随二次形式为 o 口1 2 b 2 2 a 2 2 b 1 2 x 口1 1 b n a 1 2 b 1 2 a f i b 2 1 一口2 2 6 1 1 x 2 a l t b 2 i a 2 1 b l i 如果 是正定或负定的 则称方程组 2 3 1 是椭圆型的 定理2 3 1 n 在d 上给定椭圆型方程组 2 3 1 如果 g 是方程组的解 且在a d 上 g 0 则在d 上必有厂 g 0 4 超球面 设m c e n 2 是一超越面 对于每个点研 m 选取标准正交标 架场伽 q 岛 i 使得e l e 2 e n 瓦m 则有 4 d m q q l o t 1 月 d a j l 州 哆 o j l 由 2 4 2 及c a r t a n 引理 存在函数h o 使得 2 4 1 2 4 2 据 始 q f r 吼 船丽塑加 缸 助 豫瓦船一锄 玩如 矽面矿石 2 2 q 吒 十 可瓦钞石 q 吒 r l 超球面的特征及曲面无穷小等距 q j t l 对 2 4 3 两边外微分并化简得 nh 砚 q o j l k lk l 由 2 4 4 及c a r t a n 引理 存在函数 使得 2 4 3 2 4 4 魄 q 2 4 5 i l li l 对 2 4 5 两边外微分并化简得 nh h 嘞 嘞 q 0 2 4 6 i lf l if i 由 2 4 6 及c a r t a n 引理 存在函数 使得 k 十 嘞 卿 l lf ij l 一 在r n oe m 的邻域内可适当地选取标准正交标架场使得 0 f 其中f 1 2 疗 毛 魂 j 其中岛是m 在点 的主曲率 2 4 8 2 4 9 定义2 4 1 若墨 七2 颤 则称 m 为脐点 定义2 4 1 若超曲面全由脐点组成 则当墨 如 k 0 时 它是超球面的一部分 当毛 岛 0 时 它是超平面的一部分 5 曲面的曲率 若超曲面具有正交曲率线网 则超曲面上具有标准正交标架场 伽 q 巳 1 使得 0 j 其中i j l 2 刀 七j 此 5 超球面的特征及曲面无穷小等距 时 2 4 5 可化为 毛一屯 嘞 q j k i 眈 哆 膨的曲率 1 记为 2 5 1 2 5 2 耳 气k 屯 i l 2 力 其中吒 吃 2 5 3 i l i j i h 如疗 2 时 q 毛 如 2 h 马 毛如 k 其中日 足分别是曲面的 平均曲率和高斯曲率 3 时 日 向 也 岛 月j 毛如 墨岛十如岛 马 毛如岛 n 4 时 i 毛 屯 岛 毛 马 墨岛 向七3 毛 如岛 如 岛 马 南如岛 向也 墨岛屯 岛岛也 风 局也岛毛 6 两个引理 在本节中 我们给出两个在证明定理时需频繁用到的两个引理 引理2 6 1 i 设有正交瞳率线网的超曲面m c e 1 满足 t o f 1 2 l i a m 的点为脐点 存在定义于d 3 毛 m k 肘 c 肜上的函数 五 而 满足 在m 上 八毛 毛 o 在西上 芸 0 并且在用 墨 而 二0 给出的子集d c d 上 二次型 舻 喜 唔 善蟛 圭蔫 唔 善一善 乃引f b 一一 是半正定的 则m 是超球面的一部分 引理2 6 2 对于形式 则 却 2 宝 艺匕 一 一i 1 6 磕 乏 毫一一 2 毛一蛔 1 1 p i j i 繁h t j j 羞 嚣 6 略 一 q 嗍 q yt 一 砖 l d 一 伊 超球面的特征及曲面无穷小等距 3 超球面的特征 3 1 中球面的特征 定理3 1 1 设m c e 3 为紧致曲面 满足 t 0 f 1 2 叫的 点为脐点 在肘上存在正函数z 膨呻r 使得z 优 疋政 o 则m 是球面的一部分 证明 砟 k k h 砭 一如 l l 由z 幽 五必 o 及 2 5 2 式得 z 毛呜 所以石彳 石磋 一彳岛 扁 何 石 磋 由石 0 石 o 知z 彳 0 即彳 0 同理可证z 魄 啊 一k 砰1 2 一啊 k o 由弓1 理2 6 2 及s t k e s 公式l 伊 上 咖知南 岛 所以膨是球面的一部分 定理3 1 二2 设m ce 5 为紧致曲面 满足 鼻 o i l 2 0 3 i 的 点为脐点 存在定义在d 3 墨 m 如 m c r 2 上的函数 而 而 健得 在吖上有 毛 屯 直在 上有善 善 则m 是球面的一部分 证粤 对八每矧 两边微备得 善鸭j 善识 o 取五 差 五 导 由定理3 1 1 可知m 是球面的一部分 j 定理3 1 3 设m d 专 为曲面 满足 在射上 k 0 o m 的点为脐点 存在一个定义在d 3 h d x k d c r 2 上的函数 f d 铡 使得在肜上有即固 o 且 驽o h1 4 h 胡o f 越o f 枷 卜o 则肘是球面的一部分 证明 由k 0 可以选择适当的标架场使得毛 o 如 0 满足 引理2 6 1 的条件 存在一个函数 而 如 使得在m 上有肥田 o 则存在一个函数厂 五 而 使得在m 上有厂 毛 岛 f 月 k 0 因为 7 超球面的特征及曲面无穷小等距 日 置要 足 k k 2 所以 罢 关掣 娶婺 三娶 岛篓 3 1 1 敏 a ha k8 ka k 28 h a k 箬 堡掣 堡婺 三篓 毛竺 3 1 2 敏 o h8 k o k8 k 28 h l o k 1 若墨 如 则m 显然是球面的一部分 2 若k l 七2 则由 3 1 1 3 1 2 可解得 丽a f k k 2o f i 一墨善 篆 乏i 1 萍a x i 一毒 cs s 将 3 1 3 代入 面a f 2 4 h a a h f 丽a f 4 k 丽a f 2 o 得 4 砰t 彭 一o f 0 即o f 笪 0 o c 0 j 争o 善 o 则舻唔 当o x 乏 筋 萍o x 善抽半正o x i盘 o x 麟 定的函数 由引理2 6 1 可知 m 是球面的一部分 b 篓 o 箬 0 o f o o x o x t 0 从丽转化为 a 的证明 推论3 1 1 i h 一定理 设m d e 3 为曲面 满足 在m 上 k 0 在m 上月 c a m 的点为脐点 则m 是球面的一部分 推论3 1 2 k 一定理 设m d 一 为曲面 满足 在m 上 k 0 在m 上k c a m 的点为脐点 则m 是球面的一部分 定理3 1 4 设m c e 3 是曲面 且满足 t 0 i l 2 a m 的 点为脐点 存在一个定义在d q m h 2 m r 2 上的函数g 抚 弘 使得在m 上有g 县 皿 0 且在由g y 2 0 所确定的子集d c d 上 要 o 罢 o 其中上面两个不等式至少有一个是严格的 则m 是 超球面的特征及曲面无穷小等距 琢回的一部分 证明 t 0 i 1 2 k 畸也 0 定理3 1 3 中的条件 满足 且日 0 又因为存在函数g 咒 使得在m 上有g 局 1 1 2 0 所以 存在函数 而 恐 使得在肘上有f 聊 g i i 只 o 由署 署 o 至少有 个严格成执蔷 o 蔷 o 至少有一个严格成立 即要 箜盟 2 要 o 笪 兽 o 至少有一个严格成立 又由 8 ho h o h 8 h o ka h k o 日 o 知 笪o h 2 4 h o f o f 4 k 一o f o ho ho ko k 2 o 成立 定理3 1 3 中的条 件 满足 由定理3 1 3 知 m 是球面的一部分 推论3 1 1 的证明 由h c 4 2 c 所以作函数 y a y 2 c 显然在m 上有g 墨脚 o 且嚣 l 器毛 所以由定理3 l 4 知 肘是球面的一部分 推论3 1 2 的证明 由k c j c 所以作函数 g m c 显然夸吖上有g 誓蚓 o 且箜o y 0 薏咖 何 以由定理3 1 4 知 m 是球面的一部分 定理3 1 5 镀m c e 3 是紧致曲面 满足 t o f 1 2 a 膨的 点为脐点 2c i 马 g 则m 是球面的一部分 证明 因为 c 1 9 h 导 马 c 2 营置 c 2 所以定理3 1 5 的证明与推论3 1 1 推论3 1 2 的证明完全类似 3 2e 4 中超球面的特征 a s v e c 将定理3 1 3 进一步推广到 中的超曲面 得到定理 超球面的特征及曲面无穷小等距 定理3 2 设m c e 4 是具有i f 交曲率线网的超曲面 满足 鼻 0 f 1 2 3 o m 的点为脐点 存在一个函数f q h 2 马 使 得在吖上有f h i 凰驴 r 觚o f 啪w 兹啪静 1 5 舞 2 4 2 n 2 睁5 毛t 3 岛 3 兹 2 1 2 2 毛 2 t 盖盖 邯毫 电也 t 吒 j o 瓦f 历o f i 3 毛2 矽一焉2 砰一1 2 吒2 眈2 勺 鲍弓2 砬 犹砖p 尝 2 3 毛2 l 鸟2 3 皇一2 2 缸 7 缸 瓦0 f 瓦o f o j 吼2 3 f 七 f 则m 是超球面的一部分 定理3 2 2 1 设m c e 4 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 满 足 砖 o i 1 2 3 洲的点为脐点 在m 上存在函数j 肘一r 使 得z 鹋 正识 五识 o 且4 乃 z 五 一 乃 五一z 2 o f k l 2 3 i c j k i 则肘是超球面的一部分 定理3 2 扣 设吖c e 一是具有正交益率线网的超曲面 满足2 t o f 1 2 3 a 膨的赢为脐点 存在一个定义在d 蝎 m h 2 m x h m c r 3 上的函数g 儿 儿 乃 使得在m 上有6 j 嗣 县 骂 o 且在由g 如儿 所磊定的子集d c d 上 西o g 主一2 署 爰 善 o 其中上面三个不等式至少有一个是严格的 则吖是超球面 的一部分 定理3 2 4 设m c e 4 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满足 t 0 i 1 2 3 0 1 1 4 的点为脐点 日 c l 2 c 2 则m 是超球面的一部分 证明 a 啊 c l 的情形 作函数g y i 儿 乃 m c i 显然在m 上有g q 皿 皿 o 且 署乩薏 器 因此鬻 三1 2 嚣 豢加 篝卸 所以由 1 0 超球面的特征及曲面无穷小等距 定理3 2 3 知 m 是超球面的一部分 b 皿 c 2 的情形 作函数g m 儿 弘 儿一c 2 显然在m 上有皑 埋 玛 o 且詈 o 爱一 嚣 因此嚣 互1 m 2 两0 g 篆 署 所以由定理3 2 3 奶奶z铂 知 m 是超球面的一部分 3 3e 5 中超球面的特征 后来陈抚良教授在文 1 3 中将定理3 2 2 推广到 中的超曲面 得到下面定理 定理3 3 1 设m c e 5 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且 满足 置 0 f l 2 3 4 o m 的点为脐点 在肠上存在函数 f2 研 z z 五一z z 膨寸r 使得 z 戤 o 成立 且矩阵 i 五 乃一z 2 研 五 i 五 乃一z 五 对于 k 朋 1 234 i j t 川 f 是半正定的 则m 是超球面的一 部分 a s v e c 在文n o 中得到 定理3 3 2 设m c 是具有正交曲率线网的超曲面 且满足 岛 0 i l 234 a 膨的点为胼点 存在一个足义在d 肘 x h a m c r 上的函数g 儿 乃 月 使得在m 上有g 马 乜 日 0 且在由g 帕儿川 所确定的子集d c 上 署 三乃2 器 西1 玎善 要 o 要 0 要 o 其中上面四个不等式至少有一个是严格的 锄 以 则髟是超球面的一部分 窜理3 3 3 设m c e 5 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满 超球面的特征及曲面无穷小等距 足 置 0 i 1 2 3 4 o m 的点为脐点 只 c 1 也 c 2 则m 是 超球面的一部分 证明 a 皿 c l 的情形 作函数g m 乃 咒一c i 显然在材上有g 蜀 玩 良且詈 1 豢 器 嚣 因此署 1 乃2 两0 g 2 三1 2 玎墨o y 爰 嚣 劬毗叽 吼 掣 0 所以由定理3 3 2 知 m 是超球面的一部分 吼 b h 2 g 的情形 作函数g m 儿 y 2 一c 2 显然在膨上有g q 凰 0 且 器 o 篆乩嚣 r 器矗 尸此挈 1 y12 agoy 2v y 丧订要o y 4 罢o y 2 吼 挈 0 挈 o 所以由定理3 3 2 知 m 是超球面的一部分 o y 3毋4 3 4 驴中超球面的特征 后来陈抚良教授在文 1 2 中将定理3 3 2 进一步推广得到 定理3 4 1 i 设m c 矿是具有正交衄率绕网的超曲面 且满足 置 0 f l 2 3 4 5 a 材的点为脐点 存在一个定义在d 墨 膨 x 也 m c 彤上的函数g m y s 使得在m 上有g q 皿 o 且 在由g 脚 所确定的子集d c d 上 篝 3 m 2 薏 y t 3 署 玎署 箜 0 篓 0 箜 0 篓 0 其中上面五个不等式至少有一个是 2耐3印 印s 严格的 则肘是超球面的一部分 定理3 4 2 设m c 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满 足 七 o i i 2 3 4 5 跏的点为脐点 c l 吼 c 2 则m 是超球面的一部分 证两 a 蜀 q 的情形 1 2 作函数g c y y s y t g 显然在m 上有g 匾 也 o 且 筹乩雾 豢 豢 器 函此豢 研謇 芽爱 丌雾 锄 锄锄砒钆锄1 砒 嗷铂 箜 o 箜 0 塑2 0 0 g 2 0 所以由定理3 4 1 知 m 是超球面 锄魏钆钆 的一部分 b 乜 c 2 的情形的证明与 a 完全类似 3 5e 一 中超球面的特征 本节将定理3 3 1 进一步推广得到 定理3 5 1 设m c e 是具有正交啦率线网的紧致超曲面 且满 足 t o f 1 2 a m 的点为脐点 在m 上存在正函数 n f m 4 1 使得 厅掘 o 成立 且矩阵 o 一 一 对于f 五 五 矗t 两 两不相等 j 五 工 l 2 3 聆是半正定的 其中 厶 厶一z 未 2 五 则彤是超球面的部分t 证明 对于f 五 丘i l 2 一 疗且两两不相等 由引理2 6 1 可得昴 圭k 一 一三1 善 k 2 善 一t l i i 一 荟 5 d h l l 州 l i 川 川 由 2 5 2 和芝z 以 o 得 乃以 q 乃 q 2 0 仁lf 1 1j 1 oi ljj l 由q 毡 的线性无关性得 乃 o 即z i 厶 o 所嘶纥 一 n i 厶 t i i l 因此 3 5 1 两边同时乘以z 并把 3 5 2 代入得 3 5 2 泓 t 静 一f 巷幽 婚l 罄讪 罄锄一 凳 h 毽瓶i 罄u h 1 1 一 超球面的特征及曲面无穷小等距 n i 厶 2 人 n i 厶 无一 吆 j 由定理3 5 1 的条件 中矩阵 x 的半正定性知 对于f 1 2 栉有 彳 0 a o 可得z o 又由引理2 6 2 及定理 3 5 1 的条件 a 膨的点为脐点 所以在3 m 上有霸 岛 屯 则在 c 3 m l 妒 一1 件7 匆一t 2 q q 峨 1 哆 q i 哆 l 吃 o 又根据s t k e s 定理有l d 妒 l 妒 0 又由z o 印 2 喜 考 一j 磊 卜6 丕 碌 季i j 一 哆蛔 一 一l 川 茁 毒笔1州1 2 nz 6 窆磕 窆 t k j 2 k i k j a a a o j 咖 0 1 0 擘 t 所以 t k j 2 毫l 三o 又由定理3 5 1 的条件 七j o 扛l 2 撑 因此t t 即南 如i 韩 故m 是超球面的部分 定理3 5 2 设me n 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满 足 t o i l 2 疗 3 3 t 的点为脐点 甄 c l h c 则m 是 超球面的一部分 h 证明 设盯的第二基本形式为知 q o q 因为只 c l 所以 砌 c 1 作膨上的函数 膨一足 使 圭吾 一 2 嚣 i d 2 1 4 超球面的特征及曲面无穷小等距 容易验证 f n y 2 t r h 2 o 3 5 3 下面我们计算厂的l a p l a c i a n 从 3 5 3 j 导 圭y 兰否撕 2 j 1 2 h 地 g a a h a 2 t r h a t r h g r a d t r h 2 厅 勺 一 2 一 z q r h 2 一 n 2 j j kt j k 3 5 4 根据 2 4 5 式及 的对称性 我们知 从而由 2 4 8 式有 一 一 k 如蚋 3 5 5 由 3 5 v 式 3 5 4 可化为 妄鲈 刀 盯 2 3 5 6 j k m u 易见 我们总可适当地选取m 的局部标准正交标架场 使 对角化 即 o f 力 于是 由 3 5 6 式得 去v n 一 2 n z 2 3 5 7 l吐t i善 又 k t 屯 o 所以有可 0 又由条件 a m 的点为脐点 在o m 上有 确 这意味着在a 膨上有f 07 应用h o p f 极值原理 我们知 在m 上恒有f 0 即 o i 且h i k 因此m 是全脐超 曲面 即为超球面的一部分 注 i 定理3 1 5 3 2 4 3 3 3 3 4 2 中啊 c l 的情形都能 用本定理的证明方法来证明 2 因为日 c q 2 c 所以证明与蜀 c c l 2 c 的情 形的证明完全类似 超球面的特征及曲面无为小等距 定理3 5 3 设m c e 1 是具有正交曲率线网的紧致超曲面 且满 足 t 0 i 1 2 一 h 2 c 2 c 则m 是超球面的一部分 证明 令 七 磊 则 砖 n h r o e 毛巧 数量曲率 砖l 一 砰 t 2 一 砰 竹2 日2 3 5 8 又皿 龟一 詈 由易为常数知y 也为常数 即马 c 2 r 2 q 1 4 j h 由 3 5 8 式 丢 军砰 i 1 2 曲2 玎2 h t g q i g 阳e h l 2 3 5 9 另一方面 砰 寺 2 2 峨 o i i 1 j 2 f j i j 2 珥 置红 t t t j k 1 ii r 打 置巩 去 岛一一 2 j t i j 卣式 3 5 9 和式 3 5 1 0 得 3 5 1 0 疗莩向莩如叫军畸 彳磊 2 一九2 l 删1 2 圭荨 岛 t 2 3 5 1 式 3 5 1 1 的左边化简n t 乩叫 t q h i 溉 i w 即 3 5 1 1 化为 疗 t 溉 2 一万2 g r a d h 2 寺 t t 2 3 5 1 2 i l l k 因为m 紧致 所以存在 m 使得日在 点取得极大值 从而 瓯 o l g r a d h l 2 k 日 2 o 在而点 由 3 5 1 2 3 5 1 3 t 0 i 1 2 z t 0 3 5 1 3 在而点处有 2 去 岛一t 2 r u o l 溉 o 3 5 1 4 j t j l j i 1 6 超球面的特征及曲面无穷小等距 在而点处有以下两个式子成立 2 o 即 o 1 i 七j 一屯 2 o 在而点 3 5 1 5 3 5 1 6 由 3 5 1 6 在而点有 毛 如一一以 所以 是m 的 个脐点 再由 3 5 8 式 一 砰 疗2 矗2 n i l 2 n 2 h 2 行何一1 i i 2 即在极大点 j l 而 有碍22 i 丢面是常数 褥日2s i 壬面 任x 膨 3 5 1 7 又喜砰 n 2 h 2 y 0 对每一个埘仨o m 圪与 l m 正交 则时是关于巾的一个无穷小刚体 定理4 2 2 设有界区域d cr 妊d 哼e 4 为曲面 n m n m 是截面 对任意m j 毫m 形式i i 是正定的 井且在 点r n 处向量圪与中曲率向量矗不正交 设y 是膨的无穷小等距 对任 意点m m 向量 属于由瓦 和 所张成的向量空间 如果m o m 圪正交于l 肘 则在m 上 有v 0 后来陈抚良教授在 2 4 中首次对e 5 中的曲面的无穷小等距进行了 研究 得到了以下结果 定理4 2 3 瞳 设有界区域d c r 胁d 1 e 为衄面 以 m n m 是截面 对任意m m 形式i i 是正定的 并且在 点m 处向量行 与中曲率向量日不正交 又y 是m 的无穷小等距 对任 意点埘 m 向量 属于由l m 和以 所张成的向量空间 如果t l 0 3 t 正交于乙 m 则在m 上 有v 0 本章对e 中的曲面引入无穷小等距的概念 运用偏微分方程的理 论 椭圆型方程组的求解理论 进一步推广得到以下结果 定理4 2 4 设有界区域d c r 2 m d 专e 为曲面 厅 m 一 m 是截面 对任意肼 m 形式i i 是正定的 并且在点册处向量n 与中曲率向量万不正交 设v 是m 的无穷小等距 对任意点脚 肘 向量 属于由l m 和 1 所张成的向量空间 如果坍 o m 圪正交于 瓦 m 则在材上 有v 0 在证明定理之前 先介绍一些预备知识 在本章中 各类指标取值范围约定如下 l a 且c 1 7 1 i j k 2 3 a 卢 y s 玎 超球面的特征及曲面无穷小等距 设胍d e 4 是一曲面 d c r 2 为有界区域 对于每一个点m m 选取标准正交标架场 研 q e 2 岛 e 使得q e 2 乙 m e 3 e 4 e n v m 则m 的运动方程为 d m q 8 j d e 吼 0 v a 口 口 2 0 对 4 2 2 式外微分可得 a 0 j o 4 2 3 故由c a r t a n 引理 存在函数鳄 使得 q h c o j 蟛 h j j 记日4 蟛 桕4 够 定义4 2 t 向量万 碑4 e 称为中曲率向量 口 设疗 丘气 口 则砌 识e 厶d c 圪e 丘 e 识 厶 弦 f a o p a e u f c o o e 矾 厶国肛弦 l口口f 一 以鳄国 囊 x d f o 厶 k 定义4 2 2 对于曲面mc e 设肌 m 7 1 m 专n m 是围绕坍 的截面 并且满足珂沏 n o 映射i i 以 m x t m r 4 2 6 由i i n o f d i n 砌 定义 4 2 7 命题4 2 1 i i 丹 五鳐 q q t j o t 证明 由 4 2 1 4 2 5 4 2 7 立即得证 定义4 2 3 映射 4 2 6 称为曲面膨的第二基本形式 超球面的特征及曲面无穷小等距 定义4 2 4 设曲面m c e v e 是e 的向量空间 比肘一v z 一1 是向量场 若满足 如 d r 0 即对任意的t l m 有 舰 t v o 则称向量场v 为膨的无穷小等距 定理4 2 4 的证明 设md e 为曲面 d c r 2 为一有界区域 对每点牌 m 取好 一个标准正交标架场 m e e 2 c 其中吃 乙 吖 i 1 2 n a m 口 3 4 椭令d f t r h 4 口 口 五硝 b 力 1 4 2 丘鳐 口口口 c l h 5 d 五朋4 厶 磋 口 c 口口 口 设矿 乳 a d v 匆 x g d e jj 农 g 弦 a8 4 2 8 又因为矿是m 的无穷小等距 即 d i n d r 0 由 4 2 1 4 2 8 有 功 由 e g 国 8 因此存在函数p 使得 如i g 脚m 尸奶 a 9 2 g b 口口2 印国t 8日 又在点m 处向量 不与中曲率向量h 正交 即 万 厅 槲4 p 矗 f f l r h 4 o 可知 d o a8a 因为i i m 盯 丘鳐 一 是正定的 故 丘何 厶磋 一 厶幅 厶能 a c b 2 o 口a t口口 由于y 是向量e i e 露的线性组合 故存在函数q 使得 y 吼 蜀e t 9 2 乞 q n g i q 9 2 e 2 o l e a 故器 线 c a 方程 4 2 9 可写为 塑篓亘箜壁堡墨塑耍垂窒 篁墅 i 农t 9 2 q 2 q p c 0 2 缆q p 吃 l q 厶峭q q 五 吐 p 吃 口q q 0 q 如 l 瘩 g 一 z e g 国 一p r o q 乞 2 一p q f q 厶坛q q 五 甜2 p t a i b q p c o c q m 2 取m 上的等温坐标系0 y 和标准正交标架场 满足 q 砌 砌 q 吾 一言砌 妄咖 o d l l 将 4 2 1 3 代入 4 2 1 2 并化简得 比较 4 2 1 4 中两边幽 咖的系数可得 百o g it 一1 o r ro v 9 2 口纱d 材 4 2 1 2 4 2 1 3 b q r p r 4 2 1 5 b o r p t 誓 一1 i o r g l c 少 删r 鳓 悟邓鲁 口 妄 r o f k 鲁 鲁 傍 鲁 锄 曙 瓦o r g d 皓蜀 亳g 2 1 6 晦a g 每a a 9 2 a 莓t 鱼g 墓 眺寸怡州t z 卜鲁一d 誓一d 鲁 誓 必 隹蜀 妄岛 d 玎笔蜀 妄 舢 缈 胁 h 即 施 一 砂 星 咖 咖 蜀 西一抛升一抛1一 l一 玺加亟加 如 出 蜀 丹一却毋一加堑抛堑缸 k k g g 毋一劫务一加1一 l一 一 一 堑知堑抛 超球面的特征及曲面无穷小等距 以由定义2 3 1 得知方程组 4 2 1 3 是椭圆型的 由于m a m 时 正交于l m 则g l 9 2 0 所以由定理2 3 l 得 知 在m 上g 9 2 0 这时方程组 4 2 1 2 可化为 a q 0 b q p 0 b a p 0 c q 0 j q 0 所以g 0 v a 综上所述v 0 注记 1 当r l 3 选择截面n 为m 的单位法向量场 并假设在m 上总有k 0 则形式i i 玎 就恰好是曲面的第二基本形式 k 0 就蕴 含了形式的正定性 中曲率向量场是n 与非零因子的数乘 所以定理 4 2 4 的条件全都满足 因此在m 上有v 0 恰好是定理4 2 1 当 4 恰好是定理4 2 2 当r t 5 恰好是定理4 2 3 2 定理4 2 4 中d 换为二维有界定向流形时也成立 超球面的特征及曲面无穷小等距 参考文献 1 s c h n e i d e r r c l o s e dc o n v e xh y p e r s u r f a c e sw i t hs e c o n df u n d a e n t a lf o r m o fc o n s t e n tc u r v a t u r e j p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 7 2 3 5 2 3 0 一2 3 3 2 k o u t r o u f i o t i s d t w oc h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t i e so ft h es p h e r e j p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 7 4 4 4 1 7 6 1 7 8 3 s i m o n u c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h es p h e r eb yt h ec u r v a t u r eo ft h es e c o n g f u n d a m e n t a lf o r m j p r o c a m e r m a t h s o c