（电路与系统专业论文）时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究.pdf

摘要 摘要 作为一种处理时变信号 如图像 语音 视觉分析 的有用工具 时变滤波 器组和时变小波的理论和设计受到了广泛的关注 本文从三个方面着手研究时变 滤波器组和时变小波 1 围绕如何设计完全重构的时变滤波器组 讨论时变滤波器组的重构问题 同时介绍时变滤波器组的时域设计方法和基于晶格结构的时变滤波器组 2 提出了以两通道仿酉滤波器组的晶格结构为基础的一种时变小波构造方 法 晶格结构本身保证了系统的完全重构和正交特性 只要推导出满足正则性条 件的晶格系数关系 用带约束的优化方法设计小波滤波器 在此基础上 就可以 用时变晶格结构构造出时变正交小波 设计例子表明这种构造方法简单有效 3 研究时变小波在时变信号去噪中的应用 通过具体的例子说明时变小波在 处理时变信号方面要优于时不变小波 关键词 时变滤波器组时变小波完全重构晶格结构 a b s t r a c t 3 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fs i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g t i m e v a r y i n gf i l t e rb a n k sa n d t i m e v a r y i n gw a v e l e tt r a n s f o r m sh a v ea t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o na sp o w e r f u lt o o l s t oe x p l o i tt h en o n s t a t i o n a r yo fs i g n a l s t h i sp a p e r w es t u d yt i m e v a r y i n gf i l t e rb a n k s a n dt i m e v a r y i n gw a v e l e t si nt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s f i r s t l y w ed i s c u s st h ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o np r o b l e mo ft i m e v a r y i n gf i l t e rb a n k s i nt h i sp a p e r t h ec a s ei nw h i c ht h es y s t e mf i l t e r sc h a n g ew i t ht i m ei sm a i n l yc o n s i d e r e d a n dt w od e s i g nm e t h o d st oi m p l e m e n tt h e s et i m e v a r y i n gs y s t e m sa r ea l s og i v e n s e c o n d l y as i m p l em e t h o di sp r o p o s e dt oc o n s t r u c tt i m e v a r y i n go r t h o g o n a l w a v e l e t sb a s e do nt h el a t t i c es t r u c t u r eo f t w o c h a n n e lp a r a u n i t a r yf i l t e rb a n k s i nw h i c h b o t ht h ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o na n do r t h o g o n a l i t yp r o p e r t i e sa r ew e l lp r e s e r v e d t h e r e g u l a r i t yc o n d i t i o n si m p o s e do i lt h el a t t i c es t r u c t u r ea r ee x p r e s s e di nt e r m so ft h e l a t t i c ec o e f f i c i e n t sa n dt h ew a v e l e tf i l t e rb a n k sa r eo b t a i n e db yu s i n ga l lo p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e t h e nt h et i m e v a r y i n go r t h o g o n a lw a v e l e t sc a l lb ec o n s t r u c t e db yt h el a t t i c e s t r u c t u r ef o r m u l a t i o nf o rt i m e v a r y i n gf i l t e rb a n k s d e s i g ne x a m p l e ss h o wt h a tt h i s m e t h o di so f g r e a tf l e x i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s s t h i r d l y w ea l s os t u d yt h ea p p l i c a t i o no ft i m e v a r y i n gw a v d e t sf o rd e n o i s i n g t i m e v a r y i n gs i g n a l s c o m p a r e d t ot i m e i n v a r i a n t w a v e l e t s d e s i g ne x a m p l e s d e m o n s t r a t et h a tt i m e v a r y i n gw a v e l e t sa r es u p e r i o rt ot i m e i n v a r i a n tw a v d e t si nt h e t i m e w a r y i n gs i g n a lp r o c e s s i n g k e y w o r d t i m e v a r y i n g f f l t e rb a n k p e r f e c tr e e o n s t r u c t i o n t i m e v a r y i n gw a v e l e t l a t t i c es t r u t t u r e 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文选题背景和研究意义 信号的处理在生产 生活和科研中起着十分重要的作用 目前 用数字滤波 器组处理平稳信号已经有了比较完整的理论 并被广泛应用于各个领域 相对而 言 实际中更多的是要面对非平穗信号 如语音编码 图像 视觉分析应用中 信号的性质和统计特性是随时间或空间变化的 一种有效的方法就是用时变的滤 波器组来适应信号的时变特性 例如 在不同图像区域 如光滑区和边缘区 采 用不同响应特性的滤波器组作子带编码 可以实现很小失真的低比特率压缩 l j 因 此 近些年来 人们对时变滤波器组 t i m e v a r y i n gf i l t e rb a n k s 简称t v f b 的理 论和设计有着相当大的兴趣 时变滤波器组的优点在许多文章1 2 卅中得到了充分的 体现 小波变换是分析信号 特别是针对非平稳信号 的最有力的工具 二十年 来 世界上许多学者对小波理论及其应用展开了研究 并取得了丰硕的成果p 但由于实际问题中信号的性质是时变的 这就希望当信号的性质随时间变化时 所用的小波也是可变的 而d a u b e c h i e s 发现的满足一定正则条件的滤波器组可 以构成小波以及m a l l 1 0 3 提出的基于滤波器组的塔式多分辨分析 使得滤波器组 的理论与小波相互促进 既丰富了小波变换理论 又拓展了它的应用前景 因此 在特定结构的滤波器组的基础上 结合时变和动态划分等多种形式的滤波器组 根据完全重构性质和小波的特定条件 如紧支撑 对称性 正交性 正则性 消 失矩的阶数等 利用现代智能优化算法 提出时变小波的设计方法 建立相应的 理论及设计体系 从而将其应用于众多的时变信号的检测和分析中 这对现代雷 达 声纳的探测以及无线通讯技术的提高和发展都有非常重要的应用价值 1 2 时变滤波器组和时变小波的发展史 时变滤波器组和时变小波变换从提出概念到今天大约1 4 年历史 其主要发展 过程如下 1 9 9 2 年 n a y e b i b a m w e l l 和s m i t h 提出了时变滤波器组 l 刀 介绍了理想重构 p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n 简称p r 条件的时域表示 并用在两个完全重构的时不 变滤波器组之间切换的方法达到时变的目的 次年 s o d a g a r n a y e b i 和b a m w e l l 又提出了时变离散 时间小波变换 1 9 9 3 年 h e r l e y 等人讨论了时 频平面上的任意 正交瓦片划分翻 构造出正交的时变小波基 并把结论应用于肛通道的情况 l 叼 2 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 此外 q u e i r o z 等人也提出了正交时变滤波器组和小波包 1 9 2 0 1 1 9 9 4 年 s o d a g a r 等人提出了时变滤波器组和时变小波的时域设计方法 2 1 9 9 5 年 g o p i n a t h 和 b u r r u s 提出把线性时不变仿酉 p a r a u n i t a r y 简称p u 滤波器组因式分解的结论 与矩阵公式 l 卅相结合来构造过渡滤波器的方法刚 上述文章中提到的所有方法 大多数 2 j1 1 7 1 s 1 2 0 2 2 j 都需要构造过渡滤波器来保证系统的完全重构特性 但是 过 渡滤波器的存在限制了滤波器切换的速度 因此 有人提出了一种构造时变滤波 器组的不同方法 4 嘲 2 3 1 这种方法基于时交情况下产生的f i r 晶格洲 1 9 9 4 年 s o d a g a r 等人还提出了用一个后滤波器代替过渡时期需要重新设计滤波器的方法 毋 来保证总的级联系统为近似完全重构 1 9 9 6 年 p h o o g 和v a i d y a n a t h a n 揭示了时 变滤波器组的许多重要性质 并指出了它与传统滤波器组的差别 l 不久 他们又 对时变无损滤波器组进行了分解1 2 5 1 9 9 8 年 i e m m a 和d e p r e t t c r e 提出了时变双 正交滤波器组的状态空间方法 2 6 1 9 9 9 年 o k u d a 等人根据由最大可能性得到的 标准偏离估计完成三个滤波器闻的切换 并用提升方法构造时变小波变换 2 7 1 近 几年来 有学者又提出了在时域和频域均适用于肘通道时变滤波器组的基于模型 的分析方法圜 1 3 0 1 2 0 0 6 年 w a n g 把文章f 2 b 1 3 0 得到的结论扩展到滤波器长度 采样因子 通道数都随时间变化的时变滤波器组 3 l 并用基于模型的方法详细分 析了这类时变滤波器组的特性 1 3 本文的主要工作 本论文的主要工作得到了国家自然科学基金的资助 本论文的主要研究内容包括三部分 1 围绕如何设计完全重构的时变滤波器组而展开 探讨时变滤波器组的基本 特性及重构问题 并介绍几种时变滤波器组的设计方法 此部分内容由第二 三 章组成 2 着重探讨如何用晶格结构构造时变滤波器组和时变小波 推导出基于晶格 系数的正则性条件 用带约束的优化算法设计小波滤波器组 并用一种有效的切 换方法解决晶格结构中的滤波器切换问题 此部分内容主要由第四章组成 其中 不同晶格系数之间的切换方法在第三章介绍 3 研究时变小波在时变信号消噪中的应用 通过比较不同小波对不同频率特 性信号的去噪效果证明时变小波在时变信号处理中优于时不变小波 此部分内容 由第四章组成 第二章 概述时变滤波器组的基本理论和知识 通过这些知识可以了解时变 滤波器组与传统滤波器组之间的区别 为本论文工作的基础 第三章 首先就时变滤波器组的重构问题进行分析 其次给出完全重构条件 第一章绪论 的时域表示 进而介绍时变滤波器组的时域设计方法 接着 根据晶格结构的特 点讨论用晶格结构设计时变滤波器组 并给出有效的完成两组晶格系数之间切换 的方法 最后给出设计实例 第四章 结合第三章的设计方法 进一步探讨基于晶格结构的时变小波的构 造方法 首先推出基于晶格结构的滤波器组具有忌正则性的条件 并以3 阶为例 给出k l 2 3 时的详细推导过程 其次讨论小波滤波器组的设计算法 并对设计 的时变小波进行分析 最后研究了时变小波在时变信号去噪中的应用 给出对实 际信号的处理结果 第五章 总结与展望 总结本文的工作并说明下一步将要继续努力要做的工 作目标 第二章时变滤波器组的基础理论 第二章时变滤波器组的基础理论 2 i 引言 时变滤波器组的所有性质都可以通过多输入多输出 m u l t i i n p u tm u l t i o u t p u t 简称m i m o 的线性时变 1 i n e a rt i m e v a r i a n t 简称l 1 v 滤波器系统得到 因此 本章所讨论的分析 综合滤波器都满足线性时变特性 许多文章已经详细介绍过线 性时变滤波器的理论 还给出一些线性时变滤波器的不同表达式 3 2 3 3 1 每个表达 式都是等价的 彼此之间是相互关联的 本章 我们应用两个与线性时变滤波器 的两种直接实现结构相对应的式子来研究时变滤波器组 2 2 线性时变滤波器的直接结构和变换域描述 2 2 1 线性时变滤波器的两种直接实现结构 图2 1 是实现 阶多输入多输出因果线性时变滤波器的两种不同结构 在线性 时不变 1 i n e a r t i m e i n v a r i a n t 系统中 这两种形式是相同的 在线性时变系统中 它们之间存在着一对一的对应关系 方便起见 分别称图2 1 a b 的两种结 构为直接形式a 实现和直接形式b 实现 a b y 帕 图2 1n 阶线性时变滤波器的直接形式a 实现c a 和直接形式b 实现 b 两种结构对应的表达式分别为 y 一 h 甩 x 甩 h z x n 一1 h 玎 x 万一 2 1 y 以 f o 厅 x 行 f 栉一1 x 疗一1 知 以一 x 万一 r 2 2 其中系数h t n 和 帕是m m 矩阵 从上面两个式子可知 若 雄一七 h 刀 则图2 1 的两种滤波器相同 力时刻图2 1 中两个系统的z 变换分别定义为 罩 6 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 h z h 珂 喇 俐 一t 其中h 0 和e 0 均为线性时不变滤波器 因此 线性时变滤波器可以用式 2 3 的线性时不变滤波器加上一个转向器实现 见图2 2 2 3 图2 2 用式 2 3 所定义的时不变滤波器 h z 和转向器切换实现直接形式a 图2 3 用式 2 3 所定义的时不变滤波器 l lo 和转向器切换实现直接形式b 在周期为m 的线性周期时变滤波器中 有h p h z e 0 e z 图2 2 2 3 同样可以简化为线性周期时变系统 从图2 2 可以清楚地看出 直接形 式a 实现能很方便地实现线性时变抽取滤波器 因为在m 抽取滤波器中 我们只 需要实现子集h z 同样 对插值滤波器来说 直接形式b 是最有效的实现结 构 因此 即使图2 1 中的两种直接形式等价 一般都选择直接形式a 实现抽取 滤波器 直接形式b 实现插值滤波器 本章亦遵循这种约定 2 2 2 线性时变滤波器的变换域描述 在线性时不变系统中 多相表达式在多速率滤波器组的原理和设计中都非常 有用 3 4 在线性时变中 并没有定义常规的z 变换 因此不能用传统的多相定义 式 为了便于分析时变滤波器组 我们定义一个类似线性时不变滤波器中所定义 的常规z 变换那样的适用于线性时变滤波器的变换域表示 首先 定义满足如下 关系的延迟算子z 1 1 对于信号x n 1 有z x n x 撑一订 2 z z z 随时间变化的放大器与延迟算子之间的交换准则为z 乞 n 丘 n o z 一 如图2 4 所示 注意延迟算子z 1 与z 变换是不同的 利用上面的延迟算子 我们可以定义 如下的时变变换域表示 第二章时变滤波器组的基础理论 7 幽2 4 延迟算子与时变放大器之同的变换准则 h 栉 z h 0 z 吐 对应直接形式a 图2 1 a 2 4 t f z 厅 z 4 栉 对应直接形式b 图2 1 b 2 5 t 需要留意的是式 2 4 中 刀 z 的用法对应图2 1 a 的直接形式a 式 2 5 中 z 雄 的用法对应于图2 1 b 的直接形式b 应用上述时变变换域的表达 式 可得图2 1 中线性时变滤波器的输出分别为 y n f h n z x 力 h 甩 z x 弗 h 疗 x 开一 j 2 6 t y 玎 f z 疗 x 厅 z 4 毛 栉 x 栉 0 一 i 声 栉一七 2 7 tt 在变换域 图2 4 中延迟算子与线性时变系统之间的交换准则可简化为 1 z h n z h n i z z 和2 z f z 以 f z n i z 两个线性时变滤波器 级联 且h 1 h z 在h o 一 z 之后 可以表示为 h o 珂 z h o 栉 z h 2 弗 h o 刀一 i 4 2 8 1 t l 其中h 2 抑 为线性时变滤波器h 以z 的第七个系数 注意 一般来说 h 1 刀 刁h o 0 z h o 打 z h 1 甩 z 即使是最简单的标量线性时变滤波器 此结论仍然成立 2 3 多相表达式 多速率恒等式及分块实现 2 3 1 多相表达式 根据2 2 节所定义的变换域描述 现在定义线性时变滤波器的多相表达式 p o l y p h a s er e p r e s e n t a t i o n 与线性时不变情况相似 图2 1 的两种线性时变滤波 器也有两类多相表达式 首先 考虑图2 i a 的情况 式 2 4 给出了相应的 变换域表示 对于任意正整数 厶系统h n z 的第l 类多相表达式定义为 一1 r1 1 h z i h 埘 栉 z 射l z 一 e 即 z z 2 9 1 种ltj l o 其中e 栉 z 为 l 时刻第1 类表达式中第i 个多相分量 同样 对于图2 1 b 中 的直接形式b 式 2 5 给出了相应的变换域表示 定义第2 类多相表达式为 时变滤波器组和时交小波的设计及应用研究 1 l盯 1 f z 聆 z z 一 n i z r 聆 2 1 0 l o lk jt 0 其中r z 挖 为第2 类表达式中第i 个多相分量 在线性时不变情况中 式 2 9 和 2 1 0 中的定义可简化为多相表达式的常规定义刚 类似地 我们可以分别定义直接形式a 和b 实现的第2 类和第1 类多相表达 式 然而 像2 2 节所解释的那样 我们只用直接形式a 实现抽取滤波器 对它 而言第l 类多相表达式非常有用 直接形式b 实现插值滤波器 对它而言第2 类 多相表达式非常有用 因此 本章中 我们只需要式 2 9 和 2 1 0 2 3 2 抽取和插值滤波器的有效结构和n o b l ei d e n t i t i e s 1 n o b l ei d e n t i t i e s 在线性时不变系统中 n o b l ei d e n t i t i e s 对抽取和插值滤波器的实现非常有用 在线性时变中 类似的等式同样存在 掣区互学 丑半 a 屿咂卜碰础 b 三屿恒弘矩萨孔 c 三斗匝回 囤掌州帕 d 图2 5 抽取和插值器的等效易位 已知如图2 5 a 和 b 的时变多速率系统 其中 h n z z h z 制 f z 疗 主z h 以 2 i df z 疗 z h 7 以 根据n o b l ei d e n t i f i e s 图2 5 a 和 b 可分别重画为图2 5 c 和 d 其中 h m n z h k m n z f z m n 壹z f k m n 2 1 2 注意 即使式 2 1 1 的系数h 聍 和f a n 对所有n 均成立 只有栉等于m 的倍数 的系数才与输出相关 由于抽取和插值的作用 这符合事实 在抽取和插值滤波器中 只需要m 组系数中的一个系数 i f 如 2 2 节所述 下面 我们证明抽取滤波器的n o b l ei d e n t i t i e s 插值器中n o b l e 第二章时变滤波器组的基础理论 9 i d e n t i t i e s 的证明与之相似 由图2 5 可得 y 砷 x l 砌l u t y h m x m m k l h m n x m n 一心 2 1 3 it y 2 坊 h t o 蚴1 2 q 一七 e h m n x m n m k y 功 2 1 4 tt 比较式 2 1 3 和 3 1 4 抽取器的n o b l ei d e n t i t i e s 得到证明 利用n o b l ei d e n t i f i e s 可以找到线性时变滤波器多相分量的另一种解释 图2 6 a 所示的级联系统中 h f 押 z z 夹在插值和抽取之间 利用第l 类多相表达 式 如式 2 9 所定义 图2 6 a 可以重画为图2 6 b 其中e 刀 z 如式 2 9 所定义 对抽取采用n o b l ei d e n t i t i e s 图2 6 b 可重画为图2 6 c 可 以很容易地看出 图2 6 c 与图2 6 d 等价 因此 图2 6 a 的电路等效于 滤波器h n z 的第f 个多相分量e m n z 其符号表示为 h n z z k2 e i m n z 2 1 5 图2 6 滤波器h 疗 z 的第f 多相分量的另一种解释 同样 如果一个直接形式b 滤波器z h n z 夹在插值和抽取中问 它的等价 系统为r z m n 利用式 2 一1 5 引入的运算符号 可得 z t z 作 l r 肛 m n 2 1 6 1 0 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 2 抽取和插值滤波器的有效结构 考虑图2 7 a 所示的抽取滤波器 图2 1 给出了实现h 玎 z 的直接形式a a 神l 画 匡弘 c o 图2 7 抽取滤波器和用多相表达式得到的有效实现结构 利用式 2 9 的第1 类多相表达式并采用n o b l ei d e n t i t i e s 图2 7 a 可重画为 图2 7 b e m n z 为m m n 时刻h m z 的第i 个第l 类多相分量 同样 图2 8 a 中实现插值滤波器的直接形式b 可以用图2 8 b 来实现 其中r z m n 为m m n 时刻r z 肌 的第i 个第2 类多相分量 图2 7 b 和2 8 b 可看作抽取和插值滤波器的有效实现结构 图2 8 插值滤波器和用多相表达式得到的有效实现结构 2 3 3 标量线性时变滤波器的分块实现 文章f 3 4 介绍了线性时不变滤波器的分块实现 b l o c ki m p l e m e n t a t i o n 这部分 我们利用变换域表示学习线性时变滤波器的模块化实现 考虑标量线性时变滤波器日 咒 z 蚪时刻 它的第1 类多相分量为e h z 式 2 9 这种情况下 这些e 胛 z 是标量系统 为了获得这个标量滤波器的分块 实现 我们在图2 9 a 所示的滤波器后面级联一个小的完全重构滤波器组 只 含延迟链和超前链 按照2 2 节延迟算子z 1 和线性时变滤波器之间的交换准则 有z h n z h n f z z 由此可得图2 9 b 的等价结构 由每个滤波器 h n f z z 的第1 类多相表达式及图2 5 的n o b l ei d e n t i t i e s 可画出如图2 9 c 第二章时变滤波器组的基础理论 z l 运卜矗卜j z a e z n y n c 图2 9 线性时变滤波器 以z 的分块实现 的分块实现结构 图中的多相矩阵e n z 如式 2 1 7 所示 其中标量系统置u z 是h j z 的第f 个多相分量 e n z e o m n z 乓 腼l l z z 互 肋l 一肘 l z z 互 砌 z e o m n 一1 z 互 膨l m l z z m n z 2 肋l 一1 z e 胁一m 1 z 2 1 7 根据式 2 1 7 直接计算脉冲响应b a n 可以验证下面的结论 i 只有多输入多输出系统e m n z 为有限脉冲响应 f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e 简称f i r 时 标量系统日 门 z 才是有限脉冲响应 i i 如果多相矩阵e m n z 与栉无关 那么标量滤波器h n z 是以m 为周期 的线性周期时变滤波器 滤波器系数满足瑰 刃 功 瑰伽 i i i 如果多相分量满足e m n j z e t m n z 或者e i m n j z e m n z 0 j m 一1 则多相矩阵为时变伪循环 m 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 这种情况下 滤波器系数满足h a m t i h x a 或者红 脚 i 噍 仂 0 f m 1 i v 只有多相矩阵e n z 是时不变伪循环 p s e u d o c i r c u l a n t 局 m n 一 刁与 所有的 和刀均无关 包含2 和3 的结论才成立 因此 只有2 和3 均 正确时 数量滤波器h n z 才是线性时不变的 因为延迟链和超前链仅仅是模块化和非模块化的机械系统 所有对图2 9 c 有 i x 疗 1 2 x t 疗 x n 陟 功f 2 y 胛 y 栉 因此 要是图2 9 c 的多输入多输出系统e m n z 是无损的 从x 疗 到y n 的标量系统 也就是图2 9 a 的系统日 z 就是无损的 特别地 所有的m i m ol t i p u 系统都是无损 的 如果式 2 1 7 表示的m i m o 系统e m n z 被选作一般的l t ip u 系统 那么 由非模块化机械系统获得的最终标量系统h n z 是无损的 因此得到如下结论 存在非平凡标量f i rl 1 v 无损系统 显然 非模块化得到的标量系统的可逆性等 价于初始m i m o 系统的可逆性 把r z m o 看作另一个滤波器 z 厅 的模块化形 式 当且仅当f z 珂 是h n z 的逆时 很明显地得到r z m n 是e m n z 的逆 分块实现非常有用 由它可得到一些证明时变滤波器组性质的例子 2 4 时变滤波器组的多相型分析 在时不变滤波器组中 用多相方法分析滤波器组的特性非常方便 本节 我 们给出类似于时不变滤波器组的时变滤波器组的多相型表示 并在此基础上对时 变滤波器组进行研究 分析它的性质 2 4 1 多相型表示 考虑图2 1 0 所示的时变滤波器组 正如在2 2 节解释的那样 为了方便 对 分析滤器日 z 采用直接形式a 实现 对综合滤波器 z 哪采用直接形式b 实现 利用变换域描述 滤波器可以表示如下 h 胛 z 嘭 以 和 2 1 8 z 疗 z n v n l 其中上标k 代表滤波器的序号 第二章时变滤波器组的基础理论 b 厅丽订 i 麟丑 i 引 i 倒 o 0 7 1 二 z 寸 y h 一 旧毛扣 董 主i t e 百 e r l 二 誓 l 佩k 1 望 m 2 钆 q 斤 j 毫迟髓 超前健 图2 1 0 时变滤波器组和它的多相型表示 子带信号y 哟和输出信号量 功 图2 1 0 a 所示 可分别表示如下 儿 哟 h f m n x m n j 1 2 1 9 圣 功 y a m 从上面的式子易知 当i 1 不等于膨的整数倍时 输出信号和采样子带信号均与滤 波器系数硝 m 无关 因此 我们只需要考虑系数群 1 和 l 翻 运用多相表 达式 图2 1 0 a 可重画为图2 1 0 b 其中n o n ei d e n t i t i e s 被用来易位多相矩 阵 多相矩阵e 锄 z 和r z 肋2 分别定义如下 e e m n z h k n z 心斗 2 2 0 岛 z 锄 z 1 z 珂 伽 7 其中运算符号卜1 m 如式 2 1 5 和 2 1 6 所定义 换言之 e m n z 的第移个 分量和r z m n 的第豇个分量分别为滤波器日 撑 z 和 z 哟的第 个多相分 量 分析 综合滤波器和多相矩阵之间的关系为 f h m n z 一 胁 z r e m n 1z 一 z 一叮 2 2 1 a f f o z 胁 f z 胁 下 1z z 丫r z u m n 2 2 1 b 只有日 m n z n f z 肋1 与多相矩阵有关 当i m 的倍数时 h m n i z 和 p z m n 一0 与滤波器组的输出无关 根据多相表达式 我们可以利用多输入多输 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 出系统e m n 2 和r z m n 来描述所有时变滤波器组的特性 2 4 2 完全重构时变滤波器组 从图2 1 0 所示的时变滤波器组的多相型表示可以很明显地看出 当且仅当 r z m n e m n z i vn 2 22 滤波器组完成完全重构 即圣 功 x n i 是单位阵 换言之 如果m i m o 滤波 器e m n z 的逆为r z m n 则可得到完全重构 式 2 2 2 就是推导出的多相 型表示的时变滤波器组的完全重构条件 注意 一般线性时变情况下 式 2 2 2 并不表示e m n 刁 r z m n i 因此 一般而言 交换完全重构时变滤波器组的 分析和综合多相矩阵 将会破坏系统的完全重构特性 这一点不同于常规的完全 重构线性时不变滤波器组 然而 如果r z m n 也是可逆的 那么它的逆不但唯 一 而且就是e m n z 为了证明这个结论 把r 1 z m n 看作r z m n 的任一 逆 在式 2 2 2 两边左乘r 1 z m n 则有r 1 z m n e m n z 这种情况下 级联e m n z r z m n i 这暗含了分析和综合滤波器之间有如下的关系 h 珂 z f 7 z 以 l m i 毛 胁 z r a z m n 8 k 1 v n 2 2 3 上面的等式可看作线性时不变情况下所定义的分析 综合滤波器的双正交条件的发 生器 3 5 3 6 为了证明上面的理论 我们考虑下面的例子 1 例1 完全重构的f i r 时变滤波器组 已知m 通道的时变滤波器组 其多 相矩阵为 e m n z i u o v 0 u n v 栉一1 z 1 2 2 4 a r z a 锄 i u 撑 一 玎 一z u f 栉 1 v 柙 2 2 4 b 对于所有的 向量v n u n 1 0 均成立 可以直接替换式 2 2 4 的多相矩阵来 证明r z m n e m n z e m n z r z m n i 因此 这个时变滤波器组是完全 重构的 其多相矩阵是可逆的 分析和综合滤波器分别表示为 日 胁 z 1 一心 一 唯0 z 4 一 心o u 0 z n v o 1 z 2 2 5 a 时 f z m n z 1 虬 一 唯 z u n v k n 一 z 坼 一 吒 一1 2 2 5 b t i o 其中也 n 和 栉 分别是u 行 和v 栉 的第f 个元素 我们得到一个分析和综合滤 波器都是因果f i r 的完全重构时变滤波器组 滤波器满足式 2 2 3 所示的双正交 条件 第二章时变滤波器组的基础理论 注释 由2 3 3 节的结论可得 当且仅当级联r z 栉 e 玎 z 是时不变伪循环矩 阵时时变滤波器组可以简化为一个标量l t i 系统 2 非 t i l d e 操作 在l t i 情况中 应用非操作研究常规滤波器组刚 已知 一个l t i 系统h z 非操作定义为t l z h l z 1 在常规滤波器组的分析中 特别是对l t ip u 滤波器组的分析 非操作非常有用 在l t v 情况中 我们将定 义一个类似的操作 一个时变非操作由以下三步组成 i 用转置共轭元素h 聍 和鲇o 分别代替放大器元素h 玎 和 0 i i 交换放大器和延迟算子 即用z h 栉 代替h 珂 z 一 p z 代替 z 向 注意这步操作将把直接形式a 结构转变为直接形式b 结构 以 及正矢符号 i i i 用超前元素z 代替延迟算子z 由上面的定义 线性时变滤波器的非操作可以表示为 且 以 z z 飞 片 2 2 6 重 z 疗 玎矽 j 注意当h 珂 z a r z 疗 分别属于直接形式a 和b 时 对应的盈 以 z 和帚 z 开 分 别属于直接形式b 和a 稍后我们将不断看到非操作非常有用 非操作是它自身 的逆 即直 z h z 进而 两个线性时变滤波器级联的非满足下面的性质 引理2 h 考虑两个线性时变系统h h l 其中h 在h o 之后 则级联的非 为h l h o h o h l 证明 我们只证明h 和h l 在直接形式a 实现中的情况 分别记为h o 力 z 和 h 1 协z 其他情况的证明类似 由式 2 8 和 2 2 6 得 h 1 z h 啊 z j 非 否砖 嚣 h o 栉一七 z 刊 丢三埘酵 蓐一砷蟛印 2 2 7 z 姆加j z h n 白 丘j j 直d 伽 z a 1 0 z 证明完毕 3 完全重构时变滤波器组中分析和综合之间的交换 在l t i 情况中 如果 日 z f z 形成一个常规的完全重构滤波器组 那么 z h z 也将形成 一个完全重构的分析 综合系统 在u v 情况中 如果我们仅仅直接交换日 栉 z 和f z 栉 而不做任何改变 那么系统将不保持完全重构特性 下面给出一种交换 1 6 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 分析和综合滤波器比较适用的方法 这种方法直接由式 2 2 1 和引理2 1 得到 4 定理2 1 分析和综合滤波器之间的交换 记 日2 订 z p z 以 分别为一 个完全重构时变滤波器组的分析和综合滤波器 那么以 乙h 和膏 以z 分别 作为分析和综合滤波器的滤波器组也是完全重构的 第三章时变滤波器组的设计 第三章时变滤波器组的设计 滤波器组的时变特性体现在许多方面 例如 可以是分析 综合滤波器发生变 化 也可以是上下采样因子 结构或者滤波器组的通道数发生变化 本文我们主 要研究滤波器参数随时间变化的类型 从滤波器组的角度出发 从一个完全重构 的滤波器组切换到另一个单独设计的完全重构滤波器组时 过渡期间将会出现一 系列的重构失真 在许多实际应用中 是不允许存在这些失真的 若要保证切换 过程中的完全重构 这两个系统之间必须具有一定的关联性 所以问题归结为联 合起来设计两个 或更多 分析 综合系统使得它们之间可以相互交换 而且保证 输入信号在输出端仍是完全重构的 本章主要从时域和晶格结构入手 给出系统 滤波器随时间变化的时变滤波器组的设计方法 并设计一系列例子说明这些方法 的优缺点 3 1 重构分析 多带滤波器组的重构问题在许多文章已经详细介绍过了 3 7 删 有些学者也提 出了利用一系列基函数完成时变的时频变换思想 4 1 9 9 1 年 n a y e b i 等人对时变 滤波器组进行了初步的研究旧 对时变滤波器组的重构来说 最简单的是周期时 变滤波器组 即系统的滤波器周期性地发生变化 如果系统的周期为乃那么系统 只需要r 对分析和综合滤波器组就可以完成完全重构 然而 在非周期时变系统 中 所需要的综合滤波器的个数远远大于分析滤波器的个数 这是因为对于三个 不同的分析滤波器组 会有很多种组合 而每种组合都需要一个单独的综合滤波 器组来完成重构 例如 一个均匀的有两个4 m 抽头分析滤波器组的肘通道系统 就有1 6 组完全重构条件 而每一组条件都代表系统的一个不同状态 虽然我们可 以通过添加一些额外的约束条件减少系统的不同状态 比如 限制较大的变化间 隔 从而减少系统的完全重构条件 但每次变化时 不同状态仍然需要满足不同 的完全重构条件 下面以两通道为例说明时变滤波器的重构过程 下页所示的图3 1 是滤波器长度n 8 时两通道系统的情况 假设分析滤波器 在 时刻被切换 为了保证满足完全重构条件 综合滤波器也需要切换 但是综 合滤波器的切换不是一蹴而就的 而是从 时刻开始 每拍换一个中间滤波器 经过若干拍后才换成按完全重构条件导出的新综合滤波器 4 3 1 图上 时刻分析滤 波器由h h 切换到h 护 h 尹 综合滤波器在达到相应的g 哥 g 哥之前 要 经过三组中间滤波器 g 争 g g 争 g 产 g 争 g 依次在 2 1 8 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 4 时刻切换 直到嘞 6 时刻才接入按p r 条件与h 护 h 严相对应的综合滤波 图3 1 滤波器的切换 器 这是因为这段时期中综合滤波器中的数据正在逐步地从全部由h 旧产生过渡到 全部由h 新产生 如图3 2 所示 由h 旧产生 由h 新产生 l 一 q 苎一 图3 2 过渡期间各g z 中数据示意 也就是说 在 l 期间只有一个数据是由h 新产生的 其余都是由h 在前几拍产生的 在 2 3 期间有两个数据是由h 新产生的 在 2 0 4 5 期间有三个数据是由h 新产生的 注意 由于二抽取和二插值的作 用 每两个数据之闻要补一个o 到 6 时刻g 中数据才全部是由h 新产生 此时虽然g 中只有四个新数据 但由于两点间要补一个0 所以八点滤波器上已 全有数据 l l 工 第三章时变滤波器组的设计 可见 为了使输出能较好地逐点重构 八抽头分析滤波器切换一次 要有五组 对应的综合滤波器 一组g 一组g 新和三组g 中 n o 6 这一期间是切换的过 渡时期 由上可得 滤波器长度等于 设 为偶数 的两通道系统中 过渡时 期长度等于 一2 所需中间滤波器数目等于坐手 3 2 时变滤波器组的时域设计方法 3 2 1 时变滤波器组的时域表示及完全重构条件 在时不变滤波器组中 可以用时域方法分析滤波器组的重构问题1 4 4 为了有 效地分析时变滤波器组的结构 我们把b 寸不变滤波器组中的时域表示扩展到时变 的情况 r 丌 其中分析和综合滤波器的系数随时间而变化 图3 3 为时变的肘通道 滤波器组电路 为了便于分析 将整个系统分为三部分 图3 3m 通道的时变滤波器组 1 分析滤波器 令月时刻的输入向量为x i x 珂 x 捍 1 x 0 2 芹0 一 1 7 本文符 号r 表示向量或矩阵的转置 时刻分析滤波器的输出为 v 矽k 3 1 其中v v o o v l 雄 珂 7 传递函数矩阵为 p 瑶 n 砰0 砖 r 瑞 甩 坷 竹 碥 嚣 j 酵 n 舻 1 甩 搿 厅 式中 为滤波器长度 推导时假设分析 综合滤波器一样长 2 抽取后再插值 3 2 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 万时刻上下采样子系统的输入输出函数为 w a v 式中a 是一个对角元素为0 或1 的对角矩阵 3 综合滤波器 令q 刀 以 f o 厅 1 力 刀 n 爿 石肌1 疗 僚 甩 露一 聆 瑞 厅 f q q 卜q 各 q 七 o l v 1 是m x l 矢量 重构信号可以表示为 一 x 栉 q w 根据式 3 1 3 3 和 3 4 系统的输出可以记作 翻 窆 叫r a k 0 删 l 3 3 3 哪 3 5 理想重构时要求量 x n a 为系统的延迟 由式 3 5 可得用矩阵形 式表示的完全重构条件为 a s b 3 6 式中矩阵a 矢量s 和b 的元素如下所示 矩阵 是一个 2 一1 m x 上船的块循环矩阵 工 州彤 且 a p 4 7 oo o p n 7 o o0 p 巾 7 3 7 0 是m m 的零矩阵 矢量s s 包含了疗时刻综合滤波器的一些系数 7 恤n j q r 7 式中f h k 町是栉时刻综合滤波器的第f 个嬲 l 矢量 矢量b b 是 2 三一1 m l 矢量 只有第 l f 个元素为1 m f 疗 l 其 第三章时变滤波器组的设计 2 1 它元素均为o 我们可以通过重置b 中非零元素的位置来调整系统的时延在一定范 围内变化 3 2 2 时变滤波器时域设计方法 设计时变滤波器组时 分析滤波器组的个数及它们的时域和频域特性都是已 知的 这样 通过确定分析滤波器的所有可能序列 我们可以确定系统所有可能 的状态 而且可以用矩阵方程表示第f 个状态的重构条件 a b 3 9 已知矩阵形式的重构条件 就可以直接套用时不变滤波器组的设计方法 4 0 i 4 5 来获 得完全重构的时变滤波器组 在设计过程中 利用优化算法修正初始的滤波器组 从而得到时变结构中的分析和综合滤波器组 为了加快设计算法的收敛速度 所 选取的初始滤波器均来自完全重构系统 依据分析滤波器组的个数及系统期望的 重构特性 本节介绍两种设计方法 1 最 j 乘设计 已知分析滤波器的状态 可以用式 3 9 的最小二乘法求得相应系统的综合 滤波器 在最小二乘法 1 e a s ts q u a r e s 简称l s 设计中 可用f 范数求得最佳综 合滤波器 见式 3 1 0 s 芦 a a a b 3 1 0 同样 对于已知的分析滤波器组 可以获得最小二乘解意义下的最佳的综合滤波 器组 重新考虑3 1 节两通道的例子 用最小二乘解求得过渡期间的综合滤波器 假定滤波器在 时刻切换 应用前面所列的公式 可以确定系统所有五个状态的 重构条件 因为第一和第五个状态的分析 综合滤波器组来自完全重构的系统 所 以这两个状态本身已经满足对应的完全重构条件 我们只需要利用式 3 1 0 确定 三个中间态的最小二乘解 就可得到最佳的综合滤波器 因此 失真被限制在过 渡期间 在这种设计中 以时刻滤波器组厶 范数意义下的重构误差可定义为 h s 一b 0 3 1 1 一般而言 在最小二乘设计中 我们用均方误差 m e a ns q u a r e 睨 l o r f l 简称m s e 评价系统的重构质量 这种情况下 一个时变滤波器组在区间一 工一1 的 均方误差定义为 时变滤波器组和时变小波的设计及应用研究 e n e l 亭笠 露 笠 b 8 2 3 1 2 一最t j 乘设计方法的优点在于对系统所用的分析滤波器组的个数没有限制 因此 最小二乘法在自适应应用中显得很理想 但是 在最 j 7 乘意义下 只求 解每个状态的条件方程不能使系统到达完全重构 具有一定的重构误差 虽然有 一定的缺点 对许多应用来说最小二乘法仍然是一种不可缺少的设计方法 后面 的例1 给出了用l s 方法设计过渡滤波器的仿真结果 完全