全国第九届数学方法论与数.pdf

1 全国第九届数学方法论与数 学教育学术研讨会大会报告 美 丽 的 数 学 首都师范大学数学科学学院 周春荔 2008 年 9 月 28 日于西南交通大学国际会议厅 编者按 编者按 原稿系周春荔教授 2006 年给洛阳市爱好数学的青少年学生所作的科普报告 这次 应全国第九届数学方法论与数学教育学术研讨会代表的要求 又一次在大会上作了讲演 给 人以新的启迪 周教授是全国数学科学方法论研究交流中心副主任 现征得他的同意 我们 把它发布于我们的网站 以飨更多的读者 同学们都是小学 5 6 年级或初一年级的学生 正是长身体 长知识 长智慧 长才干 的时期 大家只是对算术 代数才有了一点儿了解 要对大家讲 美丽的数学 的确是一件 很难的事 也是我力所不能及的事 我想 同学们喜闻乐见的是故事 喜爱趣味问题 通过 故事可以了解数学的发展 通过问题可以体验数学的思维 了解数学文化 因此 我们通过 讲故事与问题的方式来了解数学 感悟数学之美 一 数学的理性思考 魅力无穷一 数学的理性思考 魅力无穷 要回答什么是数学 这是一个很难的问题 就数学的研究内容和范围来说 小学生认为 数学就是算术 算术是研究数与数的计算的科学 然而数学要比算术广泛得多 初中的学生 认为数学是代数和几何 代数是用符号表达的语言 主要研究运算与关系 几何主要研究形 状 大小和空间 然而数学要比代数 几何广泛得多 有人说 数学研究概率和统计 概率 只是研究随机现象 统计主要研究数据的整理与图示 并分析其意义 然而数学要比概率 统计广泛得多 有人说 数学是研究微积分 微积分主要研究变量的变化规律 极限与无限 然而数学要比微积分广泛得多 一句话 数学包括所有这一切 但又比这一切更为广泛 社会实践在发展 人的认识在发展 数学也在发展 对数学的认识与理解也是与时俱进 的 不管怎么说 数与形总是数学的两大柱石 因此人们常说 数学是研究数量关系与空间 形式的科学 数学是研究数量关系与空间 形式的科学 2 如何研究呢 也就是数学工作者的工作有什么特色呢 我们看两道大家都可以理解的 趣味数学问题 例例 1 我国的人口超过 13 亿 请你回答 存在两个人出生的时间相差不超过 2 5 秒钟 吗 那好办 咱们搞个人口大普查吧 结果兴师动众 耗费投资和精力 遗憾的是 人们的 出生时间一般记录到几点几分 没有秒的记录 更不好办的是 50 岁以上的人 特别是农 村人口 出生时间只能精确到日 因此普查的办法是行不通的 可是会数学地思考问题的人 却采取另外的处理方式 咱们就看 1 100 岁的人就够了 1 小时等于 3600 秒 1 天 24 小时 等于 3600 24 86400 秒 1 年最多为 366 天 都按闰年算 合 86400 366 31622400 秒 100 年 最 多 为3162240000秒 如 果 每2 5秒 为1个 间 隔 3162240000秒 为 1264896000 5 2 3162240000 个间隔 现有 1300000000 个人 放入 1264896000 个间隔 可 以肯定 至少有两个人出生的时间相差不超过 2 5 秒钟 所以会数学思考的人不用人口普查 只需要动脑筋 想一想 算一算 就很快得出了肯定的结论 你看数学的思考多么奇妙 例例 2 有没有这样的集会 大家见面后互相握手 其中握奇数次手的总人数恰恰是 2005 吗 你要组织人员在会议中去统计吗 那也是大海里捞针了 难 会数学思考问题的人 往 往从一般情况入手分析 假设参加集会有 n 个人 每两个人见面握一次手 对每人都记握手 1 人次 握来握去有的两个人重复握手也没有关系 假设 握 0 次手的人有 n0个 握 1 次手 的人有 n1个 握 2 次手的人有 n2个 握 3 次手的人有 n3个 握 4 次手的人有 n4个 握 k 次手的人有 nk个 则 0 n0 1 n1 2 n2 3 n3 4 n4 k nk 2 握手总次数 偶数 于是 1 n1 3 n3 5 n5 偶数 即 n1 n3 n5 2 n3 4 n5 偶数 所以 n1 n3 n5 偶数 因此会数学地思考问题的人可以出口惊人地告 诉我们 握奇数次手的总人数必是个偶数 决不能等于 2005 上面的例子太简单了 那我们就看一个可以基本听明白的事例 3 例 3例 3 实现计算过程的数学模型 图灵机 电子计算机的研制成功是 20 世纪科学的重 大成就之一 而计算过程实现机械化的能行性的证明是由数学家实现的 多少世纪以来 人 们都在学习计算 但是究竟什么是计算 在 1936 年以 前从未有人进行过实质性的思考 数 学家图灵于 1936 1937 年发表论文 论可计算数及其对判定问题的应用 首次对计算的本 质进行了深刻的分析 他用抽象分析法 舍弃计算时所用的工具 符号等与实质无关的因素 对计算的结构进行了分析 图灵发现在用二进制表示数的情况下 一切计算过程都具有 线 性 的性质 即整个计算就表现为一条印着方格的纸带上的一个只含 0 和 1 两个数码的数串 每个方格中只有一个数码 0 或 1 于是发现计算者所可能做的事 也就是计算的实质只 是如下几种活动 写上符号 0 写上符号 1 向左移一格 向右移一格 观察现在扫描的符号并相应地选择下一个步骤 停止 图灵 1912 1954 图灵 1912 1954 计算者执行的程序 也就是这类指令所排列成的表 这就是实现计算过程的数学模型 这个模型就是后来文献中所说的图灵机 它是在不考虑硬件的条件下 对可计算问题的逻辑 描述 图灵机是程序内存的 且主要由三部分组成 一条带子 一个读写头 一个控制装置 图灵机理论表明 一切可计算问题都可以机械地进行 因此 通用计算机是可以制造出来的 为现代电子计算机的开发从理论上打下了基础 为现代电子计算机的开发从理论上打下了基础 而弄清算法的结构 找到实现计算过程的 数学模型 又是发现图灵机的关键 试想 不用证明可行性 哪个投资者敢向无底洞去投资呢 既然图灵从理论上证明了一 切可计算问题都可以机械地进行 因此 通用计算机在理论上是可以制造出来的 剩下的事 都交给技术工程师去实际完成就可以了 事实上 计算机的 5 代革命 都是数学领的头 再如 王选教授创造的汉字的激光照排系统 使印刷业告别了 铅与火 的时代 处 于国际领先水平 众所周知 汉字字形信息量太大 数字化的困难是西方文字照排无法相比 的 王选说 由于我是数学系毕业 所以很容易想到信息压缩 即用轮廓描述和参数描述 相结合的方法描述字形 并于 1976 年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法 王 选的成功 具有不平常的意义 其中数学技术是关键技术之一 4 以上三个例题 可以使我们看到 数学是一种理性的思维方法 一种推理的方法 能用数学种理性的思维方法去判断一个想法 是否正确 或者至少是否大概正确 数学是探索索和发明的乐 土 在这里每天都有新思想被发现 数学是用来解决科学中 行政管理中 其他各种行业中提出的各种问题的一一种思维方 法 它是用各种符号表达的语言 这种语言能为世界上所有的 文明民族所理解 数学还是宇宙的语言 也能为地外文明 如 王王 选 选 1937 2006 果存在的话 所理解 它是一种象音乐那样具有对称性 令人喜悦的节奏的艺术 通过这些 介绍我们大体可以了解到 数学是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的一门科学 它非常抽象 属于理 性思维的范畴 它推理严谨 结论确定 它的应用十分广泛 这些是它的主要特点 数学具 有人类追求的真 善 美的特点 数学的美不同于科学的美 艺术的美 数学的美是理性的 美 数学的美是理性的 美 抽象的美 抽象的美 数学是锻炼思维的体操 数学是打开科学大门的钥匙 正如华罗庚所说 宇 宙之大 粒子之微 火箭之速 地球之变 化工之巧 日用之繁 无处不用数学 再看几个数学的奇迹 事例事例 1 1781 年 英国天文学家赫舍尔 1738 1822 年 发现了天王星以后 人们又 发现它的计算位置和实际观测位置有偏差 而这种偏差又是无法用当时已知行星的吸引作用 的影响来解释的 因此 科学家猜测一定有尚未发现的行星存在 1845 年 法国天文学家 勒维烈 1811 1877 年 根据哥白尼学说计算出了这颗当时尚未发现的行星的轨道 1846 年 9 月 18 日 勒维烈把他的计算结果写信告诉了柏林天文台助理员 天文学观察家约翰 加 勒 1812 1910 年 加勒在 1846 年 9 月 23 日收到这封信的当天晚上 即观测发现了这 颗新的行星 其位置距离勒维烈的计算位置相差不到 1 这就是海王星 人们把海王星称之 为 笔尖上 发现的行星 事例事例 2 土星光环从望远镜里观察似乎是连续的 物质 数学家用计算证明这是不可能的 并且光谱的 分析证实了根据计算而得出的结论 事例事例 3 由于长期天文观测 发现土星的轨道在扩 大 木星的轨道在缩小 于是提出一个问题 长此下 去 木星将会掉到太阳上去 而土将会飞出太阳系 土星光环图 土星光环图 5 这个问题关系到太阳系的前途 普遍受到人们的关心 拉普拉斯根据数学原理 用微积 分工具 特别是无穷级数 论证了这种现象源出于行星间的引力 作用 轨道发生周期性扰动 以后土星和木星的轨道还会变回去 并计算出这个周期是 929 年 这个结论超出了人们直观范围 而 天文观测又要到九百年后才能看到 这就要求数学必须具有逻辑 的严谨性 结论的确定性 这样才能保证科学的预见性 这种以 后将发生的事总还可以检验 而历史上久远发生过的而记载是否 真实的事就更不好检验了 然而 数学不但可以准确地预报未来 也还能精确地 回报 往事 比如 春秋 中记载了前 722 前 481 年的 37 次日蚀 通过计算可以判知其中有 32 次是可靠的 拉普拉斯 拉普拉斯 1749 1827 其余皆属误传 太阳系行星结构示意图 太阳系行星结构示意图 土星的轨道在扩大 木星的轨道在缩小 于是提出一个问题 长此下去 木星将会掉到太 阳上去 而土星将会飞出太阳系 人们在谈论人文精神时 常常把人文精神定位在追求 真 善 美 和人的全面而自由 的发展之最高层面上 在讨论艺术美的理论中 也经常谈到 真 善 美 三位一体的问题 对于数学 一个正确的数学理论 反映客观事物的本质与规律 这是数学的真真 数学理论不 管离现实多远 最后总能找到她的用途 体现其为人类服务的价值取向 这是数学的善善 数 学理论本身的奇特 微妙 简洁有力以及建立这些理论时人们的创造性思维 就是数学的美美 6 正如数学家怀特海曾指出的 数学是真善美的辩证统一 因此从更广泛的意义上看 数学是 一种文化 是一种追求理性美与创造理性美的文化 数学是 一种文化 是一种追求理性美与创造理性美的文化 数学家 H 庞加莱说过 数学家不单单因为数学有用而研究数学 他研究数学还因 为他喜欢它 而喜欢它则是因为它是美丽的 既然数学是这样的奇妙 有魅力 青少年应该立志学好数学 这并不是要求每个人都 成为数学家或科学家 但是为了了解现代世界 每个人都应该掌握数学的思维方式 至少都 必须懂得一些数学 二 走进数学大花园二 走进数学大花园 饱览无穷的美妙饱览无穷的美妙 数学是个大花园 里面百花争艳 万紫千红 我们走进 图形园图形园 园门口写着大科学 家伽利略的名言 大自然以数学的语言讲话 这个语言的字母是圆 三角形以及其他各种数 学形体 迎接小朋友的是这样一个问题 例 1例 1 2002 年 8 月 在北京 召开国际数学家大会 大会会标 如图所示 它是由四个相同的直 角三角形与中间的小正方形拼成 伽利略伽利略 1564 1642 的一个大正方形 若大正方形的 面积是 13 小正方形的面积是 1 问直角三角形的两条直角边 各是多少 解解 由大正方形面积是 13 小正方形面积是 1 所以小正方 形边长是 1 四个相同的直角三角形的总面积是 12 如图 在大 正方形外面再拼补上四个相同的直角三角形 形成正方形 ABCD 它的面积是 12 13 25 因此边长等于 5 从图中不难看出 直角三角形两条直角边之和等于正方 形ABCD的边长 5 长短两直角边的差等于中间的小正方形 的边长 1 由算术四则的和差问题可得 直角三角形的较长直 角边等于 3 较短直角边等于 2 2002年在北京召开的国际数学家大会会标的图案来源于 7 中国古代的 弦图 图形是这样的简洁 没有一丝一毫的雍容华贵 但它蕴涵深邃 我国 古代三国时期的数学家赵爽利用 弦图 证明了勾股定理 2002 年在北京召开的国际数学家大会会标的图案来源于中国古代的 弦图 图形是 这样的简洁 没有一丝一毫的雍容华贵 但它蕴涵深邃 我国古代三国时期的数学家赵爽利 用 弦图 证明了勾股定理 周髀 中的 弦图 和 勾股圆方图 注 周髀 中的 弦图 和 勾股圆方图 注 勾股定理意义重大 被数学家们称为是欧氏几何的 拱心石拱心石 它的内容是 直角三角 形的两条直角边为 a b 斜边为 c 则 222 cba 赵爽的证明概要是 按弦图 又可以勾股相乘为朱实二 倍之为朱实四 以勾股之差自 乘为中黄实 加差实 亦成弦实 即 2 22 cabab 化简便得 222 cba 这个证明 是何等的简洁 漂亮 定理的结论简洁 形式对称 给人以美的享受 难怪古希腊的毕达哥拉斯发现了这个 定理时高兴的举行了一个百牛大祭 他竟是这样的快活 以致举行盛宴 把富人和全体人 民都邀请了 这番辛苦是值得的 这是精神 认识 的快乐和喜悦 然而牛遭了殃 例 2例 2 园林小路 曲径通幽 如图所示 小路由白色正方形石板和青 红两色的三角形 石板铺成 问 内圈三角形石板的总面积大 还是外圈三角形石板的总面积大 请说明理由 第 5 届华杯赛团体决赛口试题 8 答 内圈三角形石板的总面积与外圈三角形石板的总面积一样大 其理由是 石板路的基本结构如右图所示 两个共顶点的正方形夹着一个内圈和一个外 圈的三角形 我们只要证明所夹内外圈的这两个三角形面积相等就可以了 为此将ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 90 到三角形 AEC1的位置 易知 D A C 三点共线 AC1 AD A 是线段 C1D 的中点 所以三角形 AEC1的面积与三角形 AED 的面积相等 也就是三角形 ABC 的面积与三角形 AED 的面积相等 当你在美丽的园林小路间漫步时 你可曾感觉到悠闲的脚步下竟然隐藏着这样深邃的 数量关系吗 真是世界真奇妙 不探索就不知道 例 3例 3 两个边长为 0 9 的正三角形的纸片 能盖住一个边长为 1 的正三角形纸片吗 请 你简述理由 盖一盖试一试吗 盖来盖去就是差一点 再试 无穷多种位置的可能性千年万代也试 不完呀 怎么办 用数学的思维方式 如果两个边长为 0 9 的正三角形的纸片 能盖住一 个边长为 1 的正三角形纸片 当然必须盖住边长为 1 的正三角形纸片的三个顶点 A B C 于是根据抽屉原则 至少有一个边长为 0 9 的正三角形的纸片盖住其中的两个顶点 不妨 盖住的是 A B 两顶点 则 AB 9 0 这与 AB 1 矛盾 所以 两个边长为 0 9 的正三角 形的纸片 无论怎样放置 都盖不住一个边长为 1 的正三角形纸片 简洁有力的数学推理 跨越了永无止境的试来试去 如果你想到了这个证法 你会油 然而生一种成就感 这是多么美好的精神享受哇 例例 4 荒岛寻宝问题 一本叫做 从一到无穷大 的书中有这样一个问题 从前 有个富于冒险精神的年轻人 在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸 上面指出 了一项宝藏 他是这样写着的 乘船至北纬 西经 即可找到一座荒岛 岛的北岸有一大片草地 草地上有一株橡 树和一棵松树 还有一座绞架 那是我们过去用来吊死叛变者的 从绞架走到橡树 并记住 9 走了多少步 到了橡树向右拐个直角再走这么多步 在这里打个桩 然后回到绞架那里 再 朝松树走去 同时记住所走的步数 到了松树向左拐个直角再走这么多步 在这里也打个桩 在两个桩的正当中挖掘 就可以找到宝藏 根据这道指示 这位年轻人就租了一条船开往目的地 他找到了这座岛 也找到了橡树 和松树 但使他大失所望的是 绞架不见了 经过长时间的风吹日晒雨淋 绞架已糟烂成土 一点痕迹也没有了 这位年轻的冒险家只能乱挖起来 但是 地方太大了 一切只是白费力 气 只好两手空空 启帆返程 亲爱的同学们 能用你的智慧找到宝藏的位置吗 其实 只要有三角形全等 梯形中位线定理的基本知识 略加思考 就可以找到宝 藏的埋藏位置 从图可知 BQXBNDAQXAMC 所以 MA XQ NB 又 CM DN EP CE DE 则有 MP NP 但是 MA XQ NB 所以 AP BP 即 P 是 AB 的中点 由梯形中位线定理得 222 ABBQAQDNCM EP 所以E点可以如下确定 取橡树和松树之间的线段 AB 的中点 P 过 P 作 AB 的垂线 在垂 线上取点 E 使得 EP 2 AB 则点 E 就是宝藏的位置 细心的同学应当想到 无论绞架在哪个位置 只要橡树和松树存在 宝藏的位置点 E 就是一个不动点 10 很遗憾 这个富于冒险精神的年轻人 连最起码的几何知识都没有 不会数学地思考问 题 但愿不是因为学校盲目地认为欧氏几何陈旧没用 把几何课时削减过多造成的吧 年轻 人富于冒险精神并不是坏事 但还要有科学的 理性思维的头脑 不然的话 那就会是 玩 命 地蛮干 数学家克隆内克说过 上帝创造了整数 所有其余的数都是人造的 我们就再到 整数园整数园 看一看 迎面有九个大字 哪里有数 哪里就有美 这是古希腊哲学家 数学家普洛克拉斯的名言 我们看 1 2 3 4 5 6 7 这是从小学就学习的自然数列 注意 人类认 识数 0 是后来的事 因此传统的自然数不包括 0 这个数列美不美呢 多么简单又多么有规律 后继数比前面的数多一 就到此为止 看 不出什么 如果仔细想一想 会发现许多有趣的事实 比如 3 7 10 只要在自然数列中 找到 3 向后数 7 个数 所到达的数就是和数 10 要是 7 3 用同样的方法也得 10 若把上面 的自然数列和加法演算 想象成两把带有等分刻度的尺子 如下图所示 就是尺算加法 上 尺 3 对正下尺 0 下尺向右数到 7 7 所对的上尺的 10 就是 3 7 的和 同样不难计算减 法 这不就是个计算加 减的算尺小发明吗 再仔细观察 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 是这样的有规律 如果自 左向右 1 2 报数 数 2 的向前一步走 就分成了两个数列 1 3 5 7 9 11 13 15 17 奇数列 2 4 6 8 10 12 14 16 18 偶数列 前一数列中的数的共同特点是不被 2 整除 叫奇数 后一数列中的 数的共同特点是被 2 整除 叫偶数 你会发现 第一个数列中的数一定不等于第二个数列中 的数 这就是一个极为简单的真理 奇 数 偶 数 第一个数列中的任两个数的和都不在本数列中 而在第二个数列中 第二个数列中的任 两个数的和都在本数列中 而不在第一个数列中 当且仅当第一个数列中取一个数与第二个 数列中取一个数相加 其和一定在第一个数列中 这正是奇偶数加法的基本规律 11 类似地 第一个数列中的任两个数的积都在本数列中 而不在第二个数列中 第二个数 列中的任两个数的积也都在本数列中 而不在第一个数列中 当且仅当不全是第一个数列中 取的两个数相乘时 其积一定在第二个数列中 这是奇偶数乘法的基本规律 奇数 偶数加法与乘法的法则可以列为下表 这两个表该是多么简洁 多么对称 多么美呀 其实 奇数集合的数被 2 除余 1 偶数被 2 除余 0 奇数集合以 1 为代表 偶数集合以 0 为代表 只要两种状态的情况 都可以用奇 偶表示 也就是用 0 1 表示 人们自古就发 明了用 0 1 表示两种状态的信息 比如 长城的烽火台不点狼烟时表示无 0 扰边入侵者 当点起狼烟 则表示来了 1 扰边入侵者 这是古人自觉或不自觉地用 0 1 传达两态信息 的发明 狼烟点起 敌我双方都看得到 能不能再隐蔽一些 尽量使敌方看不到而我方能看 到呢 其实 抗日战争打鬼子时的 消息树 也是一种传递两态消息的发明创造 消息树的 设置我方是知道的 敌方是不易发现的 消息树不倒 代表无敌人 0 消息树倒了 代 表鬼子进山来了 1 这也是今人巧用 0 1 表示两种状态的信息的通信方式 观察自然数列中的数 仔细想一想 发现构成不完全一样 比如 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 2 2 5 1 5 6 1 6 2 3 7 1 7 8 1 8 2 9 1 9 3 3 10 1 10 2 5 11 1 11 12 1 12 2 6 3 4 13 1 13 14 1 14 2 7 15 1 15 3 5 16 1 16 2 8 4 4 大体可以分为 3 类 一类叫单位 1 第二类 2 3 5 7 11 13 只有 1 与自身 两个约数 叫质数 第三类 4 6 8 9 10 12 14 15 16 至少还有一个除 1 与自身两个约数以外的约数 叫合数 你看多么有规律 这时我们又会有发现 大于 1 的自然数 都可以写成质因数连乘积的形式 如果将质因数 由小到大排列 相同的质因数写成乘方的形式 这个表示法是唯一的 你看 复杂的数都是 由简单的质数通过乘法合成的 人们要是弄清了质数的性质 就可以弄清自然数的结构 单位 1 只 1 个约数 自然数 1 2 3 质数 恰有 2 个不同的约数 合数 至少有 3 个不同的约数 12 很有趣味 质数中只有一个是偶数 是 2 这个 党代表 其余的质数都是清一色的奇 数 娘子军 自然数中的质数有多少 有限个还是无限多 早在古希腊时代 就 已经证明了质数有无限多个 假设自然数列中的质数是有限个 不妨设为 k 个 它们依次是 p1 p2 p3 pk 1 pk 我们考察一个新的自然数 N p1 p2 p3 pk 1 pk 1 显然 N 1 所以 N 要么是质数 要么是合数 N 能 是质数吗 若 N 是质数 显然 N 是不等于 p1 p2 p3 pk 1 pk的一个新的第 k 1 个 质数 这与只有 k 个质数的假设不符 因此 N 不能是质数 N 能是合数吗 若 N 是合数 则 N 应有除 1 与自身以外的质因子 也就是质数 p1 p2 p3 pk 1 pk中至少有一个 pi 能整除 N 于是推出 pi 能整除 1 得出矛盾 可见 如果自然数列中的质数是有限个 那么这个新的自然数 N p1 p2 p3 pk 1 pk 1 既不是 1 也不是质数 更不是合数 得出矛盾 所 以自然数列中的质数应有无限多个 证明是那样的简洁 有说服力 足以显示出理性思维的力量 这还不够 人们还发现 质数的分布极不均匀 有时像 3 5 11 13 两个奇质数相 邻 是 孪生质数 有时连续的若干个自然数中都没有质数 人们这样证明在自然数列中 存在连续的 n 个自然数的片段 每一个自然数都是合数 设 1 1 nN则 3 2 1nNNNN 这连续的 n 个自然数 每一个都是 合数 这个证明是这样的简洁 我最初见到这个证明时 简直被数学的美妙惊呆了 随之而来 的是感叹 这个证明太美了 人家是怎么想到的呢 大家知道 3 5 5 7 11 13 都是孪生质数的例子 一直找下去可以找到 许多对孪生质数 如 109619 109621 10009871 10009873 及 1000061087 1000061089 都是孪生质数 据统计 在三千万以内共有 152892 对孪生质数 随着范围的扩大 孪生质 数的数量会增加 因此人们猜想 在自然数中 孪生质数有无穷多对 这个看似简单的问题 至今仍未解决 是一个数学难题 这就是著名的孪生质数猜想 同学们会提出 像 3 5 7 这样的 3 个连续的质数 不妨叫 3 生质数 那么 3 生 质数 能有多少组呢 同学们可以证明 只有 3 5 7 这一组 13 假设还能找到另一组的三个连续的奇数 4 2 ppp 4 2 ppp每一个 都是质数 显然3 p 当p是被 3 除余 1 的数时 2 p将被 3 整除 是个合数 与 2 p是质数矛盾 所以p不能是被 3 除余 1 的数 当p是被 3 除余 2 的数时 4 p将 被 3 整除 是个合数 与4 p是质数矛盾 所以p不能是被 3 除余 2 的数 此时得出p 只能是被 3 整除的数 要p是质数 当且仅当p 3 才可能 这与3 p是矛盾的 所以 三个连续的奇数 其中每一个数都是质数 只有 3 5 7 这一组 这样一来你马上用逻辑知识就可判定 不存在 4 生质数 5 生质数 等等 古代有个叫斐波那契斐波那契的人 他发现了一种新的以他的名字 命名的数列 斐波那契数列 这个数列也俗称兔子繁殖数列 最初见于意大利数学家斐波那契 1202 年写成的 算盘书 中的 一个问题 大意是 假定一对幼兔 雌雄各一个 幼兔出生 后第二个月就长为成兔 有生殖后代的能力 每月生一对小兔 子 雌雄各一个 那么这一对兔子经过一年的繁殖 总共可以 斐波那契 斐波那契 1170 1250 得到多少对兔子呢 我们可以列出兔子繁殖的数量表 月 份 成 兔 对 数 幼 兔 对 数 兔的总对数 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 3 4 3 2 5 14 5 5 3 8 6 8 5 13 7 13 8 21 8 21 13 34 9 34 21 55 10 55 34 89 11 89 55 144 12 144 89 233 13 233 144 377 由上表看到由一对幼兔逐月繁殖的总对数是一个数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 这个无限数列就叫做斐波那契数列 它的每一项叫做一个斐波那契数 如果数列每一项 的位置用下标表示 u1 1 u2 1 u3 2 u4 3 u5 5 u6 8 un表示第 n 个斐波那契数 则有 un un 1 un 2 其中 n 3 通过高中数学就可以算出 nn n u 2 51 2 51 5 1 它是斐波那契数列的通项公式 每项都是自然数的数列 其通项公式却要由无理数表示 形 式又是那么对称 给人以美感 让人感到奇妙 自然界造化中有许多有趣的斐波那契现象 蓟 多年生草本植物 茎叶多刺 的头部几乎呈球状 在左下图里 标出了两条不同方 向的螺旋 其中 顺时针旋转的螺旋一共有 13 条 而逆时针旋转的则有 21 条 13 与 21 恰 是两个相邻的斐波那契数 蓟的头部具有 13 条顺时针旋 向日葵花瓣纹理的顺时针旋转 转和 21 条逆时针旋转的螺旋 排列与逆时针旋转排列的螺线 15 向日葵的小花形成的纹理也是按顺时针及逆时针方向缠绕在一起的螺线图案 通常一个 方向有 55 条 而反方向有 34 条 或是 89 条对 55 条 或 144 条对 89 条 甚至有 233 对 144 条的 有趣的是各对数字都是两个相邻的斐波那契数 斐波那契数列在工业管理中也有着重要的应用 在数学历史上 可以找到数学家们许多发现规律的典型事例 例如 牛顿二项式定理中对二项展开系数规律的认识 11 1 baba 22 2 2bababa 3223 3 33babbaaba 432234 4 464babbabaaba 54322345 5 510105babbababaaba 牛牛 顿顿 1643 1727 由特殊情况 观察规律 得出猜想 11222 n nnn nn kn kknn nn ab aC abC ab C abC b 然后再用数学归纳法就可证明上式 这就是牛顿二项式定理 我国宋代 杨辉三角形 杨辉 贾宪乘方求廉图 就是对二 项式定理中系数形成规律的一个总结 16 这是一个多么对称 多么有规律的数字金字塔呀 它居然与斐波那契数列 三角形数 四面 体数 等存在联系 高斯 1777 1855 费尔玛 1601 1665 高斯 1777 1855 费尔玛 1601 1665 难道这是巧合 还是数量关系之间的神奇美妙的联系呢 总之 自然数是这样的神奇 还有许多深刻的性质在向人类的理性思维挑战 高斯曾说 数学是科学的皇后 而数论是数学的皇后 数学的皇后头上有许多璀璨的明珠 比如 费尔玛大定理 歌德巴赫猜想 费尔玛大定 理历时 350 年 最终在 1994 年被英国数学家怀尔斯所证明 由此贡献怀尔斯荣获了沃尔夫奖 1998 年 怀尔斯在柏林举行的国际数学家大会上 以解决费尔玛大定理的业绩获得特别成就 奖 至于歌德巴赫猜想这棵明珠 我国已故数学家陈景润已经证明到 1 2 离 1 1 尚 有一步之遥 至于鹿死谁手 全世界都拭目以待 我们多么希望有志的华夏儿女能再接再厉 采摘到这棵明珠哇 三 开启兴趣闸门的钥匙 好奇心三 开启兴趣闸门的钥匙 好奇心 著名国际数学大师陈省身为 2002 青少年数学论坛 题字 数学好玩 其中的意思 是说数学并不枯燥 他不是游戏 而是一种兴趣的东 西 这个有兴趣的东西很美 是 理性的美 抽象的美 有人说 音乐就是感觉中的数学 而数学 就是推理中的音乐 两者的灵魂 完全一致 因此 音乐家可以感 觉到数学 而数学家也可以想象 到音乐 虽说音乐是梦幻 而数 学是现实 但当人类智慧升华到 陈省身 陈省身 1911 2004 17 完美的境界时 音乐和数学就互相渗透而融为一体了 一位外国数学家告诉马志明院士 他 非常喜欢音乐 尤其是巴赫的音乐 他的音乐里有数学 巴赫的音乐很对称 不论是顺着听 还是倒着听 都是一样的旋律 这就是数学中的对称性 数学既然是这样的美 这样的有用 你对他感兴趣吗 原来每个人从小开始对数学并没 有什么偏爱 但总有那么一个时期 或因为老师的鼓励 或因为自己得到成功的鼓舞 或者 看了数学家的故事后的激动 一下子成了自己学习的转折点 对数学产生了兴趣 可能就与 数学结下了不解之缘 杨乐院士说 同学们要培养爱好数学的良好兴趣 这 点非常重要 只有你对数学感兴趣 你才能对其研究 我小学 六年在一个非常好的小学念书 不过因为那时上学较早 有 比较好的条件 即使数学成绩 较好 也没有对数学产生浓厚 的兴趣 只是学到后来 学到 杨 乐 1939 杨 乐 1939 了代数 我发现 a b c d 也 可以像数字一样参加四则运算 觉得特别有意思 对于平面几 何也是 可以用数字来描述形或轨迹 简直美妙极了 后来 我就利用课外时间看一些书数学成绩也比别人高出了许多 毕达哥拉斯 约前 560 480 毕达哥拉斯 约前 560 480 因此对数学的兴趣也越来越浓了 再另外就是 我小时侯看到的很多定理 比如勾股定理 那时不叫这个名字 而是毕达哥拉斯定理 是用一个外国人的名字来命名的 还有好多定理 都是这样 我就在想 为什么不用中国人的名字来命名呢 于是我就下决心去研究数学 著名的华裔旅美数学家菲尔兹奖获得者丘成桐教授回忆道 小学时 自己的数学跟别 人没有分别 成绩平平 到了中学时代 由于得到几位数学良师的悉心引领 开始对数学产 生兴趣 尤其对平面几何情有独钟 从中学二年级开始 所有数学教科书或作业上的习题 丘教授都会一题不漏地 钻研 到了中三 中四 更是主动地自学大学的数学课程 据说古希腊数学家帕普斯很小的时候就跟随丢番图学 习数学 有一天 他向老师请教一个问题 有 4 个数 把其 中每 3 个相加 其和分别为 22 24 27 和 20 求这 4 个数 这个问题看起来很简单 但具体做起来却有一定的复杂性 丘成桐 1949 丘成桐 1949 18 帕普斯请教丢番图有没有巧妙的方法可以解答这个问题 丢番图提出了一个巧妙的解法 他 不是分别设 4 个未知数 而是设 4 个数之和为 x 那么 4 个数就分别为 x 22 x 24 x 27 和 x 20 于是有方程 x x 22 x 24 x 27 x 20 解之得 x 31 从而得到 4 个数分别为 9 7 4 11 帕普斯对老师的漂亮解法非常佩服 从此坚定了毕生研究数学的意愿 后来成了一位著 名的数学家 我国数学家陈景润 回忆他小学时的林老师和中学时的陆宗授老师 林老师讲课 总 像在讲故事 她能把枯燥无味的习题讲得生动有趣 引人入胜 而陆老师则是一位善于引导学生思考的老师 再难的问题 他 都能启发你由浅入深的思考 直到最终学会 老师的循循善诱 像阳光雨露一样滋润着陈景润 也就是从那时起陈景润对数学 产生了浓厚的兴趣 并迷上了它 1948 年获帝国理工学院航 空工程系哲学博士学位的沈元先生回福州为父奔丧 曾在英华 陈景润 1933 1996 陈景润 1933 1996 书院教书做陈景润所在班的班主任 并担任数学 政治 物理 英文的授课 沈元老师在课堂上向同学们介绍了歌德巴赫猜想 可以说沈元老师是陈景润 决心摘取这棵数学王冠上的明珠的启蒙老师 最终证明了费尔玛大定理的数学家怀尔斯 10 岁时已经着迷于数学了 他回忆说 在 学校里我喜欢做题目 我把他们带回家 编写成自己的新题目 不过我以前找到的最好的题 目是在我们的地区图书馆发现的 这里有大量的 智力测验的书籍 正是这些书籍常常引起安德鲁的 注意 这些书中含有各种难解的科学难题和数学之 谜 而每个题的解答可能会扼要地展示在最后几页 某个地方 但是这一次安德鲁被一本书吸引住了 这本书只有一个问题而没有解答 这本书就是埃里 克 坦普尔 贝尔写的 大问题 记述的是费尔 玛的最后命题 怀尔斯 1953 怀尔斯 1953 方程 nnn zyx 当 n 为大于 2 的自然数时没有正整数解 19 它使一个个数学家望而生畏 长达 300 年还没人能解决它 怀尔斯今天这样描述当时的感受 它看上去如此简单 但历史上所有大数学家都未能解决它 这里正摆着一个我 一个 10 岁的孩子 能理解的问题 从那个时刻起 我知道我永远不会放弃它 我必须解决它 我国数学家华罗庚教授说得更为具体 我开始时学习数学是没有什么 宏愿 的 仅 仅是为了兴趣 为了便于自学 唯一推动我的力量 就 是兴趣与方便 因为数学是充满了兴趣的科学 也是最便于 自学的科学 可见 兴趣对于早期进入数学领域多么重要 在刚开始学习的时候是很难完全弄清楚学了数学有什么用 的 华罗庚也只是后来才 认识到研究数学不能停留在为了 兴趣上 认识到数学是和国家 社会有着密切关系的 它可 以成为建设祖国的工具 认识到 数学是对社会有极大贡 华罗庚 1910 1985 华罗庚 1910 1985 献的学问 科学与生产越发达 对数学的需要也就越迫切 在自然科学愈提高到理论 阶段的时候 也就愈是需要数学的时候 兴趣来源于好奇心 要学好数学 就要动手动脑 多问个为什么 找事物之间的联系 提问题 找解答 说理由 久而久之 你就会发现数学就在你的身边 你也就会觉得自己的 能力有所提高 作数学题 要作一些具有挑战性的题目 在中小学阶段 有趣的算术四则问题 平面几 何的证明题或作图题 竞赛中的趣味题 对提高数学兴趣和解题能力都很有好处 培养人才的实践证明 在中学时代打下初等数论和平面几何的基础 对一个人的数学修 养是极为关键的 对于平面几何 我想多说几句 大科学家牛顿曾说 几何学的光荣 在于它从很少的几条独立自主的原则出发 而得以完成如此之多的工作 1933 年 爱因斯坦在英国牛津大学所作的 关于理论物理的 方法 的演讲中 曾这样说道 我们推崇古代希腊是西方科学的摇篮 在那里 世界第一 次目睹了一个逻辑体系的奇迹 这个逻辑体系如此精密地一 步一步推进 以致它的每一个命题都是绝对不容质疑的 我这里说的就是欧几里得几何 推理的这种可赞叹的胜利 使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心 如果欧几 里得未能激起你少年时代的热情 那么你就不是一个天生的 爱因斯坦 1879 1955 爱因斯坦 1879 1955 20 科学家 在沙雷金编著的俄罗斯中学几何 7 9 年级课本的前言中有这样一段极富哲理的话 精神的最高表现是理性 理性的最高显示 这是几何学 三角形是几何学的细胞 它象 宇宙那样取之不尽 圆是几何学的灵魂 通晓圆不仅通晓几何学的灵魂 而且能召回自己的 灵魂 平面几何的模型是直线 三角形和圆 非常之简单 而它对数学思维的训练效果却非常 之大 学习平面几何 投资少 收益大 何乐而不为呢 江泽民主席说 学习几何能锻炼 一个人的思维 解答数学题 最重要的是培养一个人钻研精神 江主席还说 他休息时喜欢 想平面几何题 这些都说明平面几何的教育价值 有的同学可能想 我会动手实践 数学难学 会点算术就可以了 对数学学习不必要求 过高 要不要坚持学习数学的高标准 作为教育观念可以各抒己见 但是 21 世纪科学技术 的飞速发展竞争的现实 落后就要挨打的严酷现实