反馈线性化原理的应用.doc

非线性系统控制理论第四章 反馈线性化原理的应用 在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。4.1零动态 在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念“零动态”。在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。即若任何一个线性系统其相对阶r严格小于其维数n，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n，则传递函数中就没有零点。所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。在这一节中这种类比将进一步推广。 考虑一个相对阶严格小于的非线性系统 则可通过坐标变换，变成正则形：， ， 其中，若能使, 则可将系统变成下列形式： 或写成： 若是使的点，则在一定有，虽然此时可以任意选择，但是不失一般性，可以选，如果是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。因而有： 当时 当时 这也就是说，在，系统处于平衡状态下，若此时及以后又没有输入作用（即），则该系统就一直处于平衡状态。1.输出零化问题和零动态现在提出一个这样的问题： 能否找到这样成对的关系：即某个初始状态，及对应的，定义在的一个邻域上，使得系统在的邻域上输出恒等于0。这个问题被叫作输出零化问题。当然我们感兴趣的是所有这样的对子，而不是前面提到过的简单的平凡对。 对于正则形有： 由于限制在所有t时刻，这就必须有：也就是说在所有时刻。所以，我们可知当系统的输出恒等于零时，其状态也以这样一种方式受到限制，这时也恒等于零。并且必须是下列方程的唯一解。 其中，当趋近于零时； 应服从下列微分方程，因为到目前为止，我们只知道。 （3.1） 由于与输出不直接有关，所以要使保持为零，只要可以任意来选择，但是对于不同的，要解得，再取才能使保持为零。 当初始条件选择为，及时，上述的解是唯一的。方程（3.1）描写了系统内部的这样一种动态特性，即在限制输出恒为零的条件下，对于所选择的初始条件，并由此而解出的控制作用下，系统内部的动态特性。这个动态在我们今后的讨论中颇为重要，被叫作系统的零动态。2.关于零动态的几个评注：（1）对于线性系统而言，零动态是这样一个特殊的线性系统的动态：这个系统的极点或特征值是原系统的零点；即以原系统传递函数的分子多项式为其特征多项式的线性系统的动态。 现在我们来说明这一点，假定线性系统的传递函数为： 可知其相对阶为r，若该系统传递函数的分子与分母是互质的，则容易得出其一种最小实现为： 其中： 化为正则形后 再取： 它使，且是非奇异的。 因为 容易验证它是非奇异的。因而用该坐标变换可以化成正则形，其形式为： 根据零动态的意义，所以有 此时应取 因： 由于 故： 由此零动态的特征多项式为： 此即为原系统传递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。( 2 ) 非线性系统的零动态在=0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动态是一致的。也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可以交换的。 为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似与原系统线性近似的正则形是一致的。并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。 前面业已介绍 同理 由递推关系，容易计算 其中函数使得 由此可以推出 对所有kr-1 也就是说原系统在 x=0 处的线性近似系统，它的相对阶就等于r。则非线性系统的正则形的相应项可以写成下列展开式： 则其零动态的线性近似式为 所有 描写了当0 时，原系统在=0 处的零动态的线性近似，它与整个系统在 x=0 处的线性近似的零动态是一致的。例3.2 我们来分析下列系统的零动态 则有： 因此其相对阶 r=2，为了化为正则形，取 于是在新坐标下系统的方程为 从零动态的意义可知，y(t)=0 意味着，所以系统的零动态为：(3)非正则形时的零动态： 虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的状态变量要满足 常常有难处。于是得到的是非正则形，系统的描述成为： 我们可以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)0，所以：。 由此可得， 所以 ， 则零动态为：。(4)几何观点： 若系统在某点处的相对阶为r，则有 0 k r-1Page: 62 对于输出零化问题，则有，0 k r-1。故系统一定在下面的子集上运动( 局部地围绕)。 也就是说在新坐标下，恰恰正是均为零的点集上运动，且附加的限制条件： 图4.6表示了在新坐标下零动态的几何表示 图 4.6 因为微分 ，0 i r-1，在 处是线性无关的。所以 处在 附近的一个 n-r 维的光滑流形，其状态反馈为 因为 所以向量场 是与 子集相切的。也就可以由此推得闭环系统 的任何运动轨迹从上的某点开始一直在中运动(对于小的时间t 内)。约束条件是的一个确定的向量场。它精确的描写了系统的零动态,而与所取的坐标无关。(5) 零动态在精确线性化下的不变性 若系统的相对阶为 r, 又 rn。则可以通过状态反馈构成闭环并使之局部精确线性化。如前所述取 。于是系统成为 ,其中, , 当线性子系统初始时是静止的, 即 y(0)=0, 而且在此后又没有输入作用（指V=0）, 因而可保持 y(t)=0。也就是说 。这时整个系统即闭环系统的内部动态就是,也即是开环系统( 原系统 )的零动态。( 6 )参考输出的再产生问题。输出零化问题实质上是强迫输出去精确的跟踪零。我们很容易推广到这样的情况,即是否可强迫输出去跟踪一个任意的函数。这一个问题被称为参考输出的再产生问题。说得具体一点就是若有可能, 寻找成对的是初始状态。是定义在t=0的邻域上的输出函数, 使系统的输出 y(t)在 t=0的所有邻域 t上与给的精确地相一致。则与前面的分析相类似, 因为要求, 这就意味着: ,对所有的 t和所有的 i。因而至少,对所有的 t和 。 令 ,因而输入 u(t)必须满足, 其中是下列微分方程的解 (3.3) 为使 , 首先应保证在初始时刻,而 是可以任选的 。于是按照所选的 ,则 (3.4) 所以为了使系统的输出能精确地跟踪给定的 ,首先在初始时刻, 必须“对准”,即 ,然后由给定的 和 ,解方程(3.3)得出 ,再由(3.4)式解出 u(t) 。这个输入 u(t)是能保持 的唯一解。从上述过程可以看出,(3.3)和(3.4)式好像构造了一个以 为输入, 为状态, u(t)为输出的“系统”,它被解释为原系统的“逆实现” 。4.2 局部渐近稳定化(镇定)1.问题的提出: 考虑系统 , 平衡点 ,不失一般性可取 (移动坐标原点) 。能否找到一个控制 (状态反馈),使系统 在处是渐近稳定的,称为局部渐近稳定问题。 后面的讨论将说明零动态的概念对处理这个问题是很有用的。2. 线性系统能否稳定化的回顾:对于一个线性系统, 通过合适的分解总可以分解成能控和不能控两个子系统。对于能控的子系统总可以通过状态反馈, 使其特征值处在复平面上任意给定的位置,对于不能控的子系统则状态反馈就不能使特其特征值配置在任意位置。 所以一个线性系统能稳定化的充要条件是: 当不能控子系统的特征值均在复平面的左半平面,则整个系统是能稳的。否则系统是不能稳的。3.命题4.1：假若非线性系统的一阶线性近似系统是渐近能稳的，则原非线性系统也是渐近能稳的，反之亦然。因为非线性系统 ,其中 。 若取 u=Fx, 则。 所以当线性近似系统是能稳的，则（ABF）的特征值均具有负实部。而在邻域上，后两项是 x的2阶小量。此时该非线性闭环系统在 处也是局部渐近稳定的。反之若线性近似系统是不能稳的，则不管 取什么规律，其线性近似系统是总有右半平面的特征值，因而原非线性系统也是不可稳的。 由一阶线性近似系统的渐近稳定来判别原非线性系统是否渐近稳定，称为“一阶线性近似稳定性判别原则”，它早由李亚普诺夫和庞加莱所证明。 注意：以上命题没有说明当线性近似系统的不能控子系统中仅仅包括有虚轴上的特征值时，非线性系统是否能稳的情况，这种情况称为局部能稳的临界问题。4.命题4.2( 临界问题 )，若系统的零动态在 处是渐近稳定的，那么通过状态反馈可以使原系统在 处渐近稳定。证明：(1):若系统的相对阶为 r,则可将系统化成正则形。 其中 。(2):取 可将该子系统化成线性能控的。则只要 取得适当，总能使 表示的线性子系统的特征值处在左半复平面内，使该子系统是渐近稳定的。(3):而另一方面零动态所表示的子系统 在处是渐近稳定的。因而综上所述整个系统是渐近稳定的，也即原非线性系统在处是能渐近稳定化的。又若在上述情况中取 则系统为 。由于有参考输入 v的作用，则当系统是渐近稳定的，v 又是有限的，则运动的轨迹也是有界的。5.临界问题举例： 考虑系统 ( 若)当 时其相对阶为 2。 坐标变换： 取 检查:(1)雅可比阵 其行列式 非奇异。(2) 故不满足正则形，但可进行变换。 反变换： 故 因取。 当考虑平衡点 时，即有： 原系统: 原系统中含有不能控的运动模态且其特征值,即临界状态。其零动态： 可由李亚普诺夫定理证明零动态是渐近稳定的，但是其一阶近似是临界的。这就适合于命题4.2的情况，因而系统是可以渐近稳定的,只要取4.3 渐近输出跟踪1. 何谓渐近输出跟踪: 前面业已提出欲使系统的输出能精确地复现给定的参考输出必须满足这样两个条件:(1):初始时刻要对准, 即 (2):其中是在初始条件下的解。 这实际上是种开环处理的方法，很难达到目的。(1)初始时刻很难对准。(2)何况可能存在干扰，使y(t)偏离期望的值。 所以比较现实的是不论初始状态是否有偏差，也不论是否受到扰动，要研究实际的输出能否渐近收敛到所给定的参考函数，这个课题就叫做渐近输出跟踪。2.如何实现渐进输出跟踪： 自动控制原理中的一个最重要的概念：反馈！ 我们来研究一下如何利用反馈来实现。 从正则形出发： 我们来定义一个新的变量“误差”： 。因,用选择控制u的目的：(1)一方面使系统精确线性化。(2)构成负反馈，驱动系统向着消除误差的方向运动。 故选择： 我们将该控制规律代入式，得： 即：。 这是误差e的r阶线性常微分方程。只要系数取得好，让其特征方程的根均在左复平面内，不论初始误差多大，最后均能使 e 及其各阶导数收敛到零，而且收敛的快慢在理论上也可以由系数的配置来决定。 由于 故 因此应满足下列微分方程： 由于是时间的确定函数，因而由上述 u 所驱动的系统本质上是时变非线性系统。3.推广：渐近模型匹配(1)何谓渐进模型匹配： 若期望的输出不以某时间确定函数的形式给出，而以某参考模型的输出的形式给出，特别是参考模型是一个简单的线性系统，例如： 则提出问题：找一个反馈控制规律，不论系统和模型的初始状态如何，使系统的输出y(t)渐近地收敛到在w(t)作用下参考模型产生的相应输出 。(2)如何实现： 我们可以考虑采用前述相似的控制u。因为 因此可以看出在控制 u(t)中包含还有 w(t)的各阶导数。如果用一个专门的装置来得到 u(t)，那么对 w(t)的微分将不可避免的提升附加噪声的影响，这在实际中是很难处理的。 然而若模型的相对阶等于或大于系统的相对阶 r,则由于: 则 u(t)得到简化,不包含 w(t)的导数。此时 当选得恰当时，误差及其各阶导数将收敛到零，即意味着输出渐进的接近模型的输出。因是线性系统，故： 以图表示： ww y4.4 干扰解耦1. 何谓干扰解耦： 考虑系统 为干扰不希望的输入。 我们希望通过反馈控制，使系统的输出y与w无关，就是说y与w解耦。研究这个问题就叫做干扰解耦问题。2. 命题6.1：若系统在处的相对阶为r，则当且仅当，对所有和所有附近的x成立，则干扰解耦问题有解，且解为： 证明：（1） 充分性：因 相对阶为r，为使其成为正则形，取坐标变换。则： （其中因相对阶为r，。由于条件成立。）（同理。） 直到（其中）当取时，。故方程变成：从此式可见w影响不了y。 (2)必要性：若系统通过状态反馈实现了干扰解耦，无论v是否为零，对于干扰解耦没有影响。所以： 是干扰解耦的。 （其中因相对阶为r，。） 因为与w无关，只有使。 （其中。） 因为与w无关，只有使。 如此一直求下去，应有。 此时（其中）。 而。 所以条件：，x在领域中是必要的。3. 几点评注：（1） 前面已经提过，可以选择： 通过选择使系统满足一些附加的特性具有一定收敛速度的渐进稳定性。（2） 条件的几何选择：因为，即。 或 则令协分布，那么条件就是 的邻域。（3）当干扰w可“量测”时，则可以通过测量得到的w来构造一个前馈补偿，使系统达到干扰解耦。即取。 与命题的情况相比较其干扰解耦的条件为：，即。 因 结合系统的相对阶为r，故得出下列条件：（i） 当时，。（ii） 当时，。 即： 解得： 综上所述： 此条件弱于命题6.1的条件。4.5 高增益反馈1. 问题的提出：前面我们已经讨论了局部镇定问题。说的是若零动态的一阶近似是临界的，但是零动态是渐进稳定的，则可以通过状态反馈使系统渐近稳定。这一节我们将讨论如果零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，则用输出反馈就可以局部镇定系统。2. 命题7.1：考虑系统： 且设 。并假设系统的相对阶r=1，而且其零动态在x=0处的一阶线性近似是渐近稳定的，即下列矩阵的特征值都具有负实部。 则考虑用输出反馈来构成闭环控制。此时 其中为保证系统为负反馈，取 若，取； 若，取。那么就存在一个正实数，使得对于所有，系统在x=0处是渐近稳定的。证明：（严格的证明可参阅奇异摄动理论）我们来证明的情况（的情况完全类似）。令，当时，。故 则 。令 ，则 。记为 。故：对于平衡点：，则 。当 时，就有。 由于，所以表示的是慢变状态，。取其一阶线性近似，可得雅可比阵： 因在平衡点处，而，故： 这就说明是的特征向量，特征值是，因而是渐近稳定的。由于已知系统的相对阶r=1，所以其正则形为： 故则有，且。所以有： 因此从前面的讨论可知当时，系统时渐近稳定的。由于在平衡点处。所以正是系统的零动态。由于已假设的零动态有一阶线性近似是渐近稳定的，所以总可以存在一个足够小的，只要，系统在x=0处是一个孤立的平衡点，并且是渐近稳定的。附注：用线性系统为例理解： G（s） Ky 对线性系统来说，如果相对阶为1，则意味着的分子与分母的阶数相差为1。说明开环有n个极点和n-1个零点，零动态是渐近稳定的，说明所有零点均在左半平面，则从根轨迹的观点来看，当时，系统的所有极点或者趋向零点，或者趋向，所以可使系统渐近稳定。因此对于相对阶为1的线性系统来说，当所有的零点处在左半复平面时，对于充分大的开环增益，则所有根轨迹的分支也都处在左半复平面中。3. 推广：相对阶时的情况。对于这种情况，我们可以假设一个“虚拟”的输出函数w，在这个虚拟的输出下，使系统的相对阶等于1，然后再利用上述结果来处理。现在令： 其中是要选取的实数。则系统成为： 若原系统在处的相对阶为r，则现在系统在处的相对阶为1。因为： 所以就适用命题7.1。现在就要检查以下系统的零动态的渐近特性。以前已经指出，零动态是强使系统的输出为零时系统内部存在的一种动态，这个动态特性的本质与取什么样的坐标表示无关，现在虚拟的输出为w，所以当w=0时意味着： 如果我们仍采用原来的坐标Z，并且选择，使，就有： 即：。并且： 可解的相应的,则此时的零动态用z及表示为： 这些方程具有一种“块三角形”的形式，（f阵形如 ）。因此当原系统的零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，且下列多项式的所有根都具有负实部时，则该系统的一阶近似也是渐近稳定的。 于是由命题7.1可得出，当的根都具有负实部，而且原系统的零动态的一阶线性近似是渐近稳定的，再取k的符号与相同，即与符号相同，则反馈控制： （7.3）能使系统在平衡点x=0处渐近稳定。从式(7.3)可见，反馈w实际上是一种状态反馈（部分状态），因为与函数y对时间取i阶导数是一致的。所以当w用y来表示时： 因而：。所以所假设的虚拟输出w可以看成是原系统的输出y通过一个传递函数为的线性滤波器来得到的。然而由于是包含高阶微分的滤波器，因而是物理不能实现的。但是在不危及相应闭环稳定性的条件下可以用一个物理可实现的近似滤波器来代替。命题7.3（实际应有的考虑）如果系统在平衡点处是一阶近似渐近稳定的，那么当T是一个充分小的正数时，系统： 在处也是一阶近似稳定的。其后一个方程可以用方框图表示。K(x)k或证明：该命题仍可以用奇异摄动理论来加以证明 若设一个新的变量z，并令： 则：故： 若令，当时，表示一个慢变过程。将代入上式，得：。故当足够小时，第2项0，该方程表示一个仅仅有一个为-1的非平凡特征值的子系统。除了这个子系统之外系统降阶为： 综上所述，由假设的一阶近似是渐近稳定的，对于足够小的T，附加子系统的特征值又趋于-1，其一阶线性近似也是渐近稳定的，因此该系统在平衡点处的一阶近似的确是渐近稳定的。这说明这样一个事实，即在闭环控制中引入“小时间常数”的非周期环节不会危害它的渐近稳定性（至少对局部来说）。将该性质应用r-1次，我们立即可以得出下列结论。5.命题7.4假设系统在处的相对阶为r，并且其零动态的一阶近似是渐近稳定的。再假设下列多项式的根 全都具有负实部，则具有下列参考函数的线性输出反馈控制 能稳定系统。只要K取适当大，且其符号与相同；而T是充分小的正数。4.6 关于精确化问题的补充1.问题的提出： 回顾一下精确线性化问题的主要命题： 说的是系统 其状态空间精确线性化问题在处能解的充分必要的条件是：( i)矩阵的秩是n。( ii)分布在处是对合的。 也就是说上述条件满足时一定存在一个实值函数,当取y 时，使系统的相对阶为n。 现在的问题是，若上述条件不成立，则通过坐标变换和状态反馈是不能使系统变成线性能控的系统的。但是否总能使系统分解为两个子系统，其中有一个子系统是线性的。我们希望至少能找到一种坐标变换及状态反馈使线性子系统的维数最大。换句话说找到一个适当的输出映射，此时系统在该点的相对阶最高。这个问题就是我们在本节中所要讨论的。2.预备知识 分布的对合闭包( 记为 ) 分布的对合性： 考虑向量场：。分布 。 充要条件：若李括号运算,对所有 均成立，则是 对合分布。 判别方法： 若相等则是对合的。否则不是对合的。 从对合的性质可知： 若分布是对合的，也是对合的。 则不一定是对合的。 但是对合的。 因此如果不是对合的， 但包含，而是对合的。 又包含，也是对合的。 则也包含，且是对合的。 则由所有包含的对合分布族 的交，可以得到一个包含的最小的对合分布，称为的对合闭包。记为。 对合闭包的求法，大致可以这样来做。 若分布，则若不是闭合的，就是说不在中，因而看看是否是对合的。若是对合的，则就是的对合闭包。否则继续做下去，便能找出来。2.定理8.1： 考虑分布，并假设是实值函数，且及，那么在的邻域上，。证明：考虑分布，则这个分布在的邻域上是( n - 1 )维的， 并由Frobenius定理可知是对合的。再由构造可知。 由定义可知是包含的最小对合分布。所以： 即是：。3.定理8.2( 最大相对阶定理 ) 考虑一对向量场f( x )，g( x )。假设对某个整数，在某处有： ( 1 )。而 ( 2 ) 则就存在一个函数使系统 在处的相对阶为。而对于任何其他的输出映射，系统的相对阶低于或等于。证明：( 1 )因为是k维( k n )的，且是对合的，由Frobenius定理，就一定存在n - k个函数，它们的微分张成上述分布的零化子( 局部地 )。 如果我们令 ，则对所有附近的x有 而且可以证明 。 这可以用反证法，因为假若上述结论是错的，那么非零向量将属于分布的零化子。 即 ，则由定理8.1 ,但这是矛盾的，不可能的。因为已由假设条件是n维的，所以它的零化子是0维的。所以一维非零的不可能属于它的零化子。因而由相对阶的定义可知系统的相对阶为。( 2 )再来考虑任何其他的为其输出函数，并假设此时对应的相对阶为。所以：。 由定理8.1 。 因为，故 。对于假设( 1 )及( 2 )，便可推知。( ) 4.7 具有线性误差动态的观测器1.问题的提出： 在线性系统理论中，用状态反馈进行系统极点配置与观测器用前向增益阵使其具有给定的特征值的观测器设计是一个对偶问题。那么在非线性系统中从某种意义上讲，本节所要讨论的问题也就是第2节中状态空间精确线性化问题的对偶问题。 众所周知，观测器的动态与观测误差的动态是相同的。观测误差定义为未知的状态与估计状态之差。由此看来，如果我们希望将前面已经研究过的一定结果来作对偶处理，就引出误差动态的非线性观测器的综合问题，有可能在作了适当的坐标变换之后这个动态变成线性的且在频谱上（或其特征值）可以进行配置的。 为简单起见，在考虑观测器综合时，先考虑无外加输入及标量输出的情况。 系统方程： 并假定存在一种坐标变换，在此变换下，若上述方程变成： ( A ,C )是能观测对，是n维时变函数的向量，则可构成这样的观测器： 则误差动态： 这是线性的。又因( A ,C )是能观对，故可通过n维实数向量G，使其特征值配置在希望的位置。 关键的问题是要找这样的坐标变换，及与此有关的映射，这个问题就称为观测器线性化问题，其正式叙述如下： 已知一个无外加输入的系统( 9.1 )，及初始状态，是否能找到一个的邻域，以及定义在上的坐标变换，和输出映射k：，使得对所有，有： 其中矩阵A和行向量C是能观对，即满足： 2.定理9.1：观测器线性化问题能解的必要条件是： 。证明：