2024-2025学年浙江省杭州二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州二中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={3,4,5}，B={2,3,4,8}，则图中阴影部分表示的集合为(

)A.{2,8}

B.{3,4}

C.{2,5,8}

D.{3,4,5}2.“ac=bc”是“a=b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和30%分位数分别为(

)A.6，3 B.5，3 C.5，4 D.6，44.在三棱锥P−ABC中，PA=BC=10，PB=AC=5，PC=AB=A.28π B.2873π C.5.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线y=−x对称.若角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为35，则cosβ=(

)A.35 B.−35 C.46.Deepseek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为A.14 B.15 C.16 D.177.已知函数f(x)=2x+1x−1的对称中心在直线y=ax+b(a>0)上，则a2+2A.43−4 B.43+48.已知平面向量a，b，c满足：a与b的夹角为锐角，|a|=2，|b|=4，|c|=1，且∀t∈R，|A.0 B.3+23 C.6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则(

)A.事件A与事件B互为对立事件

B.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.9

C.若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0.2

D.若P(A−B−)=0.310.如图是一个棱长为1的正方体的展开图，其中M，N分别为CH，DB的中点.如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是(

)A.直线AB与CD所成角为π3

B.直线EF与GH平行

C.经过DEMN四个点的球的表面积为94π

D.P是正方形GKHI内的动点，若|AP|=72，那么P点的轨迹长为34πA.f(x)的周期为2π

B.f(x)在区间[−π2,π2]上是增函数

C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复数范围内，a(a<0)的所有平方根为______．13.某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东75°，距离为36nmile，在A处看灯塔C在海警船的北偏西30°，距离为23nmile，海警船由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则灯塔C与14.在三棱锥A−BCD中，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=BD=20，AB=6，若三棱锥A−BCD的外接球表面积的取值范围为[661π,1636π]，则三棱锥A−BCD体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知e1，e2是平面内一对不共线的向量，且a=3e1+e2，b=−2e1+2e2，c=λe1−3e16.(本小题15分)

某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间(单位：小时)数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自[6,8)这组的概率．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin(2A+B)sinA−2cos(A+B)=a+cb．

(1)证明：b2−a18.(本小题17分)

如图1，在平面五边形ABCDE中，∠EAC=∠DCA=π2，AE=4，CD=2，AB=BC=AC=23，F，H分别为ED，AD的中点，将△ABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图2．(1)若PH⊥平面ACDE．

(ⅰ)求异面直线PA与CF所成角的大小；

(ⅱ)三棱锥P−ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM的取值范围．

(2)在翻折的过程中，设平面PCD与平面PAE的交线为l，求二面角A−l−C的最小值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=|x−a|−1x+a,a∈R．

(1)若f(1)≤2，求a的取值范围；

(2)若存在两个不相等的正实数x1，x2，满足f(x1)=f(x2).

(i)求答案解析1.【答案】C

【解析】解：A={3,4,5}，B={2,3,4,8}，

∴A∩B={3,4}，A∪B={2,3,4,5,8}，

∴阴影部分表示的集合为：∁A∪B(A∩B)={2,5,8}．

故选：C．

求出A∩B和A∪B，而阴影部分表示的集合为：∁A∪B2.【答案】B

【解析】解：若c=0，则满足ac=bc，但a=b，不一定成立，

若a=b，则ac=bc一定成立，

即“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件，

故选：B．

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.【答案】D

【解析】解：根据题意可知，平均数x−=2+4+5+7+8+106=6，

由小到大排列，则2，4，5，7，8，10，因为6×30%=1.8，则30%分位数为4．

故选：D．

根据给定条件，求出平均数和30%4.【答案】D

【解析】解：根据题意可得该三棱锥P−ABC可放置到长，宽，高分别为a，b，c的长方体中，

且a2+b2=10a2+c2=5b2+c2=13，所以a2+b25.【答案】B

【解析】解：根据三角函数的定义与单位圆的性质，

可得P(cosα,sinα)，满足sinα=35，

设角β与单位圆的交点为Q，则Q(cosβ,sinβ)，

因为P、Q关于直线y=−x对称，

所以sinα−sinβcosα−cosβ=1sinα+sinβ2=−cosα+cosβ2，

解得sinβ=−cosα，cosβ=−sinα，所以cosβ=−sinα=−35．

故选：B．

设角β与单位圆的交点为6.【答案】C

【解析】解：由题意知，0.3=0.6×D1020，解得D=14，

所以令L=0.6×(14)G20<0.2，得(14)G20<13，

即G20>log17.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数f(x)=2x+1x−1=2(x−1)+1x−1+2，

易得f(x)的对称中心为(1,2)，

又由其对称中心在直线y=ax+b上，则有2=a+b，

则a2+2b22a=a2+2(2−a)22a=3a2+48.【答案】D

【解析】解：已知平面向量a，b，c满足：a与b的夹角为锐角，|a|=2，|b|=4，

又∀t∈R，|b+ta|≥|b−a|，

则b2+t2a2+2ta⋅b≥b2+a2−2a⋅b恒成立，

即4t2+2a⋅bt+2a⋅b−4≥0恒成立，

即4(a⋅b)2−16(2a⋅b−4)≤0，

即(9.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，由于对立事件的概率和为1，但P(A)+P(B)=0.9≠1，A错误；

对于B，若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9，B正确；

对于C，若事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，即P(AB)=0，C错误；

对于D，因为P(A−B−)=0.3，P(A−)P(B−)=0.6×0.5=0.3，故事件A−与事件B−相互独立，

则事件A10.【答案】ACD

【解析】解：折叠后的正方体的直观图如下：

对A选项，因为CD/​/HB，

所以直线AB与CD所成角为正三角形AHB中的一个内角，所以A选项正确；

对B选项，直线EF与GH交于点B，所以B选项错误；

对C选项，经过DEMN四个点的球的直径2R即为长，宽，高分别为1，1，12的长方体的体对角线长，

所以(2R)2=1+1+14=94，

所以经过DEMN四个点的球的表面积为4πR2=94π，所以C选项正确；

对D选项，若AP=72，又AK=1，所以PK=74−1=32，

11.【答案】ACD

【解析】解：根据正弦函数与余弦函数的性质，

可知当−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ(k∈Z)时，sinx≤cosx；

当π4+2kπ<x<5π4+2kπ(k∈Z)时，sinx>cosx．

所以f(x)=(sinx+cos|x|)|sinx−cosx|

=(sinx+cosx)|sinx−cosx|=(sinx+cosx)(sinx−cosx),sinx>cosx(sinx+cosx)(−sinx+cosx),sinx≤cosx，

=−cos2x,π4+2kπ<x<5π4+2kπcos2x,−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，k∈Z，可知f(x)的周期为2π，A项正确；

根据f(−π4)=f(π4)=0，可得f(x)在区间[−π2,π2]上不是单调函数，B项不正确；

由f(x)=−cos2x,π4+2kπ<x<5π4+2kπcos2x,−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，k∈Z，

可知当x=2kπ(k∈Z)或x=π2+2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值1，

当x=π+2kπ(k∈Z)或x=3π2+2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值−1．

若|f(x1)|+|f(x2)|=2，则f(x1)与f(x2)均为函数的最大值或最小值，

可得x1与x212.【答案】±【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R)，

由z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi=a，

可得x2−y2=a2xy=0，

由2xy=0，得x=0或y=0，

当x=0时，有−y2=a，即y2=−a，解得y=±−a，则13.【答案】2【解析】解：在△ABD中，∠ADB=60°，∠DAB=75°，

所以∠ABD=180°−60°−75°=45°，AB=36nmile，

由正弦定理可得：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，

即AD22=3632，

解得AD=6nmile，

在△ACD中，AC=23n，∠CAD=30°14.【答案】[200【解析】解：如图，由题意可将三棱锥A−BCD补形为三棱柱ACE−BFD，

故三棱锥A−BCD的外接球即为三棱柱ACE−BFD的外接球，

因为AC⊥AB，BD⊥AB，即AE⊥AB，AE∩AC=A，AE、AC⊂平面ACE，

所以AB⊥平面ACE，

故三棱柱ACE−BFD是高为3的直三棱柱，

由题可设∠CAE=θ，θ∈(0,π)，

则由题意以及余弦定理得：

EC=AE2+AC2−2AE⋅AC⋅cosθ=400+400−800cosθ=202(1−cosθ)，

所以△ACE的外接圆半径为为r=EC2sinθ=202(1−cosθ)2sinθ=102(1−cosθ)sinθ，

所以外接球的半径为R=32+(102(1−cosθ)sinθ)2=9+200(1−cosθ)sin2θ，

所以外接球表面积为：S=4πR2=4π[9+200(1−cosθ)sin2θ]=36π+15.【答案】解：(1)因为a=3e1+e2，b=−2e1+2e2，c=λe1−3e2，

所以2a−c=2(3e1+e2)−(λe1−3e2)=(6−λ)e1+5e2，

b+2c=−2e1+2e2+2(λe1−3e2)=(2λ−2)e1−4e2，

因为2a−c与b+2c【解析】(1)由向量的线性运算可得2a−c=(6−λ)e1+5e2，b+2c=(2λ−2)e1−4e2，由16.【答案】a=0.15，平均数为6.92小时；

15．【解析】(1)依题意可得(0.02+0.05+0.1+a+0.18)×2=1，

解得a=0.15，

又因为(3×0.02+5×0.18+7×0.15+9×0.1+11×0.05)×2=6.92，

所以估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时；

(2)由频率分布直方图可知[6,8)、[8,10)和[10,12]三组的频率的比为0.15：0.1：0.05=3：2：1，

所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为3，2，1，

记[6,8)中的3人为a1，a2，a3，[8,10)中的2人为b1，b2，[10,12]中的2人为C1，

从这6人中随机选出2人，则样本空间Ω={a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1c1,a217.【答案】详见解答过程；

2．【解析】证明：(1)因为sin(2A+B)sinA−2cos(A+B)

=sin(A+B+A)−2cos(A+B)sinAsinA=sinBsinA，

所以sinBsinA=ba=a+cb，即b2−a2=ac；

解：(2)因为cosA=b2+c2−a22bc，

又b2−a2=ac，

所以cosA=c+a2b，因此2bcosA=a+c，

于是2sinBcosA=sinC+sinA=sin18.【答案】(ⅰ)90°；(ⅱ)[2,42【解析】(1)(ⅰ)如图，设CF与AD交于点G，

由题可得AE/​/CD，AD=AC2+CD2=4，

则sin∠CDA=sin∠DAE=32，

所以∠CDA=∠DAE=π3，又AD=AE，所以△ADE为正三角形，

所以∠EDA=∠CDA=π3，又DF=12DE=CD，DG=DG，

故△DFG≌△DCG，所以FG=CG，故CF⊥AD．

因为PH⊥平面ACDE，CF⊂平面ACDE，所以CF⊥PH，

因为PH∩AD=H，PH，AD⊂平面PAD，

所以CF⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以CF⊥PA，

即异面直线PA与CF所成角的大小为90°．

(ⅱ)由(ⅰ)AH=12AD=2，由题可得PH=PA2−AH2=22，

△ACD为直角三角形，且PH⊥平面ACDE，所以三棱锥P−ACD的外接球球心O在直线PH上，

设球O的半径为R，则OH=|22−R|，

如图，连接AO，

在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即(22−R)2+22=R2，

得R=322．

连接EO，HE，因为OH=22，HE=23，

所以EO=OH2+EH2=(22)2+(23)2=522，

所以EM的最小值为EO−R=2，EM的最大值为EO+R=42，

故EM的取值范围为