线性代数答案(董永胜)传媒大学出版社下.doc

第三章 向量与线性方程组习题3.1 1 判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解 （1） 解： 因为 ，所以方程组有无穷多个解，矩阵所对应的方程组为取则 ，为任意实数。 （2） 解： 所以此方程组无解。（3）解： ，所以此方程组有无穷多个解，矩阵所对应的方程组为 令，则 ，为任意实数。（4）解： ，所以方程组有唯一解2 求下列齐次线性方程组的通解 （1）解： 矩阵所对应的方程组为： 令，则 ，为任意实数。（2）解： ，所以齐次线性方程组有非零解。矩阵对应的方程组为： ， 令，则 ， 为任意实数。3 .问取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解： （1）当时， ，方程组有无穷多个解。 （2）当时， ，所以方程组无解。 （3）当时， ，所以方程组有唯一解。 4. 当取何值时，线性方程组只有零解？有非零解？解： （1），即时，方程组只有零解 （2）=0，即时，方程组有非零解。 习题3.2 1.设向量，求解： 2. 设向量解：由可得： 3. 设向量线性表示，求的值解：法一：由题意可得： 法二：，即 由向量相等可得 故 4将向量用向量组 线性表示解：设，则 由向量相等可得 （1）+（2）+（3）+（4）可得： 将代入上述方程组可得： （5）+（6）可得： （6）+（7）可得： （6）+（8）可得： 综上：5 判断下了向量组的线性相关性 （1）解： 所以向量组线性相关。 （2）解：向量组线性无关。（3）解： 向量组线性相关。 将延伸一个分量变成，则向量组也线性相关。6 试证：（1）若线性无关，则线性无关。 （2）若线性无关，则线性无关。证明：设 线性无关 系数行列式 所以齐次线性方程组只有零解，即 所以向量组线性无关。（2）证明：设，则 线性无关 ，相关系数全为零向量组线性无关。习题3.3 1求下列向量组的秩和它的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组表示 （1）解： ，极大无关组是 （2）解： （3）解： ，是极大无关组，且有： 2 .设向量组的秩为2，求的值解：法一： ，第二行与第三行一定成比例，则，法二： ，向量组对应的矩阵为： ，则.根据矩阵的秩的定义可得：矩阵的所有三阶子式全为零。， .3 .已知向量组；。证明：向量组不能由向量组线性表示。证明： 显然线性表示。 故向量组不能由向量组线性表示。4已知向量组； 。证明：向量组与向量组等价。 所以向量组能由向量组线性表示。 故向量组能由向量组线性表示。 综上所述，向量组与向量组能相互线性表示，从而向量组与向量组等价。5 证明：设6设为阶方阵，证明：如果证明：由可得： 又 习题3.41设 问是否是中的向量空间？解：（1）设，则 中的向量空间。 （2），中的向量空间。2. 试证：由向量所生成的向量空间就是证明： 线性无关。 ，所以的极大无关组。综上所述，由向量所生成的向量空间就是.3验证为的一个基，并把用这个基线性表示。 解：，线性无关。 所以的极大无关组，中的任何一个向量都能由线性表示 故是的一个基。 法二：设，则 由矩阵相等可得： 设，则由矩阵相等可得： 4已知的两个基为；，求由基到的过渡矩阵。解：设过渡矩阵为，则 可逆。 5.设向量组与是的两个基，且由基到的过渡矩阵为。 （1）如果在基下的坐标为，求在基下的坐标。 （2）如果，求基 （3）如果，求基（1）解： 则 ，即 （2） （3）= 习题3.51. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解（1）解： ,自由未知量的个数=4-2=2，矩阵所对应的方程组为： 令代入方程得基础解系 齐次线性方程组的通解为：为任意常数）(2) 解： 自由未知量的个数为4-2=2 矩阵所对应的方程组为 令代入方程得基础解系 齐次线性方程组的通解为：为任意常数）.（3）解： 自由未知量的个数为4-3=1 矩阵所对应的方程组为 令，则基础解系为齐次线性方程组的通解为：为任意常数）.2. 求下列方程组的通解 （1）解： ，故方程组有解。 令，得非齐次线性方程组的特解为： 矩阵所对应的齐次线性方程组为： 令，代入方程组得基础解系为：则非齐次线性方程组的通解是：为任意实数）（2）解： 令，得非齐次线性方程组的特解为： 矩阵所对应的齐次线性方程组为： 令，代入方程组得基础解系为：则非齐次线性方程组的通解是：为任意实数）3已知下列非齐次线性方程组： （）； （）（1）求出方程组（）得通解；（2）方程组（）中的参数为何值时，方程组（）与（）同解？解：（1） ，故方程组有解。令，得非齐次线性方程组的特解为： 矩阵所对应的齐次线性方程组为： 令，代入方程组得基础解系为：则非齐次线性方程组的通解是：为任意实数） （2）方程组（I）与（II）同解，即是方程组(II)的解。 综合习题三1选择题（1）若存在一组（ ）的数，使，则向量组线性相关 （）全不为零 （）全都为零 （）不全为零 （）全大于零分析：C:向量组线性相关的定义：对于向量组若存在个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关。(2)若向量组的部分向量组线性相关，则向量组（ ） （）线性相关 （）线性无关 （）线性相关或线性无关 （）既不线性相关，也不线性无关分析A：如果向量组中有一部分组线性相关，则向量组必线性相关。 （3）设是阶方阵，其秩，则在的个行向量中（ ） （）必有个行向量线性无关 （）任意个行向量线性无关 （）任意个行向量都构成极大无关向量组（）任意一个行向量都可以由其余个行向量线性表示分析： ，由矩阵的秩的定义：存在着阶的非零子式，所有阶子式全为零，则矩阵的秩为，矩阵所对应的向量组线性无关，将个维的行向量延长至个维行向量，还是线性无关。故必有个行向量线性无关。（4）非齐次线性方程组中未知数个数为,方程个数为，系数矩阵的秩为，则（ ） （），方程组有解。 （），方程组有唯一解解。（），方程组有唯一解。（），方程组有无穷多解。分析：由，故方程组有解。（5）设是矩阵，是非齐次线性方程组的导出方程组，则下面结论正确的是（ ）（）若仅有零解，则有唯一解。 （）若仅有零解，则有无穷多解。（）若有无穷多解，则仅有零解。（）若有无穷多解，则有非零解。分析：由有无穷多解可得，而可知有非零解。2填空题（1） 已知向量组的秩为，则分析：由可得： （2） 若向量组，则_解：（法一） 当时，线性相关；当时， 线性无关。 法二：（）= 由所生成的向量空间的维数是2可得，（3） 设向量组所生成的向量空间的维数为2，则_解：（法一）（）= 由 （法二）由可得： （4）已知向量且满足，则_解：由可得： （5）如果方程组有解，则它有唯一解的充分必要条件是它导出方程组_解：由题意可得：只有零解。3已知向量组与向量组具有相同的秩，且线性表示，求的值。解：由题意可得： ，则： （1）由能由可得：将代入（1）可得 4取何值时，方程组有解？并求出它的全部解？解： 当时，方程组有无穷多个解，将代入上式可得： 令得非齐次线性