第三章 弹塑性本构关系.pdf

1 第三章 弹塑性本构关系 3 1塑性位势理论 3 2硬化规律 3 3 弹塑性本构关系 教师 徐平教师 徐平教师 徐平教师 徐平 下载 下载 下载 下载 ftp 202 197 185 21 2007 TELtp 202 197 185 21 2007 TELtp 202 197 185 21 2007 TELtp 202 197 185 21 2007 TEL3 1 塑性位势理论流动法则 模型三要素 屈服条件流动法则硬化规律 判断何时 达到屈服 屈服后塑性应变 增量的方向 也 即各分量的比值 决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小 本节内容 屈服后塑性应变 增量的方向 也 即各分量的比值 3 1 1 加载与卸载准则 1 加载曲面 后继屈服面 由单向拉伸试验知道 对理想塑性材料 一旦屈服以后 其 应力保持常值 屈服应力 卸载后再重新加载时其屈服应力的大 小也不改变 没有强化现象 对于强化材料则不同 在开始屈服 之后 随着塑性变形的发展其应力值继续增加 卸载后再重新加 载至开始屈服的应力时材料并不屈服 要加到原来卸载开始时的 应力 材料才再次屈服 因此重新加载时的屈服应力要高于原始 加载时的屈服应力 这就是强化现象 与简单应力状态相同 当材料在复杂应力状态下进入塑性后 卸载 然后再次加载时 屈服函数也会随着发生过的塑性变形历 史而有所改变 当应力分量满足某种关系时 材料将重新进入塑 性状态而产生新的塑性变形 这种现象称为强化 材料在初始屈 服后再次进入塑性状态时 应力分量间所必须满足的函数关系称 为后继屈服条件或加载条件 该条件在应力空间中的图形称为后 继屈服曲面或加载曲面 O ij0 d ij 后继屈服曲面 加载曲面 初始屈服曲面 2 简单加载和复杂加载 000000 zxzxyzyzxyxyzzyyxx t t t t t t 其中 分别为某一定 值 t为由零开始的单调增函数 此时显 然Lode应力参数 保持不变 从而使应力 张量 应力偏张量 的主方向保持不 变 这种加载方式称为简单加载或比例 加载 在简单加载过程中 一点的应力 状态在应力空间中将沿矢径 移动 如图 所示 在复杂加载时 一点的应力张量各 分量不按比例增加 在改变 应力张量 和应力偏张量的主方向也随之改变 一 点应力状态在应力空间中的运动轨迹就 不再是从原点开始的射线 如图所示 00000 zxyzxyzy o x 1 理想弹塑性材料的加载和卸载准则 理想弹塑性材料在应力空间中的屈服面位置和形状是不 变的 当应力点保持在屈服面上时称之为 加载 这时塑性变 形可任意增长 后面将证明 各塑性应变分量之间的比例不 是任意的 需要满足一定的关系 当应力点从屈服面上改 变屈服面之内时称之为卸载 如果以F ij 0表示屈服面 则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示如下 0 00 0 00 0 ijij ij ijij ij ij F FdFddn F FdFddn F 卸载 加载 弹性状态 2 加工硬化材料的加载和卸载准则 加工硬化材料的屈服面随着塑性变形的发展而不断地变 化 加工硬化材料的加载和卸载准则与理想弹塑性材料不 同 对加工硬化材料 当d 指向屈服面之外时才算加载 而 当d 正好沿着屈服面变化时 屈服面不会发生变化 这种变 化过程叫做中性变载 它对应于应力状态从一个塑性状态过 渡到另一个塑性状态 但不会引起新的塑性变形 对单向应 力状态或理想弹塑性材料没有这个过程 当 d 向着屈服面内 部变化时 称之为卸载过程 如果用 ij H 0表示后继屈 服条件 则 应力空间 0 00 0 0 00 0 00 ij ij ij ij ij ij d ddn dH d ddn dH ddn 卸载 中性变载 加载 其余情况 2 3 加工软化材料的加载和卸载准则 软化材料 应力变化矢量指向屈服面内部 须在应变空 间中判断加卸载 0 0 0 ij ij ij ij ij ij d d d 卸载 中性变载 加载 0 ij H 加载条件 应变空间 d d d 3 1 2 德鲁克塑性公设 稳定材料与非稳定材料 德鲁克塑性公设的表述 德鲁克公设的重要推论 德鲁克塑性公设的评述 依留申塑性公设的表述 附加应力对附加应变负做 功 即 附加应力对附加应变做功 为非负 即有 1 稳定材料与非稳定材料 稳定材料 0 非稳定材料 0 2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行 加载面 切平面 必与加载面的外法线 重合 否则总可以找到A0 使A0A d p 0不成立 如右 图 p d ij p ij dd 标量d 称 为塑性因子 表明 塑性应变分量 ij之间的比例可由 在加载面上 的位置确定 00 n ddd p ijij 加载准则 意义 只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形 3德鲁克塑性公设的评述 德鲁克公设的适用条件 1 应力循环中外载所作 的真实功与 ij0起点无关 0 p ij ijij d 应力循环中外载所作真实功 与附加应力功 2 附加应力功不符合功的 定义 并非真实功 0 0 0 ijijij d ij 4 德鲁克公设的适用条件 ij0在塑性势面与屈服面 之内时 德鲁克公设成立 ij0在塑性势面与屈服面 之间时 德鲁克公设不成立 附加应力功为非负的条件 3 非真实物理功不能引用热力学定律 势面线 屈服面 5 金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致 3 1 3 依留申塑性公设的表述 依留申塑性公设 在弹塑性材料的一个应变循环内 外部作用做功是非负的 如果做功是正的 表示有塑性变 形 如果做功为零 只有弹性变形发生 设材料单元体经历任意应力 历史后 在应力 ij0下处于平衡 即初始的应变 ij0在加载面内 然 后在单元体上缓慢地施加荷载 使 ij达到屈服面 再继续加载达到应 变点 ij d ij 此时产生塑性应变d ijp 然后卸载使应变又回到原先的 应变状态 ij0 并产生了与塑性变 量所对应的残余应力增量d ijp 0 0 ij Iijij Wd pp dd ijij D 残余应力增量与塑性 应变增量存在关系 式中 D为弹性矩阵 根据依留申公设 在 完成上述应变循环 中 外部功不为负 即 只有在弹性应变时 上述WI 0 根据Druker塑性公设 00 0 p ijijijijij d 当时 可将Druker塑性公设改写成 0 0 p Dijijij Wd 4 由图 a 可知 对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况 外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项 pp 1d d 2 0 11 0 22 ijij pp IDijijijij WWdddd 因此可将应变循环所作的外部功 写成 上式表明 如果德鲁克塑性公设成立 WD 0 则依留申塑性 公设也一定成立 反之 依留申塑性公设成立 并不要求 WD 0 也就是说 德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分 条件 而不是必要条件 d0 d0 d0 A B C D 当应力点由A到B时 d 0 塑性变形 d p 0 总变形d 0 p dd0 0 1 2 1 2 0 ij ij p Iijijij p DijD Wdd WddW 0 0 0 0 p ijijij ijij d 时应变空间加 载面外凸 0 0 p ijij ijij dd 时加载准则 取大于号表示 有新的塑性变形发生 塑性势面与屈服面相同 p ij ij dd 根据 关于 的正交法则 可得 p ij d 0 pp dd ijij D 由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系 可得 ijij D 结合 可得 ij p ij dd dd 3 1 4 塑性位势理论与流动法则 与弹性位势理论相类似 Mises于1928年提出塑性 位势理论 他假设经过应力空间的任何一点M 必有 一塑性位势等势面存在 其数学表达式称为塑性位势 函数 记为 123 0g I JJH 或 0 ij gH 式中 H 为硬化参数 塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达 式来表示 即 p ij ij g dd 上式就称为塑性位势理论 它表明一点的塑性应变 增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系 这就确 定了应变增量的方向 也就确定了塑性应变增量各分 量的比值 流动规则也称为正交定律 是确定塑性应变增量 各分量的比值 也即塑性增量方向的一条规定 上式 是流动规则的一种表示形式 另外还有另一种表示形 式 p ij ij g dd p ij ij dd 它表明塑性应变增量与通过该点的屈服曲面成正 交关系 与德鲁克公设表达式比较 可以看出 服从于德 鲁克公设的材料 塑性势函数g就是屈服函数 即 g 由此得到的塑性应力应变关系通常称为与加载 条件相关联的流动法则 如果g 即屈服面与塑 性应变增量不正交 则其相应的塑性应力应变关系 称为非关联流动法则 在应变空间 流动规则可用下式表示 p ij ij dd d 和d 都为非负的比例系数 3 2 硬化规律 塑性模型三要素 屈服条件流动法则硬化规律 判断何时 达到屈服 屈服后塑性应变 增量的方向 也 即各分量的比值 决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小 本节内容 5 硬化规律 加载面在应力空间中的位置 大小和 形状的变化规律 确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律 硬化模型 实际土体硬化规律 简化假设 如采用 等值面硬化理论 主应力方向不旋转 加载面形 状不变等 金属材料 采用等向强化和随动强化 岩土材料 静力问题采用等向强化 循环荷载 和动力问题采用随动强化或混合强化 常用模型 3 2 1 等向强化模型 这种模型无论在哪个方向加载拉 伸和压缩强化总是相等地产生和 开展 在复杂加载条件下 即表 示应力空间中作形状相似的扩 大 如图中OABDD E 代表等向 强化 图中B与D 点所对应的应 力值均为 s 指绝对值 在这种 情况下 压缩屈服应力和弹性区 间都随着材料强化而增大 123 0 ij HF I JJK 初始屈服面 硬化系数 pp KHdWHd 或 2 3 ppppp ijijijij dWddde de von misesMC tresca max 0 0 pp s pp s mises qHdWHd trescaHdWHd 或 或 在应力空间中 这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关 而与中 间的加载路径无关 在右 图中 路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状 态 因此两者的最终后继 屈服是一样的 而路径3 的最终后继屈服面由加载 路径中最大应力状态来定 3 2 2 随动强化模型 图中OABCDE代表随动强化 模型 弹性卸载区间是衬始屈服 应力 s的两倍 根据这种模型 材料的弹性区间保持不变 但是 由于拉伸时的强化而使压缩屈服 应力幅值减小 与等向强化模型不同 随动 强化模型是考虑包辛格效应的 在单向拉压情况下 随动强化模 型可以用下式表示 2 sss 包辛格逆效应 Bauschinger 分直接包辛格效应及 包辛格逆效应 直接包辛格效应指拉伸后钢材纵向 压缩屈服强度小于纵向拉伸屈服强度 如图1所 示 包辛格逆效应在相反的方向产生相反的结果 如图2所示 6 0 0 ijijij ij HF F 为初始屈服面 移动张量 p ijij c 常用线形随动强化 von misesMC tresca 3 2 pp ijijijijs misesScScc 可据简单拉伸试验确定 普拉格将随动强化模型推广到复 杂应力状态中 他假定在塑性变 形过程中 屈服面形状和大小都 不改变 只是在应力空间内作刚 体平移 3 2 3 混合强化模型混合强化模型混合强化模型混合强化模型 0 p ijijij HFcK 运动硬化和等向硬化的组合 可以构成更一般的 硬化模型 称为混合强化模型 这时 后继屈服面既有位置的改变 也产生均匀的膨 胀 等向强化 混合强化 随动强化 运动强化 初始屈服面 3 2 4 加工硬化规律 加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的 塑性应变增量的一条规则 在流动规律中 d 这个因 素可以假定为 式中 A为硬化参数H 的函数 1 dd ij ij A 不同的学者曾建议不同的硬化规律来计算A的数 值 常用的硬化规律有下列几种 塑性功Wp硬化定律 d p ppijij HHWW 1 d d ijij ijpij g A W 矩阵形式 矩阵形式 T p g A W 1 dd ij ij A dd0 p ijijijijijij ijijpijpij g dddHdd HWW 由由 得 得 塑性应变 ijp硬化定律 p ij HH dddd p ijij pp ijijijij HHg A HH 进一步有 进一步有 1 dd ij ij A d0 p ijijij p ijijij H dddHd HH 由由 得 得 d p ij p ijij Hg A H 塑性体应变 vp 硬化定律 Q A p v T pp vv HH 设设 广义塑性力学中 如果取广义塑性力学中 如果取pQ p v 于是 于是 矩阵形式 矩阵形式 p v H A 0 p ijv p ijv ddd 由由 则有 则有 1 dd ij ij A ddd p ijv pp ijvv g Ad p p v g A p 7 3 3 弹塑性本构关系 屈服条件流动法则硬化规律 判断何时 达到屈服 屈服后塑性应变 增量的方向 也 即各分量的比值 决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小 本节内容 塑性本构关系弹性本构关系 弹塑性本构关系 塑性增量理论又称为塑性流动理论 它把塑性变形看成 非线性流动 塑性增量理论把应变增量分为弹性应变增量和 塑性应变增量两部分 即 式中 弹性应变增量应用广义虎克定律 计算 塑性应变增量 根据塑性增量理论计算 塑性增量理论主包括三个部分 关 于屈服面理论 关于流动规则理论 关于加工硬化 或软化 理论 应用弹塑性增量理论计算塑性应变 首先 要确定材 料的屈服条件 对加工硬化材料 需要确定材料是否服从 相 关联流动规则 若材料服从不相联流动规则 沿需确定材料 的塑性势函数 然后 还需要确定材料的硬化或软化规律 最后可运用流动规则理论确定塑性应变增量的方向 根据硬 化规律计算塑性应变增量的大小 ddd ep ijijij 3 3 1 塑性增量理论 3 3 2 一个普遍的弹塑性模量张量表达式 加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应 变增量的一条规则 在流动规律中 d 这个因素可以假定 为 广义虎克定律用增量形式表示 1 dd ij ij A dddddd ep ijijklklijklklklijklklijkl kl g DDDD 根据塑性势函数 ddd ep ijijij p ij ij g dd 以及 进一步有 dd0 ij ij A b a 将 b 代入 a 得 d dd ijklkl rskl ij rs kl ijklmnuv ijklmnuv D D gg ADAD dddd ijpqrskl pqrs ijijklklijklijklkl ij mnuv mnuv g DD g DDD g AD 再代入 b 得 ep ijkl D弹塑性模量张量 的物理意义 peep DDD dDd ep p epep p p pe eppe p e e e EEED d d EEDED dDdDD ddDdDd 对于一维压缩情况 弹性状态 应力状态 弹性应变 塑性状态 当前应力状态 加卸载状态 加载历史 加载路径 微观结构 塑性应变 沿加载路径积分 应力应变全量关系 应力应变增量关系 弹塑性本构 关系的建立 8 3 3 3 广义虎克定律 22 22 22 3 2 1 3 2 1 3 2 1 zxzx zx yzyz yz xyxy xy m z xyzz m y zxyy m x zyxx G G G EGE EGE EGE 21 1 2 2 2 23 23 23 E GG GG GG G G G zxzxzx yzyzyz xyxyxy zmz ymy xmx 基本方程 33 222 131 2 2 22 ijij mmm ijijmijmijmij ijij mijijij S e GEGGE SS SGe GEEEG ijij mm GdedS Kdd 2 3 2 3 23 111 21 2 3 39 3 1 2 ijijkkij kkkkkkkk mkkkkkkkkmm G EEE G E KKKK 由 2 2221 2 13113 21 2222 131 2 2223 ijij ijijkkijijkkijkkij ijij mijmijijmijmij ijijij m mijmijij G GGG GKGEGGE SSS GEEGEGK 增量表达式 21 1 1 E MM xx 0 0 0 0 yyxzyzx zzyxyzx 于是 2 2 1 111 1 yxxxz 于是 22 1212 1 11 xxx EE 代入 引入侧限变形模量M 弹性常数关系表 3 3 4 无静水压力影响的理想弹塑性材 料本构关系 理想塑性材料 适用于金属材料 采用相关联流动法则 p j j j gF Fgd d d 0 00 0 000 j j j j d F F d F FF d 当 或当 由于某屈服单元周围材料仍处于弹性状态 限制 了 其塑性应变的发展 其d 值不会任意发展 而将 依靠问题的整体来定 屈服函数记为 0 ij F 塑性应变增量 p ij ij F dd 可改写为 ij p kk ijij kkijijijkkij dS dFFFF ddd dS dS 于是有 3 pp kkij kkij FF ddded S 在塑性变形阶段 加载时 d0dd 3d2d 0 ee ijkkijmmij kkijkkij FFFF F SKGe SS ijij mm GdedS Kdd 2 3 33 11 1112 12 11 13 13212122222323 31 3132323333 ijijijij ij kk ijijmij S 9 根据 3 pp kkij kkij FF ddded S 于是 pp 32 0 mmmmijij kkij FF KddGdede S 2 3292 mmij kkijkkijij FFFFF KGedKG SSS 2 32 92 mmij kkij kkijij FF KGe S d FFF KG SS 理想弹塑性材料的本构方程可表示为 又可写成 23 ij m ijijij kkij S FF d GKS 23 ij m ijij S GK ijijmij S 2 2 232 ee ijijmijkkijij pp kkkkijijij kkijijij kkij SKG e KGee FF KG edKG S ijij mm GdedS Kdd 2 3 3 p kk kk p ij ij F dd F ded S 1 Prandtl Reuss 模型 Prandtl Reuss 模型是最简单的理 想弹塑性模型 材料屈服函数 采用Mises屈服函数 其表达式 为 2 0 ij F Jk 232