00157.2009年高考数学一轮复习资料+第14章复数.pdf

第十四章第十四章 复数复数 第一节第一节 复数的有关概念 复数的有关概念 一 教学目标 一 教学目标 1 使学生了解扩充实数集的必要性 正确理解复数的有关概念 掌握复数的代数 几何 三角表示 及其转换 2 掌握复数的运算法则 能正确地进行复数的运算 并理解复数运算的几何意义 3 掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法 4 通过内容的阐述 带综合性的例题和习题的训练 继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力 5 通过数的概念的发展 复数 复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学 继续 对学生进行辩证观点的教育 二 教学重点 二 教学重点 复数三角形式表示法及复数的运算法则 复数与实数的区别和联系 三 教学过程 三 教学过程 一 主要知识 一 主要知识 1 数的概念的发展 复数的有关概念 实数 虚数 纯虚数 复数相等 共轭复数 模 2 复数的代数表示与向量表示 3 复数的加法与减法 复数的乘法与除法 复数的三角形式 复数三角形式的乘法与乘方 复 数三角形式的除法与开方 4 复数集中解实系数方程 包括一元二次方程 二项方程 复数在过去几年里是代数的重要内容之一 涉及的知识面广 对能力要求较高 是高考热点之 一 但随着新教材对复数知识的淡化 高考试题比例下降 因此考生要把握好复习的尺度 从近几年的高考试题上看 复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型 基础知识部 分重点是复数的有关概念 复数的代数形式 三角形式 两复数相等的充要条件及其应用 复平面 内复数的几何表示及复向量的运算 主要考点为复数的模与辐角主值 共轭复数的概念和应用 若 只涉及到一 二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题 若涉及几个知识点的试题 往往是中 高档题目 解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换 对有些题目 往往用数形结合可 获得简捷的解法 有关复数 n 次乘方 求辐角 主值 等问题 涉及到复数的三角形式 首先要将 所给复数转化为三角形式后再进行变换 复数的运算是高考中复数部分的热点问题 主要考查复数的代数和三角形式的运算 复数模及 辐角主值的求解及复向量运算等问题 基于上述情况 我们在学习 复数 一章内容时 要注意以下几点 1 复数的概念几乎都是解题的手段 因此在学习复数时要在深入理解 熟练掌握复数概念上 下功夫 除去复数相等 模 辐角 共轭等外 还要注意一些重要而常不引起重视的概念 如 若 有 3 1 z z 4 就是说 1 zR z 而且很快联系到 11 1zzz zz 或zR 又 1z 是不可能的 zR 复数的三角形式和代数式 提供了将 复数问题实数化 的手段 复数的几何意义也是解题的一个重要手段 2 对于涉及知识点多 与方程 三角 解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型 以 及复数本身的综合题 一直成为学生的难点 应掌握规律及典型题型的技巧解法 并加以强化训练 以突破此难点 3 重视以下知识盲点 不能正确理解复数的几何意义 常常搞错向量旋转的方向 忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数 盲目地将实数范围内数与形的一些结论 不加怀疑地引用到复数范围中来 容易混淆复数的有关概念 如纯虚数与虚数的区别问题 实轴与虚轴的交集问题 复数辐角 主值的范围问题等 二 知识点详析 二 知识点详析 1 知识体系表解 2 复数的有关概念和性质 1 i 称为虚数单位 规定 2 1i 形如 a bi 的数称为复数 其中 a b R 2 复数的分类 下面的 a b 均为实数 3 复数的相等设复数 1112221122 zabizab i a b a bR 那么 12 zz 的充要条件是 1122 abab 且 4 复数的几何表示复数 z a bi a b R 可用平面直角坐标系内点 Z a b 来表示 这时称此 平面为复平面 x 轴称为实轴 y 轴除去原点称为虚轴 这样 全体复数集 C 与复平面上全体点集是 一一对应的 复数 z a bi a bR 在复平面内还可以用以原点 O 为起点 以点 Z a b 向量所成的集合也是一一对应的 例外的是复数 0 对应点 O 看成零向量 7 复数与实数不同处 任意两个实数可以比较大小 而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小 实数对于四则运算是通行无阻的 但不是任何实数都可以开偶次方 而复数对四则运算和开 方均通行无阻 3 有关计算 n i nN 怎样计算 先求 n 被 4 除所得的余数 rrk ii 4 kNrN ii 2 3 2 1 2 3 2 1 21 是 1 的两个虚立方根 并且 1 3 2 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 21 12 1 21 复数集内的三角形不等式是 212121 zzzzzz 其中左边在复数 z1 z2对应的 向量共线且反向 同向 时取等号 右边在复数 z1 z2对应的向量共线且同向 反向 时取等号 棣莫佛定理是 sin cos sin cosZnninrir n n 若非零复数 sin cos irz 则 z 的 n 次方根有 n 个 即 1210 2 sin 2 cos nk n k i n k rz n k 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系 都位于圆心在原点 半径为都位于圆心在原点 半径为 n r的圆上 并且把这个圆的圆上 并且把这个圆 n 等分 等分 若 121 3 sin 3 cos32zizz 复数 z1 z2对应的点分别是 A B 则 AOB O 为坐 标原点 的面积是33 3 sin62 2 1 zz 2 z 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹 arg为实常数 z轨迹为一条射线 是实常数 是复常数 00 arg zzz轨迹为一条射线 是正的常数 rrzz 0 轨迹是一个圆 2121 是复常数 zzzzzz轨迹是一条直线 是正的常数 是复常数 azzazzzz 2121 2轨 迹 有 三 种 可 能 情 形 a 当 21 2zza 时 轨迹为椭圆 b 当 21 2zza 时 轨迹为一条线段 c 当 21 2zza 时 轨 迹不存在 2 21 是正的常数aazzzz轨迹有三种可能情形 a 当 21 2zza 时 轨迹不存在 4 学习目标 1 联系实数的性质与运算等内容 加强对复数概念的认识 2 理顺复数的三种表示形式及相互转换 z r cos isin OZ Z a b z a bi 3 正确区分复数的有关概念 4 掌握复数几何意义 注意复数与三角 解几等内容的综合 5 正确掌握复数的运算 复数代数形式的加 减 乘 除 三角形式的乘 除 乘方 开方及 几何意义 虚数单位 i 及 1 的立方虚根 的性质 模及共轭复数的性质 6 掌握化归思想 将复数问题实数化 三角化 几何化 7 掌握方程思想 利用复数及其相等的有关充要条件 建立相应的方程 转化复数问题 三 例题分析 三 例题分析 2004 年高考数学题选年高考数学题选 1 2004 年四川卷理 3 设复数 2 1 2 3 i 则 1 A B 2 C 1 D 2 1 2 2004 重庆卷 2 设复数zziz2 21 2 则 则 2 2ZZ A 3 B 3 C 3i D 3i 3 2004 高考数学试题广东 B 卷 14 已知复数 z 与 z 2 2 8i 均是纯虚数 则 z 范例分析范例分析 实数 虚数 纯虚数 复数 z 是实数的充要条件是 当 m 2 时复数 z 为实数 复数 z 是虚数的充要条件 当 m 3 且 m 2 时复数 z 为虚数 复数 z 是纯虚数的充要条件是 当 m 1 时复数 z 为纯虚数 说明 要注意复数 z 实部的定义域是 m 3 它是考虑复数 z 是实数 虚数纯虚数的必要条 件 要特别注意复数 z a bi a b R 为纯虚数的充要条件是 a 0 且 b 0 复数集 纯虚数集 虚虚 数 数 集集 实数集 2 22 21441zzzz 所以 5 4 z 代入 得 3 4 zi 故选B 解法 3 选择支中的复数的模均为 2 3 1 4 又0z 而方程右边为 2 i 它的实部 虚部 均为正数 因此复数 z 的实部 虚部也必须为正 故选择 B 说明 解法 1 利用复数相等的条件 解法 2 利用复数模的性质 解法 3 考虑选择题的特点 求 z 分析 确定一个复数要且仅要两个实数 a b 而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可 求出 a b 确定 z 运算简化 解 设 z x yi x y R 将 z x yi 代入 z 4 z 4i 可得 x y z x xi 2 当 z 1 2 13 时 即有 x 2 x 6 0 则有 x 3 或 x 2 综上所述故 z 0 或 z 3 3i 或 z 2 2i 说明 注意熟练地运用共轭复数的性质 其性质有 3 1 2i 3 2 i 1000 999 i 说明 计算时要注意提取公因式 要注意利用 i 的幂的周期性 要记住常用的数据 2 1 2ii 1 1 i i i 1 1 i i i 2 原式 156 124 4 1313 2 2 2222 1 2 1 1 2 ii iii 153 563 2 62 4 1313 2 2 2222 1 2 2 2 2 ii iii 156510 55 222 22 1026 22 i ii 3 解法 1 原式 1 2i 3 4i 5 6i 7 8i 997 998i 999 1000i 250 2 2i 500 500i 解法 2 设 S 1 2i 3 2 i 1000 999 i 则 iS i 2 2 i 3 3 i 999 999 i 1000 1000 i 1 i S 1 i 2 i 999 i 1000 1000 i 说明 充分利用 i 的幂的周期性进行组合 注意利用等比数列求和的方法 例 5 1 若 34 4 3 34 1 ii z i 求 z 2 已知 121 1zzCz 求 12 12 1 zz zz 的值 解 1 3 4 34 4 4 4 334 25 2 51250 2 1 ii z i 例例 6 已知三边都不相等的三角形 ABC 的三内角 A B C 满足 2 0 sincos sincossinsincossin 1 且设复数izCCABBA arg sin cos2 212 zzAiAz求 的值 解解 BCCBACCABBAsinsin cos cossinsincossinsincossin 得 2 cos 2 sin2 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin4 CBCBCBCBAA 3 分 0 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 222 CBACBACBACB 又 0 2 sin 0 2 sin CBA 上式化简为 22 1 2 cos2 A A 6 分 2 sin 2 cos 2 21 izz 9 分 2 3 arg 2 0 21z z时当 当 2 arg 2 21 zz时 12 分 例例 7 设 z1 1 cos isin z2 a2 ai a R 若 z1z2 0 z1z2 z1z2 0 问在 0 2 内是否存在 使 z1 z2 2为实数 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 分析分析 这是一道探索性问题 可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件 直接进行解答 解解 假设满足条件的 存在 因 z1z2 0 z1z2 z1z2 0 故 z1z2为纯虚数 又 z1z2 1 cos isin a2 ai a2 1 cos asin a 1 cos a2sin i 于是 a2 1 cos asin 0 a 1 cos a2sin 0 因 0 2 故 cos 1 于是 由 得 a sin 1 cos 另一方面 因 z1 z2 2 R 故 z1 z2为实数或为纯虚数 又 z1 z2 1 cos a2 sin a i 于是 sin a 0 或 1 cos a2 0 若 sin a 0 则由方程组 sin a 0 a sin 1 cos 得 sin 1 cos sin 故 cos 0 于是 2 或 3 2 若 1 cos a2 0 则由方程组 1 cos a 2 0 a sin 1 cos 得 sin 1 cos 2 1 cos 由于 sin2 1 cos2 1 cos 1 cos 故 1 cos 1 cos 2 解得 cos 0 从而 2 或 3 2 综上所知 在 0 2 内 存在 2 或 3 2 使 z1 z2 2为实数 说明说明 解题技巧 解题中充分使用了复数的性质 z 0 z z 0 z 纯虚数 Re z 0 Im z 0 以及 z2 R z R 或 z 纯虚数 注注 Re z Im z 分别表示复数 z 的实部与虚部 解题规律 对于 是否型存在题型 一般处理方法是首先假设结论成立 再进行正确的推理 若无矛盾 则结论成立 否则结论不成立 例例 8 设 a 为实数 在复数集 C 中解方程 z2 2 z a 分析分析 由于 z2 a 2 z 为实数 故 z 为纯虚数或实数 因而需分情况进行讨论 解解 设 z r 若 a 0 则 z2 a 2 z 0 于是 z 为纯虚数 从而 r2 2r a 解得 r 1 1 a r 1 1 a 0 不合 舍去 故 z 1 1 a i 若 a 0 对 r 作如下讨论 1 若 r 1 2a 则 z 2 a 2 z 0 于是 z 为实数 解方程 r2 a 2r 得 r 1 1 a r 1 1 a 0 不合 舍去 故 z 1 1 a 2 若 r 1 2a 则 z 2 a 2 z 0 于是 z 为纯虚数 解方程 r2 2r a 得 r 1 1 a或 r 1 1 a a 1 故 z 1 1 a i a 1 综上所述 原方程的解的情况如下 当 a 0 时 解为 z 1 1 a i 当 0 a 1 时 解为 z 1 1 a z 1 1 a i 当 a 1 时 解为 z 1 1 a 说明 解题技巧 本题还可以令 z x yi x y R 代入原方程后 由复数相等的条件将复数方 程化归为关于 x y 的实系数的二元方程组来求解 例例 9 2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷 18 已知实数p满足不等式0 2 12 x x 试判断方程052 22 pzz有无实根 并给出证明 解解 由0 2 12 x x 解得 2 1 2 x 2 1 2 p 方程052 22 pzz的判别式 4 4 2 p 2 1 2 p 4 2 4 1 p 0 由此得方程052 22 pzz无实根 例例 10 给定实数 a b c 已知复数 z1 z2 z3满足 z1 z2 z3 1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 2 求 az1 bz2 cz3 的值 分析分析 注意到条件 1 不难想到用复数的三角形式 注意到条件 2 可联想使用复数为实数的 充要条件进行求解 解解 解法一解法一由 z1 z2 z3 1 可设z1 z2 cos isin z2 z3 cos isin 则z3 z1 1 z2 z3 z1 z2 cos isin 因z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 其虚部为 0 故 0 sin sin sin 2sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 cos 2 4sin 2 sin 2sin 2 故 2k 或 2k 或 2k k Z 因而 z1 z2或 z2 z3或 z3 z1 若 z1 z2 代入 2 得z3 z1 i 此时 az1 bz2 cz3 z1 a b ci a b 2 c2 类似地 如果 z2 z3 则 az1 bz2 cz3 b c 2 a2 如果 z3 z1 则 az1 bz2 cz3 a c 2 b2 解法二解法二由 2 知z1 z2 z2 z3 z3 z1 R 故 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 即 z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 3 3 2 2 1 z z z z z z 由 1 得zk 1 zk k 1 2 3 代入上式 得 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z3 即 z12z3 z22z1 z32z2 z22z3 z32z1 z12z2 分解因式 得 z1 z2 z2 z3 z3 z1 0 于是 z1 z2或 z2 z3或 z3 z1 下同解法一 说明说明 解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件 z R z z 以及视z1 z2 z2 z3 等为整体 从而简化了运算 解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔 而不注意充分观察题目的已知条件 结论特 征等 从而使问题的求解或是变得异常的复杂 或干脆就无法解出最终的结果 四 巩固练习 四 巩固练习 设复数 z 3cos 2isin 求函数 y argz 0 2 的最大值以及对应角 的值 分析分析 先将问题实数化 将 y 表示成 的目标函数 后利用代数法 函数的单调性 基本不 等式等 以及数形结合法进行求解 解法一 解法一 由 0 2 得 tan 0 从而 0 argz 2 由 z 3cos 2isin 得 tan argz 2sin 3cos 2 3tan 0 于是 tany tan argz tan tan argz 1 tan tan argz 1 3tan 1 2 3tan 2 1 3 tan 2tan 1 2 3 tan 2tan 6 12 当且仅当 3 tan 2tan 即 tan 6 2时 取 又因为正切函数在锐角的范围内为增函数 故当 arctan 6 2时 y 取最大值为 arctan 6 12 解法二 解法二 因 0 2 故 cos 0 sin 0 0 argz 2 且 9图 x argz y o Z1 Z2 Z cos argz 3cos 9cos2 4sin2 sin argz 2sin 9cos2 4sin2 显然 y 2 2 且 siny 为增函数 siny sin argz sin cos argz cos sin argz sin cos 9cos2 4sin2 1 9csc2 4sec2 1 9 9cot2 4 4tan2 1 13 2 9cot2 4tan2 1 5 当且仅当9cot2 4tan2 即 tan 6 2 取 此时 ymax arctan 6 12 解法三 解法三 设 Z1 2 cos isin Z2 cos 则 Z Z1 Z2 而 Z1 Z2 Z 的辐角主值分别为 0 argz 如 图所示 必有 y ZOZ1 且 0 y 2 在 ZOZ1中 由余弦定理得 cosy OZ1 2 OZ 2 Z 1Z 2 2 OZ1 OZ 4 4 5cos 2 cos2 2 2 4 5cos2 4 5cos2 5 6 5 4 5cos2 2 6 5 当且仅当 4 5cos2 6 即 cos 10 5 时 取 又因为余弦函数在 0 2 为减函数 故当 arccos 10 5 时 ymax arccos2 6 5 说明说明 解题关键点 将复数问题通过化归转化为实数问题 使问题能在我们非常熟悉的情 景中求解 解题规律 多角度思考 全方位探索 不仅使我们获得了许多优秀解法 而且还使我 们对问题的本质认识更清楚 进而更有利于我们深化对复数概念的理解 灵活驾驭求解复数问题的 能力 解题易错点 因为解法的多样性 反三角函数表示角的不唯一性 因而最后的表述结果均 不一样 不要认为是错误的 四 课后作业 四 课后作业 1 下列说法正确的是 A 0i 是纯虚数 B 原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C 实数的共轭复数一定是实数 虚数的共轭复数一定是虚数 D 2 i是虚数 2 下列命题中 假命题是 A 两个复数不可以比较大小 B 两个实数可以比较大小 C 两个虚数不可以比较大小 D 一虚数和一实数不可以比较大小 3 已知对于 x 的方程 2 x 1 2i x 3m i 0 有实根 则实数 m 满足 4 复数 1 i 2 i 10 i等于 A i B i C 2i D 2i 5 已知常数 0 101100 zzzzzCz 满足复数且 又复数 z 满足1 1 zz 求复平面内 z 对应的点的轨迹 6 设复数62zi 记 3 4 u z 1 求复数u的三角形式 2 如果2 ab zu zu 求实数a b的值 7 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 理 17 已知复数z的辐角为 60 且 1 z是 z和 2 z的等比中项 求 z 8 已知复数 12 z z满足 12 1zz 且 12 2zz 1 求 12 zz 的值 2 求证 2 1 2 0 z z 3 求证对于任意实数a 恒有 1212 zazzaz 9 1992 三南试题 求同时满足下列两个条件的所有复数 z 1 z 10 z 是实数 且 1 z 10 z 6 2 z 的实部和虚部都是整数 参考答案 1 解 0i 0 R 故 A 错 原点对应复数为 0 R 故 B 错 i2 1 R 故 D 错 所以答案为 C 2 解本题主要考察复数的基本性质 两个不全是实数的复数不能比较大小 故命题 B C D 均正 确 故 A 命题是假的 3 解本题考察复数相等概念 由已知 4 解 因为 i 的四个相邻幂的和为 0 故原式 1 i i2 0 0 i 答案 A 5 解 0 1 1 1 1 1 1 0 00 011 z zz z z z zz zzz即 Z 对应的点的轨迹是以 0 1 z 对应的点为圆心 以 1 0 z 为半径的圆 但应除去原点 6 答案 1 33 2 2 cossin 22 ui 2 8 8ab 7 解解 设 60sin60cos rrz 则复数 2 r z的实部为 2 rzzrzz 由题设 12 12 12 012 421 2 2 1 1 2 1 2 222 zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 8 答案 1 2 2 3 省略 9 分析 按一般思路 应设 z x yi x y R 或 z r cos 1 t 6 t2 40 0 解方程得 又 z 的实部和虚部都是整数 t 2 或 t 6 故 z 1 3i 或 z 3 i 解法二 z 10 z R 从而 z z 或 zz 10 若 z z 则 z R 因 1 z 10 z 6 故 z 0 从而 z 10 z 2 10 6 此时无解 若 zz 10 则 1 z z 6 设 z x yi x y Z 则 1 2x 6 且 x2 y2 10 联立解得 x 1 y 3 或 x 1 y 3 或 x 3 y 1 或 x 3 y 1 故同时满足下列两个条件的所有复数 z 1 3i 1 3i 3 i 3 i 第二节第二节 复数的代数形式及其运算复数的代数形式及其运算 一 教学目标 一 教学目标 掌握复数的基本题型 主要是讨论复数的概念 复数相等 复数的几何表示 计算复数模 共 轭复数 解复数方程等 二 教学重点 二 教学重点 复数的几何表示 计算复数模 共轭复数 解复数方程等 三 教学过程 三 教学过程 一 主要知识 一 主要知识 1 共轭复数规律 2 复数的代数运算规律 1 i 4n 1 i 41n i i 42n 1 i 43n i 3 i n i 1n i 2n i 3n 1 i n i 1n i 2n i 3n 0 3 辐角的运算规律 1 Arg z1 z2 Argz1 Argz2 3 Arg n z nArgz n N n 1 或 z R 要条件是 z a 6 z1 z2 0 则 z1 z2 z1 z2 1 2 z z i R 且 0 对应向量 12 OZOZ 4 根的规律 复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根 实系数一元 n 次方程的虚根成对共轭出现 5 求最值时 除了代数 三角的常规方法外 还需注意几何法及不等式 z1 z2 z1 z2 z1 z2 的运用 即 z1 z2 z1 z2 等号成立的条件是 z1 z2所对应的向量共线且同向 z1 z2 z1 z2 等号成立的条件是 z1 z2所对立的向量共线且异向 二 范例分析 二 范例分析 2004 年高考数学题选年高考数学题选 1 2004 高考数学试题 浙江卷 6 已知复数 z1 3 4i z2 t i 且 12 z zi是实数 则实数 t A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 3 2 2004 年北京春季卷 2 当1 3 2 m时 复数immz 1 23 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 2004 年北京卷 2 满足条件 zi 34的复数z在复平面上对应点的轨迹是 C A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 主要的思想方法和典型例题分析 主要的思想方法和典型例题分析 1 化归思想 复数的代数 几何 向量及三角表示 把复数与实数 三角 平面几何和解析几何有机地联系 在一起 这就保证了可将复数问题化归为实数 三角 几何问题 反之亦然 这种化归的思想方法 应贯穿复数的始终 分析 这是解答题 由于出现了复数z和z 宜统一形式 正面求解 解法一 设 z x yi x y R 原方程即为 22 331 3xyyxii 用复数相等的定义得 1 z 1 2 z 1 3i 两边取模 得 2 2 1 1 3 z z 整理得 42 11100zz 解得 2 1z 或 2 10z 代入 式得原方程的解是 1 z 1 2 z 1 3i 例 2 1993 全国 理 设复数 z cos isin 0 解 z cos isin 4 z cos4 isin4 cos 2 sin 2 22 tan2 cos2sin2 i i tan2cos 4 sin 4 22 i 即 3 tan2 3 又 0 当 3 tan2 3 时 12 或 7 12 说明 此题转化为三角问题来研究 自然 方便 例 3 设 a b x y R 且 222 xyr r 0 求证 分析令 1 z ax byi 2 z bx ayi a b x y R 则问题化归为证明 1 z 2 z r a b 证明设 1 z ax byi 2 z bx ayi a b x y R 则 a b x a b yi a b x yi a b r 解 如图所示 设点 Q P A 所对应的复数为 由向量AQ 绕定点 A 按顺时针方向旋转 2 而得到AP 得 AQAP ziz 即 x0 3a y0i i x 3a yi 由复数相等的定义得 0 0 3 3 xay yxa 而点 x0 y0 在双曲线上 可知点 P 的轨迹方程为 22 22 3 3 1 yaxa ab 说明 将复数问题化归为实数 三角 几何问题顺理成章 而将实数 三角 几何问题化归为 复数问题 就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力 善于根据题设构造恰到好处的复数 可使问 题迎刃而解 2 分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法 在复数中它能使复杂的问题简单化 从而化整为零 各个击破 高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法 例 5 1990 全国 理 设 a 0 在复数集 C 中解方程 z 2 2 z a 分析一般的思路是设 z x yi x y R 或 z r cos isin 若由 z 2 2 z a 转化为 z 2 a 2 z 则 z 2 R 从而 z 为实数或为纯虚数 这样再分别求解就方便了 总之 是一个需要讨论的问题 解 解法一 z 2 a 2 z R z 为实数或纯虚数 问题可分为两种情况 1 若 z R 则原方程即为 z 2 2 z a 0 2 若 z 为纯虚数 设 z yi y R 且 y 0 则原方程即为 y 2 2 y a 0 当 a 0 时 y 2 即 z 2i 当 0 a 1 时 当 a 1 时 方程无实数解 即此时原方程无纯虚数解 综上所述 原方程 当 a 0 时 解为 z 0 或 z 2i 解法二设 z x yi x y R 将原方程转化为 3 数形结合思想 数与形是数学主要研究内容 两者之间有着紧密的联系和互相渗透 互相转化的广阔前景 复 平面的有关试题正是它的具体表现 运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一 应引起 注意 例 6 已知 z 1 且 z 5 z 1 求 z 解 由 z 5 z 1 联想复数加法的几何性质 不难发现 z z 5 1 所对应的三点 A B C 及原 点 O 构成平行四边形的四个顶点 如图所示 例 6 图 说明 这样巧妙地运用联想思维 以数构形 以形思数 提炼和强化数形结合的思想方法 有利于培养学生思维的深刻性 例 7 复平面内点 A 对应复数 z 点 B 对应复数为3 5z O 为原点 AOB 是面积为6 5的直角 三角形 argz 0 2 求复数 z 的值 分析分析 哪一个角为直角 不清楚 需要讨论 解解 因 OA z 3 5 z OB 故 A 不可能是直角 因而可能 AOB 90 或 ABO 90 若 AOB 90 示意图如图 1 所示 因 z 与z 所对应的点关于实轴对称 故 argz 45 S AOB 1 2 OA OB 1 2 z 3 5 z 3 10 z 2 6 5 于是 z 2 从而 z 2 cos45 isin45 2 2i 若 ABO 90 示意图如图 2 所示 因 z 与z 所对应的点关于实轴对称 且 AOB 90 故 argz 45 令 z r cos isin 则 cos2 OB OA 3 5 sin2 4 5 S AOB 1 2 OA OB sin2 1 2r 3 5r 4 5 6 25r 2 6 5 于是 r 5 又 cos 1 cos2 2 2 5 5 sin 1 cos2 5 5 故 z 5 2 5 5 5 5 i 2 i 综上所述 z 2 2i 或 z 2 i 说明说明 解题关键点 正确地对直角的情况进行分类讨论 正确地理解复数的几何意义 作 出满足条件的示意图 解题规律 复数的几何意义来源于复数 z a bi a b R 与复平面上的点 a b 之间的一一对 应 它沟通了复数与解析几何之间的联系 是数形结合思想的典型表示 解题技巧 复数 z 与它的共轭复数z 在复平面内对应的向量关于实轴对称 这样巧妙地以形译数 数形结合 不需要计算就解决了问题 充分显示了数形结合的思想方 法在解题中的作用 4 集合对应思想 例 8 如图所示 在复平面内有三点 P1 P2 P3对应的复数 x O A B y 图1 x O A B y 图2 应的复数为 a 2a 3a 且它们有相同的辐角主值 如图所示 即 A P1 P2 P3共线 从而 2sin 2 因此有 a 2i 5 整体处理思想 解复数问题中 学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题 这样常常给解题带来 繁琐的运算 导致解题思路受阻 因此在复数学习中 有必要提炼和强化整体处理的思想方法 居 高临下地把握问题的全局 完善认识结构 获得解题的捷径 从而提高解题的灵活性及变通性 例 9 已知 z 2 i 求 z 6 3z 5 z 4 5z 3 2 的值 分析 如果直接代入 显然比较困难 将 z 用三角式表示也有一定的难度 从整体角度思考 可将条件转化为 z 2 2 i 2 1 即 z 2 4z 4 1 即 z 2 4z 5 0 再将结论转化为 z 6 3z 5 z 4 5z 3 2 z 2 4z 5 z 4 z 3 2 然后代入就不困难了 解 z 2 i z 2 2 i 2 1 即 z 2 4z 5 0 z 6 3z 5 z 4 5z 3 2 z 2 4z 5 z 4 z 3 2 2 例 10 已知 3 42 1 3log 2 xi 求x 解 解由条件得 说明 把题中一些组合式子视作一个 整体 并把这个 整体 直接代入另一个式子 可避免 由局部运算带来的麻烦 例 8 图 例 11 复平面上动点 z1的轨迹方程为 z1 z0 z1 z0 0 另一动点 z 满足 z1 z 1 求 点 z 的轨迹 解由 z1 z0 z1 知点 z1的轨迹为连结原点 O 和定点 z0的线段的垂直平分线 将此式整体代入点 z1 的方程 得 的圆 除去原点 例 12 设 z c a 0 解方程 z z az i 0 边取模 得 说明 解复数方程 可通过整体取模 化为实数方程求解 综上所述 解答复数问题 应注意从整体上去观察分析题设的结构特征 挖掘问题潜在的特殊 性和简单性 充分利用复数的有关概念 共轭复数与模的性质 复数的几何意义以及一些变形技巧 对问题进行整体化处理 可进一步提高灵活 综合应用知识的能力 6 有关最值问题的多角度思考 例 13 复数 z 满足条件 z 1 求 2z 2 z 1 的最大值和最小值 解法一 z 1 z cos isin 2z 2 z 1 2 cos isin 2 cos isin 1 2cos2 cos 1 2sin2 sin i 2z 2 z 1 2 2z 2 z zz 2 设 z 的实部为 a 则 1 a 1 2z 2 z 1 2a z 1 2 2z 2 z 1 max 4 解法三 设 x yi x y R z a bi a b r 且 a 2 b 2 1 这说明 对应的点是如图所示的椭圆 问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最 小值 时的圆的半径 例 1 3 图 得 8x 2 2x 8 9r 2 0 由相内切条件知 0 解法四由模不等式 2z 2 z 1 2 z 2 z 1 4 等号成立的条件是 2z 2 z 1 所对应的向量共线且同向 可知 z 是负实数 在 z 1 的条件下 z 1 当 z 1 时 2z 2 z 1 max 4 但另一方面 2z 2 z 1 2 z 2 z 1 0 这是显然成立的 可是这不能由此确定 2z 2 z 1 min 0 实际上等号成立的条件应为 2z 2 z 1 表示的向量共线且异向 由 2z 2 与 1 对 应的向量共线且异向知 z i 但是当 z i 时 2z 2 与 z 不共线 这表明 2z 2 z 1 的最小值不是 0 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误 此部分内容既为重点也为难点 应向 学生强调说明 并举例 切记取等号的条件 例 14 2001 年普通高等学校招生全国统一考试 理 18 已知复数 z1 i 1