12 球坐标系中的赫姆霍兹方程的解.pdf

章节安排章节安排 9 1 直角坐标系中赫姆霍兹方程的解直角坐标系中赫姆霍兹方程的解 9 2 柱坐标系中赫姆霍兹方程的解柱坐标系中赫姆霍兹方程的解 9 3 球坐标系中赫姆霍兹方程的解球坐标系中赫姆霍兹方程的解 9 4 推迟势的直接积分法推迟势的直接积分法 9 3球坐标系中赫姆霍兹方程的解球坐标系中赫姆霍兹方程的解9 3 球坐标系中赫姆霍兹方程的解球坐标系中赫姆霍兹方程的解 矢势矢势A的赫姆霍兹方程 在球坐标系中 的赫姆霍兹方程 在球坐标系中 赫姆霍兹方程赫姆霍兹方程为为 0 22 AkA 9 3 1 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 222 2 2 Uk U r U rr U r rr 式中式中U表示表示A的一个直角分量 的一个直角分量 Ax Ay和和Az 然后 利用然后 利用Ax Ay和和Az投影的方法 求出 投影的方法 求出 A A r A 利用利用分离变量法分离变量法求解 将写成三个函数的积求解 将写成三个函数的积 rU rRrU 式中 式中 R仅为仅为r的函数 仅为的函数 仅为的函数 将此式代入 的函数 仅为的函数 仅为的函数 将此式代入 9 3 1 式中并除以 乘以式中并除以 乘以 R sin2 2 r 2 2 2222 2 1 sin sin sin sin d d rk r R r dr d R 上式等号左边仅与 有关 等号右边仅与有关 可以假设上式等号左边仅与 有关 等号右边仅与有关 可以假设r 2 2 1 d 2 2 1 m d d 22222 2 sin sin sin sin mrk dddR r d 上述方程组的上述方程组的第一式的解第一式的解为为 sin sin mrk dddr r drR 用用除以上面方程的第二式除以上面方程的第二式得到得到 mBmAsincos 2 i 用用除以上面方程的第二式除以上面方程的第二式 得到得到 2 sin 0 sin sin sin 1 1 2 2 222 m d d d d rk dr dR r dr d R 由于这个方程的前两项仅与由于这个方程的前两项仅与r有关 而后两项仅与有关 所以假设有关 而后两项仅与有关 所以假设 222 1 rk d dR r d d R 2 2 i sin i 1m d d d d 上面方程的上面方程的第二方程式是缔合勒让德方程第二方程式是缔合勒让德方程 它的解为 它的解为 drdrR mm DQCP 2 sinsindd 式中 式中 C和和D是任意常数 而是任意常数 而 cos cos m n m n DQCP 2 1 0 1 nnn 2 1 0nm 1dRd 可以写成下列形式可以写成下列形式 222 1 rk dr dR r dr d R 方程的第一式方程的第一式 可以写成下列形式可以写成下列形式 这是这是球贝塞尔方程球贝塞尔方程它的解为它的解为 0 1 2 2 2 2 2 R r nn k dr dR rdr Rd 这是这是球贝塞尔方程球贝塞尔方程 它的解为它的解为 1 1 11 krHBkrJA k rR n n n n 式中 和是式中 和是半奇整数阶第一类贝塞尔函数半奇整数阶第一类贝塞尔函数和和第一类汉克尔函数第一类汉克尔函数 22 kr nn 2 1 krJ n 1 2 1 krH n 球坐标系中赫姆霍兹方程球坐标系中赫姆霍兹方程 9 3 1 式的式的通解通解为为 1 n sincos 1 1 2 1 2 1 0 mBmAkrHBkrJA kr rU n n n n n n m cos cos m n m n DQCP 例题例题 均匀交变均匀交变磁磁场中的球体场中的球体例题例题均匀交变场中的球体均匀交变场中的球体 如图如图9 3 1所示 沿所示 沿z轴方向的均匀交变磁场中有一导电导磁球体轴方向的均匀交变磁场中有一导电导磁球体 球的半径是球的半径是a 电导率是电导率是 1 磁导率是磁导率是 1 球体周围媒质的电导率为球体周围媒质的电导率为 2 磁磁 ti eH 0 球的半径是球的半径是a 电导率是电导率是 1 磁导率是磁导率是 1 球体周围媒质的电导率为球体周围媒质的电导率为 2 磁磁 导率为导率为 2 求球内外的磁场 求球内外的磁场 选用球坐标系选用球坐标系 以球心为原点以球心为原点 因为激发源是纯磁性的因为激发源是纯磁性的 用赫兹矢量用赫兹矢量选用球坐标系选用球坐标系 以球心为原点以球心为原点 因为激发源是纯磁性的因为激发源是纯磁性的 用赫兹矢量用赫兹矢量 来计算磁场比较方便来计算磁场比较方便 这是因为 这是因为 2 kH 由于外磁场是均匀的 它的赫兹矢量的散 度为 由于外磁场是均匀的 它的赫兹矢量的散 度为0 故 故用赫兹矢量将外磁场表示为用赫兹矢量将外磁场表示为 0 2 0 kH 可见可见外磁场的赫兹矢量外磁场的赫兹矢量只有只有 分量分量因而因而也只有也只有 分量分量 2 0 0 00 k H k 可见可见 外磁场的赫兹矢量外磁场的赫兹矢量只有只有z分量分量 因而因而也只有也只有z分量分量 满足赫姆霍兹方程 满足赫姆霍兹方程 0 z z 0 2 2 k0 22 zz k z 关于关于z轴是旋转对称的 与轴是旋转对称的 与 无关 在球坐标系中 满足的赫姆霍兹方程为 无关 在球坐标系中 满足的赫姆霍兹方程为 0sin sin 11 2 2 2 2 z zz k rr r rr 它的通解为 它的通解为 cos 1 1 2 1 0 2 1 nn n n n z PrkHBrkJA rk n 这里是半奇整数阶第一类贝塞尔函数 是半奇整数阶第一类汉克尔这里是半奇整数阶第一类贝塞尔函数 是半奇整数阶第一类汉克尔 函数函数 rkJ n 2 1 rkH n 1 2 1 函数函数 在球内在球内 由于 由于r趋于趋于0 有限 并且趋于无穷大 所以系数 有限 并且趋于无穷大 所以系数Bn 必为必为0 因而球内的通解为因而球内的通解为 1z rkH n 1 2 1 因而球内的通解为因而球内的通解为 cos 1 2 1 0 1n n n n z PrkJ rk A 9 3 3 在球外在球外 同理 通解为 同理 通解为 0 cos H PrkH Bn 9 3 4 一次场一次场 2 2 2 2 1 0 2 cos k PrkH rk n n n z 9 3 4 An和和Bn是待定系数是待定系数 需利用磁场的边值关系来确定需利用磁场的边值关系来确定 H 由于项只有零级的勒让德多项式 因此 由于项只有零级的勒让德多项式 因此 如果要满足 边值关系 如果要满足 边值关系 9 3 3和和9 3 4式中的式中的n必须限制在零级必须限制在零级 即要求 即要求n 0时 时 An Bn 0 2 2 0 k H 1cos 0 P nn 这样 球内外的赫兹矢量为 这样 球内外的赫兹矢量为 1 2 1 1 0 1 rkJ rk A z 2 2 0 2 1 2 1 2 0 2 21 k H rkH rk B z 由于 由于 rk rk rkJ 1 1 1 2 1 sin2 rk e irkH rik 2 2 1 2 1 2 2 于是得到于是得到于是得到于是得到 1 0 1 sin r rk A z 9 3 5 2 2 0 0 2 2 k H r e B rik z 9 3 6 现在由边值关系来确定A0和B0 根据 2 kH 由边值关系 nn tt BB HH 21 21 2 2 得到 nn tt kk kk 2 2 2 22 1 1 2 11 2 2 2 2 1 1 2 1 在球坐标中 cos 2 2 r z r 1 sinrk A sin rr z 2 0 0 2 01 2 He B r A rik z z 0 代入边值关系式中 得到 2 2 02 kr z ar z z ar z z k rr k rr 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 11 9 3 7 ar z z ar z z k r k r 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 9 3 8 由于 rk A z 1 0 1 sin r z01 故 2 2 2 10110 1 sincos r rkA r rkkA r z 11110 2 1 2 3 10 2 1101 2 10 2 1 2 cossin2 sin 2 cos 2 sin rkrkrkA k r rkA r rkkA r rkkA r z z 3 11 2 1 r k r z 同理由于 0 2 He B rik 同理由于 2 2 0 02 kr B z 0 2 20 2 20 2 20 2 2 2 020 2 2222 22 2eBek iBek iBekB r eB r ek iB r rk irk irk irk i rk irk i z 02 2 202 3 02 2 202 2 202 2 2 2 2 2 2 2 3 0 2 20 2 2020 2 2 2222 22 2 H r ekB r eB r ek iB r ekB k r r eB r ek iB r ek iB r ekB r rk irk irk irk i z z z rrrrr 如果球周围的媒质导电性很差 则1 2 a k 这样可以简化上式 02 3 02 2 2 2 2 2 2 2 2 H a B k r ar z z ar 将以上各式代入边值关系 9 3 7 和 9 3 8 中 得 2 10 2 1 3 10 2 110 sin sin cos a akA k a akA a akkA 0 20 3 0 2 20 222 H a ekB a eB a eikB aikaikaik 1 2 a k由于 上式简化为 3 001 2 1 2 1110 sin sin cos aHBakkaakakakA 3 020211 2 101 2 cos sin 2aHBakkaakA 联立方程求解得联立方程求解 得 akakakakakakakak aHB 1 22 111121111 3 00 sinsincoscossin2 akakak aHB A akakakakakakakak aHB 3 0202 0 1 22 111121111 00 cossin2 2 sinsincos2cossin2 akakak 1111 cossin2 将A0和B0代入9 3 5和9 3 6式中 得到和 因而球内外的磁场就可以 1z 2z 将和代和式中得到和因而球内外的场就可以 求得 1z2z rksin r rk A z 1 0 1 sin 9 3 5 2 2 0 0 2 2 k H r e B rik z 9 3 6 2 kr 9 4 推迟势的直接积分法推迟势的直接积分法 第八章讨论了推迟势 并利用推迟势计算辐射电磁场 计算了 在辐射源的线度远比波长小的情况下 电流可认为是均匀分布的 然而在 第八章讨论了推迟势 并利用推迟势计算辐射电磁场 计算了 在辐射源的线度远比波长小的情况下 电流可认为是均匀分布的 然而在实实际问题中 往往际问题中 往往会会遇到辐射源的线度远比波长大的情况 遇到辐射源的线度远比波长大的情况 实实会会 此时电流不能认为是均匀分布的 因此必须考虑电流分布的不均匀 性 此时电流不能认为是均匀分布的 因此必须考虑电流分布的不均匀 性 如图如图9 4 1所所 沿沿z轴长为轴长为2l的导线的导线通通以交变以交变电电流流 如如如图如图所所沿沿 轴长为轴长为的导线以交变流的导线以交变流如如 果果P点在足够远处 则仅需考虑辐射场 由于电流分 布不均匀 取一电流元 点在足够远处 则仅需考虑辐射场 由于电流分 布不均匀 取一电流元I dz 则在此小段电流范围内 则在此小段电流范围内 电场可看作均匀分布电场可看作均匀分布写出写出P点的推迟势点的推迟势并对整个并对整个电场可看作均匀分布电场可看作均匀分布 写出写出P点的推迟势点的推迟势 并对整个并对整个 电流积分 可得到整个电流在电流积分 可得到整个电流在P点的推迟势点的推迟势 tki l l tkri dz r ezI tzyxA 4 0 式中 是z 的函数它由问题中电流的具体分布所确定 zI 例题例题半波天线辐射的电磁场 解解如图9 4 2所示 长的天线置于Z轴方向 2 l 坐标原点在天线的中 点 设天线上的电波为驻波形式 两端为波节 则电流分布为 2 式中 称为波数 cos 0 kzIzI 4 z 2 k 天线在P点的推迟势为 9 4 1 4 00 cos dzkz eeI A ikrti 9 4 1 现在来计算这个积分 由于P点在足够远处积分中的1 r 可近似等于1 r0 但eikr 中的r 不能用r 来代替这是因为原点O处的位相与dz 处的位相不同但可近似 4 cos 4 dzkz r A z 中的r 不能用r0来代替 这是因为原点O处的位相与dz 处的位相不同 但可近似 认为 cos zrr cos 0 zrr 于是积分中的eikr 可以写成 cos ikikrikr 代入 9 4 1 式中 得到 cos 0 ikzikrikr eee cos 4 4 4 cos 0 00 0 dzekz r eI A ikz tkri z cos sin cos cos cos 4 4 40 00 0 dzkzikzkz r e