1固体物理-晶体结构2.pdf

固体物理学 晶体结构晶体结构2 晶体的对称性 Apatite 磷灰石 Quartz 石英 Garnet 石榴石 什么是对称性 在几何中 保持两点距离不变的变换 等距变换 叫正正 交变换交变换 如果系统在某种正交变换下保持不变 与自身重合 那么这个变换就是系统的一个对称操作 对称操作 一个系统对称 操作越多 表明它的对称性越高 对称 在某种变换下保持不变 正交变换 转动 rotation about an axis 镜面 镜像 reflection across a plane 中心反演 inversion through a point 在三维情况下 正交变换可以表示为 正交矩阵 转动 绕z轴转动 度 中心反演和镜面 镜像 中心反演 镜面 镜像 二维正方形的对称操作 立方体的对称操作 正四面体 正四面体 正四面体 正四面体的对称操作 群和点群 point group 群群 group 是一种集合 其元素称为群元群元 这种 集合满足四个条件 1 封闭性 2 存在单 位元 3 存在逆元 4 结合律成立 更具体定义请参考群论书籍资料 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对 称群 每种对称操作是其中一个群元 旋转旋转 镜像镜像 中心反演中心反演这些对称操作都可以保 持空间至少一点固定不动 称为点对称操作点对称操作 由点对称操作组成的群 称为点群点群 对称元素 为了简明概括一个物体的对称性 不一一列举所有对 称操作 而是描述它所具有的 对称元素对称元素 在对称操作下固定不变的点点 直线及平面直线及平面称为对称元对称元 素素 symmetry element 一个物体绕某一个转轴转动2 n以及其倍数保持不变 时 称该轴为n重 次 度 旋转轴 用n表示 对称元素 一个物体绕某一个转轴转动2 n再加上中心反演 以及其联合操作的倍数保持不变时 称该轴为n重 旋转 反演轴 用 表示 n 对称元素 的含义 先转动 再作中心反演 如右图中A点转 动 后变为A 再作中心反演后 变为A A 实际上是A点在通过中心垂直 于转轴的平面M的镜像 说明 如果有对称元素 则存在一个 对称面M 所以也称对称元素 为镜面 用m或者 表示 2 2 2 点对称操作 对称元素 在晶体中 由于平移对称性的限制 转动 对称轴只能是1 2 3 4和6重轴 对称元素 只能有 6 4 3 2 1 6 4 3 2 1 作业 点群 6 4 3 2 1 6 4 3 2 1 晶体学点群 Crystallographic point group Crystallographic point group 符号标 记Label 对称元素 Symmetry element 对称操作 Symmetry operation What does it do E 恒等操作 identity 不变 nothing Nothing i 反演中心 center of symmetry or inversion center 按对称中心反演 inversion projects through the center an equal distance Cn n 重旋转轴 n fold proper axis of rotation 绕轴旋转 rotation rotates counterclockwise 360o n degrees about the axis m 镜面 plane of symmetry 镜像 reflection reflects across a plane Sn n 重旋转镜像轴 n fold improper axis of rotation 绕轴旋转后镜像 rotation followed by reflection rotates counterclockwise 360o n degrees about the axis and then reflects across a plane perpendicular to the axis Schoenflies Symmetry Notation 参考 Mildred S Dresselhaus Gene Dresselhaus Ado Jorio Group theory Application in the physics of condensed matter Springer 2008 P44 n重旋转 镜像轴 Symmetry Elements and Operations element operation symbol symmetry plane reflection through plane m h horizontal reflection plane perpendicular to the principal axis v vertical reflection plane contains the principal axis d diagonal reflection plane contains the rotatation axis and bisect the angle between two C2 axes perpendicular to the rotatation axis n is an integer principal axis is a Cn axis with the biggest n Symmetry Elements and Operations Symmetry Elements and Operations 对称操作元素间的依赖关系 如果一个物体有两个镜面 则两镜面的交线是该物体的 一个转轴 若镜面夹角是 n 则该轴为n度转轴 如果一个物体有一个n度转轴和包含该轴的一个镜面 则该物体必有n个包含该轴的镜面 相邻镜面夹角为 n 如果一个物体有两个二度转轴 则必有与之垂直的转轴 若两个二度转轴的夹角为 n 则与之垂直的转轴为n度转 轴 如果一个物体有一个n度转轴 和一个与之垂直的二度 轴 则该物体必有与该n度轴垂直的n个二度轴 相邻两个 二度轴的交角为 n 一个偶数度轴 一个垂直于该轴的镜面以及一个反演中 心 若存在其中的两个 则必然存在第三个 四面体点群 4个三重轴 蓝色 共8 个对称操作 记为8C3 3个两重轴 红色 共3 个对称操作 记为3C2 保持不动 1个对称操作 用E表示 共8 3 1 12个对称操作 由如上所示的12个点对称操作 E 3C2 8C3 组成 的点群 用T表示 四面体点群 8C3 3C2 绕3个立方轴 红色 旋转 2 3 2 接着做水平面镜像接着做水平面镜像 共6 个对称操作 记为6S4 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像 共6个对称操作 记 为6 d 共12 6 6 24个对称操作 由如上所示的24个点对称操作 E 3C2 8C3 6S4 6 d 组成的点群 用Td表示 称为正四面体点群 32个点群 Cn for cyclic n 主轴的重 次 度 数 h 含有水平镜面 垂直于主轴 v 含有垂直镜面 包含主轴 i 含有中心反演 32个点群 Sn Spiegel German for mirror Dn dihedral or two sided d 含有对角镜面 包含主轴 并过两垂直二重轴的平分线 32个点群 O octahedron T tetrahedron 32个点群 Crystal System Number of Point Groups Herman Mauguin Point Group Schoenflies Point Group Triclinic 2 1 1 C1 Ci Monoclinic 3 2 m 2 m C2 Cs C2h Orthorhombic 3 222 mm2 mmm D2 C2v D2h Trigonal 5 3 3 32 3m 3m C3 S6 D3 C3v D3d Hexagonal 7 6 6 6 m 622 6mm 62m 6mm C6 C3h C4h D6 C6v D3h D6h Tetragonal 7 4 4 4 m 422 4mm 42m 4 mmm C4 S4 C4h D4 C4v D2d D4h Cubic 5 23 m3 432 432 m3m T Th O Td Oh 两种群标记符号 固体物理中常用熊夫利符号 Sch nflies notation 晶体学中常用国际符号 International notation Hermann Mauguin notation 国际符号的具体解释见阎守胜 固体物理基础 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 C60的对称性 正二十面体所属对称群为I和Ih群 I群的对称元素包含有二 三 五重轴 共 60个元素 Ih群由I群 中心反演得到 共120个元素 I和Ih群不属于32个晶体点群 C60的对称性 plang tuwien ac at schani supermag archimedean index html 平移 translation 对称性 布拉维格子的格矢 332211 anananRn 将晶体平移布拉维格子的任一格矢 晶体与自 身重合 称为平移对称操作 问题 平移对称操作是正交变换吗 平移对称操作是点对称操作吗 空间群 布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合 称为平移群平移群 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合 构成空间群空间群 空间群 1 简单空间群 点空间群 由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成 共73个 2 复杂空间群 晶格全部对称操作的集合 共有 230个 7个晶系和14个布拉维格子 空间群国际符号 空间群的国际符号包括两个组成部分 前一部 分为大写英文字母 表示格子类型 P C A B I F 后一部分与点群的国际符号基 本相同 只是其中晶体的某些宏观对称要素的 符号需换成相应的内部结构对称要素的符号 例如 P23 I432 Fm3m 对应的点群是什么 晶格类型是什么 space group table http en wikipedia org wiki Space group Table of space groups in 3 dimensions 晶系晶系 对称性特征对称性特征 晶胞参数晶胞参数 所属点群所属点群 Bravais格子格子 三斜三斜 只有只有1或或 i a b c C1 Ci P 单斜单斜 唯一唯一2或或 m a b c 90 C2 CS C2h P C 正交正交 三个三个2或或 m a b c 90 D2 C2V D2h P C I F 三方三方 唯一唯一3 或或 a b c 90 C3 S6 D3 C3V D3d R 四方四方 唯一唯一4 或或 a b c 90 C4 S4 C4h D4 C4V D2d D4h P I 六方六方 唯一唯一6 或或 a b c 90 120 C6 C3h C6h D6 C6V D3h D6h H 立方立方 四个四个3 a b c 90 T Th Td O Oh P I F 3 4 6 七大晶系的关系 常见的晶体结构 CsCl结构和立方钙钛矿结构 NaCl和CaF2结构 金刚石和闪锌矿结构 六角密堆积结构 CsCl结构 布拉维格子是 基元是 配位数 CsCl结构 两套相互嵌套的简单立方格子 CsCl以及其他部分碱卤化合物 空间群Pm3m 立方钙钛矿 BaTiO3 结构 布拉维格子是 基元是 配位数 立方钙钛矿 BaTiO3 结构 Ti在氧八面体的中心 Ba在氧八面体的间隙 BaTiO3以及其他许多ABO3型化合物 NaCl结构 布拉维格子是 基元是 配位数 NaCl结构 两套相互嵌套的面心立方格子 NaCl 以及Li Na K Rb和F Cl Br I化合物 空间群Fm3m CaF2结构 金刚石结构 C Si Ge 灰Sn 空间群Fd3m 闪锌矿 ZnS 结构 闪锌矿和金刚石结构具有相似性 闪锌矿 ZnS 结构 两套相互嵌套的面心立方格子 ZnS GaAs GaP 六角密堆积结构 密堆积 密排面 密排面 能否同时在B和C的位置占据 密堆积 密排面 六角密堆积结构 Be Cd Mg Ni Zn 六角密堆积结构 六角密堆积结构 石墨是六角密堆积结构吗 立方密堆积结构 Ag Al Au Co Cu Ni Pd Pt 原子数 晶面 立方密堆积结构 立方密堆积结构 两种密堆积结构 是否有其它可能 本课小结 正交变换和三种对称操作 点对称操作 对称元素 32个点群和标记方法 平移对称操作 点空间群 7个晶系 14个布拉维格子 常见的晶体结构 密堆积结构 网络学习资源 关于分子的对称性 http symmetry otterbein edu tutorial index html 关于晶体学与群论 http www cryst ehu es 空间群表 http img chem ucl ac uk sgp large sgp htm 晶体结构数据库 http cst www nrl navy mil lattice 晶体结构三维显示软件CrystalMaker etc 分子结构三维显示软件Rastop etc http www geneinfinity org rastop 课后任务 不需要上交 自学晶体学点群的International notaion Hermann Mauguin notation 自学二维晶格的晶系以及布拉维格子 下载