（计算数学专业论文）大气压辉光放电的数值模拟方法研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 大气压辉光放电是近年来发展非常快的一种放电模式 它有许多特点优于其它放电 类型 这些优点使得大气压辉光放电更加具有研究价值 然而 由于对大气压辉光放电等 离子体缺乏有效的诊断手段 理论和计算机模拟也处在初始阶段 这使得大气压辉光放 电的物理过程和产生机理尚不清楚 放电参量选取盲目 并且 实验中需要昂贵的真空 设备 实验成本高 这严重影响了大气压辉光放电的理论研究和在工业领域的应用 近几年来 新的模型和数值算法不断涌现 有关大气压辉光放电的数值模拟日益受 到众多学者的重视 因此 如何根据气体放电理论知识以及各数值方法的特点 采用快 而精确的方法对气体放电进行数值模拟求解 已变得非常关键 大气压辉光放电过程是一个典型的非线性的 多变量相互耦合的偏微分方程组 这 类方程很难得到解析解 并且 所考虑的系统中 电子和离子密度量级相差很大 数值计 算中容易出现刚性问题 另外 由于电场对带电粒子的迁移作用比扩散作用大 进而导 致磁雷诺数很大 对于一个既有刚性问题同时是大磁雷诺数的问题 数值方法的选择既 要符合精度要求 又能保证稳定性 文章选取有限体积法 迎风格式 c r a n k n i c h o l s o n 格式和特征有限差分法四种代表 性的差分格式进行数值实验 对各差分格式的内在性质 精度 稳定性 适用的条件等 作了分析 证明和总结 然而 有关非线性方程差分格式稳定性的充分条件十分复杂 迄今尚待解决 文章只对电子密度方程的稳定性条件作了证明 关于离子的密度方程 电子能量方程的稳定性结论还需要今后进一步的研究 同时 对辉光放电中常用的边界 条件做了总结和归纳 通过数值实验 分析了边界条件对各数值方法稳定性的影响 得到的结论对于等离子体物理其它放电类型数值模拟方法的选取 同样具有指导意 义 关键词 大气压辉光放电 有限体积法 迎风格式 c n 格式 特征有限差分法 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 s t u d y o nn u m e r i c a lm e t h o d so f d ca t m o s p h e r eg l o wd i s c h a r g e a b s tr a c t d ca t m o s p h e r e 翻0 wd i s c h a r g ei sat y p eo fd i s c h a r g ew h i c hd e v e l o p sq u i c k l yi nr e c e n t y e a r s i th a sm a n yc h a r a c t e r i s t i c sw h i c hb r i n gi tm o r es i g n i f i c a n t l yt ob er e s e a r c h e d h o w e v e r b e c a u s eo fl a c k i n ge f f e c t i v ed i a g n o s i sm e t h o d t h er e l a t i v et h e o r ya n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n a r ei ni n i t i a ls t a g e t h ep h y s i c a lp r o e m so f 菩o wd i s c h a r g ei ss t i l ln o tv e r yc l e a r p e o p l ea r e s t i l lc o n f u s e db y 血es e l e c to fm ep a r a m e t e r si nt h ed i s c h a r g e b e s i d e s i tc o s tal o tt om a k e e x p e r i m e n t a t i o nd u et ot h ev a c u u m i u i p m e n ti se x p e n s i v e a 1 lo f t h e s ew i l lc a u s en e g a t i v e e f f e c to nt h et h e o r yr e s e a r c ho f g l o wd i s c h a r g ea n di t sa p p l i c a t i o ni nt h ei n d u s t r i a lf i e l d a sv a r i o u sm o d e l sa n dl a r g en u m b e r so f n m m e r i c a la l g o r i t h m sa 砖p m p o s e dr e c e n t l y t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fg l o wd i s c h a r g ei s g r e a t l yv a l u e db ys c h o l a r s t h e r e f o r e i tg e t s e s s e n t i a lt oa d o p ta na p p m p r i m em e t h o da c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fd i s c h a r g ea sw e l la st h e c h a r a c t e r i s t i co f t h eh u m e r i e a lm e t h o d s 髓em o d e lo fd ca t m o s p h e r eg l o wd i s c h a r g eb e l o n g st oat y p i c a ln o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns e t w i t ht h ev a i l a b l e sc o u p l e di n t e n s i v e l y i ti sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i n t h ea n a l y t i cs o l u t i o n i na d d i t i o n t h e r ei sag r e a td i f f e r e n c eo fq u a l i t ym a g n i t u d eb e t w e e nt h e e l e c t r o n i ca n dt h ei o n a e c o r d i n g l y t h es t i f f p r o b l e m sw i l lo e w l i nt h es i m u l a t i o n m o r e o v e r p a r t i a l sa t r a n s f e r r e dm o l em a r tt ob ed i f f u s e d w h i c hw i l ll e a dt ot h er en u m b e rg e t t i n g v e r yb i g i nt h i sc a s e t h en u m e r i c a lm e t h o ds h o u l db es e l e c t e ds t r i c t l yt os a t i s f i rt h er e q u e s t s o f a c c u r a c ya n ds t a b i l i t y i nt h i sa r t i c l e t h ef i n i t ev o l u m em e t h o d t h eu p w i n ds c h e m e t h ec r a n k n i c h o l s o n s c h e m ea n dt h ec h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o d f o u rt y p i c a ls c h e m e sa r es e l e c t e dt os o l v et h e p r o b l e m 1 1 1 ei n t r i n s i cp r o p e r t yo ft h e s em e t h o d sh a sb e e na n a l y z e d p r o v e da n dc o n c l u d e d r e s p e c t i v e l y i ti sag r e a tp i t yt h a tj u s tt h es t a b l ec o n d i t i o n so nt h em a s se q u a t i o no ft h e e l e c t r o na r ep r e s e n t e d b e c a u s es t a b i l i t yp r o o fr e l a t e dt os c h e m e so fn o n l i n e a re q u a t i o ni ss o c o m p l e xt h a ti th a sn o tb e e ns o l v e dy e t t h u s t h es t a b i l i t yp m o f o nt h em a s se q u a t i o no fi o n a n dt h ee n e r g ye q u a t i o no f e l e c t r o na r ee x p e c t e dt ob er e s o l v e df o rt h ef u r t h e rr e s e a r c h a tt h e s a m et i m e t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sf r e q u e n t l yu s e di ng l o wd i s c h a r g ea r es u m m a r i z e d s o m e u s e f u lc o n c l u s i o n sa r er e a c h e db yn u m e r i c a le x p e r i m e n t 他ec o n c l u s i o n so b t a i n e di nt h i sp a p e rc a nb es i g n i f i c a n t l ya p p l i e do no t h e rk i n d so f d i s c h a r g es i m i l a r l ya n da l ea v a i l a b l ei np l a s m ap h y s i c s 大连理工大学硕士学位论文 k e yw o r d s d ca t m o s p h e r eg l o wd i s c h a r g e u p w i n ds c h e m e f i n i t ev o l u m em e t h o d c r a n k n i d l o l s o ns c h e m e c h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o d 独创性说明 作者郑重声明 本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料 与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名 缝邀日期 丝皇i 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解 大连理工大学硕士 博士学位 论文版权使用规定 同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 也 可采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名 导师签名 上衄3 年 月卫日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 研究背景 大气嚣辉光放电是近年来发展非常快的一种放电模式 它有许多特点优予其它放电 类型 如 不需要在真空下进行 设备投资少 适合于对工件表面在线加工处理 能对材 料表面进行均匀处理 比电晕或 丝 状介质阻挡放电能提供更多的活性成分和浓度等 这些特点使得大气压辉光放电更加具有研究价值 也为它在医疗器具消毒 臭氧生成 化学合成 废气处理 纤维改径 新型光源 飞行嚣减阻等领域的应用提供了广阔的前 景 然而 在大气压辉光放电等离子体产生机理的研究方面进展缓慢 由于对大气压辉光 放电等离予体缺乏有效豹诊断手段 理论和计算机模撅也处在初始阶段 这使得大气压 辉光放电的物理过程和产生机理尚不清楚 放电参量选取盲目 并且 实验中需要昂贵 的真空设备 实验成本离 这严重影响了大气压辉光放电在工业镶域的应用 理论研究 与数值模拟不仅能节省高成本 还有助于很好地理解放电的机理 数值模拟可以达到纳 秒量级 大大突破了实验精度只能达到毫秒的限制 数值模拟不仅可以更好的控锚和优 化放电过程 而且对实酝应用具有指导意义 近几年来 随着计算机技术和数值算法的发展 新的模型祁新的数值算法也不断涌 现 关于大气压辉光放电的数值模拟也越来越被众多的学者所重视 因此 鳃傍根攫气 体放电物理理论知识以及各数值方法的特点 采用快而精确的方法对气体放电进行模 拟 已成为这个镁域研究所面菘的一个关键问题 然而 从物理定解翊题的确定 到选 择一个合适的差分算法 人们不得不苦心孤诣 历尽艰辛 面对一大堆算法莫衷一是 面对某些莫名其妙的计算结栗百思不得其解 原因之一就是对各种差分格式的内在性质 和由此带来的数值效应缺乏认识 正是这种内在性质 决定着一个差分格式的精确和可 靠程度 差分算法的定性分析就是企图解决这方面的问题 气体放电过程是一个典型的非线性过程 在文中 我 f 采用了多种常用的和重要的 差分格式来对方程进行数值实验 我们的目的是找出 最优 的格式 即精度 稳定 性 计算时闻均合适的格式 墩麓把这类 最优 的格式应用于大气压辉光放电的数 值模拟研究 这样 所得结论对于其它类型放电的数值模拟研究方法的选取将同样具有 指导意义 但是 出于模型描述的方程是典型的非线性偏微分方程 这类方程缺少解析解与数 值解进行比较 因此难以鉴别各种数值解法的精度和优缺点 难以区分差分格式与数值 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 边界条件在求解问题中的重要性 并且 现有的数值解理论尚不够充分 严格的稳定性 分析 误差估计和收敛性理论的发展还跟补上数值模拟的发展 为了深入探讨数值边界条件的影响及寻找较好的格式 进而推测实际问题中 求解 其它类型的方程组乃至求解更加复杂的多维非线性偏微分方程组 以对一些感兴趣的复 杂问题给出明确的回答 在文中 我们仍必须依靠一些简单的 线性化的 与原问题密 切关系的模型方程进行严格的数学分析 以及依靠启发性的推理给出所求解问题的数值 解的理论依据来进行稳定性分析 然后再依靠数值实验和物理特性分析 验证方法的可 靠性 从而得出有用的结论 在第一章中 我们着重叙述研究背景 建立需要求解的大气压辉光放电的数值模型 给出常用于数值求解的初边值问题 并对使用的各方法 以及后面稳定性证明所需的预 备知识做简单的介绍 第二章中 我们详细给出了电子密度方程 离子密度方程 电子 能量方程分别运用各数值方法差分求解的过程 并对电子密度方程的稳定性作了证明 第三章中 首先对大气压辉光放电的数值模拟这个实际问题常用到的边界条件作了详细 的分类 通过实验结果 分析了各边界条件对不同差分格式数值解稳定性的影响 其次 对相同边界条件下 各数值方法的内在性质作了总结 通过实验结果 比较了各方法得 到的数值结果 得出各方法在求解过程中结论 这些结论对于今后气体放电数值模拟方 法的研究有着重要的参考价值和指导意义 第四章中 我们对本文未完成的工作做了总 结 对今后的研究工作及方向作了展望 下面将详细介绍论文内容 1 2 大气压辉光放电放电的数值模拟 1 1 1气体辉光放电的流体模型建立 考虑一对平行电极 一个电极接地 另一个接直流电压 在大气压下 当电极所 加电压适当时 电极之间的气体会产生辉光放电 大气压直流辉光放电示意图如图1 所 示 两个平板电极之间距离为工 左边电极接直流高压 右边电极接地 目前 在大气压气体放电的模拟中 由于流体模型物理图像清晰明了 因此被广泛 采用 在本文中 我们考虑了电子和离子的质量守恒以及电子的能量守恒 在漂移扩散 近似下建立了大气压直流辉光放电的自治流体模型 2 大连理工大学硕士学位论文 书 q 图1 1 平行电极的气体放电模型 f i g 1 1s c h e m a t i co f p a r a l l e l p l a t ed i s c h a r g ec o n f i g u r a t i o n 电子满足豹质壁守恒方程为 鲁冉小岛 1 1 离子满足的质魑守恒方程为 要 v j k r n n 1 2 盘 其中 心和卯 分别为电子和离子的数密度 以和以分别为电予和离子的通量 在漂移 扩敬近似下 可表示为 j 一也审 一以以e 1 3 j 一2 1 9 嚏 鸬臻e 1 4 式中以和埋为电场对电子迁移率和扩散系数 h 和口为电场对离子迁移率和扩散系 数 e 为电场强度 这里 电离率k 采用如下的表达式 辟 k oe x p t m 瓦 1 5 其中 和磊 是常数 其数值与所选气体有关 t 是电子的温度 电予温度满足的能 量守恒方程为 妄 三 线 v 域叭n k n n o n 6 这里 叫为电子所带电量 k 为波尔兹曼常数 羁是碰撞系数 吼和托分别为电子的 能量通量和热导率 电子的能量通量吼可表示为 q 一鼍v r 三 i j 1 7 电子的热导率可表示为 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 k 三蛾吃 1 8 由高斯定理 电场强度e 满足 v e n t h e 1 9 电场强度e 可以用电势v 表示为 e 一v 矿 1 1 0 至此 方程 1 1 1 h 1 1 1 0 是我们建立的大气压辉光放电物理模型 1 1 2 方程化简及推导 将 1 3 代a 1 1 得 鲁一以v h e e 皿v 2 一帆 1 1 1 将 1 4 代入 1 2 得 鲁 h v 吩e 口v 2 珥 岛帆 1 1 2 将 1 3 1 7 1 8 代入 1 6 得 等一 砂 w e 5 d v 2 w 2 d o v 心v r e 3 2 豇e d v n 以毽e e 一喜马屯帆 1 1 3 其中 w 吃瓦 1 1 4 将 1 1 0 代x 1 9 得 一v 2 v 三 吩一吃 1 1 5 6 0 当考虑的电极尺寸远远大于电极间距时 可以使用一维平板模型来描述大气压辉光 放电的物理过程 方程 1 1 l 卜 1 1 5 以及 1 1 0 的 维形式为 堕o t 一乜昙 吃e 见等 而帆 1 1 6 4 大连理工大学硕士学位论文 鲁 一昙 哆e 口等 l 1 1 7 詈 5 瓦0 们 i 5 乜可o z w 一号让昙一割 丝3 ke 砬豢 肛 五 一委皿鼻帆 1 8 l 苏 3 七 w k 正 1 1 9 一尝 e n h e 1 2 0 一丽2 i 叫o j e o v f 1 2 1 综上可知 1 1 6 1 1 8 是三个典型的非线性的非定常对流扩散方程 1 2 0 为泊松 方程 因此 这个物理问题数学模型的求解可以归结为非线性的 非定常的 对流扩散 方程组的求解 并且 由于这些对流扩散型偏微分方程组具有一个共同的特点 对流的 影响远大于扩散的影响 即对流占优性 它给对流扩散问题的数值求解带来了许多困难 用通常的方法进行求解有可能出现数值震荡 如何避免对流占优问题数值解的震荡一直 是个难点 因此 非线性对流占优扩散方程的有效求解不仅在数学上意义重大 也对大 气压辉光放电的研究是一项重要而有着巨大现实意义的工作 1 1 3 常用初始条件和边界条件 对于大气压辉光放电 常用的初边值条件有以下几种 初始条件 即t 0 时 有 怫 i 占 一三 2 主 2l c z z 瓦 瓦 1 2 3 v 0 1 2 4 第一类边界条件 竺葚三0 主篡嚣 n z s x 三 啊 s 正 瓦1 矿 o 第二类边界条件 人气压辉光放电的数值模拟方法研究 x o 娑 o 譬 0 正 瓦 v v o 1 2 6 x 三 是垒 o 譬 o i 1 v k 1 3 各数值方法简介 由上可知 问题的模型是一个典型的非线性偏微分方程的初边值问题 将上述电子 离子密度方程以及能量方程统一写成一个一维的对流扩散方程 詈 警 6 瓦0 2 5 幔 1 z 7 西彘a 2 x 其中 a x t 为含工 t 的函数 b c 为常数 s 为源项 该方程组为非线性的偏微分方程 对区间0 兰x l 0 r t 做均匀剖分 设空间步长为血 时间步长为 r 则 黾 七a 砖1 七 m k 坼 k a x 1 k m 1 瓦 砟 k a x o k o 时 用左偏心格式稳定 当a k 0 时 丝n 产ln 鱼丝詈监 6 鲣笪喾啦坝蛾郴x n a x 1 3 2 f x 一 当群 0 时 筮n 1 n 熊等鲢 b 熊d a 掌盟砸磁郴珐 1 33 x甜 x 4 1 3 3 c r a n k n i c h o l s o n 格式 六点对称格式 c r a n k n i c h o l s o n 格式属于隐格式 稳定性好 是古典显格式和古典隐格式作和再平 均得到的 相当于在 老 阼 委 泰勒展开 步长仅受非线性效应及计算精度的约束 面显 格式则在步长上有强约束条件 有时会使步长太短而无法实现 5 1 卅一 n 1r 矗嚣n l i t 埘 n i t a n l l x n l 国 一 矗麓一i u n1 1 血2 2 a x2 a x 鱼 史尘釜l二 尘尘 兰显兰 垒尘釜l二兰12 二 竺猫 三 三 s s 2 a x2 2 12 一1 化简得 蚝n l 蛳n 一去 咄 峨n l 一嘶n u n 1 政 一嚷 吆 8 大连理工大学硕士学位论文 差等 以 一2 1 n l z 幺 一2 2 等 群 等 鄙 鄙 1 3 4 1 3 4 特征有限差分方法 对于对流扩散型偏微分方程 由于对流占优性的存在 使得这种类型的对流扩散方 程几乎反映了双曲型方程的性质 用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震 荡 为了克服数值震荡问题 1 9 8 2 年 j d o u g l a s j r 和t f r u s s e n 等 6 提出了特征线 修正技术求解对流占优的对流扩散问题 这一方法考虑沿着特征线 流动方向 的离散 利用对流扩散问题的物理力学特征 可以有效的克服数值震荡 保证数值解的稳定 特 征线修正技术与传统的数值计算方法相结合 提出了特征有限差分方法 特征有限元方 法和特征混合元方法 几十年来 该技术的到了很好的研究和应用 1 4 预备知识 对于初边值问题 一个差分算法的基本性质一般包括精度 相容性 稳定性 收敛 性 耗散性 色散性和守恒性等 他们主要由差分格式所决定 但同时也受网格尺度 形式以及数值边界条件所左右 本文只就各个格式的稳定性 精度进行分析 精度 差分方程对原方程的逼近误差 稳定性 任何初值扰动对差分数值解的影响随着时间的推移不再增加 强稳定 或 者在一定时间内有界 弱稳定 用数学语言表达就是 川卜m 妙1 上式中 u 为未知函数矢量 表示第n 个时间步的扰动值 表示矢量的模 m 为 某正数 当m 1 时为弱稳定 当m 1 时为强稳定 对各差分格式数值解做出先验估计之前 有必要引进一些记号和差分公式 4 对给定区间0 x l 0 r t 均匀剖分 令空间步长a x m 时间步长为出 贝0 矗 k a x l k m k 扎 七缸 1 k m 瓦 而 k a x o k m n a t l 兰行 n 为简单记 用 v 表示定义在瓦上的网函数 它们在网点准的值记为 唯等 用 蚝 分别表示u 在雄e 的向前及向后差商 1 内积与范数 u o 吼 u k a x 巩 砟一心一 缸 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 2 乘积差商公式 3 分布求和公式 唯mi i l l 0 有 俐 砌2 去6 2 特别地有 i u v l 洲m 降 2 扫v n 1 0 大连理t 大学硕十学位论文 第二章中欲对电子动量方程的各差分格式的解进行能量估计 估计之前 首先给出 引理 引理 在瓦 孔 k a x o s k m o 三 上定义的网函数甜 如果满足 u 0 u m 0 则有不等式 丁a x 2 2 i i i i 翱坩 证明 详见 7 大连理工大学硕士学位论文 2 大气压辉光放电的数值求解 在正文中的格式示例如由第一章可知 所建立的模型是一组非线性偏微分方程组 因此 大气压辉光放电数值模拟研究的成功与否关键取决于这组非线性偏微分方程数值 求解的精确程度 从方程组 1 1 6 卜 1 2 1 可以看出 不同变量之间的耦合性很强 不同 非线性机制的相互作用对于放电具有非常重要的影响 因此 方程所描述的是一个复杂 系统 很难得到解析解 并且 我们考虑的系统同时有电子和离子 电子质量很轻 带有负电荷 而离子比 电子重很多 且带正电荷 系统中有两个不同的时间尺度 一个是电子的时间尺度 另 一个是离子的时间尺度 对于这样一个时间尺度差异很大的多尺度系统 在数值模拟中 会出现 刚性问题 刚性问题的出现 会导致数值解收敛较慢 方程求解精度降低 另外 在大气压辉光放电中 电场对带电粒子的迁移比带电粒子的扩散作用更大 所以 系统的磁雷诺数很大 对于一个既有刚性问题同时是大磁雷诺数的问题 数值方法的选 择往往很困难 这就要求所用的数值算法既具有良好的稳定性 又能保证所求精度符合 要求 本章中 我们分别用有限体积法 7 1 迎风格式 c r a n k n i c h o l s o n 格式以及特征有限 差分方法对电子 离子的动量方程以及能量方程进行了求解 并且对各差分格式使用能 量估计法进行了稳定性分析 但是 由于缺少精确的解析解与数值解进行比较 因此难以鉴别各种数值解法的精 度和优缺点 难以区分差分格式与数值边界条件在求解问题中的重要性 同时 对于大 气压辉光放电这个实际问题 需要求解的非线性偏微分方程组十分复杂 其数值解的现 有理论尚不够充分 严格的稳定性分析 误差估计和收敛性理论的发展还跟不上数值模 拟的发展 所得的稳定性分析的结论还只是充分条件 非必要条件 因此 对于格式的 选取 稳定性只能是个参考而非依据 2 1 有限体积法 2 1 1 有限体积法 有限体积法被众多的学者所青睐 在工程 热力学问题 流体力学问题上被广泛应 用 等离子体物理的数值模拟中经常使用不同格式的有限体积法进行求解 本文曾经尝 试过利用显式的有限体积法对大气压辉光放电的数值模拟进行求解 但是 时间步长必 须取得非常小才能防止溢出 效果非常不理想 为了克服显格式稳定条件对时间步长的 限制 并进一步提高数值计算的稳定性 宜采用隐格式 隐格式得到的代数方程为三对 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 角式 可用追赶法求解 其计算量通常为显格式的两倍左右 对于气体放电方面 邓 永峰等人曾用有限体积法对介质放电问题进行求解 并取得了理想的效果嘲 下面分别 对电子 离子的动量方程以及能量方程运用有限体积法 对 1 1 1 等式两端在 t 1 l x 上积分有 j j 聪 以2 盟槲屯门 删一 1 以 亟老 以 以 e 一 d h a f 心e 一 心e 一1 1 w 4 盟蛐笋越一盟盟笋丛 竽昭 仇 一 e 一n 1 t n 一 见肇 簪以 砬 f 一珥 警删一蛾地搬i 对积分作近似 可得下面的差分格式 丝丝监一兰 研n i 吃 硝n i y nat2 a x 导 叫 i 2 叫地囊l 州弋叫 化简 得到 吒 心 n 吃l 心 巳 心 一 心 一 r 2 1 a 陀 1 b 一警一业2 a x 删n i 2 d p a t 一 也 巳 一警 筹昭 同理 对 1 1 2 式得到 继n 云芋巫n 1 盖 n 永 帆郴垤n i 氓 f2 缸 大连理 i 大学硕士学位论文 化简 得到 导 蛾 l 2 州地准 n k m l 蛾 q 强 6 一 q 啊 4 2 2 b q k 一了d i x t 1 2 畸一a t e q 咖l 2 警 乞 一了d f z x t 一石 e l i 6 t n i 4 向 f 心 吩 1 对于 1 1 3 式有 得到 以2 髯 w 州 w 一 w 舢t 一孚聪 挚 一 5 3 雎 旧哇一 饱 q m 一半 华一华 一 5 e a t n l j i n l l w j 女n 一 e l n 1 i w 一1 o 孚髯 影0 2 w 以 孚 t 哇一 4 警 叫们 m 班1 一丝3 唾p 昙 吃等 一孚 罢k 一 k 鼍 哇出 一半 盟颦丝 c 碱一1 一照攀q 吲1 i 丝3r 胖e塑0蝴 坐 e州 崛一 毗 x3 一l 皇d l 1 州一 w 卜警陋 n i n 一 昭n i w 一 一i d e n l 伟j n 正 1 1 一 以 k 2 一 i 一 瑰 一 瓦 1 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 百5 d ez x t n 1 2 硝 毗 号 驯 1 n n 竽嘲1 m 卜型竽 纠 l 叫 2 3 通过对 2 1 卜 2 3 各变量泰勒展开知 有限体积法产生的截断误差为d a x 2 并且 通过给定的初值可简单验证系数矩阵是对角占优的 同理 对于p o i s s o n 方程 1 2 0 使用有限体积法可以得到 对于方程r 1 2 1 式有 一2 w 一 e a x 2 q 一 瓯 7 2 4 霹a x 一 曙 一曙 2 5 2 1 2电子动量方程有限体积法的稳足性分析 为说明问题 本论文只对电子的动量方程做稳定性分析 为统一格式 将电子n 的 动量方程写做变量为u 的方程 f h 1 1 6 式可得 i o u 塑 b 祟 甜 2 6 a西x 0 2 z 为利用能量估计法 下面稳定性的证明都将边界条件统一为固定边界 n o u m 0 2 7 对 2 6 式利用有限体积法可得 u k g l 牡 鳢学一业学 b n t i 熊扭丛一蚣un l un l c 嗍n l 缸 f ax x i 将匕式写做 一 缸 掣 砜 蜕n l 咱 口 呻 一 n 如r 1 俐 1 缸出 1 6 大连理工大学硕士学位论文 盯回矩阴弹 用z 乘以寺瓦阴骊 开珂丘2 l 2 m 水利付到 m 1吖 1m 1 2 1 1 u 卜 2 蚝n a x w 口 a x f 口 缸 秘a 芝 吡 l 2 刮矿 i i 一 对等式左边第二项 由占不等式 对任意的s 0 有 i芝2 1 卜ii 1卜妒iik n 2 i 2 1 坼a x l 占 1 卜斗 k l 6 对第三项 第四项有 瞧 咖班醭 缸卜琳训 i i i i 2 a f 2 a t i iii i i l d n l un lk l p 口 m 缸卜4 a 帕卅 f 1 卜篁 硝 硝 硝 血卜4 0 似 i i 峪2 a 缸 2 a t 俨 i iii i i i d n l un lk l p 口 m 甜 血卜4 a r 胁 忙 对右端第一项用差分格林公式可得 z 6 a 薯 彬1 2 a r 善 p 罐 k 2 6 肛 1 1 1 2 则r 28 1 式蛮为 令三 2 4 a z t 则 s血 p 2 一警 忆i i 盘 警妒1 1 2 故对隐式有限体积法来说 当1 c a t 三生生 0 即当 f 0 时 用左偏心格式稳定 当 0 时 用左偏心格式稳定 2 2 1 迎风格式 对于 1 1 6 由 1 3 2 及 1 3 3 的对流项采用迎风格式 扩散项采用具有二阶精度的中 心差分格式近似 可得 当一总霹1 0 时 用右偏心格式 得 盟趟一以型e n i 一n d p 盟k 垫害越 饼 m n l l a a r x x 当 以露 1 0 即露 1 0 时 用左偏心格式 得 盟嘻监 一心螳监迎旦量 乜盟k 塾乒地盥 q r 心 抛1 1 b f x 工一 对于 1 1 7 有 当一雎霹 1 0 时 用右偏心格式 得 竺箧二 竺篮二 h 史兰丝墨 翌丝 p 生也釜二兰亟乒二二 堡筮i i 岛 一 k 2 1 2 a f x x 一 当 一霹 1 0 即霹 1 0 即五f 0 时 用左偏心格式 得 5 d i n红 li二兰 n盟 1 n 1 ade e n一 一 k 一 33 6 a x 2a x l 一 o 一罢 必 罕n 1丁n 12一烛2华 2 曲 3 x xa 工 i 孕 酬 1 2 叫一型笋 纠 n o 7 当一心霹 0 时 用右偏心格式 得 叫一 w 1 5 w 司 一 w e f3 x 喜色盥兰譬盟 生3 t x 呦 制一1 2 1 3 b 3 a x 2 l 一o r 2 一三堡 堡 l 堡苎 f 互 i 二 互 i 一 丝基 f 坠 i 互 二 互 笛l 3 x 2a x2a x j 鱼警旧 吼以 一兰孚 纠 吃 对于方程 1 2 0 1 2 1 沿用方程 2 钞啦 5 通过对 2 1 1 2 1 3 各变量泰勒展开知 迎 风格式产生的截断误差为d x 2 2 2电子动量方程迎风格式的稳定性分析 对 2 6 式用迎风格式 不妨假设 0 有 篮 l 二垡 a u k a u l a t缸 6 鳢d 警堂堂 x 4 对固定的甩 用2 a x a t u 乘以等式两端 并对七 1 2 m 求和得到 竽 型 弘学 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 2 x 缸叫肛了2 b a t 幽沙炉 圳肌 r 钟 2 1 4 一i 2 a t 卦y 丛 l 一 口崛 峨 上式左端有 i 卜 1 1 1 2 一l p 1 1 2 i p 卅一 1 1 2 对 2 1 4 右端第一项使用分布求和公式 并由假设 2 7 可得 警m 善 i k 一 略 k a x 一掣d x 窆k l 矿 如耻膏 竺笋薯 如 吨 2 他盯 圳 2 对 2 1 4 右端第二项 铷 卅一i l u 1 1 2 一h 2 兰2 n x 磁 弋叫 i f 4 n l r lj u 2 2 n x 磁 叫枷 对 2 1 4 右端第三项 由分布求和公式可得 一等静 h 训 等 n 1w 愀 等豁蛾 帆i u ni 屿 综上 2 1 4 项变为 1 h 川2 o n l u n 卜警e l l 1 1 2 i i 灯 s 矽卅 心 2 w 等豁蛾仲i 冰i x 讧 一 啦j 睇 j 一 啦j l m x 肿o l 尸 磁 一 肿 0 m x 2 大连理工大学硕士学位论文 兰2 削b 6 t i u n l i i n2 c z x l p 1 1 1 2 l i i 粉f 卜字w i i 由上可得 1 2 b r a t o 即专 瓦1 则有 1 c a t 扩邢i i m 一嚣叫枷 w i i 2 1 s 即得到 1 1 矿 1 1 1 2 r 1 卜孝警 4 2 州咖 2 砒帅 肌后 卜了a 2 一嚣卜叫 f a t r 2 6 1 i x 由上可知 在满足 z 届巾扛丽 2 3c r a n k n i c h o l s o n 格式 六点对称格式 属于隐格式 稳定性好 是古典显格式和古典隐格式作和再平均得到的 相当于在 t 玎 三 泰勒展开 步长仅受非线性效应及计算精度的约束 而显格式则在步长上有强 约束条件 有时会使步长太短而无法实现 刘悦等人曾用此方法对大气压辉光放电的数 值模拟进行求解 2 1 2 3 1 c r a n k n i c h o l s o n 格式 下面分别对电子 离子的动量方程以及能量方程运用c r a n k n i c h o l s o n 格式 盟丝丛 一丝l 垡n i 堡虹n ij n 趔 i 组n i 虽盟监兰越i a t22 a x2 工 爿 蛾 r 坐 嘣n 地f n1 2 1 7 式f 1 1 7 离子密度方程的c r a n k n i c h o l s o n 格式为 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 塑越 丝l 垡n i 型正n i 墨n 丛i 堕n i 鱼幽曲堡监l f 2l 2 a x2 x j 铷 帆 坝 翌擎 叫地搿1 式 1 1 8 能量方程的c r a n k n i c h o l s o n 格式为 f 蔓二f 一兰 量兰 l 二 l n l 二 n 1 1 3 l 2 x 2 6 x2 x 2 a x j 铷 m 剖丛掣 华k 矿1 一p 监十盟笋蚪c 珊 1 卜孚嘲 2 华 兰噬3j 必2 a x 必2 b x 卜婴3 叫丛掣卜1 9 l 2 l 对于方程 1 2 0 一1 2 1 沿用方程 2 4 卜 2 5 通过对 2 1 7 2 1 9 各变量泰勒展开知 c r a n k n i c h o l s o n 格式产生的截断误差为d t 2 工2 a 2 3 2电子动量方程c r a n k n i c h o l s o n 格式的稳定性分析 下面对电子的密度方程在c r a n k n i c h o l s o n 格式下使用能量估计法进行稳定性分析 假设 2 7 成立 对 2 6 式使用c r a n k n i e h o l s o n 格式可得 丝n 1 二丝n i t 继垫趟二继垫必 姒 熊 熊 继 1 1 2 熊岂型a x 2 芝堂监 熊 掣a x 出监庄2 一 蛆 z 将上面格式局部线性化 得到 l n l1 n 垒盟陋型n l 二 兰纽n l 继 丝l a t 2 l 2 a x2 a x j 鱼2 垒尘釜i 二兰尘a 尘x j l 兰基兰 生尘釜l 二j 盟 三2 2 x2 一 大连理工大学硕士学位论文 再将上式写成下面格式 坼n l 飞n 可b a tr l l l 半 l 一警 等 n l 嵋 等 m 瑚 对固定的疗 用a x 乘以等式两端 并对 i 1 2 m 求和得到 1 1 2 一 1 1 2 q 1 q 2 q 3 q 4 等 n 其中 9 l 9 2 q g 分别为 q l 丁b z t m 掣 1 n l 嵋心 l 酢 一一丝2 兰k l k1 嵋 磁 l 磁 一幽 x d 一 u 一等炉 m 叫一等融 磁嫩 a x 卜 等l l u l 矿1 1 2 训 画a t 刍 硝 蚓n2 a x 卜4 等1 1 u 矿1 1 2 i q 4 i 医z t 刍u 硝 剁嵋 1 a 工卜等 1 1 2 2 i i 矿1 i i m i i r 制i i 1 1 2 综上 有 i l u 1 1 2 申h 警 等一半珈u n u i i 2 坐4 a x x 11 2 2 i i 1 i i m i i i i 1 1 2 由2 1 1 u o i i u n l2 申哟以及p 雌2 1 1 1 2 i h 2 得 当6 彬 x 蔷纭时 三一詈 肼等狐有 大气压辉光放电的数值模拟方法研究 一篆 1 1 1 2 t 卷妒卜 专警 孚一等妒埘f 篆冲 m c 一半 卅号纠 炉1 卜川j 2 筹 w i i 1 2 l 钊ku n l 其中七 警 p 一学 f 当跏时 即州篙时 格式强稳定 综上 当6 e l 2 8 6 a x t n i n 而 丽3 a 一2 彬l 2 l 时 电子的密度方程在 n i e h o l s o n 格式下强稳定 2 b c l 2 8 b 时 对即v x 有与 曼当生 o 有 2 2 1 式恒成立 z x 由上可知 当6 c l 2 8 b 在条件 云鲁刍时 电子的密度方程在c r 锄k n i c h o l s o n 格式下强稳定 2 4 特征有限差分方法 对于对流扩散方程的特征有限差分方法 变换插值方法 可以得到很多精度的格式 很多文献对此讨论 对于一维的非定常问题 借用特征方法将一阶偏微分方程组化成 特征形式后 方程维数减1 同时 将对流项的非线性部分转移 使得非线性性降低 2 4 1 特征有限差分方法 将f 1 1 6 式变形得到 等w 鲁一见可0 2 e 以罢蜊 令妒 x 1 魄e 2 i 与算子 睨 z 一以e o n e 相伴的特征方向为 o ta c 大连理工大学硕士学位论文 沿f 的方向导数为 篙 高 丝 l 堕一丝丝 o c 伊 z a t 矿 x o x 7 则 2 2 2 式变为 鲁一见可0 2 n 以罢删 吃 在第n 时间层t n a t 由 x t 出发的特征方向与直线t f 交于 i x i z e a t 用下列公式逼近特征方向导数 贴 i o n e 贴 丛磐n 笔害等 n 1 1 丛笙皇蜓盟 d 7 4 x i 2 a t 2 在 坼 t 对方程离散得到 n x k t n o 2 k t 1 一n 堡 兰坐 二兰堡 每 竺 益 卜塾z 警堋x k t i k x k t m 上 x j 去掉误差项 得到 垒 整j 竽堕芝一见 心 i 以垡塑i i i 笋 岛 p 吃m 2 4 其中 瓦 亿 瓦 t 1 瓦 x k 以 e 由于瓦不一定在节点上 故用 怫 1 和 心 1 对 瓦 1 进行插值 得到 瓦 一 墨二立 五丑二 土 r 丝丝盟 坝 f l 一丝垒盟b 一 塑垦鳖堂鏊皇塑燮塑i 盟一 亿简得到 写成矩阵韵形式可知 该方程是一个三对角的对称正定代数方程组 利用l d l t j a c o b i 迭代 g a u s s s e i d e l 就可以很容易的求解 同理 对 1 1 7 式有下面的离散方式 照鼍n 坠 n 1 皿脚蛆 哨堡毪乎 蛾删 珐 其中 羁 一 吩 五 r 盂 x k 一鸬 e n 1 由于i 不一定在节点上 故用 喝 和 珥 p 对 曩 p 进行插值 得到 化简得到 卅 臻 强 蜊a 工 a 石 曼全篓多芝 辑 十f 一曼拿篓妻芷 吩 1 a x 厶毒 将 1 1 8 变形为 知5 0 w5 w j f i 以占五f j 垃可 馐起豢 w j 2 d 姒0 豢 了2 g 嚣 晓象 致r e 珥毛帆 令州 1 胸2 与算子警一i 5 肛e 芸相伴的特征方向为 竺 鼍 势 劢 磷 坐 七 蛾 几伊蛹 科 讲 一j 矿 磁卜 警 警p 一 吣取 磐警 大连理i 人学硕士学位论文 嚣 志 沿r 的方向导数为 塑 上丝一兰盟丝 o x 妒o 西3 y 工 盘 得到 筹