（基础数学专业论文）参数具有对称性的等变分歧问题的开折与分类.pdf

摘要 1 9 7 9 年 m g o l u b i t s k y 和d g s c h a e 腩r 3 2 3 3 首先引入了应用奇点理论方法 和群论方法研究分歧问题的思想 他们对分歧问题研究所使用的主要工具来 自光滑映射芽的奇点理论中的相关技巧 它主要包括三个方面 1 分歧问题 的开折 研究分歧问题在一般扰动下的变化状态 如果一个分歧问题存在通 用开折 那么对做扰动产生的每一个开折都可以由它的通用开折导出 这说 明研究通用开折是很有意义的 2 分歧问题的识别 为探讨一个分歧问题在 什么条件下等价于给定的标准形式 必须寻找这一标准形在等价群d 作用下 的轨道特征 借助于奇点理论中的一个基本概念 有限决定性 这一问题常常 可以简化为有限维情形来处理 d 模去高阶项将以l i e 群方式作用 其轨道 是半代数集 因而可以将轨道描述成由这样的一些映射芽组成 它们的t a y l o r 系数满足有限多个多项式约束 并以等式和不等式形式表示 这一描述正是 识别问题的解 3 分歧问题的分类 这是一个非常有意义但又是棘手的问 题 到目前为止 只对几类分歧问题在低余维条件下的分类问题予以解决 近二十年来 运用奇点理论研究分歧问题主要围绕上述三个方面展开讨 论 例如 在开折理论研究中 对于含一个分歧参数的等变分歧问题 当它的 状态空间与靶空间相同时 文献 3 l 给出了通用开折定理 其后许多学者对 此继续研究 建立了各种形式的通用开折理论 见 1 9 2 l 2 4 2 6 3 0 4 0 4 6 4 7 4 9 5 0 5 4 5 6 6 7 7 3 7 4 7 5 7 6 在分歧问题的识别研究中 文献 2 5 引入幂单 代数群和幂零l i e 代数作为研究工具 建立了多参数分歧问题的刃 f 等价理 论 文献 5 9 1 研究含一个分歧参数的等变分歧问题 建立了c r 等价理论 文献 5 3 则讨论了多参数等变分歧问题的 r 等价理论 在分歧问题分类研 究方面 k e y f i t z 4 4 得到了余维数不超过7 的不带对称性的单状态变量的分歧 问题的分类 g o l u b i t s k y 和s c h a e f f e r 3 4 1 得到了余维数不超过3 的单状态变量 以z 2 为对称群的单参数等变分歧问题的分类 g o l u b i t s k y 和r o b e r t s 3 5 得到 了单参数两状态变量关于d 4 对称的分歧问题在拓扑余维数不超过2 的条件 下的分类 m e l b o u r n e 5 8 讨论了三状态变量关于八面体群对称的单参数等变 分歧问题在拓扑余维数不超过1 的条件下的分类 m a n o e l 与s t e w a r t 5 6 讨论 5 了具有隐藏对称性的分歧问题的分类 p e t e r 6 均研究了两参数单状态变量分 歧问题在余维不超过1 的条件下的分类 f u r t e r s i t t a 和s t e w a r t 2 4 研究了分 歧参数与状态变量具有相同的对称性的多参数等变分歧问题 并给出了参数 与状态变量均关于d 4 对称的两参数等变分歧问题在余维数不超过1 的条件 下的分类 值得指出的是对分歧问题研究常常不考虑分歧参数的对称性 即使考虑 也仅限于参数空间与状态空间有相同的对称性 本文研究分歧参数带有对称 性的静态多参数等变分歧问题 而且分歧参数所具有的对称性可与状态变量 所拥有的对称性不同 从而建立起更一般的参数具有对称性的静态等变分歧 理论 包括静态等变分歧问题的开折 稳定性 识别 在此基础上对状态变量 以d 4 对称群 分歧参数以s 对称群的静态分歧问题在拓扑余维数不超过2 的条件下进行分类 这就是本文研究的内容之一 在静态分歧问题的研究中 需要引入分歧问题及其开折的等价关系 通 常的开折理论借助于奇点理论中光滑映射芽的接触等价来定义分歧问题及其 开折的等价 本文考虑引入奇点理论中的左右等价关系 对于以紧李群为对 称群的分歧问题的等价赋予新的含义 因而将要建立的开折理论区别于通常 的等变分歧问题的开折理论 这是本文研究的内容之二 本文由相对独立的两部分组成 第一部分包含第一章和第二章 讨论多 参数等变分歧问题的开折理论 分歧问题及其开折的稳定性和分歧问题的识 别 并给出了状态变量以d 4 对称群 分歧参数以s 1 对称群的静态分歧问题在 拓扑余维数不超过2 的条件下进行分类 第二部分研究多参数等变分歧问题 关于左右等价的开折 主要结果是命题3 2 1 定理3 4 1 推广了文献 3 1 5 4 5 7 中的相关结果 6 p r e f a c e nn i n1 9 7 9 g o l u b i t s k ya n ds c h a e f f e r o z 6 5 i n t r o d u c e dt h ei d e ao fa p p l y i n gs i n g u l a r i t y t h e o r e t i cm e t h o d st ot h es t u d yo fb i f u r c a t i o np r o b l e m a st h e yp o i n t e do u ti na r t i c l e 3 2 a n db o o k s 3 1 3 4 t h em a i nt o o l su s e dt os t u d yt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sc o m ef r o m r e l a t e dt e c h n i q u e si nt h et h e o r yo fs i n g u l a r i t i e so fs m o o t hm a pg e r m s i tm a i n l yi n c l u d e s t h ef o l l o w i n ga s p e c t s a t h eu n f o l d i n go fb i f u r c a t i o np r o b l e m u n f o l d i n gt h e o r yi st h e s t u d yo fp a r a m e t e r i z e df a m i l i e so fp e r t u r b a t i o n so fg i v e nb i f u r c a t i o np r o b l e m s i ft h e r e e x i s t sv e r s a lu n f o l d i n gf o rab i f u r c a t i o np r o b l e mf t h e na l lt h eu n f o l d i n g sw h i c ha r e p e r t u r b a t i o n so f c a nb ef a c t o r e dt h r o u g ht h ev e r s a lu n f o l d i n g b t h er e c o g n i t i o no f b i f u r c a t i o np r o b l e m t ok n o wp r e c i s e l yw h e nab i f u r c a t i o np r o b l e mi se q u i v a l e n tt og i v e n n o r m a lf o r m w em u s t 丑n dac h a r a c t e r i z a t i o no ft h eo r b i to ft h en o r m a lf o r mu n d e rt h e g r o u po fe q u i v a l e n c ed t h i sp r o b l e mc a no f t e nb er e d u c e dt oo n eo ff i n i t ed i m e n s i o n s w i t ht h ea i do fak e yi d e af r o ms i n g u l a r i t yt h e o r y t h a to ff i n i t ed e t e r m i n a c y m o d u l o h i g ho r d e rt e r mda c t sa sal i eg r o u p i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eo r b i t su n d e rt h e r e s u l t i n gl i eg r o u pa r es e m i a l g e b r a i cs e t s s ow ec a nc h a r a c t e r i z et h eo r b i ta sc o m p r i s i n g t h o s eg e r m sw h o s et a y l o rc o e f f i c i e n t ss a t i s f yaf i n i t en u m b e ro fp o l y n o m i a lc o n s t r a i n t s i nt h ef o r mo fe q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e s t h i sc h a r a c t e r i z a t i o ni st h es o l u t i o nt ot h e r e c o g n i t i o np r o b l e m c c l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m t h i si sa ni n t e r e s t i n gb u t t r o u b l e s o m ep r o b l e m s of a rt h ec l a s s i f i c a t i o n so fo n l yf e wb i f u r c a t i o np r o b l e m su n d e r t h el o w c o d i m e n s i o nc o n d i t i o nh a v eb e e nc o m p l e t e d i nt h ep a s tt w e n t yy e a r sm a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sa r o u n d t h ea b o v et h r e ea s p e c t su s i n gs i n g u l a r i t yt h e o r y f o re x a m p l e 腻 3 1 g i v e st h eu n i v e r s a lu n f o l d i n gt h e o r e mo fo n ep a r a m e t e re q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e mw h e nt h es t a t e s p a c eo fab i f u r c a t i o np r o b l e mi st h es a m ea si t st a r g e ts p a c e a f t e r w a r d sm a n ys c h o l a r s c o n t i n u et os t u d yt h i sp r o b l e ma n de s t a b l i s hk i n d so fv e r s i o n so ft h ev e r s a iu n f o l d i n gt h e o r e m r e f 7 6 t r e a t st h ev e r s a lu n f o l d i n go fo n ep a r a m e t e rb i f u r c a t i o np r o b l e m sg i v e nb y 2 f u n c t i o ng e r m s a e f 5 4 1a n d 4 7 d i s c u s s e se q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hm u l t i p a r a m e t e r p e r m i t t i n gt h a tt h et a r g e ts p a c eo fa b i f u r c a t i o ni sn o tn e c e s s a r i l yt h es a m ea si t s s t a t es p a c e a n dc o n t a i n i n gt h er e l e v a n tr e s u l t si n 3 1 7 6 a ss p e c i a lc a s e s r e f 2 4 p r o b e s i n t oab i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hs y m m e t r yo fb o t hs t a t ev a r i a b l e sa n db i f u r c a t i o np a r a m e t e r s r e f 5 0 1d i v i d e st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r so fa l le q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m i n t ot w og r o u p s t h ef i r s tc a nv a r yi n d e p e n d e n t l y w h i l et h es e c o n dd e p e n d so nt h ef i r s t i nt h ep r o c e s so fv a r i a t i o n a l s os o m ea u t h o r sh a v es t u d i e dc l a s s i f i c a t i o n so fb i f u r c a t i o n p r o b l e m su pt os o m ec o d i m e n s i o n s u c hc l a s s i f i c a t i o n si n c l u d eb i f u r c a t i o np r o b l e m si n o n es t a t ev a r i a b l ew i t h o u ts y m m e t r yu pt oc o d i m e n s i o n7 1 4 4 i no n es t a t ev a r i a b l ew i t h z 2s y m m e t r yu pt oc o d i m e n s i o nt h r e e 3 4 1 i nt w os t a t ev a r i a b l e sw i t hd 4s y m m e t r yu p t ot o p o l o g i c a lc o d i m e n s i o n 慨 3 5 1 i nt h r e ev a r i a b l e sw i t ho c t a h e d r a ls y m m e t r yu pt o t o p o l o g i c a lc o d i m e n s i o no n e 5 8 i no n es t a t ev a r i a b l ew i t ht w ob i f u r c a t i o np a r a m e t e r su p t oc o d i m e n s i o ni 6 2 1a n da n dw i t hh i d d e ns y m m e t r y 5 6 a p a r tf r o mt h e s e f u r t e r s i t t a 趾ds t e w 村t 2 4 s t u d i e dt h ee q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hp a r a m e t e r ss y m m e t r y w h i c hi st h es a m ea ss y m m e t r yo nt h es t a t ev a r i a b l e s a n dg a v et h ec l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hd 4s y m m e t r yb o t ho nt h es t a t ev a r i a b l e sa n do nt h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e r su pt ot o p o l o g i c a lc o d i m e n s i o no n e a n ds o m ea u t h o r sh a v ed i s c u s s e dt h e r e c o g n i t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m s s e e 3 4 3 1 5 9 5 2 5 3 1 i t i sw o r t h w h i l ep o i n t i n go u tt h a tt h es y m m e t r yo fb i f u r c a t i o np a r a m e t e r si sn o t u s u a l l yc o n s i d e r e di nt h es t u d yo fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s i nt h i s t h e s i sw ea p p l y t e c h n i q u e sf r o ms i n g u l a r i t yt h e o r yt om u l t i p a r a m e t e rs t e a d y s t a t ee q u i a v r i a n tb i f u r c a t i o n p r o b l e m sw i t hp a r a m e t e rs y m m e t r y t h es y m m e t r y o nb i f u r c a t i o np a r a m e t e r sd i f f e r sf r o m t h a to ns t a t ev a r i a b l e s t h u sf o rs t e a d y s t a t ee q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o nw i t hp a r a m e t e r s y m m e t r yw ee s t a b l i s hag e n e r a lt h e o r yw h i c hi n c l u d e st h ef o l l o w i n gp r o b l e m 1 t h e 疋 r u n f o l d i n go fs t e a d y s t a t eb i f u r c a t i o np r o b l e ma n d i t ss t a b i l i t y 2 t h er e c o g n i t i o n o fs t e a d y s t a t eb i f u r c a t i o np r o b l e m s 3 r e c o g n i t i o na n dc l a s s i f i c a t i o no f d 4 s 1 s t e a d y s t a t ee q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t ht o p o l o g i c a lc o d i m e n s i o nl e s st h a no re q u a lt o 2 t h i si st h ef i r s tp u r p o s eo ft h i st h e s i s 3 i nt h es t u d yo fu n f o l d i n gt h e o r yo fs t e a d y s t a t eb i f u r c a t i o np r o b l e m s t h ee q u i v a l e n c e r e l a t i o nb e t w e e nb i f u r c a t i o np r o b l e m sa sw e l la st h e i ru n f o l d i n gi si n t r o d u c e d t h eu s u a l u n f o l d i n gt h e o r yd e f i n e st h ee q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e nb i f u r c a t i o np r o b l e m sa sw e l l a st h e i ru n f o l d i n gw i t ht h ea i do fc o n t a c te q u i v a l e n c eb e t w e e nt h es m o o t hm a p g e r m s i nt h es i n g u l a r i t yt h e o r y i nt h et h e s i s b a s e do nt h el e f t r i g h te q u i v a l e n c eo fs m o o t h m a p g e r m si nt h es i n g u l a r i t yt h e o r y an e we q u i v a l e n c er e l a t i o ni si n t r o d u c e di nt h es t u d y o fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s i nt h ec i r c u m s t a n c ew ee s t a b l i s han e wu n f o l d i n g t h e o r yd i f f e r e n tf r o mt h eu s u a lo n eo fb i f u r c a t i o np r o b l e m s t h i si st h es e c o n dp u r p o s e o ft h i 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hs y m m e t r yo n l yo nt h es t a t ev a r i a b l e s s i n c et h e n m a n ya u t h o r sh a v ew r i t t e na b o u tm u l t i p a r a m e t e rb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t h s y m m e t r yo ns t a t ev a r i a b l e s s e e 2 9 4 7 5 0 5 4 f u r t e r s i t t aa n ds t e w a r t 2 4 s t u d i e d t h em u l t i p a r a m e t e rb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hs y m m e t r yb o t ho nt h es t a t ev a r i a b l e sa n do i l t h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s a n dc l a s s i f i e db i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hd 4 一s y m m e t r yg r o u p a c t i n go i lc c m a n o e la n ds t e w a r t 5 6 1p r o b ei n t ot h eb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hh i d d e n s y m m e t r i e s i nt h i sc h a p t e rw ed e a lw i t ht h em u l t i p a r a m e t e re q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o n p r o b l e mw i t hp a r a m e t e rs y m m e t r yw h i c hd i f f e r sf r o ms y m m e t r yo ns t a t ev a r i a b l e s t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i n 1 1 w ed e f i n es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dc o l l e c ts o m ek n o w nr e s u l t sa n dg i v et h e e q u i v a r i a n tv e r s i o no fp r e p a r a t i o nt h e o r e m i n 1 2 w ed e f i n e 疋 r 一e q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e nb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t h p a r a m e t e rs y m m e t r ya sw e l l 蠲i t su n f o l d i n ga n do b t a i nt h eo r b i tt a n g e n ts p a c eo fa b i f u r c a t i o np r o b l e ma n dt h a to fi t su n f o l d i n gu n d e r 瓦 r 一e q u i v a l e n c e i n 1 3 w ee s t a b l i s haf r a m e w o r k o fu n f o l d i n gt h e o r yo fb i f u r c a t i o np r o b l e m i n 1 4 w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e ma n d i t su n f o l d i n g i n 1 5 w eg i v et h eg e n e r a lr e s u l t so fr e c o g n i t i o n o fb i f u r c a t i o np r o b l e m s 8 1 1p r e l i m i n a r i e s s u p p o s et h a tt h ec o m p a c tl i eg r o u p sf a n d a c tl i n e a r l yo n 贮a n d 破r e s p e c t i v e l y af u n c t i o ng e r mg 舻 破 o o ri ss a i dt ob e f 一i n v a r i a n ti f g t x j 入 9 z 入 比 妒 o 入 矿 0 7 r 6 1 l 1 d e n o t et h er i n go f 越1s u c hf u n c t i o ng e r m sb y 占z 入 f a a n di t sm a x i m a li d e a lo fg e r m s v a n i s h i n ga tt h eo r i g i nb y 阮 a r am a p g e r mf 孵 破 o o 般i sc a u e dt o b e r e q u i v a r i a n ti f f t x d a 7 f x a v z 孵 0 a 破 o 7 r 6 a 1 1 2 w h e r ez z 1 z 住 i sc a n e dt h es t a t ev a r i a b l e sa n da a 1 a 七 i sab i f u r c a t i o np a r r a m e t e r s d e n o t et h es p a c eo fa l l r 一e q u i v a r i a n tg e r m sb yb a r ak p a r a m e t e r e q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hp a r a m e t e rs y m m e t r yi sam a p g e r m e a r a s a t i s f y i n gf o 0 0a n d 眈掀o 0 0 h e r ed z fd e n o t e st h ed e r i v a t i v eo ffw i t h r e s p e c tt oz l e tzb ean o n n e g a t i v ei n t e g e r t h es u b s p a c e 朋 a r a o f 忍 a r a c o n s i s t so f a l lt h e r 一e q u i v a r i a n tm a p g e r m sw h o s ed e r i v a t i v e si nza n d 入u pt oa n yd e g r e el e s s t h a nlv a n i s ha tt h eo r i g i n c l e a r l ym 三 入 f 玩 入 r a n 疋 a 名爻 l e ts r 破 0 一g l k b ea nn nm a t r i x v a l u e dm a p g e r ms a t i s f y i n gt h e c o n d i t i o n s t x j a 7 7 s x a v 7 r j a 1 1 3 s e t 己 入 r a f s 职 破 0 一g l e i ss a t i s f i e s 1 3 i tf o l l o w sf r o mt h e o r e mx i i 6 8 1 3 1 1t h a t 忍 a r a n d 乏 a r a r ef i n i t e l yg e n e r a t e d m o d u l eo v e rr i n g a r s i m i l a r l y a m o d u l eb i s d e f i n e db y 取 人 破 0 y 萨i a 6 a g a a v a 破 o 6 9 l e tra n dsb et w ot i n g s na nr m o d u l e ma l ls m o d u l e a n d r sar i n g h o m o m o r p h i s m d e f i n i t i o n1 1 1am o d u l eh o m o m o r p h i s mo v e r 击i sam a p7 n ms a t i s f y i n gt n l 犯2 r n 1 r n 2 a n dt r n 7 r n f o rn 1 n 2 n na n d r r d e f i n i t i o n1 1 2 1 1 6 1ad i f f e r e n t i a la l g e b r a d a a l g e b r a ac o n s i s t so fa nr a l g e b r a aa n das u r j e c t i v ea l g e b r ah o m o m o r p h i s m 西 岛一a t h e s ea l g e b r a sa x el o c a lr i n g sw i t hm a x i m a li d e a l sm i f 矽 一bd e f i n e s a n o t h e rd a a l g e b r a t h e nah o m o m o r p h i s mo fd a a l g e b r aa a bi sa na l g e b r a h o m o m o r p h i s mw h i c hl i f t st og i v eac o m m u t a t i v ed i a g r a m w h e r e 舀 g f o rs o m eg e r mg l e tu sn o ws e eh o wt h e s eg e n e r a ld e f i n i t i o n sa p p l yt ob i f u r c a t i o nt h e o r y i nt h i s c o n t 固 tt h esc h w a r zt h e o r e m l 6 8 1c a nb er e f o r m u l a t e da sf o l l o w s 磊 a r i sad a a l g e b r a i nf a c t l e t 面1 z a 西0 入 b eg e n e r a t o r so fr i n g 乓 a r w ed e f i n e 口 职 破 0 一 r r 0 b y0 x a e l x a 面 z a t h i si n d u c e st h es u r j e c t i v ea l g e b r a m o r p h i s m 矿 厶一厶a r o h h 0 口 w h e r et s i m i l a r l y l e tt j l z u s 正 b eg e n e r a t o r so fr i n g r d e f i n ep 职 0 一衅 p x 移 z 仉 z 口 z t h e npi n d u c e sas u r j e c t i v ea l g e b r a m o r p h i s mp 岛 4 如 r 矿 九 hop f u r t h e r m o r e9 m 霉 a r a i n d u c e st h e d a a l g e b r ah o m o m o r p h i s m g r 一幺 a r 1 0 一 矗 a t os e et h i s o b s e r v et h a tf o rl 1 s v io g 乓 a r t h e r e f o r et h e r ee x i s t s k 厶 s u c ht h a t 虢og p k h io 护 d e f i n eh 璃f 一群b yh u 危1 让 u t h e no n eh a sac o m m u t a t i v ed i a g r a m 庄l t h e o r e m1 1 3 m a l g r a n g ep r e p a r a t i o nt h e o r e m 5 7 1l e tnb eaf i n i t e l yg e n 一一 e r a t e d 岛一m o d u l ea n dl e t 妒 噼 0 噼 0 b eas m o o t hm a ps a t i s f y i n g 矽 0 0 w h e r e 移a n d 叫d e n o t ec o o r d i n a t e so n 科a n d 世 r e s p e c t i v e l y t h e n v i a 矽 ni sa f i n i t e l yg e n e r a t e d 毛一m o d u l ei fa n do n l yi f d i n a rn n 1 1 4 t h e o r e m 1 1 4 e q u i v a r i a n tp r e p a r a t i o nt h e o r e m s u p p o s et h a