三角函数综合题2(难)教师版.doc

三角函数综合题2（难）评卷人得分一、选择题1设函数fx=Asinx+ (其中A,是常数)若函数fx在区间4,4上具有单调性，且f2=f4=f4，则fx的对称中心的坐标为(（ ），0）（其中kZ）.A. 34k B. 54k C. 53k D. 43k【答案】A【解析】函数f（x）=Asin（x+） 在区间-4,4上具有单调性，且且f-2=f-4=-f4，则1224-4，且函数的图象关于直线x=-2-42=-38 对称，且一个对称点为（0，0） 可得02 且0（-38）=142 ，求得=43 ，再根据f-4=-f4，得到sin-3=-sin+3易得： =k,kZ由sin43x+k=0，得x=34k其中kZ，2在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（）A1 B C D2【答案】B【解析】，即，故选B3已知函数向左平移半个周期得的图像，若在上的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得由， 在上的值域为即最小值为，最大值为，则，得综上的取值范围是4在中，若对任意都有，则的形状是（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定【答案】A【解析】原不等式两边平方并化简得恒成立，故其判别式为非正数，即，化简得，即，由正弦定理得，即，由于，所以必有一个是负数，故三角形为钝角三角形.5已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，所以 ， 的取值范围为，故选C.6已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数， 是它们的公共焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ， 在椭圆中， ，即在双曲线中 ， 即，则所以，由题知，则椭圆离心率，选A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.评卷人得分二、填空题7在中,已知, , 为线段上的点,且,则的最大值为_.【答案】3【解析】由得 所以由得 由,得 ，即的最大值为3.8在ABC 中，tanA+B2=2sinC ,若AB=1 ，则ABC周长的取值范围_.【答案】2,3【解析】由tanA+B2=2sinC及A+B2=2C2 ，得cotC2=2sinC，cosC2sinC2=4sinC2cosC2 0C22.,cosC20，sinC20， sin2C2=14，sinC2=12，C=3 由正弦定理，得ABsinC=BCsinA=CAsinB=233， ABC 的周长y=AB+BC+CA=1+233sinA+233ssin（23A） =1+233（32sinA+32cosA） =1+2sin（A+6）， 6A+656 ，12sin（A+6）1， ABC 周长的取值范围是（2，3，故答案为（2，3 【点睛】本题解题的关键是利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及辅助角公式将三角函数化为y=Asin（x+）+k 形式进而解决问题9点为的重心， ，且，则_.【答案】 【解析】连接 并延长交 于 ， 是重心， 是中点，又 ，设 ，则 ，由余弦定理 ，由 ，得 ，在 中，由余弦定理 ，故答案为.【思路点睛】本题主要考查三角形重心的性质由，以及余弦定理的应用，属于难题题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件，根据题设条件灵活应用.10如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测， 分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向， 在处的北偏西方向，则两处岛屿的距离为_海里 【答案】【解析】 由题意，可得， 在等腰直角中， ，则， 在中，由正弦定理， 在中，由余弦定理可得，所以，即两点之间的距离为.11在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC=(3ac)cosBD为AC边的中点，且BD=1，则ABD面积的最大值为_【答案】24【解析】因为bcosC=(3ac)cosB,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcocB=sin(B+C)=sinA ，cosB=13 ，D 为AC 边的中点，2BD=BA+BC ，平方得4|BD|2=|BA|2+|BC|2+2BABC ，即4=a2+c2+2accosB ，整理得，a2+c2=42ac3,a2+c2=42ac32ac （当且仅当a=c 时取等号）,ac32,ac 的最大值为32 ，SABC=12acsinB1232223=22 ，D 为AC 边的中点，SABC=12SABC1222=24 ，ABD 的面积的最大值为24 ，故答案为24.12在中， ， ， 分别是角， ， 的对边， 的面积为， ，且，则_【答案】【解析】因为，所以可得 ，化简得， ，又因为，根据正余弦定理可得 ，由得 ，所以 ，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.评卷人得分三、解答题13已知向量m=(1,cosx),n=(sinx,3),(0) ，函数f(x)=mn ，且f(x)图象上一个最高点为P(12,2)与P最近的一个最低点的坐标为(712,2) .()求函数f(x)的解析式；()设a为常数，判断方程f(x)=a在区间0,2上的解的个数；（）在锐角ABC中，若cos(3B)=1，求f(A) 的取值范围.【答案】（1）f(x)=2sin(2x+3) （2）见解析（3）(3,3) 【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得f(x)=mn=sinx+3cosx，再根据配角公式得f(x)=2sin(x+3).（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个数（3）先根据条件求出锐角B，再根据锐角三角形确定角A范围为6A2，最后根据正弦函数性质确定f(A) 的取值范围.试题解析：()f(x)=mn=sinx+3cosx =2(12sinx+32cosx) =2sin(x+3). 图象上一个最高点为P，与P最近的一个最低点的坐标为,T2=712-12=2，T=，于是=2T=2. 所以f(x)=2sin(2x+3). ()当x 0,2时，32x+343，由f(x)=2sin(2x+3)图象可知：当a3,2)时，f(x)=a在区间0,2上有二解； 当a-3,3)或a=2时，f(x)=a在区间0,2上有一解；当a2时，f(x)=a在区间0,2上无解. （）在锐角中，.又，故，. 在锐角中,A2,6A2. 232A+343,sin(2A+3)(-32,32), f(A)=2sin(2A+3) (-3,3). 即的取值范围是(-3,3).14ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知边c=2 ，且asinAasinB=2sinCbsinB （1）若sinC+sin（BA）=sin2A ，求ABC的面积；（2）记AB边的中点为M，求CM 的最大值，并说明理由【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（1）将已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC ，然后将得出的等式代入计算求出cosC的值，即可确定出角C；（2）由CM=12CA+CBCM2=14CA2+CB2+2CBCA=14a2+b2+ab 又a2+b2=ab+4 ，即可求得CM的最大值试题解析：因为a=2 ，故asinAasinB=2sinCbsinBasinAasinB=csinCbsinBa2+b2c2=ab ，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=12 ；（1）sinC+sin（BA）=sin2Asin（A+B）+sin（BA）=2sinAcosAsinBcosA=2sinAcosA，即cosA=0或sinB=sinAA=90或A=B 当A=90时，B=30 ，b=ctan30=233 ，ABC的面积S=12bcsinA=233 当A=B时，ABC为等边三角形，S=1222sin60=3；（2）由于AB边的中点为M，故，CM=12(CA+CB)CM2=14(CA2+CB2+2CBCA)=14(a2+b2+ab)因为c=2，C=60 ，故由余弦定理知，a2+b2=ab+4 ，于是CM2=12ab+1 ，而4+ab=a2+b22ab，ab4 ，故CM23， CM的 最大值为3 （当且仅当a=b=c=2 时取等）【点评】本题考查了三角恒等变形，正余弦定理，考查了基本不等式、计算能力属于中档题15如图，在ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上（1）若ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，ADC的面积为，求的值【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）求出 ,由正弦定理得 ，由此能求出 ；（2）推导出 ，