概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案.pdf

1 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题 3 1 1 100 件商品中有 50 件一等品 30 件二等品 20 件三等品 从中任取 5 件 以 X Y 分别表示取出的 5 件中一等品 二等品的件数 在以下情况下求 X Y 的联合分布列 1 不放回抽取 2 有放回抽取 解 1 X Y 服从多维超几何分布 X Y 的全部可能取值分别为 0 1 2 3 4 5 且iji jiji jYiXP 5 0 5 4 3 2 1 0 5 100 5 203050 L 故 X Y 的联合分布列为 000000281 05 00000918 00612 04 0001132 01562 00495 03 000661 01416 00927 00185 02 00182 00539 00549 00227 00032 01 0019 00073 00102 00066 00019 00002 00 543210 X Y 2 X Y 服从多项分布 X Y 的全部可能取值分别为 0 1 2 3 4 5 且iji jiji jYiXP jiji 5 0 5 4 3 2 1 0 2 03 05 0 5 5 5 L 故 X Y 的联合分布列为 0000003125 05 000009375 00625 04 0001125 015 005 03 000675 0135 009 002 02 002025 0054 0054 0024 0004 01 00243 00081 00108 00072 00024 000032 00 543210 X Y 2 盒子里装有 3 个黑球 2 个红球 2 个白球 从中任取 4 个 以 X 表示取到黑球的个数 以 Y 表示取 到红球的个数 试求 P X Y 解 35 9 35 3 35 6 4 7 2 2 2 3 4 7 2 2 1 2 1 3 2 2 1 1 YXPYXPYXP 3 口袋中有 5 个白球 8 个黑球 从中不放回地一个接一个取出 3 个 如果第 i 次取出的是白球 则令 Xi 1 否则令 Xi 0 i 1 2 3 求 2 1 X1 X2 X3 的联合分布列 2 X1 X2 的联合分布列 解 1 143 28 11 6 12 7 13 8 0 0 0 321 XXXP 429 70 11 5 12 7 13 8 1 0 0 321 XXXP 429 70 11 7 12 5 13 8 0 1 0 321 XXXP 429 70 11 7 12 8 13 5 0 0 1 321 XXXP 429 40 11 4 12 5 13 8 1 1 0 321 XXXP 429 40 11 4 12 8 13 5 1 0 1 321 XXXP 429 40 11 8 12 4 13 5 0 1 1 321 XXXP 143 5 11 3 12 4 13 5 1 1 1 321 XXXP 2 39 14 12 7 13 8 0 0 21 XXP 39 10 12 5 13 8 1 0 21 XXP 39 10 12 8 13 5 0 1 21 XXP 39 5 12 4 13 5 1 1 21 XXP 39 539 101 39 1039 140 10 1 2 X X 4 设随机变量 Xi i 1 2 的分布列如下 且满足 P X1X2 0 1 试求 P X1 X2 25 05 025 0 101 P Xi 解 因 P X1 X2 0 1 有 P X1 X2 0 0 即 P X1 1 X2 1 P X1 1 X2 1 P X1 1 X2 1 P X1 1 X2 1 0 分布列为 25 05 025 0 25 0001 5 00 25 0001 101 1 2 j i p p X X 25 05 025 0 25 0025 001 5 025 0025 00 25 0025 001 101 1 2 j i p p X X 故 P X1 X2 P X1 1 X2 1 P X1 0 X2 0 P X1 1 X2 1 0 5 设随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 42 20 6 其他 yxyxk yxp 试求 1 常数 k 2 P X 1 Y 3 3 P X 1 5 4 P X Y 4 解 1 由正则性 1 dxdyyxp 得 18 6 26 2 6 6 2 0 2 2 0 2 0 4 2 2 2 0 4 2 kxxkdxxk y xyykdxdyyxkdx x 0 2 2 4 y 3 故 8 1 k 2 1 0 3 2 2 1 0 3 2 2 6 8 1 6 8 1 3 1 y xyydxdyyxdxYXP 8 3 22 7 8 1 2 7 8 1 1 0 2 1 0 x xdxx 3 5 1 0 4 2 2 5 1 0 4 2 2 6 8 1 6 8 1 5 1 y xyydxdyyxdxXP 32 27 6 8 1 26 8 1 5 1 0 2 5 1 0 xxdxx 4 0 0 0 e 43 其他 yxk yxp yx 试求 1 常数 k 2 X Y 的联合分布函数 F x y 3 P 0 X 1 0 0 且 y 0 时 x yu xy vu xy vu dududvduyxF 0 43 00 43 00 43 e1 e3 e3 e12 e1 e1 e1 e 43 0 43yx x yu 故 X Y 的联合分布函数为 0 0 0 e1 e1 43 其他 yx yxF yx 3 P 0 X 1 0 Y 2 P X 1 Y 2 F 1 2 1 e 3 1 e 8 7 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 x 0 2 2 4 y 1 3 x 0 2 2 4 y 1 5 x 0 2 2 4 y x 0 y x 0 y 1 2 4 0 10 10 4 其他 yxxy yxp 试求 1 P 0 X 0 5 0 25 Y 1 2 P X Y 3 P X Y 4 X Y 的联合分布函数 解 1 5 0 0 1 25 0 2 5 0 0 1 25 0 24 125 0 5 00 xydxxydydxYXP 64 15 16 15 8 15 5 0 0 2 5 0 0 xxdx 2 P X Y 0 3 1 0 3 1 0 1 2 1 0 1 22 24 dxxxxydxxydydxYXP xx 2 1 2 1 1 0 42 xx 4 当 x 0 或 y 0 时 F x y P 0 当 0 x 1 且 0 y 1 时 22 0 22 0 2 00 2 00 224 yxyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxF xxxyxy 当 0 x 1 且 y 1 时 2 0 2 00 1 0 2 0 1 0 224 xuuduuvduuvdvduyYxXPyxF xxxx 当 x 1 且 0 y 1 时 2 1 0 22 1 0 2 1 00 2 1 00 224 yyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxF yy 当 x 1 且 y 1 时 F x y P 1 故 X Y 的联合分布函数为 1 1 1 10 1 1 10 10 10 00 0 2 2 22 yx yxy yxx yxyx yx yxF 或 8 设二维随机变量 X Y 在边长为 2 中心为 0 0 的正方形区域内服从均匀分布 试求 P X 2 Y 2 1 解 设 D 表示该正方形区域 面积 SD 4 G 表示单位圆区域 面积 SG 故 4 1 22 D G S S YXP 9 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 5 和 P Y 1 5 0 2 1 5 0 1 5 0 66 66 5 0 2 2 dxxxydxdydxXP x x x x 5 0 23 1 5 0 32 xx 5 0 0 5 0 0 5 0 0 66 66 5 0 dyyyxdydxdyYP y y y y 4 3 2 34 5 0 0 2 2 3 yy 10 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 5 Y 0 5 2 求 P X 0 5 和 P Y 0 5 3 求 P X Y xdxxydxdyydxYXP xx 2 5 0 0 1 2 5 0 0 1 1 3 1 6 5 0 xx ydxdyydxXP 8 7 1 1 3 5 0 0 3 5 0 0 2 xdxx 5 0 0 5 0 2 5 0 0 5 0 1 3 1 6 5 0 xx ydxdyydxYP 2 1 1 4 3 1 3 4 3 5 0 0 3 5 0 0 2 xxdxx 3 k kY kY Xk 求 X1和 X2的联合分布列 解 因 Y 的密度函数为 2 P 0 21 2 1 2 1 21 eeee 21 2 1 0 1 yy dyYPYYPXXP 2 22 21 eee 2 2 1 1 1 yy dyYPYYPXXP 故 X1和 X2的联合分布列为 221 1 1 2 eee1 0e10 10 X X 12 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 20 10 3 2 其他 yx xy x yxp 求 P X Y 1 解 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 63 1 x x xy yxdxdy xy xdxYXP 72 65 24 5 9 4 4 1 6 5 3 4 2 1 1 0 432 1 0 32 xxxdxxxx 13 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 0 e 其他 yx yxp y 试求 P X Y 1 解 5 0 0 1 5 0 0 15 0 0 1 ee e e 1 dxdxdydxYXP xx x x y x x y 5 01 5 0 0 1 e2e1 ee xx 14 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 20 10 2 1 其他 yx yxp 求 X 与 Y 中至少有一个小于 0 5 的概率 解 8 5 8 3 1 4 3 1 2 1 1 5 0 5 0 1 5 0 min 1 5 0 1 5 0 2 5 0 dxdydxYXPYXP 15 从 0 1 中随机地取两个数 求其积不小于 3 16 且其和不大于 1 的概率 解 设 X Y 分别表示 从 0 1 中随机地取到的两个数 则 X Y 的联合密度函数为 0 0 0 eee1 max 122121 其他 yx yxF yxyxyx 试求 X 与 Y 各自的边际分布函数 解 当 x 0 时 F x y 0 有 FX x F x 0 当 x 0 时 0 0 0 eee1 max 122121 y y yxF yxyxyx 有 xyxyxyx y X xFxF 1122121 e1 eee1 lim max 故 0 0 0 e1 1 x x xF x X 当 y 0 时 F x y 0 有 FY y F y 0 当 y 0 时 0 0 0 eee1 max 122121 x x yxF yxyxyx 有 yyxyxyx x Y yFyF 2122121 e1 eee1 lim max 故 0 0 0 e1 2 y y yF y Y 3 试求以下二维均匀分布的边际分布 0 1 1 22 其他 yx yxp 9 解 当 x 1 时 pX x 0 当 1 x 1 时 2 1 1 1 2 1 2 2 xdydyyxpxp x x X 故 0 11 1 2 2 其他 xx xpX 当 y 1 时 pY y 0 当 1 y 1 时 2 1 1 1 2 1 2 2 ydxdxyxpyp y y Y 故 0 11 1 2 2 其他 yy ypY 4 设平面区域 D 由曲线 y 1 x 及直线 y 0 x 1 x e 2所围成 二维随机变量 X Y 在区域 D 上服 从均匀分布 试求 X 的边际密度函数 解 因平面区域 D 的面积为2ln 1 2 2 e 1 e 1 xdx x SD 则 X Y 的联合密度函数为 0 2 1 Dyx Dyx yxp 当 x e 2时 pX x 0 当 1 x e 2时 x dydyyxpxp x X 2 1 2 1 1 0 故 0 e1 2 1 2 其他 x x xpX 5 求以下给出的 X Y 的联合密度函数的边际密度函数 px x 和 py y 1 0 0 e 1 其他 yx yxp y 2 0 10 4 5 22 2 其他 xyyx yxp 3 0 时 x x y x y X dydyyxpxp eee 1 故 0 0 0 e x x xp x X 当 y 0 时 pY y 0 当 y 0 时 y y y Y ydxdxyxpyp ee 0 1 x 0 y 1 1 1 1 x 0 y 1 e 2 D x 0 y 10 故 0 0 0 e y yy yp y Y 2 当 x 1 或 x 1 时 pX x 0 当 1 x 1 时 1 8 5 2 1 4 5 4 5 4 1 0 22 1 0 2 2 22 xyyxdyyxdyyxpxp xx X 故 0 11 1 8 5 4 其他 xx xpX 当 y 0 或 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 yyxyxdxyxdxyxpyp y y y y Y 1 21 6 5 3 1 4 5 4 5 1 1 3 1 1 2 故 0 10 1 21 6 5 其他 yyy ypY 3 当 x 0 或 x 1 时 pX x 0 当 0 x 1 时 1 11 0 3 x xdy x dyyxpxp x X 故 0 10 1 其他 x xpX 当 y 0 或 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 yyxdx x dxyxpyp y y Y lnln1lnln 1 1 1 故 0 10 ln 其他 yy ypY 6 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 10 6 2 其他 xyx yxp 试求边际密度函数 px x 和 py y 解 当 x 0 或 x 1 时 pX x 0 当 0 x 1 时 66 2 2 xxdydyyxpxp x x X 故 0 10 6 2 其他 xxx xpX 当 y 0 或 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 66 yydxdxyxpyp y y Y 故 0 10 6 其他 yyy ypY 7 试验证 以下给出的两个不同的联合密度函数 它们有相同的边际密度函数 x 0 y 1 1 1 x 0 y 1 x 0 y 1 1 11 0 10 10 其他 yxyx yxp 0 10 10 5 0 5 0 其他 yxyx yxg 证 当 x 1 时 pX x 0 当 0 x 1 时 5 0 2 1 1 0 2 1 0 xyxydyyxdyyxpxpX 则 0 10 5 0 其他 xx xpX 当 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 5 0 2 1 1 0 2 1 0 yxyxdxyxdxyxpypY 则 0 10 5 0 其他 yy ypY 并且当 x 1 时 gX x 0 当 0 x 1 时 5 0 5 0 2 1 5 0 5 0 5 0 1 0 2 1 0 xyxdyyxdyyxgxgX 则 0 10 5 0 其他 xx xgX 当 y 1 时 gY y 0 当 0 y 1 时 5 0 5 0 5 0 2 1 5 0 5 0 1 0 2 1 0 yyxdxyxdxyxgygY 则 0 10 5 0 其他 yy ygY 故它们有相同的边际密度函数 8 设随机变量 X 和 Y 独立同分布 且 P X 1 P Y 1 P X 1 P Y 1 1 2 试求 P X Y 解 因 X 和 Y 独立同分布 且 P X 1 P Y 1 P X 1 P Y 1 1 2 则 X Y 的联合概率分布 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 1 2 1 4 1 4 1 1 11 j i p p X Y 故 P X Y P X 1 Y 1 P X 1 Y 1 1 2 9 甲 乙两人独立地各进行两次射击 假设甲的命中率为 0 2 乙的命中率为 0 5 以 X 和 Y 分别表示甲 12 和乙的命中次数 试求 P X Y 解 因 X 的全部可能取值为 0 1 2 且 P X 0 0 8 2 0 64 32 08 02 0 1 2 1 XP P X 2 0 2 2 0 04 又因 Y 的全部可能取值为 0 1 2 且 P Y 0 0 5 2 0 25 5 05 05 0 1 2 1 YP P Y 2 0 5 2 0 25 则 X Y 的联合概率分布 25 05 025 0 04 001 002 001 02 32 008 016 008 01 64 016 032 016 00 210 j i p p X Y 故 P X Y 1 P X Y 1 P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 0 89 10 设随机变量 X 和 Y 相互独立 其联合分布列为 3 19 1 9 1 2 1 321 bx cax yyy X Y 试求联合分布列中的 a b c 解 因cap 9 1 1 9 4 3 1 9 1 2 bbp 9 1 1 ap bp 9 1 2 cp 3 1 3 根据独立性 知 81 4 9 5 9 1 9 4 2 2222 bbbbppbp 可得0 81 4 9 4 2 bb 即0 9 2 2 b 故 9 2 b 再根据独立性 知 9 1 9 6 9 1 9 4 9 1 1221 aabppp 可得 6 1 9 1 a 故 18 1 a 由正则性 知1 9 5 3 1 9 1 9 1 2 1 3 1 cbabcap ij ij 可得 9 4 cba 故 6 1 18 3 9 4 bac 11 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 X U 0 1 Y Exp 1 试求 1 X 与 Y 的联合密度函数 2 P Y X 3 P X Y 1 13 解 1 因 X 与 Y 相互独立 且边际密度函数分别为 0 10 1 其他 x xpX 0 0 0 e y y yp y Y 故 X 与 Y 的联合密度函数为 0 0 10 e 其他 yx ypxpyxp y YX 2 11 1 0 1 0 1 00 1 00 e1e1 e e1 e e xx x y x y xdxdxdydxXYP 3 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 e e e1 e e 1 xx x y x y xdxdxdydxYXP 12 设随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 0 10 3 其他 xyxx yxp 试求 1 边际密度函数 px x 和 py y 2 X 与 Y 是否独立 解 1 当 x 0 或 x 1 时 pX x 0 当 0 x 1 时 2 0 33 xxdydyyxpxp x X 故 0 10 3 2 其他 xx xpX 当 y 0 或 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 1 2 3 2 3 3 2 1 2 1 yxxdxdxyxpyp yy Y 故 0 10 1 2 3 2 其他 yy ypY 2 因 0 10 10 1 2 9 22 其他 yxyx ypxp YX 即 px x py y p x y 故 X 与 Y 不独立 13 设随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 10 1 其他 yyx yxp 试求 1 边际密度函数 px x 和 py y 2 X 与 Y 是否独立 解 1 当 x 1 或 x 1 时 pX x 0 当 1 x 0 时 xdydyyxpxp x X 11 1 当 0 x 1 时 xdydyyxpxp x X 11 1 故 0 10 1 01 1 其他 xx xx xpX x 0 y 1 x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 1 14 当 y 0 或 y 1 时 pY y 0 当 0 y 1 时 ydxdxyxpyp y y Y 21 故 0 10 2 其他 yy ypY 2 因 0 0 0 e 其他 yxx yxp yx 2 yx yx yxp 1 1 1 222 3 0 10 2 其他 yx yxp 4 0 10 10 10 24 其他 yxyxxy yxp 5 0 10 10 1 12 其他 yxxxy yxp 6 0 y 0 是广义矩形区域 故 X 与 Y 相互独立 2 因 1 1 1 1 1 1 1 22222 yxyx 可分离变量 x y 是广义矩形区域 故 X 与 Y 相互独立 3 因 0 x y 1 不是矩形区域 故 X 与 Y 不独立 4 因 0 x 1 0 y 1 0 x y 1 不是矩形区域 故 X 与 Y 不独立 5 因 12xy 1 x 12x 1 x y 可分离变量 0 x 1 0 y 1 是矩形区域 故 X 与 Y 相互独立 6 因 x2 y 1 不是矩形区域 故 X 与 Y 不独立 15 在长为 a 的线段的中点的两边随机地各取一点 求两点间的距离小于 a 3 的概率 解 设 X 和 Y 分别表示这两个点与线段中点的距离 有 X 和 Y 相互独立且都服从 0 a 2 的均匀分布 则 X Y 的联合密度函数为 0 2 0 2 0 4 2 其他 a y a x a yxp x 0 y a 3 a 3 a 2 a 2 D G 15 故所求概率为 9 2 2 32 1 3 2 2 a a S Sa YXP D G 16 设二维随机变量 X Y 服从区域 D x y a x b c y d 上的均匀分布 试证 X 与 Y 相互独立 证 因 X Y 的联合密度函数为 0 1 其他 dycbxa cdab yxp 当 x b 时 pX x 0 当 a x b 时 ab dy cdab dyyxpxp d c X 1 1 则 0 1 其他 bxa ab xpX 当 y d 时 pY y 0 当 c y d 时 cd dx cdab dxyxpyp b a Y 1 1 则 0 1 其他 dyc cd ypY 因 px x py y p x y 故 X 与 Y 相互独立 17 设 X1 X2 Xn是独立同分布的正值随机变量 证明 nk n k XX XX E n k 1 1 L L 证 因 X1 X2 Xn是独立同分布的正值随机变量 则由对称性知 2 1 1 ni XX X n i L L 同分布 且满足10 1 0 1 YX YX Z 当 当 求 Z 的分布列 解 因 X Y 的联合密度函数为 0 0 0 e 其他 yx ypxpyxp yx YX 则 0 0 e e 1 x yx x yx dxdydxYXPZP 0 0 ee xx dx 1 1 0 ZPZP 故 Z 的分布列为 P Z10 x 0 y X Y 17 3 设随机变量 X 和 Y 的分布列分别为 4 12 14 1 101 P X 2 12 1 10 P Y 已知 P XY 0 1 试求 Z max X Y 的分布列 解 因 P X1 X2 0 1 有 P X1 X2 0 0 即 P X1 1 X2 1 P X1 1 X2 1 0 可得 X Y 的联合分布列为 2 12 1 4 11 2 10 4 11 10 j i p p X Y 2 12 1 4 104 11 2 12 100 4 104 11 10 j i p p X Y 因 4 1 0 4 1 0 0 0 1 0 YXPYXPZP 4 3 0 1 1 ZPZP 故 Z 的分布列为 4 3 4 1 10 P Z 4 设随机变量 X Y 独立同分布 在以下情况下求随机变量 Z max X Y 的分布列 1 X 服从 p 0 5 的 0 1 分布 2 X 服从几何分布 即 P X k 1 p k 1p k 1 2 解 1 X Y 的联合分布列为 5 05 0 5 025 025 01 5 025 025 00 10 j i p p X Y 因 P Z 0 P X 0 Y 0 0 25 P Z 1 1 P Z 0 0 75 故 Z 的分布列为 75 025 0 10 P Z 2 因 P Z k P X k Y k P X k Y k P X k P Y k P X 0 0 0 e 其他 yx yxp yx 试求以下随机变量的密度函数 1 Z X Y 2 2 Z Y X 解 方法一 分布函数法 1 作曲线簇z yx 2 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 FZ z 0 当 z 0 时 zxz yx zxz yx Z dxdydxzF 2 0 2 0 2 0 2 0 e e z z xz z xz zxdx 2 2 0 2 2 0 2 e 12 1 ee ee 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 2 为连续随机变量 故 Z X Y 2 的密度函数为 0 0 0 e4 2 z zz zFzp z ZZ 2 作曲线簇 y x z 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 z xzx z zx yx z zx yx Z dxdxdydxzF ee e e 2 0 0 zzz z xzx e 2 1 ee 2 1 ee 2 1 2 当 z 0 时 0 2 00 00 ee e e dxdxdydxzF xzx zx yx zx yx Z zzxzx e 2 1 11e 2 1 ee 2 1 0 2 因分布函数 FZ z 连续 有 Z Y X 为连续随机变量 故 Z Y X 的密度函数为 0 e 2 1 0 e 2 1 z z zFzp z z ZZ 方法二 增补变量法 1 函数 2 yx z 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加 增补变量 v y x 0 y 2z x 0 y z x 0 y z 19 可得 2 yv yx z 有反函数 2 vy vzx 且2 10 12 vz vz yy xx J 则 dvvvzpdvvvzpzpZ 2 22 2 作曲线簇z yx 2 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 pZ z 0 当 z 0 时 z z z Z zdvzp 2 2 0 2 e4e2 故 Z X Y 2 的密度函数为 0 0 0 e4 2 z zz zp z Z 2 函数 z y x 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加 增补变量 v y 可得 yv xyz 有反函数 vy zvx 且1 10 11 vz vz yy xx J 则 dvvzvpzpZ 作曲线簇 y x z 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 zzvzv Z dvzpe 2 1 e 2 1 e 0 2 0 2 当 z 0 时 z z zv z zv Z dvzp e 2 1 e 2 1 e 22 故 Z Y X 的密度函数为 0 e 2 1 0 e 2 1 z z zp z z Z 7 设 X 与 Y 的联合密度函数为 0 0 10 3 其他 xyxx yxp 试求 Z X Y 的密度函数 解 方法一 分布函数法 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 当 z 0 时 FZ z 0 当 0 z 1 时 3 1 2 0 3 1 0 2 1 00 2 1 2 3 2 3 3333 zzzxxxzdxdxxxdydxxdydxzF z z z z z x zx zx Z 当 z 1 时 FZ z 1 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 为连续随机变量 故 Z X Y 的密度函数为 0 10 1 2 3 2 其他 zz zFzp ZZ z x 0 y x 0 y 2z z x 0 y x 0 y 1 1 z 20 方法二 增补变量法 函数 z x y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加 增补变量 v y 可得 yv yxz 有反函数 vy vzx 且1 10 11 vz vz yy xx J 则 dvvvzpzpZ 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 当 z 0 或 z 1 时 pZ z 0 当 0 z 1 时 1 2 3 2 3 3 2 1 0 2 1 0 zvzdvvzzp zz Z 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 0 e 1 t tt tp t 设各周的需要量是相互独立的 试求 1 两周需要量的密度函数 p2 x 2 三周需要量的密度函数 p3 x 解 方法一 根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量 设 Ti表示 该种商品第 i 周的需要量 因 Ti的密度函数为 0 0 0 e 2 1 12 1 t tt tp t 可知 Ti服从伽玛分布 Ga 2 1 1 两周需要量为 T1 T2 因 T1与 T2相互独立且都服从伽玛分布 Ga 2 1 故 T1 T2服从伽玛分布 Ga 4 1 密度函数为 0 0 0 e 6 1 0 0 0 e 4 1 3 14 2 x xx x xx xp x x 2 三周需要量为 T1 T2 T3 因 T1 T2 T3相互独立且都服从伽玛分布 Ga 2 1 故 T1 T2 T3服从伽玛分布 Ga 6 1 密度函数为 0 0 0 e 120 1 0 0 0 e 6 1 5 16 3 x xx x xx xp x x 方法二 分布函数法 1 两周需要量为 X2 T1 T2 作曲线簇 t1 t2 x 得 x 的分段点为 0 当 x 0 时 F2 x 0 当 x 0 时 xtx ttt xtx tt ttdtdtttdtxF 00 211 00 22112 1 221 1 21 ee eee x tx dtttxtt 0 1111 2 1 ee 1 x ttx ttxtt 0 1 2 1 2 1 3 1 11 eee 2 1 2 1 3 1 x 0 y 1 1 z t1 0 t2 x 21 1 eee 2 1 2 1 3 1 233 xxx xxxx xxxx xxx e 6 1 e 2 1 ee1 32 因分布函数 F2 x 连续 有 X2 T1 T2为连续随机变量 故 X2 T1 T2的密度函数为 0 0 0 e 6 1 3 22 x xx xFxp x 2 三周需要量为 X3 T1 T2 T3 X2 T3 作曲线簇 x2 t3 x 得 x 的分段点为 0 当 x 0 时 F3 x 0 当 x 0 时 xxx ttx xxx tx txdxdttxdxxF 00 3 3 22 00 33 3 223 2 332 2 32 ee e 6 1 ee 6 1 x xx dxxxxxx 0 2 3 2 3 2 3 2 4 2 ee 6 1 2 x xxxxx xxxxxxx 0 2 2 2 3 2 4 2 4 2 5 2 2222 e6e6e3ee 4 1 4 1 5 1 6 1 1 eee 2 1 e 6 1 e 4 1 4 1 5 1 6 1 23455 xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx e 120 1 e 24 1 e 6 1 e 2 1 ee1 5432 因分布函数 F3 x 连续 有 X3 T1 T2 T3为连续随机变量 故 X3 T1 T2 T3的密度函数为 0 0 0 e 120 1 5 33 x xx xFxp x 方法三 卷积公式 增补变量法 1 两周需要量为 X2 T1 T2 卷积公式 2222 21 dttptxpxp TT 作曲线簇 t1 t2 x 得 x 的分段点为 0 当 x 0 时 p2 x 0 当 x 0 时 x x x x x x ttx xtxtdttxtdtttxxp e 6 1 e 3 1 2 1 e ee 3 0 3 2 2 2 0 2 2 22 0 22 22 22 故 X2 T1 T2的密度函数为 0 0 0 e 6 1 3 2 x xx xp x 2 三周需要量为 X3 T1 T2 T3 X2 T3 卷积公式 3333 32 dttptxpxp TX 作曲线簇 x2 t3 x 得 x 的分段点为 0 当 x 0 时 p3 x 0 x2 0 t3 x x 0 t1 t2 22 当 x 0 时 x x x ttx dttxttxtxdtttxxp 0 3 4 3 3 3 2 3 2 3 3 0 33 3 33 e 33 6 1 ee 6 1 33 x x x xtxtxtxt e 120 1 e 5 1 4 3 2 1 6 1 5 0 5 3 4 3 23 3 32 3 故 X3 T1 T2 T3的密度函数为 0 0 0 e 120 1 5 3 x xx xp x 9 设随机变量 X 与 Y 相互独立 试在以下情况下求 Z X Y 的密度函数 1 X U 0 1 Y U 0 1 2 X U 0 1 Y Exp 1 解 方法一 分布函数法 1 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 2 当 z 0 时 FZ z 0 当 0 z 1 时 2 0 2 000 2 1 2 1 1 zxzxdxxzdydxzF z zzxz Z 当 1 z 2 时 1 1 2 1 1 1 0 1 10 1 0 1 0 2 1 1 111 zz z z xzz Z xzzdxxzdxdydxdydxzF 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 22 zzzz 当 z 2 时 FZ z 1 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 为连续随机变量 故 Z X Y 的密度函数为 0 21 2 10 其他 zz zz zFzp ZZ 2 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 当 z 0 时 FZ z 0 当 0 z 1 时 z z xz z xz zxz y zxz y Z zxdxdxdydxzF e1 e e1 e e 000000 当 z 1 时 zzxzxz xz y xz y Z xdxdxdydxzF ee1 e e1 e e 1 1 0 1 0 1 00 1 00 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 为连续随机变量 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 1 e 1 e 10 e1 z z z zFzp z z ZZ 方法二 卷积公式 增补变量法 卷积公式 dyypyzpzp YXZ 1 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 2 x 0 x2 t3 x 0 y z 1 x 0 y z 1 1 x 0 y z1 x 0 y 1 x 0 y z 1 23 当 z 0 或 z 2 时 pZ z 0 当 0 z 1 时 zdyzp z Z 0 1 当 1 z 2 时 zdyzp z Z 21 1 1 故 Z X Y 的密度函数为 0 21 2 10 其他 zz zz zpZ 2 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 1 当 z 0 时 pZ z 0 当 0 z 1 时 z z y z y Z dyzp e1 e e 00 当 z 1 时 zzz z z y z z y Z dyzp e 1 eee e e 1 11 故 Z X Y 的密度函数为 0 时 e1 e e e e 1 1 0 1 0 1 0 1 0 zz x z x z x y z x y Z zzdxdxdydxzF 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 为连续随机变量 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 0 e 1 e1 11 z z z zFzp zz ZZ 2 作曲线簇z y x 即直线簇 z x y 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 FZ z 0 当 z 0 时 0 1 0 1 0 21 2 12121 ee e eee dxdxdydxzF z x x z x yx z x yx Z 21 1 0 2 1 1 0 1 2 1 2 1 ee z z z dx x z x z 因分布函数 FZ z 连续 有 Z X Y 为连续随机变量 x 0 y z 1 1 1 x 0 y z 1 x 0 y z 1 z 1 x 0 y 1 z 1 0 x y 24 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 0 2 21 21 z z z zFzp ZZ 方法二 增补变量法 1 函数 z x y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加 增补变量 v y 可得 yv yxz 有反函数 vy zvx 且v zv yy xx J vz vz 10 则 dvvvzvpzpZ 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 pZ z 0 当 z 0 时 zzzz v z v Z zz vvdvzp 1111 0 1 0 e 1 e11e1 1 e 1 e 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 0 e 1 e1 11 z z z zp zz Z 2 作曲线簇 x y z 得 z 的分段点为 0 当 z 0 时 pZ z 0 当 z 0 时 0 2 2121 21 0 21 2121 e 1 ee vzvzv Z zz v vdvzp 2 21 21 z 故 Z X Y 的密度函数为 0 0 0 2 21 21 z z z zpZ 11 设 X1 X2 X3为相互独立的随机变量 且都服从 0 1 上的均匀分布 求三者中最大者大于其他两者之 和的概率 解 设 Ai分别表示 Xi大于其他两者之和 i 1 2 3 显然 A1 A2 A3两两互不相容 且 P A1 P A2 P A3 则 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 3P A3 3P X3 X1 X2 因 X1 X2 X3相互独立且都服从 0 1 上的均匀分布 则由几何概型知 6 1 1 2 1 1 3 1 213 XXXP 故 2 1 3 213321 XXXPAAAPUU 12 设随机变量 X1与 X2相互独立同分布 其密度函数为 0 10 2 其他 xx xp x 0 y 1 1 z 0 x y 0 x1 x2 x3 1 1 1 25 试求 Z max X1 X2 min X1 X2 的分布 解 分布函数法 二维随机变量 X1 X2 的联合密度函数为 0 10 10 4 2121 21 其他 xxxx xxp 因 Z max X1 X2 min X1 X2 X1 X2 作曲线簇 x1 x2 z 得 z 的分段点为 0 1 当 z 0 时 FZ z 0 当 0 z 1 时 1 11 22 1 3 1 1 0 2 211 1 0 2211 2 41221421 11 zz zx z zx Z dxxzzxxxxdxdxxxdxzF 3 2 3 8 23 2 4 4 23 2 4 1 41 23 2 4 41 4 2 4442 1 2 1 23 1 4 1 z z zzzzzzxzzxx z 当 z 1 时 FZ z 1 因分布函数 FZ z 连续 有 Z max X1 X2 min X1 X2 为连续随机变量 故 Z max X1 X2 min X1 X2 的密度函数为 i t t tF t i 则设备正常工作时间 T min T1 T2 T3 分布函数为 F t P T min T1 T2 T3 t 1 P min T1 T2 T3 t 1 P T1 t P T2 t P T3 t 1 1 F1 t 1 F2 t 1 F3 t 当 t 0 时 F t 0 当 t 0 时 F t 1 e t 3 1 e 3 t 故设备正常工作时间 T 服从参数为 3 的指数分布 Exp 3 密度函数为 0 0 0 e3 3 t t tFtp t 14 设二维随机变量 X Y 在矩形 G x y 0 x 2 0 y 1 上服从均匀分布 试求边长分别为 X 和 Y 的矩形面积 Z 的密度函数 解 二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 10 20 2 1 其他 yx yxp 方法一 分布函数法 矩形面积 Z XY 作曲线族 xy z 得 z 的分段点为 0 2 当 z 0 时 FZ z 0 x1 0 z 1 x2 z 1 x 2 y 1 0 z 26 当 0 z 2 时 2 00 2 0 1 0 22 1 2 1 2 1 z z z z Z dx x z dxdydxdydxzF x z ln2 ln 22 ln 22 2 z zz x zz z 当 z 2 时 FZ z 1 因分布函数 FZ z 连续 有 Z XY 为连续随机变量 故矩形面积 Z XY 的密度函数为 0 20 ln2 ln 2 1 其它 zz zFzp ZZ 方法二 增补变量法 矩形面积 Z XY 函数 z xy 对任意固定的 y 0 关于 x 严格单调增加 增补变量 v y 可得 yv xyz 有反函数 vy v z x 且 v v z v yy xx J vz vz 1 10 1 2 则 dv v v v z pzpZ 1 作曲线族 xy z 得 z 的分段点为 0 2 当 z 0 或 z 2 时 pZ z 0 当 0 z 2 时 ln2 ln 2 1 2 ln 2 1 0ln 2 1 2 1 1 2 1 2 z z vdy v zpz z Z 故矩形面积 Z XY 的密度函数为 0 20 ln2 ln 2 1 其它 zz zpZ 15 设二维随机变量 X Y 服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布 求极坐标 arctan 22 XYYXR 的联合密度函数 注 此题有误 对于极坐标 不是 arctan Y X 应改为 tan Y X 0 2 解 二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 10 1 22 其他 yx yxpXY 因 tan 22 x y yxr 有反函数 sin cos ry rx 且r r r yy xx J r r cossin sincos 且当 0 x2 y2 1 时 有 0 r 1 0 2 故 R 的联合密度函数为 0 0 0 e x x xp x 1 求 U X Y 与 V X X Y 的联合密度函数 pUV u v 2 以上的 U 与 V 独立吗 解 二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 0 0 0 e 其他 yx yxp yx XY 1 因 yx x v yxu 有反函数 1 vuy uvx 且u uv uv yy xx J vu vu 1 且当 x 0 y 0 时 有 uv 0 u 1 v 0 即 u 0 0 v 1 故 U X Y 与 V X X Y 的联合密度函数为 0 10 0 e 1 其他 vuu uvuuvpvup u XYUV 2 当 u 0 时 pU u 0 当 u 0 时 uu UVU udvudvvupup ee 1 0 则 0 0 0 e u uu up u U 当 v 0 或 v 1 时 pV v 0 当 0 v 1 时 1 2 e 0 duuduvupvp u UVV 则 0 10 1 其他 v vpV 因 0 10 0 e 其他 vuu vpupvup u VUUV 故 U 与 V 相互独立 17 设 X Y 独立同分布 且都服从标准正态分布 N 0 1 试证 U X 2 Y 2与 V X Y 相互独立 证 二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 yxyxp yx e 2 1 2 22 因 22 y x v yxu 有 1 1 1 2 2 u v y u v v x 对于 1 1 1 2 2 u v y u v v x 有 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 222 222 v u vv v u v u vv u v v yy xx J vu vu 28 对于 1 1 1 2 2 u v y