专题二：整除及余数问题.doc

2013年寒假专题训练 专题二：整除、余数问题【一】基础训练1.用16这6个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数，使得三位数、能依次被4、5、3、11整除。求这个六位数。解：因为，所以。又因，所以， 是11的倍数。但是6，3，因此，只能=0，即5+。又6，故只能，。又因3，即3，所以，能被3整除。而，可知为偶数，只能。进一行推知，。故。2.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？解题思路：本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225259，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。有2147519181278，不难得出上面四种答案。解：3.如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？解：因为19929910518989，所以1992999199290就是105的倍数，所以填的两位数是90。4.某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？解题思路：依题意，能同时被2和5整除的数，其个位一定是0，其次该数若是8和9的倍数就一定是2、3、4、6的倍数，所以所求的数只需满足能被7，8，9整除。(1)若能被9整除，百位与十位的和就是5或14，后三位有可能是500，410，320，230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用8来检查，即8的倍数应该检查末三位，只有320和680；(3)最后用7来检查，只有320可以。所以最后的三位数是320。解：5.用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？解题思路：168738，要是7的倍数，那么这个题中就一定是的形式。1001，那么必须是3和8的倍数，67821，保证了3的倍数，而要满足能被8整除就只有768，所以六位数是768768。6.找出四个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除。如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？解题思路：如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2。所以先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为527，不能被3整除。再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求。7.把若干个自然数1、2、3、乘在一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是0，那么最后那个自然数最小应该是多少？解：1234550，50510(个)5的倍数，50252(个) 25的倍数。即1234550的积中有12个0，所以(1234555)的乘积的最末13位恰好都是0。即乘到最后的那个自然数最小应该是55。8.975935972，要使这个连乘积的最后四个都是0，那么方框内的数最小是多少？解：四个0就说明至少4个2和4个5，975中2个5，935中1个5，972中2个2，还差1个5和2个2，所以方框中至少是22520。9.试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13。解：显然，这样的自然数不可能为两位数，因为如果是两位数，则必然具有形式，但为偶数，与它的各位数字之和等于13矛盾。设所求之数为三位数。即：；：是11的倍数；：所求之数为最小。有：=11。得。于是12，由于，从而。当时，。所以，所求的最小自然数是319。10.173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？解：因为能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位数173的数字的和为：17311，因为内的数字最大不超过9，所以内只能填7。因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。所以(7)(13)3应是11的倍数。同理：内只能填8。因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而17311由此可知内只能填4。78419。所求的和是19。11.一个两位数去除251，得到的余数是41。求这个两位数。分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数。解题可从带余除式入手分析。解：12.用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数分别是多少？解：被除数=除数商余数，即被除数除数4016。由题意可知：被除数除数9334016877，所以（除数40+16）+除数=877。所以，除数4187716，除数=86141，除数=21，所以被除数=2140+16=856。答：被除数是856，除数是21。13.两数相除商是8，余数是16，被除数、除数、商和余数的和是463。被除数是多少？解：14. 一个两位数除474，余数是6，求符合条件的所有两位数。分析：被除数是474，余数是6，那么，被除数余数除数商，因此可以求出除数与商的积，然后将这个积分解质因数，求出它的两位数约数即可。解：15.用5除余2，用6除余5的数，求1200中所有这样的数。解：5，630，被5除余2的数有：7，12，17，而在这一列数中，被6除余5的数最小是17。所以满足条件的数就有：1730017； 1730147； 1730277； 17303107；17304137； 17305167； 17+306197。16.一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？解：2005195，3001299，40010390，则195，299，390均能被所求的数整除1951315，2991323，3901330故同时能整除195，299，390的数为13。17.某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，因为31743，所以根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。所以这年的10月1日是星期四。18.3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，“从3月17日作为第一天开始往回数1993天”,换句话为“从3月18日作为第一天开始往回数1994天”。即：(19931)7284（周）6（天），从星期日往回数6天是星期二，所以第1993天必是星期二。19.一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析：“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：20.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。21.某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几。解：三个星期日的偶数日期分别为2、16、30号。所以这个月的15日是星期六。22.一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子。如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？分析：先要转化条件“3倍还少5人”。假设再补10个桔子，同时可以再补5个人，(把“少5人”这一条件暂时搁置一边)只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给236（个）。所以原题更直观地理解为 “每人5个还多余10个桔子，每人分6个桔子还缺少18个桔子(补的10本来缺的8个）。”所以原有人数28(65)28（人）。桔子总数是52810150（个）。答：有桔子150个。23.小明骑自行车从甲地到乙地去。出发的时候，心里盘算了一下，慢慢地骑，每小时骑10千米，下午1点才能到；使劲地赶路，每小时骑15千米，上午11点就能到。小明要中午12点到，每小时应骑多少千米？解：1点到比11点到多用2小时，相差10220千米。每小时多骑(15-10)千米，需要：20(1510)4（小时）提前骑完这20千米。甲地到乙地距离是15460(千米)，要12点到，每小时应骑60(41)12(千米)。答：要12时到，每小时应骑12千米。24.一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个。如果按6个一堆放，最后多出4个。如果按7个一堆放，还多出1 个。这筐苹果至少有几个？25.求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数。26.求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小整数。27.求被4除余2，被6除余4，被9除余8的最小整数。28.求被3除余2，被7除余3，被11除余4的最小整数。29.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是多少？30.小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个。那么小胖家有几个人，这筐梨子有几个？31. 假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？32.求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数。33.一个自然数被5，6，7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？34.有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数之和是25，这个整数是多少？35.求被5除余2，被7除余2，被9