第5讲用样本估计总体(教师版).doc

第 5 课时：用样本估计总体一、 考试说明(1) 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。(2) 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据平均数和标准差。知道平均数与标准差是样本数据基本的数字特征。(3) 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。(4) 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。二、 题型示例典例1: 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答下列问题： （）求全班人数及分数在之间的频数；（）不看茎叶图中的具体分数，仅据频率分布直方图估计该班的平均分数；典例1图考查意图：概率求法、统计茎叶图、频率分布直方图的认识与应用解：（），即全班人数为25人，分数在之间频数为4 （）平均分数估计值变式1：某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,106，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 () A90 B75 C60 D45解析：产品净重小于100克的频率为(0.0500.100)20.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则0.300，所以n120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.1000.1500.125)20.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.7590.故选A.答案：A典例2：随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.【过程演绎】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) 甲班的样本方差为 57 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件； ；变式2：以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=19典例3：如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则( )(A) ，sAsB(B) ，sAsB(C) ，sAsB(D) ，sAsB【思路点拨】本题考查样本分析中两个特征数的作用【过程演绎】10；A的取值波动程度显然大于B，所以sAsB 选B变式3：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3【过程演绎】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D. 三、 实时训练1. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。【答案】60设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。2从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B.【解析】根据平均数的概念易计算出，又，故选B.3. 设矩形的长为，宽为，其比满足，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.6134. 第10题图某产品前年的总产量与之间的关系如图所示，已知前年的平均产量最高，则等于A6 B7C8 D9【答案】A前年平均产量，即为点与点连线的斜率，由图可知，第6年时斜率最大5. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_【答案】这10个数的中位数为10.5.这10个数的平均数为10.要使总体方差最小，而(a10)2(610)2a2b220(ab)200a2b220，即(a10)2(b10)2最小a0，b0，a2b2(当ab时取等号)ab21，当ab10.5时，取得最小值. 答案：a10.5，b10.5四、 课后演练1. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数8.48.78.78.3方差s23.63.62.25.4从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()A甲 B乙 C丙 D丁【答案】C由表格可知，丙的平均成绩最高，且丙的方差最小，所以最佳人选是丙，故选C.2.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()甲乙07954551844647m93Aa2a1Ca1a2 Da1，a2的大小不确定【答案】B 由茎叶图，甲、乙选手去掉一个最高分和一个最低分后，为中间的5个数据，则a18084，a28085，故选B.3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则()Amemo BmemoCmemo Dmome【答案】由题意mo5，me5.5，显然memo，故选D.4. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为= . 【答案】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差 5. 在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图K545所示的频率分布直方图已知成绩在60,70)的学生有40人，则成绩在70,90)的有_人【答案】25 设总人数为x，则有0.0410x40，得x100，故成绩在70,80)的人数为0.0151010015，成绩在80,90)的人数为0.011010010，所以成绩在70,90)的有25人高考预测:某食品厂为了