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两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 摘要 在物理和工程中的很多数学模型通常最终都归结到非线性偏微 分方程 因此这些方程所具有的各种性质 如显式精确解 守恒律 h a m i l t o n 结构等对于一些物理现象的解释就显得十分重要 然而 非线性偏微分方程的数量十分巨大 并且随着现代科技的飞速发展 大量新的偏微分方程正从各个学科中涌现 因此对于这些方程的性 质的研究也就越来越重要 孤子解是非线性偏微分方程的一类特殊 解 如果非线性偏微分方程代表某种物理过程 那么其相应的孤子 解也具有确定的物理意义 目前 孤子作为非线性科学的一个重要 分支正被广泛地研究 本论文以非线性偏微分方程的理论为基础 利用计算机符号计 算对两类非线性偏微分方程 即变系数b o u s s i n e s q 方程和变系数五 阶k o r t e w e g d ev r i e s k d v 方程的可积性质进行了研究 主要内容包 括以下几个方面 1 p a i l l l e v 6 检测 1 9 8 3 年 w e i s s 1 a b o r 和c 锄e v a l e 通过推 广常微分方程的p a i n l e v 6 检测方法 提出了偏微分方程的p a i n l e v 6 检测算法 该方法不仅提供了一个判定某个非线性发展方程是否完 全可积的必要条件 而且利用该方法可以研究非线性发展方程的可 积性质 如b 孔h u i l d 变换 l a x 对等 并使之能够有效地用于许多 非线性系统可积性质的研究 同时 作为 副产品 可以利用p a i n l e v 6 截断展开法构造方程的自b 磊c l 1 u n d 变换 本文第二章便针对变系数 b o u s s i n e s q 方程进行p a i n l e v 6 检测 证明了该方程在一定的约束条件 下是p a i n l e v 6 可积的 即方程具有p a i l l l e v 6 性质 最后 利用p a i n l e v 6 截断展开法构造了该方程的自b a c 心u n d 变换 2 在实际的科学与工程中 变系数非线性偏微分方程相对于常 系数方程来说 更能有效地描述实际物理过程 因此 对于变系数 模型的研究也就愈发显得重要 在第三章 本文介绍一种比较有效 的研究变系数非线性偏微分方程的方法 该方法是通过建立一种坐 标变换关系 使得在新的坐标系下 将要研究的变系数非线性偏微 分方程转化为常系数标准方程 利用所建立的变换关系 将标准方 程的各种性质映射到变系数方程 从而达到研究变系数非线性发展 i i i 北京邮电大学硕士研究生论文 方程性质的目的 利用该方法 本文第三章就通过分别建立变系数 b o u s s i n e s q 方程和变系数五阶k d v 方程的坐标变换 将它们分别变 换到相应的常系数方程来研究 同时得到了这两个方程具有可积性 质的约束条件 利用已知的常系数b o u s s i n e s q 方程的一系列性质 通过变换关系映射得到变系数b o u s s i n e s q 方程的b 各c l 1 u n d 变换 非 线性叠加公式 l a x 对等可积性质 3 d a r b o u x 变换方法是构造非线性方程显式解的一种极其有效 的方法 从一个平凡解出发 通常取零解 通过一次或者连续多次 d a 而o u x 变换就可以得到方程的单孤子解或者多孤子解 构造这种变 换的关键就在于确定出一种能够保持方程的l a 对形式不变的规范 变换 在本文第四章 基于第三章的理论基础以及所得结论 构造 出了变系数b o u s s i n e s q 方程的d a r b o u x 变换以及变系数五阶k d v 方 程的l a 对和d a r b o u x 变换 通过d a r b o u x 变换得到变系数五阶k d v 方程的新的单孤子和双孤子解 4 最后 利用第三章中所求得的变系数b o u s s i n e s q 方程的 b 萏c h u n d 变换 通过给定初始解从而求得了变系数b o u s s i n e s q 方程 的新的孤子解 利用m a t h e m a t i c a 当取不同的变系数时 对所求得 的变系数b o u s s i n e s q 方程以及五阶k d v 方程的解进行作图分析 并 对其可能的物理意义和应用进行讨论 关键词 非线性偏微分方程 b i i c l d u n d 变换 l 觚对 d a r b o u x 变换 p a i n l e v 6 性质 孤子解 i v 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 s t u d y o ni n t e g r a b l ep r o p e r t i e sf o rt w ok i n d so f i a b l e c o e f j c i c i e n tn o n l i i l e a rp 叭i a ld i 脑e n t i a le q u a t i o n s a bs t r a c t i na l m o s ta l lf i e l d so fn a t u r a ls c l e n c e s n o n l m e a rp a n l a ld l t t e r e n t l a l e q u a t i o n s n p d e s c a nb eu s e dt 0e x p l a i nar i c hv 撕e t yo fp r a c t i c a l p r o b l e m s t h e r e f o r e i th a sb e c o m ec o n s i d e r a b l ys i g n i f i c a n tt os t u d y i n t e 铲a b l ep r o p e n i e so ft h e s ee q u a t i o n s i n c l u d i n ga n a l y t i c a ls 0 1 u t i o n s i n f i n i t en u n 而e ro fc o n s e r v a t i o nl a w sa n dh a n m t o ns t m c t l l r e w h i c ha r e v e 巧u s e 允1t 0u n d e r s t a n d i n gv a d o u sp h y s i c a lp h e n o m e n a t h ei m m b e r o fn p d e si sh u g e a n dm o r ea n dm o r ee q u a t i o n sa r es p r i n g i n go u ti n m a n yf i e l d sw i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e mt e c h n o l o g y s ot h a ti t 印p e a r sm o r ei m p o r t a n tt os t u d yi n t e g r a b l ep r o p e n i e so f t h e s ee q u a t i o n s m e a m m i l e s o l i t o ns o l u t i o n sa r eas p e c i a lk i n do fs 0 1 u t i o n sf o rn p d e s a n dp o s s e s sc e n a i np h y s i c a ls i g n i f i c a n c ew r h e nt h ee q u a t i o n sr e p r e s e m s o m ep h y s i c a lp r o c e s s e s t b d a ms o l i t o n 鹤o i l es i g n i f i c a mb r a n c ho f n o n l i n e a rs c i e n c e h a s 撒r a c t e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tb o t hi nt h et h e o 巧 a n de 叩e r i m e n t b a s e do nt h et l l e 0 巧o f 小m d e s t h j sp a p e ri n v e s t i g a t e ss o m e i n t e g r a t l ep r o p e r t i e sf o rv 撕a b l e c o e m c i e n tb o u s s i n e s q v c b e q u a t i o n a n dv a r i a b l e c o e m c i e n tf i 觚 o r d e rk o r t e w e g d ev r i e s v c d e 1 u a t i o n t h es t m c t u r eo ft h i sd i s s e n a t i o ni so 玛a n i z e da sf o l l o w s 1 p a i n l e v 6t e s t t t 啪u 曲g e n e r a l i z i n gp a i n l e v 6t e s t f o ro r d i n a 巧 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o d e s i n19 8 3 w e i s s t l b o ra n dc a m e v a l e a d v a n c e dp a i n l e v 6t e s tf o rp a r t i a ld i 侬i r e n t i a le q u a t i o n s p d e s w h i c h p r o v i d e san e c e s s a 巧c o n d i t i o nt oj u d g et h ei n t e 酏b i l i t y o fag i v e n e q u a t i o n t h i sm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e dt or e s e a r c ht h ei n t e g r a b l i t i e s f o rn p d e s i n c l u d i n gb a c k l u n dt r a n s f o m a t i o l l sa n dl a xp a i r s a sa b y p r o d u c t t h ea u t o b 蕴c u n dt r a n s f o m l a t i o nf o rp d e sc a nb eo b t a i n e d t h r o u g ht h et m n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d i nc h 印t e r2 b y v 北京邮电大学硕士研究生论文 c a r 咖n go u t t h ep a i n l e v 6a n a l y s i sf o rt h ev c be q u a t i o n w ew i l ls h o wt h a t t h i se q u a t i o np o s s e s s e sp a i n l e v 6p r o p e r t yu n d e rc e r t a i nc o n s t r a i n t s a tt h e e n do ft h i sc h a p t e r t h ea u t o b a c l 1 u n dt r a n s f o m l a t i o nf o rt h i se q u a t i o ni s a l s oc o n s t r u c t e dw i t ht h et n m c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d 2 i nt h ep r a c t i c a lp h y s i c sa n de n g i n e 嘶n g t 描n gi n t oa c c o u n tt h e n o n u n i f o r mb o u n d a d e sa n d o r i h h o m o g e n e o u sm e d i a t h ev a r i a b l e c o e 衔c i e n tm o d e l sc a nd e s c r i b ev a d o u ss i t u a t i o n sm o r er e a l i s t i c a l l vt h a n t h e i rc o n s t a n tc o e m c i e n tc o u n t e r p a r t s i nc h a p t e r3 t h i sd i s s e r t a t i o n i n t r o d u c e sa ne 艉c t i v em e t h o dt or e s e a r c hv a r i a b l ec o e 伍c i e n tm o d e l s b yt h ev 撕a b l et r a n s f o n n a t i o nr e l a t i o n t h ev 撕a b l ec o e 伍c i e n tm o d e l s c o u l db et 1 a n s f o m e di n t oc o n s t a n tc o e 伍c i e n to n e s t h e n w i t ht h ea i do f t h e 缸硼s f b m a t i o n m a n yi n t e g r a b l ep r o p e n i e so fc o n s t a n tc o e m c i e n t o n e s 踟 em a p p e di n t ov 撕a b l ec o e 衔c i e mc o u n t e r p a n s t h i sc h a p t e r i m p l e m e n t st h i sm e t h o do nv c be q u a t i o na n dv c d ve q u a t i o na n d o b t a i n st h ei n t e g r a b l ep r o p e n i e so ft h e s e e q u a t i o n su n d e rc e r t a i n c o n s t r a i n t s r e s p e c t i v e l yb e s i d e s f o rt h ev c be q u a t i o n s o m ep r o p e r t i e s a r e d e r i v e d i n c l u d i n gt h e a u t o b 萏c k l u n dt r a n s f o m a t i o n n o n l i n e a r s u p e r p o s i t i o nf o r 瑚 u l aa n dl a xp a i r s 3 t h ed a r b o u x 仃a n s f o m a t i o ni s u s e 向la n dp o w e r 如lf o r c o n s t m c t i n gt h ea n a l y t i c a ls 0 1 u t i o n sf o ri n t e 伊 a b l en p d e s a r e ro n c eo r s e v e i i a lt i m e se i a r b o u x 缸孤s f o n n a t i o n o n e s o l i t o no rn m l t i s o l i t o n s o l u t i o n sc o u l db eg a i n e df 沁mat r i v i a ls e e ds o l u t i o n t h ek e yo ft h i s 乜a n s f o m a t i o ni st oc o n s t m c tag a u g et r a n s f o m a t i o nt ok e e pt h ef o r mo f l a xp a i r si n v 撕a n t i nc h 印t e r4 o nt h eg r o u n do ft h et h e o 巧a n dr e s u l t s o fc h a p t e r3 t h ed a r b o u x 仃a n s f o m a t i o n sf o rv c be q u a t i o na n dv c f k d v e q u a t i o na 1 eo b t a i n e d e a n w h i l e t h el a xp a i r s o n e a n dt w o s 0 1 i t o n s o l u t i o n sf o rv c f k d ve q u a t i o na r ea l s od e r i v e d 4 i nt h ee n d w i t ht h ea i do ft h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o r v c be q u a t i o no b t a i n e di nc h a p t e r3 n e ws o l u t i o n sf o rt h i se q u a t i o na r e g o t t e nb yc h o o s i n g as e e ds o l u t i o n a m a t h e m a t i c a c h 印t e r5 d i s c u s s e sp h y s i c a li m e r e s ta n dp o s s i b l e 印p l i c a t i o n so ft h es o l u t i o n sf o r t h e s et w oe q u a t i o n sw i t hm ec h o i c eo fd i f f e r e n tc o e 伍c i e n t 如n c t i o n s 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 k e yw o r d s n o n l i n e a r p a r t i a l d i f j f 孤n t i a l e q u a t i o n b 磊c u n d t r a n s f o 触a t i o n l a xp a i r s d a r b o u x 打a n s f o 彻a t i o n p a i n l e v 6p r o p e 啊 s o l i t o ns o l u t i o n v n 北京邮电大学硕士研究生论文 独创性 或创新性 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外 论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得北京邮电大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处 本人承担一切相关责任 本人签名 红 囊芬 奄 日期 2 丝星l 互j 超一 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定 即 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学 学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许学位论文被查阅 和借阅 学校可以公布学位论文的全部或部分内容 可以允许采用影印 缩印 或其它复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后遵守此规定 保密论文注释 本学位论文属于保密在 年解密后适用本授权书 非保密 论文注释 本学位论文不属于保密范围 适用本授权书 本人签名 导师签名 1 1 日期 跏g 如 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 第一章绪论 非线性科学是继量子力学 相对论之后 2 0 世纪自然科学的又一重大飞跃 爱因斯坦曾预言 由于物理学的基本方程都是非线性的 因此所有的数学物理 都必须从头研究试 非线性科学的迅速发展使它成为众多学科的前沿课题之一 而孤子是最早在自然界观察到并可以在实验室产生的非线性现象之一 它作为非 线性科学的一个重要分支 在2 0 世纪6 0 年代之后得到了快速发展 对孤子现 象的研究不仅开拓了数学物理新的研究领域 并且在高新科技领域得到了重要应 用 如光纤孤子通信 非线性光学中的空间光孤子 磁通量子器件 约瑟夫逊计 算机 电荷密度波和自旋密度波 生物学中的达维多夫孤子 等离子体中的孤子 等掣 1 1 孤子理论的起源及发展 孤子是最早在自然界中观察到的一种非线性现象 并且在之后的研究中通 过实验得到了证实 从孤子发现到现在已经有一百多年的历史 但是它的发展 经历却起起伏伏 而到目前为止 该领域的发展大致分为以下几个过程 首先是孤子现象的发现 孤子最早是由i 沁s e l l 于1 8 3 4 年在自然界观察到 并在1 8 4 4 年的报告中提出 其描述如下 l 2 3 4 q 当时我正在观看由两匹马迁移的 沿着不宽的河道迅速向前运动的 一只小船 当小船突然停止时 河道中由船推动的一大堆水并不停止 而是聚 集在船头 激烈的摇动着 随后呈现出一个很大的 孤立的隆起 那是一个滚 圆的 光滑的 而且周界分明的水堆 它突然离开小船 以很高的速度向前运 动 而将小船甩在它后面 这个水堆沿着河道继续行进 没有明显的改变它的 形状或者降低它的速度 我骑马紧跟 并赶上了它 它仍然以大约每小时8 或 9 英里的速度滚滚向前 并且保持着原来的大约3 0 英尺长 1 英尺半高的外形 随后 它的高度逐渐下降 在我追赶一两英里之后 它在河道的弯曲处消失 了 这就是最早人们对孤子现象的描述 在r u s s e n 观察到该现象之后的很长一 段时间 他都致力于通过实验来确定这种波的性质 但是当时并不是所有的人 都认为孤子是自然界中的一种特殊现象 因此这种特殊的波引起了人们长时间 北京邮电大学硕士研究生论文 的争论 l 2 3 4 1 直到1 8 9 5 年 k o r t e w e g 和d ev h e s 通过对浅水波的运动 在长 波近似和小振幅的假设下建立了单向运动浅水波的数学模型 3 4 鲁 非击陟 和三仃鲁 m 其中刁为波峰高度 为水深 g 为重力加速度 口和仃是与流体的特征 密度 表面张力等 相关的常数 通过该模型可以得到r u s s e u 所观测到的波及其运动 情况 对方程 1 1 作坐标变换 忙舾 7 一兰 1 2 x 一一 il zj 三 7 一三口 去掉引 的记号后 方程 1 1 变换为 6 峨 o 这就是著名的k o r t e w e 争d ev n e s 方程 简称为k d v 方程 5 1 观察到的6 0 年之后 它才在学术界普遍被人们接受 1 3 至此 在孤子被 由于对孤子性质认识不足 对它的研究一度又进入平静期 没有明显进展 直到在k d v 方程提出6 0 多年之后 又再度进入了活跃期 并且得到了很多重 要的结果 1 3 4 1 9 5 5 年 f e n n i p a s t a 和u l a m 简称f p u 利用计算机对一维非线性晶 格在各个振动之间能量转换进行计算 发现在足够长的时间之后 能量似乎又 回到了最初的模式 6 此后 t 0 d a 研究了这种模式的非线性振动 得到了孤子 解 合理的解释了f p u 问题 7 从而激起人们对孤子的研究兴趣 19 6 2 年 p e r r i n g 和s k y n i l e 在利用数值计算方法研究s i n e g o r d o n 方程 时得到了双孤波的碰撞 引 1 9 6 5 年 z a b u s k v 和k n j s k a l 也利用数值方法研究了 两个孤子的碰撞过程发现 两个孤子的碰撞类似于两个粒子的碰撞 并且首次 命名了孤子 s o l i t o n 9 1 从而将孤子概念移植到物理学中 为以后人们在其 他各领域中孤子的研究奠定了一定基础 5 m 1 9 6 7 年 g 鲫d n e r g r e e n e l 湘s k a l 和m i u r a 简称g g k m 提出了逆散 射方法 l l 它解决了一大类孤子演化方程的求解问题 不仅为数学开拓了一个 新领域也为孤子物理学的研究提供了数学工具 1 9 6 8 年 l a 引入了l a x 对 将孤子演化方程的求解问题和求l a 对的 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 问题联系起来 从而使逆散射方法的数学形式表达得更为简洁 促进了逆散射 方法的全面发展 l o 1 2 1 9 7 2 年 z a 妨a r o v 和s h a b a t 找到了非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的l a x 对 并首次求得了该方程的孤子解 1 3 1 1 9 7 3 年 a b l o w i 钇k a u p n e w e l l 和s e g u r 共同提出了触 o 吃厂 工 o 啦厂 z o 2 21 嗍 o 嘞厂 x o 口2 厂 石 0 3 1 7 q 0 那么至此在如下变换下 b x f 彳 f u x x 丁o x x 口x 6 丁 f 钟 仃 2 6 3 1 8 3 1 9 3 2 0 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 b x f 一二l i 厂 力 i g z c 幻i 3 2 1 z 缈o o 其中口2 口 r 7 么 茁厂和c 2 2 口 厂2 r 6 和仃都是任意常数 同时 厂 功和g 工 满足约束条件 3 1 4 和 3 1 5 成功地将变系数方程 2 7 变换到常系 数的b o l l s s i n e s q 方程 3 2 并且对照可知 此时的约束条件 3 1 4 和 3 1 5 也正 是2 3 节中该变系数方程通过p a i n l c v 6 检测的条件 在此 值得一提的是方程 3 2 不仅可以通过反散射方法求解 8 7 同时它还 具有很多显著的特性 例如b a c k l u n d 变换 州 8 5 1 p a i l l l e v 6 性质 8 5 1 l a x 对 8 6 8 7 无穷守恒律 跚 d a r b o u x 变捌8 6 8 9 等 所以在相应的约束条件下 通过坐标变 换 3 1 8 可以实现基于常系数b o u s s i i l 懿q 方程的变系数b o u s s i n e s q 方程 2 7 可积 性研究 一般说来一个变系数的非线性发展方程只有在一定的约束条件下才是可积 的 像我们上一小节刚刚得到的 变系数方程 2 7 在约束条件 3 1 4 和 3 1 5 下 是可积的 而该约束条件也是该变系数方程满足p a i n l e v 6 可积的条件 见2 3 同时 通过将变系数非线性发展方程变换到其相应的可积的常系数方程来实现 对变系数方程的研究方法已经成为一种重要的研究变系数非线性发展方程的方 法 9 0 h 9 2 1 因此 下面通过已经得到的变换和约束条件 对变系数b o u s s i n e s q 方 程的可积性质进行进一步研究 3 2 2 变系数b o u s s i n e s q 方程的自b a c h u n d 变换 对于自b a d d d 变换的基本概念我们在前面已经介绍过了 这里我们在约 束条件 3 一1 4 和 3 1 5 下 利用已经得到的变换 3 1 8 来实现对变系数b o u s s i n e s q 方程 2 7 的自b a c l l l l l l d 变换的构造 在不失一般性的情况下 我们令口 1 6 和7 1 那么方程 3 2 就变 为以下形式 u 一u 0 一 一3 u 2 朋 o 3 2 2 而该方程的自b 五c l l u n d 变换在参考 3 5 中已经得到 即若令u 则 3 2 2 变换为 一 一6 一 o 3 2 3 该方程的自b 孔k l u i l d 变换为 甄 r 五 p s 2 矿一 占 形一 2 秒 肜一 3 北京邮电大学硕七研究生论文 3 p 护 矿一 陟名一 z 目 陟么一瞩 崩 3 2 4 孵一 r p 3 曰 矿一 一 砉 崩 3 2 5 其中口2 一1 3 五和户为任意常数 矿和瞩是方程 3 2 3 的两个不同的解 因此 在约束条件 3 1 4 和 3 1 5 下 利用变换 3 1 8 可以得到方程 3 2 的自 b 菇c k l u n d 变换 w w o 等 c 帅2 坝w w o 掣 掣口以a 一 詈 等产卜廿掣 p 2 6 一斗等一筹c w w 0 卜廿型 型 p 2 7 其中甜 比 a c p 彳 p 和力都是任意常数 而此时的w z f 满足方程 鬈 阻 厂 x w k 缈比w 0 g x 叱 o 3 2 8 3 2 3 变系数b o u s s i n e s q 方程的l a x 对 因为常系数方程 3 2 具有可积性质 所以在约束条件 3 1 4 和 3 1 5 下 方 程 2 7 也具有可积性质 那么接下来 我们利用3 2 1 中所得变换 在约束条件 下研究方程 2 7 的l a x 对 首先 我们来考虑如下方程 u 0 一u 二 2 膨 o 3 2 9 即当变换 3 1 8 中彳 一2 彩 口2 一 3 r 和c 2 2 3 r 可将方程 2 7 变换到 3 2 9 对于方程 3 2 9 来说 我们已经得到它的l a 为 御 侈一书去 导 p 3 24 a xa x j 府 一u 一羔 3 3 1 a x l 其中 3 4 3 坼 4 三是关于特征问题的算子 府表示特征函数随时间 发展的算子 8 6 1 也就是说由l a x 方程 己一砑云 三厨 o 3 3 2 可得到方程 3 2 9 成立 那么在约束条件 3 1 4 和 3 1 5 下 我们利用变换可以得 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 到方程 2 7 的l a x 对 其中 三沙 见y 彬 m f 3 3 3 y 一丢岳 避茅丢 砉导 c 3 3 4 l y 一 二 二 i3 3 4 l 4 口a x2 口彳a x 口 a 7 膨 一丛竺二盟一乓篓 彳口2a x 2 而匕 3 一b 4 么4 3 鲫 4 么c 此时有 3 3 5 厶卅三 三m 0 3 3 6 成立 当且仅当 k f 为方程 2 7 的解 也就是说在约束条件 3 1 4 和 3 1 5 下 我们得到了方程 2 7 的l a 对为公式 3 3 4 和 3 3 5 那样也就意味着基于此l a x 对 我们可以进一步来研究该变系数方程其他的可积性质 如d a r b o u x 变换 无穷守恒律 双线性形式b a c k l u n d 变换等 3 3 将变系数五阶k d v 方程变换到常系数五阶k d v 方程 五阶k 删 是从量子物理和非线性光线光学中得到的 9 3 它不仅可以 用来描述在重力作用下的浅水波中长波运动 也可以用来描述在一维非线性晶 格中长波的运动 舛 恻 利用h 的t a 方法 1 唧和反散射方法 1 0 1 1 已经求得了该方 程的解析解和数值解 并且也对解所表示的相应的物理意义进行了讨论 五阶 k d v 方程有如下一般形式 舛 q 口 2 蚝 蚝z k 7 0 3 3 7 其中口 和y 为任意非零的实参数 而对于五阶k d v 方程来说 参数口 和y 之间关系的变化可能会导致五阶k d v 方程本身所具有的特性发生很大的变 化 9 3 1 像在第三章开始提到的 因为变系数的方程往往比其相应常系数方程更适用 于描述现实中的现象 所以下面我们来研究变系数s a w a d ak o t e m s k 方程 它 是常系数五阶k d v 方程的一种推广 1 叼 吩 f 2 g f f 甜 尼o 一 o 3 3 8 其中系数 f g f j i i f 和尼 f 都是解析函数 利用齐次平衡方法已经得到该 北京邮电大学硕十研究生论文 方程的一些精确解 1 0 2 1 我们接下来的工作将此变系数方程变换到对应的常系数方程 进而为进一步 研究方程 3 3 8 的其他性质提供了很大的帮助 假设存在如下变换 b x f 彳 x f u 石 z f 丁 f 3 3 9 其中彳 x f b x f x 瓴f 和丁 f 都是解析函数 通过此变换可以将方程 3 3 8 变换到方程 3 3 7 那么借助于m a t h 锄a t i c a 软件 我们将变换 3 3 9 代入方程 3 3 8 需有下式成立 5 七4 置4 1 0 尼以4 么k 0 3 4 0 么b 鼍3 1 0 尼鼍3 如 3 0 七4 以2 k 1 5 七心k 2 1 眦彳以2 k o 3 4 1 么9 4 叉 3 l l 么墨2 3 j 1 4 2 五x o 3 4 2 3 b h 也x a g b x x 3 a b h x x 3 q k xx k x s k a x x 1 0 七t 24 2 0 七4 以义0 l o a 七天 灭0 5 么七置叉二搿 0 3 4 3 2 9 a a l x g 岔xx x q q 冬吣 2 a lb f x 2 9 a x x j ra g xx a 3 从xx k 七a g a x x 3 彳 i l 工二4 彳2 办工二 o 3 4 5 a x x a b f xx 2 9 a x b x xx 3 b h xx k a g x b 3 b h x a l a g xx l b x q k x a a b h x q k a x 啦七s k x x a 蝴 5 七4 j 哪 么七k 0 3 4 6 彳2 厂4 o 3 4 7 2 么忍缉 彳2 厂最 9 4 如 彳五4 o 3 4 8 a b fa x 2 a bib x g b x a g a x b b h a 麟 彳j l l 9 后4 o 3 4 9 b t 七b b x f g b x b 七b h b 七k b 一 q q s 娜 由上面的式子 我们得到如下结果 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 4 x f f 口 工 f 0 3 5 1 3 5 2 x x f 口x 6 3 5 3 其中口 6 和g 为任意常数 此时 再将变换 3 3 9 代入方程 3 3 8 我们可以得 到 g u 口s 3 u 2 己0 口3 9 2 9 己0 己 x 口3 9 2 u 己厂i 粉z 4 5 占尼己k o 3 5 4 当满足 生型 掣 生塑 础 m 3 5 5 口8y 一 时 方程 3 5 4 对应常系数非线性发展方程 3 3 7 也就是说经过相应的变换 在 约束条件 3 5 5 下 方程 3 3 8 可以变换到 3 3 7 那么当 3 3 7 为可积方程时 在 约束条件下 3 3 8 同样具有可积性质 北京邮电大学硕士研究生论文 第四章d a r b o u x 变换 4 1 原始的d a r b o u x 变换方法 d a r b o u 变换方法是构造可积的非线性方程显式解的一种极其有效的方法 之一 8 6 1 0 3 1 0 4 1 它是利用非线性发展方程的平凡解和l a x 对的解 经过d a r b o u x 变换来求得非线性发展方程的无穷多新解 比如可得到孤子解 有理解和周期 解 构造这种变换的关键步骤就是确定出一种能够保持方程的l a x 对不变的规 范变换 至今在这方面已经有很多技巧并应用于求解多种方程 1 0 5 1 如k d v 方 程 d a v e y s t e w a r t s o n 方程等 1 叫 对于可积系统来说 d 曲0 u x 变换是一种特殊的规范变换 它不仅需要建 立一个方程两个解之间的关系同时还需要建立特征函数之间的关系 并且要求 在这两个关系下方程及其所对应的l 觚对具有形式不变性 因此d a r b o u x 变换 是b 冱c k l u i l d 变换的一种特殊情况 也由于d a r b o u x 变换所特有的这种性质 使 得它成为构造方程解的有力工具 1 0 3 h 1 1 1 1 最原始的d 曲o u 变换是d a r b o u x 在1 8 8 2 年提出的 他在研究了一个二阶 线性常微分方程 现在称之为一维定态s c h r 6 d i n g e r 方程 的特征值问题时 一九一甜 功 力 4 1 其中 工 是给定的函数 称为势函数 名为常数 称为谱参数 1 1 2 1 发现设 石 和矽 x 力 是满足方程 4 1 的两个函数 对任意给定的常数气 令厂 石 矽 x 九 即厂是 4 1 式当兄 九时的一个解 则由 材 2 1 i l 职 4 2 矽 x 兄 纯 x a 一号矽 x 五 4 3 所定义的函数 和矽 兄 一定满足和 4 1 相同形式的方程 一妃一材 x 矽7 名矽7 4 4 这样借助于特解厂 x 矽 工 九 所作的变换 4 2 和 4 3 满足 4 4 式与 4 1 式的 形式 致 只是将 4 1 式中的 矽 换成了 这就是最原始的d 拍o u x 变 3 2 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 换 对于非线性发展方程来说 我们以l d v 方程 q 6 心 o 4 5 为例 其l a x 对为 嚣群 州 破 4 织 一6 矽一3 9 5 7 d 抽o u x 变换同样适用 1 1 3 1 这样 如果已知k d v 方程的一个解 x f 通过解 线性方程组 4 6 得到 x f 允 取定名 凡得到 工 f 矽 五f 凡 7 2 1 l l 厂 这就给出方程 4 5 的一个新解 而 4 3 式给出的 则为甜 相应 的l a x 对的解 这就为求k d v 方程的新解提供了非常好的方法 接下来这个变 换还可以继续下去 通过不断的迭代过程 甜 矽 7 争 材 因此d 抽0 1 1 变换的基本思路就是 利用非线性发展方程的一个解及其l a x 对的解 用代数算法及微分运算来得出非线性发展方程的新解和l a x 的相应的 解 如此迭代下去还可能求得方程的多孤子乃至n 孤子解 1 1 4 1 4 2 几种基本的d a r b o u x 变换形式 4 2 1 无约束情况的d a r b o u x 变换 对于可积模型来说 得到该模型的新解就成为人们研究的重点 而d a r b o u 变换像双线性或三线性方法一样 是一种求解直接方法 它能很好的解决孤子 方程求解的问题 1 15 1 接下来 以b k 系统 一 丢 1 2 2 w 一匕 工 w 1 w 寻嵋 j 4 7 为例 介绍几种基本的d 抽o u 变换 考虑线性系统 即可积方程 4 7 的l a x 对 以 肘矽 谚 矽 4 8 其中 霸 欢 1 根据可积条件丸 九可得一个零曲率方程 t m m 一 m o 4 9 该方程即对应b k 系统 设该方程存在d 讪o u x 变换r 有 北京邮电大学硕士研究生论文 矽 劢 4 1 0 根据d 抽o u x 变换的形式不变性 丁应满足 t t m m t 丢 丁矿 矿r 4 1 1 此时特征值问题和随时间发展的方程相应变为 织 m 矽 织 删 4 1 2 并且m 分别具有与m 相同的形式 只是将m 和 中的v w 相应变 成歹 诃 i 第一种形式的d a r b 0 1 l 变换 1 1 5 r 旯三q三 c 4 3 其中 q 6 l c 1 和盔都是关于x 和f 的待定函数 i i 第二种形式的d a r b o u 变换 1 1 5 嘲睦允甜 件 其中磊 吃 6 2 c 2 和攻都是关于工和f 的待定函数 i i i 第三种形式的d a r b o u x 变换 丁 c o 力三仉允 以 c 4 t 5 其中c o 鸭 6 3 巳和吃都是关于x 和f 的待定函数 三种形式的d a r b o l l 变换中的待定参数都是利用d 曲o u x 变换的形式不变 性 即 4 1 1 式来确定的 同时还可以确定出势函数之间的变换关系即歹 诃分 别关于v w 的表达关系式 另外要说明的是 第三种d a r b o u x 变换其实可以 通过前两种变换的综合作用得到 但是上述的三种d a r b o u x 变换形式也有一定 的局限性 它不适用于有约束关系的线性系统 4 2 2 高维舢 n s 系统的d a r b o u x 变换 所谓的高维a i n s 系统就是将a k n s 系统推广到任意 1 z 维 考虑线性 系统 3 4 两类变系数非线性偏微分方程的可积性质研究 la 沙 u 沙 力以 霉 佛 羔矿飞 件1 6 其中 而 恐 h 表示空间位置 f 表示时间 4 1 6 称为一个l a 组 相对于 低维的情况来说 不仅要考虑空间与时间之间的可积条件 还要考虑空间与空 间之间的可积条件 这里做两个假设 1 若矩阵彳满足 彳 以 一o 则么必为对角矩阵 2 以的全部对角元互不相等 最终可以得到 4 1 6 的可积条件等价于 a l 卑一仇日 彳 o 4 1 7 以 圪 谚 色圪谚一 日 圪 够 4 1 8 色圪撇 只 圪万 铆 4 1 9 a 暑一a i 万 舅 圪 够 o 4 2 0 这里空间与空间的可积条件称为方程的约束条件 空间与时间之间的可积条件 称为演化方程 所以 4 1 7 4 1 9 为方程的约束条件 4 2 0 为演化方程 对于 这种高维的a k n s 系统的d a r b o u x 变换的构造方法 我们首先从低维说起 对于 1 1 维方程来说 构造d 抽o u x 变换d 1 叫 d 兄 一s s 日八日一 日 7 l l 红 k 其中嚏是兄 丑时l a 对的解 人是对角阵 对角元素对应为a 五 丸且五 名 f 歹 应该说明的是这种 d a r b o l l x 变换的构造只适用于无约化的情况 对于有约化的情