（应用数学专业论文）非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究.pdf

廊兰笋岔趁之非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 中文摘要 本文首先运用启发性分析方法对大气动力学二疆原始非线性方程差分格式 稳定性进行了研究 通过理论分析与数值试验表明 在差分格式结构已经确定 的情况下 差分格式的计算稳定性主要由初值及其偏导数的形式所决定的 得 到的稳定性判据是保证差分格式稳定的必要条件 类似地 研究了非线性 s c h r i d i n g e r 方程差分格式的稳定性 得到了保证差分格式计算稳定的必要条 件 结果表明 其差分格式的计算稳定性与原方程解的性质有密切关系 其次 讨论了耦合的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组数值解的存在性和稳定性问题 给出了 一个四点隐式差分格式 讨论得出当满足4 e l l l o b k i s 膨 0 田0 1 5 2 s r s l 屯 一e o 时 该格式是稳定的 其误差为d f 矗2 关键词 二维原始方程 非线性s c h r i d i n g e r 方程 耦合s c h r i d i n g e r 方程组 差分格式 计算稳定性 启发性分析 爱 乒岔坦之 非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r t h ec o m p h t a f i o n a ls t a b i f i t yo ft h et w o d i m e n s i o n a lo r i g i n a l n o n l i n e a re q u a t i o nf r o ma t m o s p h e r i cd y n a m i c si s s t u d i e d b yt h eh i r th e u r i s t i c a n a l y s i s i ti sp r o v e dt h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lt e s t st h a tt h e c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo fd i f f e r e n c es c h e m e si sn o to n l yd e p e n do nt h es t r u c t u r eo f s c h e m e b u ta l s o0 1 1t h ef o r mo fi n i t i a lv a l u e sa n dt h e i rp a r t i a ld e r i v a t i v e s a n dt h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n so f c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t y a r e g i v e 也s i m i l a r l y t h e c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo fn o n l i n e a r s c h k m i n g e re q u a t i o ni sa n a l y z e d a n dt h e n e c e s s a r yc o n d i t i o no fc o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yi sg i v e 也t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tt h e c l o s er e l a t i o n s h i pb c t w e e l lt h ec o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo f t h ed i f f e r e n c es c h e m e sa n d t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o na r er e v e a l e d t h e n t h es t a b i l i t yo ft h en u m e r i c a l c a l c u l a t i o nf o rt h ec o u p l e dn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni sf u r t h e rd i s c u s s e d t h e f o r m a to ff o u r p o i n t i m p l i c i ts c h e m ef o rt h ec o u p l e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n s i ss t u d i e d i ti s f o u n dt h a ti ft h ec o n d i t i o n s s a t i s c y a j oe h l o 6 s b f 村 a n d0 o v x y 0 o i i 8 u x y o 0 丝 苎 尘 o 墩 砂 i i i 堂 兰 盟2 0 o v x y o 0 出 a y 曼坐 兰 虫 o 曼翌垡 尘 0 西 砂 v 0 厂 0 y 薯y o 0 羼士学岔碰空非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 i i 掣她掣冬o 戚钟 i i i 掣 o 掣她 盘卵 i v 掣s o 掣她 盘卵 v 0 m 似为一常数 2 4 数值试验 为了进一步验证非线性发展方程差分格式的计算稳定性与格式结构和初值的关系 做如 下数值试验 取如下三个初值 1 u x y 0 墨 x y o j 烈五y 0 g 1 一e 一 7 2 u x y o s i n 2 n x v x y o s i n 2 万y 9 五 0 g c o s 2 n x y 3 u x y o z 1 0 0 0 一x v x y 0 1 0 0 0 一 伊 工 y o g e 扛 一1 其中0 s x s l 0 0 0 0 y s l 0 0 0 0 s f s l 0 0 0 0 h 2 0 取 x 1 a y l a t 0 1 计算结果如表1 表1 数值试验计算结果 2 5 结论 通过理论分析与数值试验 可以得出如下结论 1 非线性发展方程差分格式的计算稳定性分析必须把初值与差分格式本身的结构 结合起来分析才有意义 2 定理1 和定理2 所得到的稳定性判据只是格式稳定的必要条件 数值计算表明 1 7 爱士笋岔碰之非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 差分格式计算稳定必须满足判据 但满足判据的不一定都能计算稳定 如格式2 然而 这些判据对删除明显的不稳定格式是很有用 尽管这是一个弱的必要条件 但我们认可用 它来判断一些极为复杂以致无法做精细的稳定性分析的方程 以避免耗费大量的精力去做 盲目的计算 1 8 癣士学岔麓之非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 第三章非线性s c h r u d i n g e r 方程差分格式的计算稳定性 3 1 引言 本章考虑非线性s c h r u d i n g e r 方程 f 罢 口鲁 g i 砧1 2 甜 o 瓦 口万 g w 甜2 u 3 1 这里 五f 是未知复值函数 口 孽是已知实常数 f 一1 非线性s c h r u d i n g e r 方程的研究已经得到学术界的广泛关注 这是因为该类非线性方 程可以用来描述许多物理现象 例如描述脉冲稳态波的自聚焦现象 非线性光学系统的自 陷现象 以及描述具有色散缓变及多光子吸收的光导纤维的波传播 我国高守亭 杨惠君 1 8 1 在研究多维约化摄动法时 对非线性波推导了s e h r o c l i n g e r 方程 罗德海1 1 9 1 在研究旋 转芷压大气中的非线性s c h r o d i n g e r 方程和大气阻塞中也推到了s c h r o d i n g e r 方程 但 由于方程本身的复杂性 很难求得解析解 因此 研究差分格式计算稳定性是一个关键性 的问题 h i r t 启发性分析方法最早是由h i r t 在分析线性发展方程差分格式的计算稳定性时提出 的 林万涛 季仲贞 王斌将其应用于一维非线性平流方程 给出计算稳定的必要条件 系统的研究了非线性发展方程差分格式的计算不稳定问题 杨晓忠等又将此方法应用于判 定k d v 方程以及b u r g e r s 方程差分格式计算的稳定性 之后 林万涛又将其应用于二维浅 水波方程 均得到了计算稳定的必要条件 本章继续将此方法运用到非线性s e h r u d i n g e r 方程上去 对其差分格式计算稳定性进行了讨论 给出了计算稳定的必要条件 3 2 差分格式的构造 下面 我们采用文献 4 i 中的h i r t 启发性分析方法来研究非线性 蛹r 比f f 曙盯方 程 3 1 的差分格式计算稳定性 对问题 3 1 常用差分格式如下 格式i f u j n 矽 1 口嘉 z 幺 一2 矽 z 乒 g i 彬1 2 矽 3 2 格式 j 竺 口嘉 吼 一2 彬 吐 鼋i 彬1 2 矽 3 3 1 9 质量学岔趁立 非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 到 令 x t 口 墨f 6 工 t i 其中a x f 6 x 为实函数 将其代入 3 1 式 得 喀 警讣口謦 争州a 2 b 2 崩瑚 3 4 帅舢一一 得 肛口争q n a 矿蚓 i 口l d 妒 u 对 3 4 式分离出实部 虚部得 量一口薹一q aoto x 矿 口 3 5 i 一一口 r l 一十d j 口 u 令u 7 掣 可f 其中 可为实函数 将其分别带入格式i i i 得 z 芋a n 矿 1 华咖咕 打2 可嵋 古 吼 一2 可 丝 妇 留 2 够 2 矽 够f o z 上a n f la 华n ln 卅口去 蟊一2 矽 吼 嘉 纷 一2 可 啦 1 1 g 够 2 睇 2 可 b o o 对 3 6 3 7 分别分离出实部 虚部 即得 j 华 口拟 i 蚓删纠 b i n 了b t i 一口嘉 啄 一2 町 吐 一 矽 2 彤 2 哼 华们扣毛料1 抓州嗍 0 华n ln 一口嘉 吼一2 可 蚰刊 删 2 芎 3 8 3 9 参照文献 1 4 我们将对格式i 进行计算稳定性分析 以格式i 为例 将 3 8 式 做t a y l o r 展开 略去上 下标可得 癣士学岔越空非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研塞 百o a 口丽0 2 b 6 2 6 j 1 孑a 2 a f o r 2 h 2 3 1 百o b 一盯萨0 2 a 刊a 2 b 2 口 圭窘刖 f 2 h 2 3 由 3 1 0 3 1 1 式可以看出 鲁 吨雾刊a 2 b 2 6 帆矿 3 1 2 面o b 口萨0 2 a g a 2 b 2 口 d v h 2 3 1 3 3 1 2 式对f 微分 可得 窘 叫袅一z g 曲害一g c 口2 确詈 烈2 h 2 c s h 3 1 3 式对x 微分 可得 塞 口雾脚嗉州3 a 2 b 2 妻嘶 3 1 5 式对x 微分 可得 器 口丽0 4 a 卵 瓦o a 瓦a b 均口 等2 s 卵 蚤2 2 q 曲窘州3 a 2 b 2 磐四 十0 0 h 2 3 1 6 将 3 1 2 3 1 3 3 1 6 式代入 3 1 4 式 可得 窘 川2 参一4 彬 口2 a 2 萨0 2 a 嘞啦嗉罢 口售 2 s 口c 塞 2 一q 2 a a 2 6 2 2 d f h 2 3 1 7 类似地 可得 譬 彳雾一4 私c 6 2 窘嘲啦a 塞芸碳 2 棚c 芸 2 一口2 b a 2 b 2 2 d f f h 2 3 1 8 2 1 堡查堂丝i 全苎垩堡丝墨星查垂笪壅垡萎坌堑壅塑整宣堡堑壅 将 3 1 7 3 1 8 式代入 3 1 0 3 i i 式 司得差分格式时器正骰分万程 百c 3 a 口萨a 2 b 州 确a 扣叫2 参咄 2 彬 雾一2 耐z 嗉罢 口售 2 3 口 警 2 一q 2 a 口2 十6 2 2 d f 2 h 2 3 1 9 戗 面a b 一口磊0 2 a g 4 2 确4 圭r 嵋2 石8 4 了b 一4 彬 口2 功雾一2 q 口豳謇芸 a 白2 3 6 刍2 q 2 b a 2 b 2 2 d f 2 矗2 3 2 0 班 同样可求出格式 的修正微分方程为 鲁 口雾 可c 口2 6 2 a 三r 雾 4 9 口c 口2 6 2 警 z g 口 塞罢 口c 罢 2 3 口 昙 2 9 2 口 4 2 6 2 2 d f 2 h 2 3 2 l 戚 面o b 一口i 0 万2 a g 口2 十确口 圭r 口2 雾 4 彬 口2 扔器 2 9 口m 罢芸 6 白2 3 6 洋 2 q 2 b a 2 b 2 2 o r 2 h 2 3 2 2 废 由文献 1 4 1 我们知道要使得差分格式计算稳定 必须要求相应的修正微分方程中的二 阶耗散系数为正 即 3 1 9 一 3 2 2 式右端的二阶耗散系数必须为正 于是有以下定理 定理1 l 非线性s c h r d d i n g e r 方程差分格式i 计算稳定的必要条件为 g 口 0 3 4v o nn e u m a n n 分析方法 下面我们对格式1 分别采用线性化分析方法 设解的形式为砰 a n e 嘲 这里 i i 代入差分格式i 得 瘼王学岔翅贾非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 f 2 第 c 蝴 1 妒 1 2 小扣 因此有 a j 一 j 2 矛 c s 勋一1 q f l 4 1 2 由 c o n n e u m a n n 稳定性必要条件我们知道 若1 4 悟l 则差分格式i 是稳定的 由于 彳l l 因此差分格式i 是无条件稳定的 3 5 结果与讨论 1 启发性分析方法与线性化分析方法所得的稳定性判据不一致 并不矛盾 因为 v o nn e u m a n n 分析方法是将方程线性化后得到的判据 对于非线性问题的非线性计算稳定 性是不准确的 2 一个具体的非线性问题的非线性计算稳定性与方程的解的性质有密切关系 当 a 猡 0 时 且1 2 兰芝a 2 其中a 是振幅 解才 口 是稳定的 l 3 启发性分析方法对非线 s c h r 6 d i n g e r 方程差分格式的计算稳定性分析是实用和 有效的 4 启发性分析方法所得到的稳定性判据只是差分格式计算稳定的必要条件 说明差 分格式计算稳定必须满足判据 但满足判据的不一定都能计算稳定 然而 在具体计算中 删除明显的计算不稳定问题 避免盲目计算 这个计算稳定的必要条件是很有用的 硬芏字缆越岩非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 第四章耦合非线性s c h r 6 d i n g e 方程组数值解 的存在性和稳定性 4 1 引言 大气中尺度重力波的相互作用可导致局部大气环流的异常 从而形成灾害性天气 文 2 0 研究了非线性重力波相互作用的演化过程 并得到演化方程 耦合的非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程组 与过去所研究的方程不同的是该方程中含有相对群速度项 实际上 相对群速度项是有很重要的物理意义的 该项在大尺度中8 0 s s b y 的相互作用方程中也出 现过 有人对它进行了数值计算 并且用得到的结果可以很好的解释阻塞动力学 但是没 有人对这种类型的方程组的解作过理论研究 4 2 耦合s c h r d d i n g e r 方程组解的存在性 研究表明 非线性重力波相互作用方程可以归结为一类耦合的非线性s c h r i j d i n g e r 方 程 f 等 争 西阻 1 2 疋 4 1 2 m o t 1 z 静 缸 釜慨 以 蚶 以 4 1 2 鼢 他z 其中c 2 巧 西 乞 尤 为实数 2 为相对群速度 i 二1 为虚数单位 4 为所求的 复函数 为了讨论的方便 将 1 2 改写成下面的形式 并且给出了初边界条件 o 配 4 哆4 脚 局田 陋1 1 2 i 彳2 1 2 x o 4 3 4 r l o 4 0 1 2 0 s z h t 0 4 4 4 l x 卸 o 4 5 不妨令巧 0 劬 屯 o o d 为实值函数 而 i o 4 0 为已知复 函数 则对耦合方程 4 3 4 5 的解存在有以下条件 引理1 若满足如下条件 1 1 毋 s 2 e c 2 一 o 0 0 为实值函数 且协 焉 屯 i 0 2 4 0 h 2 则方程组解存在 4 3 耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组差分格式的构造 1 望z 令4 e 砷巧 t 先考虑如下一类耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程的定解问 磺士学岔礁之非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 f q 局田 i 嘲呢n 巧 譬巧 4 6 立 巧l 瑚 p 砷4 0 巧o 1 2 o z 蔓日 t 0 4 7 巧i x 卸且 o 4 8 其中 吁 局为实数 且q 0 田 s l j 2 i o a 为实值函数 4o 为已知复函数 设q o h x 0 正 为矩形区域 直线r 历l z 砌分区域q 为许多 小网格 其中m 行为整数 研 o 互 押 o 旱 设内点网格的全体为q 其余边 界点的网格为s h 则有q q 瓯 用q d 表示口 c o r z s t n q 记 i v 玄 马 i v 一马 丁 d 马 哆j r 2 蕾弓 d 一日 一矗 r 刃2 玄 弓 d 一马 一 r 同样定义弓r 巴f 另外定义离散模 怜峨2 砷2 嘉髟 i i w 圳 2 破萎巧 i i b 圳 2n b n 蔷0 岛嘎n i 防岐 眦 s 缸u p 阿c z i l d 目忆 一 2 苫s d u p 矗 p 弓 x i 考虑下面的四点隐式差分格式方程定解问题为 吩 吁孕腰 厚毋 且1 2 i 岛f 岛 专簪弓 9 其中系数同上 岛i s 2 0 i 三l z 易i 蕾 e2 唧4 巧 4 4 耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组差分方程解的估计 4 1 0 4 1 1 对于 4 9 4 1 1 的解 有如下估计 引理2 对于问题 4 9 4 1 1 如果满足条件4 三2 则有 哆嘎 03 常数c 依赖于反行 使得 m d 弓k 6 1 1 弓1 1 露 c u 弓l l 蚪 1 1 1 马1 1 埘5 9 叫 c i l 弓l l 以 引理5 若满足引理3 的条件 则对定解问题 4 9 4 1 i 的解弓有估 计 s u p 冯 硎 局 其中局为与 无关的常数 o r 矗 o 证明由引理2 3 4 即得 引理6 离散的g r o n w a l l 不等式 若对函数4 d 占 丁 0 s b 丁 彳 存在正常数c 0 亘 有4 r s c o 柚a z b 啪 o s 丁 正 脯彳 d s c 0 8 嘲 c 4 o 丁s 五 靠考虑下面羊分宦解问顾 哆f q 岛毋 i b n 占 1 2 弓 厂 t 弓 g d 0 马l 岛 o 豆 弓i o e2 吩4 巧 对于 4 1 4 4 1 6 的解 有以下估计 引理7 对于问题 4 1 4 4 1 6 如果满足条件 1 厂 丁 岛 巧l c 5 阿 2 g 为正常数 2 彳 o d 上2 g t 厶 q 4 1 4 4 1 5 1 6 质壬学笸礁丈 非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 则有旧哦 2 i h 眨 i l g l l 0 e 口即 5 易 证明 4 1 4 乘以骂 得到 哆f 亏 q 亏 局田 i 置1 2 i 岛j 2 旧1 2 c z r 弓 互 g c z r 亏 o 4 1 7 同引理l 有r e 孕 亏 旧e 吾旧 1 2 q 色讶骂 一吁 1 1 2 f g x d 互忙吉吖 旧i 2 又由条件 2 取 4 1 7 的虚部并在q 求和 再乘以h r 得到 三a r 荟bi s c 5 尹1 厅r 荟旧1 2 丢厅r 丢k 1 2 吾 烈马1 2 g 争窆 善p 乃 f 2 十i b 眨 g f 0 j 0 n r o n 一 利用引理6 得到i i 弓嘎 2 4 k 眨 l l g l l 2 锄 e 2 岛 1 埔 易 4 5 数值计算格式的收敛与稳定性 问题 4 6 4 8 的解在区域q 0 日 o 五 上存在 下面考虑相应的差分 方程 4 9 4 i i 定解问题 定理l 若满足引理3 的条件 且设巧c r 丁 e 2 分别为问题 4 6 4 8 和 问题 4 9 4 1 1 的解 则有 巧一马 i 口 n o r h 2 证明因为巧c r r 为 4 6 4 8 的解 则t a y l o r 展开有 2 f 巧r 哆匕庸 毋 i 巧f 2 i 巧1 2 巧 笔芒 巧 d r 2 1 令占 乃 巧 一曰 d 则有 咿吁钮圳田 m 巧吲m 邮孙警弓坝m 2 弓k 0 弓l r o o q j b b j 2 b j e j q 以1 2 i v 2 1 2 十b j q j i v 1 2 m 2 2 8 u为啊因吗 硬兰学岔越之 非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 一q j i b l 2 i b 1 2 s e r c l v 1 2 m 2 b r 窆e 4 v f i b 1 j 如果假定问题 6 8 的解巧有界 又由引理5 有 局 毋 巧1 2 i 砭1 2 巧一田d 置1 2 i 岛f 2 岛 弓i c i 勺f 2 其中c s 矗阱驰2 2 k 2 刭2 咀 己 利用引理7 于是有 i i d o 2 帜什h 2 睁 一 定理2 差分方程 4 9 4 1 1 的解8 弓0 关于模 口依初始值是稳定的 4 6 结论 对于描述两个非线性重力波相互作用的耦合非线性s c h r i d i n g e r 方程组进行数值求 解 给出了四点隐式格式 啄 吩 厚国删 埘 鸟 警弓 o 日k o 毋 瑚 e 2 a 4 当满足4 0 日 0 6 j 哆i m 0 s 乃瓴 屯 五 蜀 j 2 弓e 0 时 该数 值格式稳定 且误差为o r h 2 1 2 9 癣士笋岔趁之非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 第五章总结 对非线性发展方程差分格式的计算稳定性研究有着重要的意义 只有当计算稳定时才 谈得上计算的准确性 所以计算稳定性 特别是非线性计算稳定性问题显得突出的重要 因为不解决它就没有可能做大量计算 更谈不上准确度了 本文主要运用启发性分析方法对非线性发展方程 二维原始方程以及非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程的差分格式的计算稳定性进行分析 得到的稳定性判据是保证差分格式 稳定的必要条件 对于二维原始方程通过理论分析与数值试验表明 在差分格式结构已经 确定的情况下 差分格式的计算稳定性主要由初值及其偏导数的形式所决定的 对于非线 性s c h r i d i n g e r 方程 说明其差分格式的计算稳定性与原方程解的性质有密切关系 并且 进一步讨论了耦合的非线性s c h r i d i n g e r 方程数值解的存在性和稳定性问题 给出了一个 四点隐式差分格式 讨论得出当满足4 e 日1 o b l a s i 膨 0 毋 毛 s 2 r j l 5 2 o o o 时 该格式是稳定的 其误差为0 0 j 1 2 本文所做的是非线性发展方程差分格式的计算稳定性问题 对于非线性发展方程数值 解的工作还有很多要做 在今后的工作中 我们进一步将在一定条件下稳定的差分格式应 用于实际问题中 傲数值计算 另外 对于耦合的非线性s c h r i i d i n g e r 方程将考虑发展更 高精度的 守恒的便于计算的差分格式 非线性发展方程的数值差分格式和稳定性研究 参考文献 1 p h i l i p s na t h e a t m o s p e r e a n dt h es e ai n m o t i o n 叨 n e w y o r k r o c k e f e l l e r i n s t i t u t e 1 9 5 9 5 0 1 5 0 4 2 l i l l yd k o nt h ec o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t y o fn u m e r i c a ls o l u t i o n so f t i m e d e p e n d e n tn o n i i n e a r g e o p h y s i c a l f l u i d d y n a m i c s p r o b l e m s 阴 m o n w e a r c v 1 9 6 5 9 3 1 1 1 2 6 3 a r a k a w a a c o m p u t a t i o n a ld e s i g nf o rl o n g t e r m n u m e r i c a li n t e g r a t i o n so f t h ee q u a t i o n so f a t m o s p h e r i cm o t i o n j c o m p p h y s 1 9 6 6 1 1 1 9 1 4 3 4 h i l tcw h e u r i s t i cs t a b i l 蚵t h e o r yf o rf i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o n j j c o m p u p h y s 1 9 6 8 1 2 1 2 3 3 9 3 5 5 5 j e s p e r s e np c a r a k a w a sm e t h o di saf i n i t ee l e m e n tm e t h o d j c o m p p h y s 1 9 7 4 1 6 3 8 3 3 9 0 6 曾庆存 计算稳定性的若干问题叨 大气科学 1 9 7 8 2 3 1 8 1 1 9 1 阴季仲贞 非线性计算稳定性的比较分析 j 大气科学 1 9 8 1 4 4 3 4 4 3 5 4 8 曾庆存 季仲贞 发展方程的计算稳定性问题 j 计算数学 1 9 8 2 3 1 7 9 8 6 9 季仲贞 二维l i l l y 格式非线性计算不稳定性的例子叨 科学通报 1 9 8 0 2 5 1 9 8 9 0 8 9 2 1 0 季仲贞 王斌 再论发展方程差分格式的构造和应用 j 大气科学 1 9 9 1 1 5 2 0 7 2 7 8 1 l 季仲贞 王斌 曾庆存 计算地球流体力学若干新进展明 空气动力学学报 1 9 9 8 1 6 1 1 0 8 一1 1 4 1 2 季仲贞 杨晓忠 林万涛 非线性计算不稳定问题的迸一步研究明 中国科学院研究生 院学报 2 0 0 1 1 8 1 5 9 6 5