（基础数学专业论文）banach空间中的mann迭代和ishikawa迭代.pdf

哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 b a n a c h 空间中的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代 摘要 本文主要研究了定义在b a n a c h 空间上的m a n n 迭代与i s h i k a w a 迭代 以及 在这些迭代下的几类映射的收敛性问题 文章首先介绍了在紧空间下的上述 映射的收敛性问题 由于紧空间具有任何无穷序列都有收敛子列的性质 从 而使问题容易得到证明 接着本文又继续讨论了在非紧空间中上述映射的收 敛性问题 由于去掉了紧性条件 因此我们引入了条件i 从而使结论得以 证明 首先 我们讲述了不动点理论的发展概况 通过引用大量前人的定义和 定理 使我们对不动点的发展史有了一定程度的认识 其次 我们主要研究在紧空间下的非扩张映射的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭 代的收敛性问题 首先给出与定理相关的定义 如非扩张映射 点到集合的 距离 m a n n 和i s h i k a w a 的具体迭代方式 h a u s d o f 傀离和本文中用到的一些 引理 接着给出了紧空间下的非扩张映射的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的收敛 性 最后 研究了在非紧空间下的映射的迭代收敛性问题 由于紧性条件的 减弱 我们加入了条件i 也使收敛性结论成立 本章首先给出了具体的 m a n n 迭代方式 继而分别给出非扩张映射 亚非扩张映射和广义非扩张映 射在该种迭代下收敛到相应映射不动点的结论 关键词非扩张映射 h a u s d o f f 距离 m a n n 迭代 不动点 哈尔滨理工大学理学硕七学位论文 m a n ni t e r a t e sa n di s h i k a w ai t e r a t e si n b a n a c hs p a c e a b s t r a c t i ti sp r i m a r i l ys t u d i e di nb a n a c hs p a c et h a ts o m ek i n d so fm a p p i n g s c o n v e r g et ot h e s em a p p i n g s f i x e dp o i n ti ns e n s eo fm a n ni t e r a t i o n sa n di s h i k a w a i t e r a t i o n s f i r s t t h em a p p i n g s c o n v e r g e n c ep r o b l e m si nc o m p a c t i v es p a c ei s e x t e n d e di nt h i sp a p e ri nt h i sp a p e r b e c a u s et h e r ei sa tl e a s to n es u b s e q u e n c ei n a n yn u m e r o u ss e q u e n c e si nc o m p a c t i v es p a c e t h eq u e s t i o nm e n t i o n e da b o v ec a n b ep r o v e de a s i l y i na d d i t i o n i tc o n t i n u e st od i s c u s st h em a p p i n g s c o n v e r g e n c e p r o b l e m si nn o n c o m p a c t i v es p a c e s i n c e t h ec o n d i t i o no fc o m p a c ti sn o t a v a i l a b l e c o n d i t i o nii si n t r o d u c e d t h er e s u l to ft h ea b o v ei ss t i l lc o r r e c t f i r s t t h eh i s t o r yo ff i x e dp o i n t si sr e p r e s e n t e d l o t so ft h e o r i e sa n dd e f t n i t i o n sa r eq u o t e d w ec a nk n o ws o m e t h i n ga b o u tt h ef i x e dp o i n td e v e l o p m e n t s e c o n d i ti sp r i m a r i l ys t u d i e dn o n e x p a n s i v em a p p i n g s c o n v e r g e n c ep r o b l e m si ns e n s eo fm a n ni t e r a t i o no ri s h i k a w ai t e r a t i o n a tf i r s t i tc a nb ek n o w n s o m ed e f i n i t i o n sr e l a t e dw i t ht h i sp a p e r s u c ha sn o n e x p a n s i v em a p p i n g m a n n i t e r a t i o na n di s h i k a w ai t e r a t i o n h a u s d o f fm e t r i ca n ds o m er e l a t e dt h e o r e m s i n a d d i t i o n i ti sp r o v e dt h a ti nc o m p a c t i v es p a c e t h em a p p i n gi ns e n s eo fm a n n i t e r a t i o no ri s h i k a w ai t e r a t i o nc o n v e r g e st ot h ef i x e dp o i n to ft h em a p p i n g f i n a l l y i ti sp r o v e dt h a tt h e s em a p p i n g sc o n v e r g ei nn o n c o m p a c t i v es p a c e s i n c et h ec o m p a c t i v es p a c ei sn o ta v a i l a b l e t h er e s u l ti ss t i l lt r u eb ya s s u m p t i o n o fc o n d i t i o nlan e wm a n ni t e r a t o ni si n t r o d u c e d t h e nt h i sp a p e rg i v e su st h e r e s u l t st h a tt h em a p p i n gc o n v e r g e st oi t sf i x e dp o i n tw h i c hc a nb en o n e x p a n s i v e m a p p i n g q u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g o rg e n e r a l i z e dn o n e x p a n s i v em a p p i n g k e y w o r d sn o n e x p a n s i v em a p p i n g h a u s d o f fd i s t a n c e m a n ni t e r a t i o n f i x e d p o i n t i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明 此处所提交的硕士学位论文 b a n a c h 空问中的m a n n 迭代和 i s h i k a w a 迭代 是本人在导师指导下 在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果 据本人所知 论文中除已注明部分外不包含他人己发 表或撰写过的研究成果 对本文研究工作做出贡献的个人和集体 均已在文中以明 确方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名密剑片 日期 蒯穸年彳月锣日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 b a n a c h 空间中的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代 系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文 本论文的研究成果归哈尔滨理 工大学所有 本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表 本人完全了解哈尔滨 理工大学关于保存 使用学位论文的规定 同意学校保留并向有关部门提交论文和 电子版本 允许论文被查阅和借阅 本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印 缩印 或其他复制手段保存论文 可以公布论文的全部或部分内容 本学位论文属于 保密 口在 不保密甲 请在以上相应方框内打4 作者签名 力薯刮序 导师签名 年解密后适用授权书 日期 畔彳月侈同 日期 碲彳月侈日 哈尔滨理 t 大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 1 1 1 课题来源 本课题来源于指导教师崔云安教授的国家自然科学基金项目 项目号码 1 0 5 7 1 0 3 7 1 1 2 课题的目的及意义 自从法国数学家h p o i n c a r e 在代数拓扑学中首先使用不动点概念 不动点 理论就一直成为人们研究的对象 并在现实生产生活中发挥着重要的作用 随着社会的进步人们需要对不动点的存在条件有细致的了解 以便应用于生产 实践中 因此无论从理论研究还是实际应用的角度 对于此类问题的研究和解 决都是非常重要的 1 2 综述 关于不动点理论方面 法国数学家h p o i n c a r e 于1 8 9 5 1 9 0 0 年间 在代数拓 扑学中首先使用不动点概念 1 9 1 0 年 德国数学家l e j b r o u w e r 证明了有限 维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点 1 9 1 2 年他在拓扑学的基础 上 运用度理论证明了关于连续单值映射的一个著名的不动点定理 即每一个 映有限维b a n a c h 空间单位球到其自身的连续映射有不动点 它是现代数学最优 秀的成果之一 后来s c h a u d e r k a k u t a n i 等人又相继对b r o u w e r 的结果进行了推 广 比如1 9 3 0 年 s c h a u d e r 得到了每个定义在b a n a c h 空间有界闭凸集c 上的到 其自身的紧映射具有不动点 b r o u w e r 不动点定理在不动点理论中是一个重要 的基本定理 不动点定理 以b a n a c h 压缩映象定理为最著名 在1 9 2 2 年 gd b i r k h o f k e l l o g g 作出了一些改进和应用 而波兰数学b a n a c h 更一般地处理了 这个问题 b a n a c h 给出的b a n a c h 压缩映象定理 由于它的简洁性和实用性 它 在解决数学分析的许多分支存在性问题上变成了非常有用的工具 这是著名的 b a n a c h 压缩映象原理 设 x d 是完备度量空间 t e 专e 是压缩映象 则r 在x 中有唯一不动点 1 9 4 1 年 k a k u t a n i 将b r o u w e r 的结果推广到集值映射之 哈尔滨理工大学理学硕 学位论文 中 得到了r 的任何一个非空紧凸集c 具有k a k u t a n i 性质 即每一个映c 到c 的 尽映射具有不动点n 1 b r o u w e r 不动点定理在不动点理论中是一个重要的基本定 理 近一个世纪以来 人们从事不动点定理的研究仍旧经久不衰 取得了极为 重要的成果 特别是在代数方程 微分方程以及积分方程的求解问题中 通常 要把所求的解归结为度量空间中映射的不动点 并且用逐次逼近的方法来计算 出不动点 这是方程论中的一个十分重要的方法 最近三十年来 由于实际工 作的推动和数学工作者的不断努力 这门学科的理论及应用的研究取得了重要 进展 并同臻完善 人们使用各种各样的逼近非线性映射的不动点的迭代方法 去解决数学 物理学 工程以及现在研究热门的金融数学等领域的某些实际问 题 例如 长期以来人们在付息国债到期收益率计算中默认的假设前提 到期 收益率等于实际市场收益率 在理论上的合理性就可以归结为不动点理论问 题 即用迭代的方法去论证不论实际收益率如何变化 总存在一个理论收益 率 使得在该收益率水平上国债与其他方面的投资内含价值相等 而这一收益 率正是附息国债的到期收益率 上世纪初 b a n a c h 提出了以他姓氏命名的b a n a c h 压缩映象原理 这一原理 实际上是经典的p i e a r d 迭代法的抽象表述 它是经典的代数型的不动点定理 根据这一定理 不仅可以判定不动点的存在性和唯一性 而且还可以构造一个 逼近不动点到任何程度的迭代序列 因此 b a n a c h 不动点定理在近代数学的许 多分支 特别是在应用数学的几乎各个分支都有广泛的应用 b a n a c h 在上个世 纪二十年代提出这一原理后 b a n a c h 压缩映象的概念和b a n a c h 压缩映象原理已 经从各个方面和各个不同的角度有了重要的发展 许多人提出了一系列新型的压 缩映象概念和一系列新型的压缩映象的不动点定理 而且其中某些结果已被成功 的应用于研究空间中许多方程解的存在性和唯一性 并且还被成功应用于随机 算子理论和随机逼近理论等诸多领域 不动点问题引起的广泛关注和深入研究初始于我们的b a n a c h 压缩原理的提 出和证明 随后有关不动点问题的研究越来越多 人们分别从空间 算子以及 算子满足的条件 这三方面对不动点问题进行更深一步的研究 得到了相当丰 富的成果 在不动点问题研究的众多方向中 关于构造不动点序列的迭代收敛 问题的理论及应用成为研究的主流问题 对这方面问题的研究和解决会在实际 运用中起到至关重要的作用 b a n a c h 压缩映象的一种自然的推广是非扩张映 象 关于非扩张映象不动点理论的第一个重要结果属于r d em a r t 他得出著 名的k a k u t a n i m a r k o v 不动点定理的一个有趣推广 以后不久 b r o u w e r 飚r k p e t r y s h y n 等分别讨论了定义在空间中的有界闭凸集上的非扩张映象的不 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 动点的存在性 在纯粹数学领域不动点理论的研究 目前仍然是对一些算法进 行改进和推广 自从1 9 6 5 年w a r k 证明具有正规结构的b a n a c h 空间具有弱不动点性质以 来幢1 利用b a n a c h 空间的性质研究非扩张映射的不动点性质得到了迅速的发 展 比如 1 9 6 7 年z o p i a l 证明具有o p i a l 性质的b a n a c h 空间具有弱不动点性 质 几十年来 以w ja k i r k t d b e n a v i d e s j g a r c i a f a l s e t s p r u s b s i m s 林培基 徐洪坤 余鑫泰和丁协平为代表的国内外数学工作者利用空间 的几何性质对不动点性质进行了广泛的研究 得到许多漂亮的结果 例如 俞 鑫泰证明了具有k u r 性质的b a n a c h 空间具有一致正规结构 徐洪坤证明了自反 的b a n a c h 空间中m f l u t a s 常数d x 等于弱收敛系数w c s x 的倒数 因此具有d x l 的自反b a n a c h 空间具有不动点性质 j g a r c i a f m s e t 得到了具有w n u s 的 b a n a c h 空间具有不动点性质 b s i m s 得到了具有 m 性质的b a n a c h 空间具有不 动点性质 自1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的著作 t h e o r i e so fo p e r a t i o nl i n e m r e s 出版以后 人们开始了b a n a c h 空间理论的系统研究 1 9 3 6 年 j a c l a r k s o n 首先引入了一致凸b a n a c h 空间的概念 开创了从b a n a c h 空间单位球的几何 结构出发来研究b a n a c h 空间性质的方法 从此 b a n a c h 空间的几何理论开始创 建 在几代数学工作者的不懈努力下 不动点理论取得了长足的发展 其内容 日益完善 同时不断开拓新方向 进行各种推广和深化 不动点应用范围逐渐 扩大 渗透到数学的许多分支 1 3 不动点理论的发展概况 1 9 5 3 年 w r m a n n 提出了m a n n 迭代 定义1 1 口1 设e 是线性赋范空问 映射t e e 设x o e 若序列 ce 满足以下迭代程序 l 1 一 巩 吒 互 o l n o l 2 则称为m a n n 迭代 许多专家学者对这类迭代做了大量的研究 受m a n n 迭代的影响 s i s h i k a w a 在1 9 7 4 年提出了i s h i k a w a 迭代 定义1 2 h 1 设日是h i l b e r t 空间 e 是日的紧凸子集 丁是l i p s c h i z i a n 拟 压缩映射 设五 e 若屯对任意的正整数 z 都满足 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 毛 i 1 一e t 毛 矾 咒 1 一尾 而 p t x 其中 吒 尾 o l 刀 l 2 3 x n 2 c 占为i s h i k a w a 迭代 s i s h i k a w a 还给出了以下定理 定理1 1 h 1 设e 是h i l b e r t 空间的一紧凸子集 r 是l i p s c h i z i a n 拟压缩自 映射 任意五 e 贝i j x n 强收敛于r 的不动点 其中 为i s h i k a w a 迭代 序列 o 展 l 并且牌尾 o 乏 尾 0 0 由于用m a n n 和i s h i k a w a 迭代法去逼近非线性算子的不动点 克服了简单迭 代法的一些缺陷 并去掉了加在非线性算子上的一些限制条件 具有较大的优 越性 因此这些迭代法收敛于不动点的问题引起了广泛的关注 成为了热点研 究课题 1 9 9 5 年 l s l i u 又提出了带误差的m a n n 迭代以及带误差的i s h i k a w a 迭代 定义1 3 嵋1 设e 是实线性赋范空间 k 是e 的非空子集 映射 t k ye 设x o k 若序列 吒 满足以下迭代程序 毛 l k e t t x 以 0 其中 c z n g o 1 i l u 1 1 o o 则称 吒 为带误差的m a n n 迭代 定义1 4 设e 是实线性赋范空间 k 是e 的非空子集 映射t k 专e 设x o k 若序列 满足以下迭代程序 毛 l 1 一 毛 乃o 以 1 一成 毛 p d x 屹 其中 a n o 1 成 o 1 0 o o i v l l o o 且刀 o 则称 n ln l 瓦l 为带误差的i s h i k a w a 迭代 在各位专家学者提出不同的迭代过程的同时 许多专家学者也提出了许多 不同的映射 如早期的压缩映射 一致压缩映射等 到后来的强增生映射 渐 近非扩张映射等等 许多中外专家学者对不同映射下的迭代问题做了大量的研 究 得到很多优秀的成果 如意大利著名教授c e c h i d u m e 对强伪压缩 伪压 缩等映射下的i s h i k a w a 等迭代序列做了深入的研究 得到以下重要定理 定理1 2 设e 是实一致光滑b a n a c h 空间 k 是e 的非空有界闭凸子集 t k 哼k 是具有不动点的强伪压缩映射 对任意x o k 毛 是i s h i k a w a 迭代 哈尔滨理工大学理学硕七学位论文 序列 若 尾 满足 o 吒 尾 l n 0 i i l i mc z 0 l i m 孱 0 月 0 0疗 嘲 0 0 则 强收敛到t 中唯一的不动点 定理1 3 阳1 设e 是实一致光滑b a n a c h 空间 k 是e 的非空有界闭凸子集 t k 专k 是具有不动点的强伪压缩映射 对任意而 k 毛 o o 卸是m 锄n 迭代 序列 毛 i 1 c x q 玩 n 0 若 巳 o o 却满足 o o q 1 刀 0 豇 溉巳2 0 何 巳 0 0 则 二 强收敛到丁中唯一的不动点 定理1 4 盯1 设k 是h i l b e r t 空间中的一非空紧凸子集 t k k 为连续的 伪压缩映射 对任意而 k 矗 是i s h i k a w a 迭代序列 若 口 成 满足 0 0 a n 尾 l i i l i m 成 0 月 4 0 0 j f f 孱 0 0 n o 成瓯 0 0 n o 其中 最 0 巩一巩1 1 2 则 而 强收敛到t 的不动点 我国著名的不动点专家张石生教授也对渐近伪压缩 一致连续的 一伪压 缩 一致连续的强伪压缩等映射下的迭代问题做了大量的研究 得到很多重要 的结果 定理1 5 阳1 设e 是实一致光滑b a n a c h 空间 d 是e 的一个有界非空凸子 集 t d d 是渐近伪压缩映象 吒 c o 3 0 舰吒 1 且f 丁 囝0 设而 d 是带误差的修改的m a n n 迭代序列 其中 和 1 是 o l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 中的实序列 满足 f 1 i i t tj o n jo o i i i e 0 0 o 使得 r 一g j 毛一q k i i x q l l 2 1 l x a 1 1 则矗 q e f r 定理1 6 阳1 设e 是实光滑b a n a c h 空间 a dc t d 寸d 是一个单值 的一致连续的矽伪压缩映象 即存在x d 和严格增加函数矽 o 0 0 专 o 0 0 o 0 对一切 i f d 有 戤一 j x x 0 x x 1 1 2 矽 忙0 0 1 如果q d 是丁的不动点 则q 从而丁在d 中至多只有一个不动 点 2 如果丁 d 是e 中的有界集且存在 d 带误差的i s h i k a w a 序列 吒 满足 o c t 0 n o 吒专0 n 专 且 0 0 n 0 f f i n 1 1 o o 且慨i i o 口n 则带误差的i s h i k a w a j 塞代序列 吒 强收敛于x 特别地 如果q d 是丁的不动 点 则 强收敛于g 定理1 7 设e 是实光滑b a n a c h 空间 d 是层的一个非空凸子集 t d 专d 是一个单值的一致连续的矽伪压缩映象 如果丁 d 是e 中的有界 集 对x o d m a n n 迭代序列 x n 满足条件口 jo 珂一 且 i z n 0 0 则 月 o 毛 强收敛于工 特别地 如果g d 是t 的不动点 则 吒 强收敛于此唯一 的不动点g 定理1 8 n 0 1 设e 是实b a n a c h 空间 d 是e 之一非空凸子集 t d d 是 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 一致连续的强伪压缩映象 成 是 o l 中的序列 满足 o 一0 尾专o 捍专o o 豇 0 0 则对任给的x o d i s l l i k a w a 迭代序列 强收敛于g r r 当且仅当 巩 和 矾 是有界的 1 9 7 2 年 t z a m f i r e s c u 提出z a m f i r e s c u 条件并给出以下定理 定理1 9 1 设 x d 是完备的度量空间 若t x 专x 至少满足以下一 个条件 f d 戤 t y a d x y i i d t x 砂 6 d x t x d y 砂 i i i d t x t y c d x t y d y a 其中 0 口 1 0 6 c 妻 则r 存在唯一的不动点q 并且由迭代程序 巩所确定的p i c a r d j 塞代序列 吒 收敛于g 我们称满足z a m f i r e s c u 条件的映射为z a m f i r e s c u 映射或z a m f i r e s c u 算子 随后b e r h o a d e s vb e r i n d e 等人对z a m f i r e s c u 映射下的m a n n 和i s h i k a w a 等迭代做了进一步的研究 得出以下一些重要的结论 定理1 1 0 n 羽设e 是一致凸b a n a c h 空间 k 是层的闭凸子集 设 t k k 是z a m f i r e s c u 映射 若序列 满足以下条件 f q 1 i i o o t n l 何f 1 一 o o 贝j j m a n n 迭代收敛于r 的不动点 定理1 1 l 3 1 设e 是任意b a n a c h 空间 k 是e 的闭凸子集 t k k 是 z 锄矗r e s c u 算子 设 二是i s h i l a w a 迭代序列 x o k 成 o 1 若 o f n 0 0 则 二强收敛于r 的唯一不动点 n l 定理1 1 2 n 引设e 是赋范空间 c 是e 的非空闭凸子集 t c 专c 是 z a m f i r e s c u 算子 设 包 o l i l u o o 是带误差的m 础代序列 7 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 j 铲 艇 c l 矗 i l 一吃 玩巩d u n 万 n 若 r 9 吃 0 0 i i n n0 d 瓯 则 毛 强收敛于r 的不动点 n l 在二十世纪七十年代前后 人们还提出了非扩张映射 非扩张映射是 b a n a c h 压缩映射的一种自然推广 参见m a a l t h a g a f i h j i a n f e n g q x i a o l o n g n n a d e z h k i n a 等人的文章u 5 6 珉埔1 在近代许多数学分支例如非线 性半群 遍历理论等有许多重要的应用 t a k a n o di b a r a k i t a k a h a s h i f u m i a k i s y o n g f u ws h e n g h u a 等人分别讨论过定义在b a n a c h 空间的凸集 上的非扩张映射的不动点的存在性n 9 她乳 2 2 2 3 1 1 9 7 5 年 张石生教授在 关于 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的不动点理论 一文中首次提出平均非扩张映射 的概念 定义1 5 设e 是b a n a c h 空间 k 是e 中的子集 连续映射t k 专e 称为 平均非扩张的 若有 1 i t x t y l l a 1 1 工 y l l b l l x a l i 0 j 一巧l l c i i 万一砂i l 9 y 一戤i l 其中 任意z y k a 0 b 0 c 0 a 2 b 2 c l 一 在几何上 平均非扩张映射表示 以x y t x r y 为定点的四边形 边长0 a 一砂0 不大于其余三边及其对角线之长的平均值 我们可以看到平均非 扩张映射包含了许多形式的非扩张映射 如 当a l b c 0 时的非扩张映 射 k a n n a n f 开的映射0 a t y l i 0 则r 在k 中存在不动点的 充分必要条件是 i n f i 定理1 1 5 设e 是 1 l x 一致r x 凸l 的0 b a n a c h 空间 足是e 中的凸闭集 丁是映足到 其自身的映射 则r 在k 中存在不动点的充分必要条件是 存在一非空集 gc e 4 吏 导l i y x p l l i i x p l i 协 k p g 随后 赵汉宾等学者对平均非扩张映射在b a n a c h 空间和自反b a n a c h 空间中 不动点的存在性和唯一性 以及某些迭代的收敛性等问题做了更进一步的研 究 给出下面的定理 定理1 1 6 设e 是b a n a c h 空间 k 是e 中的非空闭凸集 设丁是映k 到其 自身的连续映射且满足6 0 若映射r 满足条件 l i t z t e l i a i i x y l i v x y k 其中 么是正常数 则映射r 在k 中存在唯一不动点x 并且对 r l1 x oe k 和矽 o 秒 0 0 口 i 1 0 0 z b 是丁的不动点 和 乇 分别是修改的 m a n n 迭代序列和修改的i s h i k a w a 迭代序列 再设 尾 满足以下条件 f 尾 0 l v n 0 f f o o n o 1 l i i i l 一寺 d 是 z 锄j f i r e s c u 算子 设风 u o d 见 二是p i c 莉迭代 n 0 是m 撇迭代且 c 0 l o o 则下列结论等价 n o i p i c a r d 迭代收敛于r 的不动点 i i m a n n 迭代收敛于丁的不动点 近两年 在各位专家学者研究迭代序列的收敛等价的同时 vb e r i n d e g vr b a b u 等人也在比较迭代序列收敛速度的研究上得到一些重要的结果 定理1 2 5 b 2 1 设e 是任意b a n a c h 空间 k 是e 的闭凸子集 t k 9 k 是 z a m f i r e s c u 映射 设 y r p l o 是m 锄n 迭代若序列 y o k o l 且满 足 c o 则 儿 二强收敛于r 的不动点 并且p i c a r d 迭代序列 毛 二收敛 n o 于不动点的速度比 m a n n 迭代序列的收敛速度快 定理1 2 6 m 1 设e 是任意b a n a c h 空间 k 是层的闭凸子集 t k 寸k 是 z a m f i r e s c u 映射 设 毛 o 是m a n n 迭代序列 x o k 只 n o 是i s l l i k a w a 迭代 序列 y o k 且序列 成 满足 i o 孱 1 生 f f 0 0 n o 则 毛 和 y n n 强收敛于t 中的不动点 且m 锄迭代序列收敛于不动点的 速度比i s h j k a w a 迭代序列的收敛速度快 定理1 2 7 1 设e 是任意的b a n a c h 空间 k 是e 的闭凸子集 t k k 哈尔滨理 t 大学理学硕 e 学位论文 是半万压缩映射 y o o 是m 籼迭代序列 y o k y o 萑 r r f z n c o 1 满足 0 0 若 南 舻o l 2 性密 赤卜 则m 锄迭代序列 以 强收敛于r 的不动点 并且p i c a r d 迭代序列 毛 收敛 于不动点的速度比m 锄n 迭代序列的收敛速度快 1 4 本文的研究内容及结构 本文主要尝试研究在b a n a c h 空间中 m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代在非紧条件 下的收敛性问题 全文共分为三章 第一章 绪论 在本章中 主要讲述不动点理论的发展概况 目的是通过 引用大量的参考文献 使我们对不动点的发展有一个大体的了解 使本文的研 究工作有一个清楚的历史概况和发展脉络 第二章 紧空间中的m a r m 迭代和i s h i k a w a 迭代的收敛性 首先介绍本章所 需的基本知识 尝试着对i s h i k a w a 迭代和m a n n 迭代在紧空间条件下的收敛性进 行讨论 第三章 非紧空间中的m a n n 迭代收敛性 介绍一些基本知识的同时 本 章在前一章的基础上改近一些条件 尝试将前一章中的紧性条件减弱 试图通 过上述条件的改变 对非扩张 亚非扩张和广义非扩张映射下的m a n n 迭代的 收敛性分别做详细的探讨 哈尔滨理1 大学理学硕十学位论文 第2 章紧空间中的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的 收敛性 2 1 预备知识 设k 是b a n a c h 空间x 上的非空有界闭凸子集 映射t k k 被称为非 扩张映射 当映射r 满足条件8 戤一砂忙忙一j 0 时 这里任意的x y k 在文 章 3 5 1 中我们能够得到 若空间x 是一致凸空间 那么任意一个非扩张映射 r k k 都有不动点 在1 9 7 4 年i s h i k a w a 在h i l b e r t 空间中引进了一种新的 迭代方式m 1 毛 l 1 一 沙 尾毛 1 一允 巩 以 0 这里 和 尾 是区间 o l 上满足一定条件的序列 可以看出m a n n 迭代 过程 吒 i a n x 1 一 巩 是区间 o l 上的序列 是l s h i k a w a 迭代的一种 设x 是b a n a c h 空间 称 子集k 为可达的 如果对于x 中的任意一点x 存在集合k 中的一点k 满足如 下等式 d i s t x k d i s t x k i n f l l x y l l y k 众所周知一致凸b a n a c h 空间的任意一个闭凸子集都是可达的 我们用符 号p k 代表k 上的非空有界可达子集族 令h 是p k 上的h a u s d o r f f 距 离 则 日 么 b m a x l s b 彳 彳 u p d i s t a s u p d i s t b bp k 这里如f 口 b i n f l l a b l l b b 是点口到集合曰的距离 集值映射t k 专p k 1 被称为非扩张映射 如果z 满足如下条件 h t 石 r y l l x y i 成立 这里石 y k 点工称为r 的不动点 如果有x t x 成立 一致凸b a n a c h 空间的集值非扩 张映射的不动点的存在性已经被证明嘧 我们令x 表示一致凸的b a n a c h 空 哈尔滨理下大学理学硕士学位论文 间 令 z 代表映射r 的不动点集 定义2 1 啪1 设k 为b a n a c h 空间x 的非空凸子集 t k p k 是 集值 映射 并且p f t a m a n n 迭代序列定义为 毛 l 而 1 一吒 只 其中 x o k o l 刀 o 这里虼 巩且满足 忱一p i l 如f p 巩 b i s h i k a w a 迭代序列定义为 咒 1 一展 毛 展乙 其中 展 o 1 n 0 这里乙 魄满足 0 磊一p 0 如f p 巩 且 i 1 一口 吒 a z k o f n o 1 其中 z t y 满足 k p 8 如f p 砜 引理2 1 设 成 是两实值序列满足 i o 吒 展 占成立 这就得到不等式 s 孱 1 一成 以 成 1 一尾 o 该空f b j x 的平方范数 1 1 2 在嘭上是一致凸的 其 中 吃是指空间中的闭球 它的半径为p 球心在零点 并且 存在一个连 续的严格单调递增函数缈 o 0 0 j o 0 0 其中 缈 o o 则该函数满足如下 不等式成立 8 口z 1 一口 y i l 2 4 4 2 1 一口 0 y 8 2 a 1 一口 矽 1 k y 1 1 其中 所有的x y 吃 口 o 1 引理2 3 h 0 1 假设x 为一致凸的b a n a c h 空间 满足0 a b 1 并且 口 b 如果数列 此 g 空f a j x 中的序列 对于所有自然数栉满足 i 0 1 i l y 1 l l 定义空间x 中的序列 乙 为乙 1 一乙 乙儿 如果 舰恢8 1 那么就有1 i m 8 嵋一y 1 l o 2 2 紧空间下的i s h i k a w a 迭代的收敛性 定理2 1 设k 是一致凸b a n a c h 空间x 的一个非空紧凸子集 非扩张映射 t k 专p k 至少有一个不动点p 令序列 是由定义 b 定义的i s h i k a w a 迭代 若下式成立 f o 成 1 z f 展专0 i i i z 成 o o 那么 序列 吒 收敛到丁的不动点 证明通过引理2 2 我们可以得到 6 p l l 2 i i 一 毛 z 一p l l 2 1 a l l x n p l l 2 口nl l z p l l 2 一 1 一吒 缈 0 吒z n l i 2 1 1 一 恢一p i l 2 h 2 砜 助 一 1 一 伊 i k z n i i 1 k p l l 2 口 1 l y p l l 2 一吒 1 一 妒 k 1 1 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 8 虼一p l l 2 忡一成 吒 尾乙 1 1 2 1 一尾 0 吒 p l l 2 尾i l 乙 p l l 2 一尾 1 一成 伊 0 一乙0 1 一尾 恢 p l l 2 a h 2 巩 印 一尾 1 一尾 缈 恢 z n l l 2 2 1 一p o i i x p l l 2 成8 毛一p l l 2 一成 1 一成 缈 0 一乙i i 恢 p l l 2 一见 1 一孱 妒 恢 z n l l 从 2 1 和 2 2 我们可以得到 l l p l l 2 i i 毛 p l l 2 一 允 1 一孱 缈 8 z n l l 2 3 因此有 尾 1 一恁 伊 8 吒一乙 1 一p 2 8 毛 p l l 2 从而我们有 孱 1 一孱 缈 8 一乞8 8 玉 p l l 2 o o 由引理2 1 我们可以得到存在序列 一乙 的子序列 一气 满足如下关 系 当k o o 时 缈 0 一z i i o 通过函数妒的连续性和严格单调递增 性 我们可以得到l h 一气l l j o 因为k 是一个紧空间 故其任一序列都存在 收敛的子列 所以我们可以认为 一g 其中q ek 这样我们有 当k 一 时 d i s t q 趵 一吒j 如f 砜 h 砜 砀 0 9 一 l i i 一气l 0 q l l o 所以 我们得到g 是非扩张映射丁的一个不动点 现在我们用q 代替p 0 吒 p l l 2 i i x p l l 2 一口 尾 1 一尾 缈 0 一乙0 就可以得到序列钏矗 q l l 是一个递减数列 因为当k 专o o 有0 毛一训专 成 立 我们就可以得到序列 i x n g i l 单调递减趋于零 所以结论成立 证毕 接下来的定理是文章 3 0 中定理6 的推广 因为证明思路类似于上一定理 在这罩我们只给出简单的证明 2 3 紧空间下的m a n n 迭代的收敛性 定理2 2 设k 是一致凸b a n a c h 空间x 上的一个非空的紧凸子集 假设非 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 扩张映射kj p k 至少存在有一个不动点p 成立 设序列 是由定义2 i 所定义的m a n n 迭代序列 满足如下关系 0 0 1 f f 0 0 那么 序列 毛 收敛到非扩张映射丁的一个不动点 证明由m a n n 迭代的定义 和引理2 2 我们可以得到 慨 p l l 2 k 毛 0 a n y p l l 2 1 1 1 一 以一 1 一 p l l 2 i k 一p 卜 以 p 1 1 2 由引理2 2 我们有 0 毛一p 1 一 以 p 1 1 2 0 矗一p i l 2 o z l l y p l l 2 一 1 一吒 缈 0 一只i i a ni i x n p l l 2 1 t z d i s t 2 p 乃吒 一 1 一 缈 1 i 毛 y o l l 毛 p i t 2 1 一吒 日2 巩 矽 一 1 一 p 1 k 一只8 因为t 为非扩张映射 有日 玩 f p 1 1 而 p l i 故上式有 i k 毛一p 1 一哎 只一p 1 1 2 0 p l l 2 1 一吒 j i p l l 2 一 1 一 妒 0 一咒1 1 0 p l l 2 一 1 一畋 伊 1 k 一咒0 即 有不等式 0 一p l l 2 1 1 p l l 2 一 1 一 缈 0 毛 y 1 1 成立 所以 有 1 一 缈 0 一以 i 0 一p 0 2 4 一p l l 2 从而得到 1 一 伊 1 1 一咒i i 恢 p l l 2 o o n l 即 1 一 妒 0 y 1 1 有界 通过引理2 1 我们可以得到存在序列 毛一咒 的子序列 一魄 满足下述关系 当k o o 时 缈 0 一 0 斗o 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 又因为函数缈的连续性和严格单调递增性 从而n j 以得到 l 一 0 专0 由于k 是b a n a c h 空间工上的一个紧空间 故其任一序列都存在收敛的子列 所以 我们可以认为毛 一g 其中q k 这样我们有 当k 专0 0 时 d i s t q 趵 l l g 一 l l 缸f 砜 日 砜 砀 1 i q 矗 1 l l l x 一 l i q l l o 所以 我们得到g 是非扩张映射丁的一个不动点 现在我们用q 代替p 我们 通过不等式 k 一p l l 2 1 1 毛 p l l 2 a 1 c t 缈 k y 1 1 就可以得到序列 i i 矗 q l l 是一个递减数列 因为当k 一 有i k q l i 专 成 立 我们就可以得到序列 l i 而 q l l 单调递减趋于零 所以结论成立 证毕 2 4 本章小结 在本章中 我们研究了在紧性条件下非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 1 m a n n 迭 代的收敛性问题 由于在紧性条件下 我们知道任一无穷序列都会存在着收敛 的子序列 且该收敛子序列的极限点包含在该空间内 于是容易得到上述两种 迭代条件下的映射的不动点 从而得到了非扩张映射在上述迭代下收敛到其不 动点的结论 充实了不动点理论 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 第3 章非紧空间中的m a n n 迭代的收敛性 3 1 引言及预备知识 在上一章的定理中 都有一个非常强的条件 那就是空间k 是空间x 上的 一个紧的子空间 众所周知 紧空间上的任意无穷序列都存在一个收敛的子 列 接下来 我们将会证明在没有紧性条件下定理的成立 为此我们引入 b a n a c hp a n y a n a k 对m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的定义 这样我们就减弱了上 述定理的条件 定义3 1x 为一致凸的b a n a e h 空间 设k 为该b a n a c h 空间上的一个非 空的凸子集 映射t k p k 并且假设t 的不动点集f 丁 是可达的 非 空集合 其中f t 是k 的子集 c 按如下方法定义m a n n 迭代序列 x o k 毛 i 吒 1 一g n 以 其中 口 b 0 a 6 1 n 0 在这里以为集合玩中的点 巩 满足如下关系 怫一 1 1 d i s t u 玩