《高等数学》下册教案 多元函数微分学.doc

高等数学下册教案 第九章 多元函数微分法及其应用第八章 多元函数微分学1、多元函数的基本概念 多元函数的基本概念的介绍，以二元函数为主。一二元函数的概念1区域（平面区域）邻域：圆形邻域： 矩形邻域：区域：内点 开集 开区域边界点 闭集 闭区域连通性 有界区域：对于平面区域，存在一个以为半径的圆完全包含了区域，则称平面区域为有界区域。2二元函数的定义定义、设有变量，平面点集；当时，按照一定的法则，总有唯一确定的 值与之对应，称为变量的函数，即二元函数，记作：，；称为函数的自变量，为函数的因变量，为函数的定义域，而为函数的值域。如函数，定义域为：无界的开区域；的定义域则为有界的闭区域；函数的定义域则为：。注：二元函数的定义域是平面上的区域，而二元函数的图像是空间的曲面。如二元函数的图像是上半球面，定义域的是平面区域：；同理可知，三元函数的定义域是空间的区域，如函数：的定义域：，是空间的球体；一般自变量为两个或两个以上的函数统称为多元函数。二多元函数的极限1极限的定义定义、设二元函数在点的某邻域内有定义（可以除外），是一确定的常数。若，当邻域内的任意一点满足不等式 时，均有，称为函数当时的二重极限，简称为函数的极限，记作。注：根据定义，极限存在与否与函数在的状态无关，只与在 的周围邻域内的状态有关；定义中极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限的接近于；即极限值与的方式无关，即极限与路径无关；但是如果以不同的方式趋于时，函数趋于不同的值可以断定函数的极限一定不存在，即如果极限值与路径有关，函数的极限不存在。二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可以借助于一元函数求极限的方法求一些简单的二元函数的极限。例1求极限。 解：例2求极限。 解：例3求极限。解：，；例4说明函数，时的极限不存在。解：的定义域是整个平面，只要说明的极限与路径有关即可。让沿过点的直线（）趋向于： 与有关表明极限值与路径有关，从而不存在。注：当沿轴趋于时，；当沿轴趋于时，；表明特殊路径的极限存在并不能推出二重极限的存在。例5证明极限不存在。证：首先考虑经过的任一直线（轴除外），此时 （）如果，则考虑沿趋于，此时 表明极限与的取值即与路经有关，从而极限不存在。注：二重极限不能写作，或，后两者称为累次极限（二次极限）。但是二重极限并不存在。注：此例表明二次极限与二重极限是两个完全不同的概念，二者没有必然的联系，但是如果二次极限与二重极限都存在，可以证明极限值一定相等。 例6函数，求。解： ，由夹逼准则，三二元函数的连续性1连续的定义定义、设在包含点的某邻域内有定义，若极限存在且，则称函数在点连续，否则称点为函数的间断点。注：若在定义域内点点连续，则称在内连续；连续的二元函数的图像是无缝隙、无孔的空间曲面；二元函数的间断“点”可能是孤立的点，也可能是曲线，如函数，间断点为：2多元初等函数的性质p10所有多元初等函数在其定义区域内都是连续的；有界闭区域上的多元连续函数有最大值和最小值定理、介值定理等等。练习一、求下列二元函数的极限 解：，因为：所以；：，故，而所以由夹逼准则，练习二、讨论函数在点是否连续解：，由夹逼准则，所以在点连续。练习三、证明极限不存在。证：取过原点路径（），则此值与有关即上述极限与的路径有关，从而极限不存在。2、偏导数一偏导数与偏微分1偏导数与偏微分的定义定义1、设在的某邻域内有定义，固定，在点给以增量，称增量为在关于的偏增量，此时若 存在，称极限值为在点关于的偏导数，记作 同理，可以定义在点关于的偏导数：注：由偏导数的定义不难看出，计算偏导数不需要再引入新的方法，对求偏导时，只要将视为常数即可，故一元函数中的求导法则在此仍然适用；若函数在区域内点点偏导数存在，称在区域内可导，并且偏导函数记作：；。例1设函数为，求及。解：，例2设，求。解：求时，视为常数，则关于是指数函数，故 求时，视为常数，则关于是幂指函数，用对数求导法： 例3设，求、。解：，故；，故；，故；注意到：表明、没有独立的意义，即、是一个完整的记号，不能拆开使用。定义2、若的偏导数存在，则称为函数关于的偏微分；称为函数关于的偏微分，记作：，。2偏导数的几何意义以在点的偏导数为例。此时总有。考虑在平面上的曲线：，或：，由导数的几何意义，对于函数，表示交线上点处相对于轴方向的斜线的斜率； 同理，表示在交线上处相对于轴方向的斜线的斜率；例4求曲线在点处的切线对于轴的倾角。解：， ，即。3偏导数与函数连续的关系 在一元函数中，有“可导必然连续”。在多元函数中偏导数与函数连续之间有什么关系呢？例5已知函数在的极限是不存在的，从而在不连续。考察偏导数：、。 、不仅存在而且还相等，但仍然无法保证函数在的连续性。表明在多元函数中由偏导数存在推不出函数的连续。二高阶偏导数 设的两个一阶偏导数均存在，则它们仍然是的函数，可以对这样的函数定义其偏导数，即为函数的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数共有四个：二阶混合偏导数 其中，. 将二阶偏导数视为函数，再定义偏导数即为三阶偏导数，二元函数的三阶偏导数有8个，如、.。二元函数的阶偏导数有个。 对于三元函数，阶偏导数有个，.定理1、若二阶混合偏导，连续，则，即混合偏导数连续时，与求偏导的顺序无关（此结论可以推广到阶混合偏导数）。例6求函数的、及。解： 例7设，求、及。 解： ，所以，。3、全微分定义、设函数在点的某邻域内有定义，给自变量分别以增量，称改变量为函数在点的全增量，若全增量可以表示为 （）其中与无关，仅与有关，是比高阶的无穷小，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记作 注：因为是自变量，故，故函数在的全微分若函数在区域内点点可微，则全微分通常写作定理1、设在点可微，则在点其偏导数一定存在，且 证：在点可微，由定义，对于自变量的任意增量。总有：特别当时，有：（），即 同理可得，。注：二元函数的全微分是两个偏微分的叠加，即全微分又可以写作：称为叠加原理；同理对于三元的可微函数，其全微分为：根据可微的定义，可以推出：，或，或，表明多元函数可微必然连续；由可微的定义： ，故当在点可微时，有近似计算公式： 误差问题：如果函数在一点偏导数存在，可以写出：，但是不一定等于函数的全微分，因为不能保证是比高阶的无穷小，。即由偏导数存在一般推不出函数可微；如函数 已知，故， 定理2、设函数在点的一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在点可微。例1设，求在点，且，时的全微分。解：，以及，故 4、多元复合函数的导数 对于非抽象的函数构成的复合函数，可以直接按照求导公式和法则求其偏导数及其高阶偏导数。如，则，.也可以按照下面的复合函数的求导方法。一设，构成复合函数：，考虑复合函数的偏导数： 固定，给以增量，相应于函数，有偏增量、；如果一阶偏导数连续，则必然可微，对于其自变量的增量，函数的全增量为，其中。从而对于增量、，函数的增量可以表示为： 对于复合函数而言，即：从而当时， 有：如果函数，的一阶偏导数存在，则定理1、设，在点的偏导数存在，而在相应的点偏导数连续，则复合函数在点有连续的一阶偏导数，且 或 以上的求导规则也称为链导规则。例1设，求。解：，；，；，； 例2设，求、。解： 注：也可以写出复合函数，或，再求偏导数。二全微分的形式不变性 设函数一阶偏导数连续，则一定可微。即；又设函数、一阶偏导数连续，也有，；从而， 表明不论是自变量还是中间变量全微分的形式都是相同的，此性质称为全微分的形式不变性。例3设，用全微分形式不变性，求、解： 所以：，。三、含有抽象函数的复合函数求导法则1设，构成复合函数： 注：图示法：增加一个中间变量，规则中每个公式增加一项；如，增加一个自变量，规则中增加一个公式：例4设，其中偏导数连续，求。解：设，则函数结构图为：2特殊复合函数的偏导数设偏导数连续，、可导，则复合函数为一元函数：，函数结构图为全导数注：如果是一元函数则应写导数符号，多元函数则写偏导数符号。例5设，一阶偏导数连续，求。解：设，则，复合函数关系图设，其中一阶偏导数连续，偏导数存在，复合函数为：，复合关系图：注：此例中既是中间变量也是自变量，此时表示复合函数对于作为自变量的求导，而 则表示函数对作为中间变量的求导；即当具有双重身份“时，与的含义不同，除此之外，与是通用的。设， 一阶导函数数连续，一阶偏导数连续，复合函数为：，复合关系图 例6设，的一阶偏导数连续，求及。解：，函数关系图为四偏导数的简单记号例4设，的一阶偏导数连续，求，。解：若设，则 例5设，的一阶偏导数连续，求，。解： 五、复合函数的高阶偏导数例6设，的二阶偏导数连续，求，。 解：， ， 注：注意到一般、仍然保持原有的复合关系；为了书写简便，在不混淆的情况下，写为：，.此处“1”表示第一个中间变量，“2”表示第二个中间变量，.因为的二阶偏导数连续，故与求导的次序无关，即，.例7设，的二阶偏导数连续，求、 解： 注：如果函数中含有四则运算，则尽量先处理四则运算的求导，然后再考虑复合函数求导。5、隐函数求导法则 在一元函数中，对于隐函数方程如，只需视为的函数，方程两边关于求导，得：，。 利用多元复合函数的求导法则，可以推出一般的计算公式。一单个方程的情形定理1、设在的某邻域内一阶偏导数连续，且，则在此邻域内，二元函数方程唯一地确定了一个单值的有连续导数的一元函数，满足，且。因为由所确定，故，从而 或，所以：。注：是指二元函数的偏导数。 例1设，求。解：设，则求得： ，或。注：如果函数的二阶偏导数连续，可以推出的计算公式。记：，则，用复合函数的链导规则：在实际计算时，一般不需使用上面的公式，而是直接计算。如上例中，注意到，则： 定理2、设函数在的某邻域内一阶偏导数连续，且，则在此邻域内，三元函数方程唯一地确定了一个单值的有连续偏导数的二元函数，满足，且 例2设，求、。解：， 例3设具有连续的偏导，证明由方程所确定的函数满足：。证：记，则， 从而：例4设方程确定了一个函数，的一阶偏导数连续，证明：。证：记，则由确定了函数，从而 二方程组的情形如方程组在一定条件下(p40)，确定了两个二元函数：与，以下举例说明偏导数的求法。例5设，求。解：先求：方程两端对求偏导，都是的函数： 用克莱姆法则求解行列式：是关于的二元线性方程组，则 用加减消元法，解得：，以及；同理可以求得。例6设，其中是由方程确定的的函数，均满足一阶偏导数连续，证明：。证：因为是由方程确定的的函数即方程确定，且，或，；又因为，则，或，记：。由，有 例7设，是由方程确定的的函数，其中均可微，求。解：因为是由方程即确定的的函数，记，则，所以 另外，由，以及是的函数，则 6、微分法的几何应用一空间曲线的切线与法平面1空间曲线切线的定义：曲线的割线的极限位置；2空间曲线的法平面的定义：过切点且与该切点的切线垂直的平面； 设空间曲线的参数方程为：，；其中、均可导，且在时导数不全为零；对应曲线上的点为，。 设曲线上的点、，且对应点，则经过、两点的割线的方向向量为： ，或 割线的方程为： 或 当沿曲线趋近于时，且，；当最终与重合时，割线到达极限位置，即为切线，从而切线的方程为：； 因为切线的方向向量，就是法平面的法向量，因此法平面方程为：；如果空间的曲线是两个柱面的交线形式，如，则视为参数，即交线为，则切线方向向量：；切线方程：；法平面方程：例1求曲线在所对应点的切线及法平面方程。解：所对应点为：，又，故；从而，或取，则切线方程：；法平面：，或。例2求曲线，在点处的切线及法平面方程。解：视为参数，曲线参数方程为：，对参数求导：在点处，、，即，从而切线方程： ；法平面方程则为：，或。二空间曲面的切平面与法线方程 设空间曲面的方程：，在曲面上，函数的一阶偏导数连续且不同时为零。 设曲线：是曲面上过点的任意一条曲线，、，不同时为零，点对应的参数为，由于曲线在曲面上，故；又因为复合函数在时可导，则其全导数为零，即，即 或 为书写简便，记，已知曲线在点的切线方向向量为：，故有：，即与垂直。注意到曲线是曲面上过点的任意一条曲线，上述结论表明：曲面上过点的任意一条曲线在点的切线都与一确定的向量垂直，从而所有这样的切线均位于过点的同一平面上，称此平面为曲面上点的切平面。 由切平面的定义，其法向量为，从而切平面的方程为：过点与切平面垂直的直线称为法线，其方程为：。 特别，如果曲面方程为，或；函数一阶偏导数连续，记，则，从而，此时切平面方程： 法线方程： 注：切平面方程可以写为：，记，则有，等式的右端恰是函数在的全微分，而等式表明，全微分的几何意义是在处曲面的切平面上坐标的改变量。例3在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于已知平面，并写出法线的方程。解：设所求点为，曲面，则，；则的切平面的法向量为：；由于法线垂直于平面，则法向量平行于已知平面的法向量：，则对应的坐标应成比例，即，由此解得：，并求得，故法向量或也可以取，所求曲面上的点为，经过此点的法线方程为： 或 例4写出曲面上任意一点处的切平面方程，并说明所有的切平面均平行于一定直线。解：记，则曲面的切平面的法向量为：；，。设是曲面上的任意一点，则此点处切平面的法向量为：切平面方程为：； 取，为某定直线的方向向量，由于表明，从而曲面上任意一点处的切平面均平行于定向量，当然平行于以作为方向向量的定直线。三空间曲线的切线与法平面方程 因为切线是两张切平面的交线，故或例5求曲线上处的切线及法平面方程。解：，故 取：，点，则切线方程：；法平面方程：，或。例6试证曲面的所有切平面都相交于一点。证：令：，则，；在曲面上任意一点处的切平面方程为：因为曲面上任意一点处的切平面方程又可以写为：点一定在此切平面上，即曲面上任意一点处的切平面均过原点。例7过直线，作曲面的切平面，求此切平面的方程。解：过直线的平面束方程为：，或 其法向量；设切点，则切平面的法向量：，从而 由可得，代入中可得：，；代入中，可得，；所以 ，或即解得：，；或，； ，从而切平面方程为： 或 或7、方向导数与梯度一方向导数的概念与计算1考虑函数在点沿某一方向的变化率：定义、设在点的某邻域内有定义，过点 作半射线，是半射线上的任意一点，若极限 （） 存在，称极限值为在点沿方向的方向导数，记作：，或，即。2几何意义 是半割线相对于方向的斜率，则相对于方向的半切线的斜率；若半切线与方向的夹角是，则。3方向导数与偏导数的关系 假设函数偏导数总是存在的，考虑沿轴正方向的方向导数记作，则，且，由方向导数的定义： 沿轴负方向的方向导数记作，则，由方向导数定义： 即：，；同理：，；4方向导数的计算公式定理：设在点可微，则在点沿任何方向的方向导数均存在；若某方向的方向角为，则： 或，证： 由于，故又因为，则又有：。例1设，求在点，沿方向的方向导数，其中。解：，；，； ，故，由此得出：，所以：注：以上求方向导数的方法可以推广到其它的多元函数。如沿方向的方向导数：（方向的方向角为）。例2设，求在点，沿到方向的方向导数。解： ，故，；，故 二梯度（gradient） 由上面的讨论已知，在某一点的方向导数的值因方向的变化而不同，问题：在一点处沿什么方向的方向导数值最大？或者说在一点处沿什么方向函数增长的最快？ 记：在点处的梯度向量，简称为梯度；记：是与同方向的单位向量，则 （）时，； 即，表明当方向与梯度方向一致时，方向导数最大，或沿梯度方向的方向导数值最大，梯度方向是函数增长的最快的方向；时，； 即，此时方向与梯度方向垂直，表明在垂直于梯度的方向上方向导数为零，即在此方向上函数的变化率为零；点处的梯度方向垂直于过的等高线，且丛数值较低的等高线指向数值较高的等高线； 对于函数，等高线的方程为，或#；若此曲线可以写为，则曲线上任一点处切线向量，或，或； 对#微分可得：，即：表明梯度向量与等高线上的切线向量垂直；又因为梯度方向是函数增长最快的方向，梯度向量应指向函数增长的方向，从而梯度向量丛数值较低的等高线指向数值较高的等高线；图中粗箭头所示即为梯度方向。几何解释：如果曲面为凸曲面，形如山，一登山者到达某一位置时，若沿梯度方向攀登，则山路一定最陡峭；若垂直于梯度方向攀登，总是行走在同一等高线上，永远不可能到达山顶。问题：如果曲面是凹曲面，考虑其等高线上梯度向量其方向如何？例3设，求，解：，故 例4求函数在点处，沿曲线在此点的内法线方向的方向导数。（）解：由方向导数的定义：求梯度向量：求点方向的方向余弦，即曲线上的内法线方向余弦曲线上的切线向量为：，则法线向量为：，或；注意到要求是内法线方向，故取为内法线向量，则 即内法线方向余弦：，从而注意到曲线恰好是曲面当时的一条等高线，而曲面是开口向下的椭圆抛物面，是凸曲面；从而曲线在点处的内法线方向恰好就是其梯度方向，因此就是要求在沿梯度方向的方向导数；已求得： 例5问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值。解：，已知函数在点处沿梯度方向的方向导数最大，且 8、多元函数的极值一无条件极值（极值）1极值的定义定义、设在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点的任一点，若都有，则称函数在取得极小值，为函数的极小值点；若都有，则称函数在在取得极大值，为函数的极大值点；极大、极小值点统称为函数的极值点。如，极小值点，极小值；，极大值点，极大值；而函数在点不取极值。定理1、（极值存在的必要条件）设在点偏导数存在，且在取得极值，则，。证：设在点取得极小值，则存在的一个邻域，对此邻域内的任意点，均有。 特别对于邻域内的点，也就有，条件表明“一元函数”在“点” 取得极小值并且可导，从而“导数”等于零，即，同理可得。注：对于，称使得、同时成立的点为函数的驻点；由必要条件，在偏导数存在时，函数的极值点产生于驻点，但驻点不一定全都是极值点，如，是其驻点，但不是极值点；但是偏导数不存在的点也有可能是极值点，如，是极小值点，但是、均不存在；此结论可以推广到其它的多元函数。如在偏导数存在，且在取得极值，则 定理2、（极值存在的充分条件）设在二阶偏导数连续，且满足，记 若，则函数有极值；且当时，有极小值；当时，有极大值；若，则函数无极值；若，必须另行讨论。根据定理1、定理2，求极值的主要步骤如下：确定函数的定义域；求出所有的驻点，即使得、同时成立的点；对于每一个驻点，分别计算其，然后用判别式进行判别。例1设，求其极值。解：，所求驻点为：abcac-b2符号-80-188+极大值0240- (24)2-非极值0-240-(24)2-非极值0-240-(24)2-非极值0240-(24)2-非极值 极大值为；2最大值与最小值 有界闭域上的连续函数可以在上取得最大值和最小值。若最大或最小值在区域的内部取得，则一定是极值；若最大或最小值在区域的边界曲线上取得，则属于条件极值问题。 因此，求最大、最小值的一般方法：求函数在内的所有驻点；求函数在的边界曲线上的