一块石墨烯片的波动瞬态响应分析.doc

湖湖 南南 科科 技技 大大 学学 毕毕 业业 设设 计 计 论论 文文 题题 目目 一块石墨烯片的波动瞬态一块石墨烯片的波动瞬态 响应分析响应分析 作者作者田鹏田鹏 学院学院土木工程学院土木工程学院 专业专业工程力学工程力学 学号学号1202060210 指导教师指导教师谢根全谢根全 二 一六 年 五 月 二十四 日 湖湖 南南 科科 技技 大大 学学 毕业设计 论文 任务书毕业设计 论文 任务书 土木工程学院 院 工程力学 系 教研室 系 教研室 主任 签名 2015 年 5 月 24 日 学生姓名学生姓名 田鹏田鹏 学号学号 12020602101202060210 专业专业 工程力学工程力学 1 设计 论文 题目及专题 一块石墨烯片的波动瞬态响应分析 2 学生设计 论文 时间 自 2016 年 3 月 20 日开始至 2016 年 5 月 24 日止 3 设计 论文 所用资源和参考资料 1 弹性力学 2 MATLAB 计算与分析 4 设计 论文 应完成的主要内容 用 MATLAB 计算并分析一个石墨烯片的波动瞬态响应 5 提交设计 论文 形式 设计说明与图纸或论文等 及要求 1 符合学校有关毕业论文的规定 提交毕业论文一本 2 提交开题报告一份 6 发题时间 2015 年 12 月 30 日 指导教师 指导教师 签名 学学 生 生 签名 湖湖 南南 科科 技技 大大 学学 毕业设计 论文 指导人评语毕业设计 论文 指导人评语 指导人 指导人 签名 年 月 日 湖湖 南南 科科 技技 大大 学学 毕业设计 论文 评阅人评语毕业设计 论文 评阅人评语 评阅人 评阅人 签名 年 月 日 湖湖 南南 科科 技技 大大 学学 毕业设计 论文 答辩记录毕业设计 论文 答辩记录 日期 日期 学生 学生 田鹏田鹏 学号 学号 12020602101202060210 班级 班级 工程力学工程力学 2 2 班班 题目 题目 一个石墨烯片的波动瞬态响应分析一个石墨烯片的波动瞬态响应分析 提交毕业设计 论文 答辩委员会下列材料 提交毕业设计 论文 答辩委员会下列材料 1 1 设计 论文 说明书设计 论文 说明书共共 1616 页页 2 2 设计 论文 图设计 论文 图 纸纸共共 0 0页页 3 3 指导人 评阅人评语指导人 评阅人评语共共 2 2页页 毕业设计 论文 答辩委员会评语 毕业设计 论文 答辩委员会评语 答辩委员会主任 答辩委员会主任 签名 委员 委员 签名 签名 签名 签名 成绩 成绩 摘摘 要要 本文对一片石墨烯片的波动瞬态响应进行了研究 基于非局部弹性力学的概念和能量 法建立了石墨烯片的动力学微分方程 使用 MATLAB 分析和计算该微分方程得到石墨烯 片的挠度随时间的响应变化 通过对一些算例的分析 我们可以得到一些重要结论 关键词 非局部弹性理论 Heaviside 函数 波动瞬态响应 傅里叶变换 ABSTRACT This paper on a graphene sheet transient fluctuations in the response were studied the graphene sheets of dynamic differential equation is established based on the nonlocal elastic mechanics and the concept of energy method using MATLAB analysis and calculation the differential equation is obtained graphene sheets of two dimensional response and 3D response through the analysis of some examples we can get some important conclusions Keywords non local elasticity theory Heaviside function Wave transient response Fourier transform 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 目 录 第一章第一章 前前 言言 1 1 1 纳米石墨烯材料的发展趋势 1 1 2 课题的提出及研究意义 1 1 3 本文主要研究的内容 1 第二章第二章 基本理论及公式推导基本理论及公式推导 2 2 1 基本理论 2 2 2 本构方程 2 2 3 几何方程 3 2 4 非局部本构方程 4 2 5 动力学微分方程 5 2 6 动力学微分方程求解 7 2 7 波数域方程 7 2 8 时域方程 8 第三章第三章 数值算例和结果分析数值算例和结果分析 9 3 1 石墨烯片的材料参数 荷载参数 9 3 2 结果分析 9 第四章第四章 结论结论 11 参考文献参考文献 12 致谢致谢 13 附录附录 14 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 第一章第一章 前前 言言 1 1 纳米石墨烯材料的发展趋势纳米石墨烯材料的发展趋势 纳米技术兴起于 20 世纪九十年代 现在已经逐步发展成为一个新兴科学领 域 从广义上讲 纳米技术是纳米科学技术的简称 英文 Nanotechnology 从 狭义上讲 纳米技术是指的在纳米尺度 10E 7m 10E 9m 范围内研究物质特 性和相互作用 以及这些特性的科学技术 使得人类从宏观世界的认识上向微 观世界拓展 是人类对自然界认知的重大突破 是当今科学技术发展的前沿热 点 石墨烯材料作为纳米材料的典型代表 以其高强度 高电导率 大比表面 积 强界面效应等优异特点 以及特殊的机械 物理 化学性能 被广泛地应 用于工程材料 催化 吸附分离 电子电极和储能器件等诸多领域 1 2 课题的提出及研究意义课题的提出及研究意义 石墨烯片的波动瞬态响应指的是某一波动信号加载在石墨烯片上时 石墨 烯片挠度从初始状态到稳定状态的变化过程 现今关于石墨烯片的研究大多是 振动方面的研究 而关于波动方面的研究相对较少 因此石墨烯片的波动瞬态 响应研究对于石墨烯片进入工程领域有着重要的意义 1 3 本文主要研究的内容本文主要研究的内容 分析一块石墨烯片的波动瞬态响应是本文的主要内容 石墨烯片的波动瞬 态响应特征是由波速 时间以及弹性位移的动力学微分方程所决定的 通过对 石墨烯片的动力学微分方程进行多次傅里叶变换 通过 MATLAB 计算得到的 结果可以分析石墨烯片的波动瞬态响应研究 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 第二章第二章 基本理论及公式推导基本理论及公式推导 2 1 基本理论基本理论 非局部弹性理论是本文的主要基本理论 对于石墨烯片为代表的纳米材料 的力学行为分析 对于石墨烯片纳米结构的尺度效应以及尺度效应影响的条件 我们通过采用经典介质力学理论无法描述 因此 我们通过非局部弹性理论的 引入 考虑 C 原子之间长程力的作用 非局部弹性理论的本质主要体现在以下两个方面 1 对于宏观整体成立的所有守恒定律不一定对于任意一个小单元成立 所以 在守恒定律的微分方程中 我们会出现局部化残余 2 通过对小尺度效应和石墨烯片 C 原子之间长程力作用的引入 在石 墨烯片材料的本构方程中引入物体内部特征长度 且随着距离的增大而缩减的 非局部核函数 这就表明石墨烯片某点的应力不仅与这一点的应变有关 而且 还与域内所有的 C 原子的应变有关 非局部弹性理论必须围绕上述两点核心点建立 使得石墨烯片的内部单元连成 一个有机的整体 更加真切和准确的反映石墨烯片真实的物质世界 2 2 本构方程本构方程 对于均质各向同性材料 其本构方程为 2 1 0 d V V xCxx xx 其中 为双点积 是经典各向同性连续介质的弹性模量矩阵 表 0 C x 示在点非局部应力张量 而 是弹性体内任意点处的应变张量 核x x x 函数 是非局部模量 是欧几里得距离 中的 xx xx 0 e a l 0 e 是适 合所有材料的常数 是一个内部特征长度a 如原子间距离 晶格空间 颗粒间距等 而 是一个外部特征长度 如裂纹长度 l 波长等 图1 石墨烯片的一个代表单元 x1 1 x2 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 六边形代表单元内一点处的应力分量可以展开成泰勒级数形式x 2 2 1 2 11 22 12 1201 0 1 12122 0201 2 00 21 0 0 1 2 ij ijijx x 2 ijij xx xx x x x x x x x xx x x x xx 式 2 2 两边对六边形代表单元积分 并求平均值 根据单元关于坐标的对称 性 并略去2阶以上的高阶项 有 2 3 22 12 1 0 2080 0 ijij x xl 其中 为 C C 键长 为非局部应力 l 21 x x ij 对方程 2 3 求逆有 2 4 22 12 0 01 0 208 ijij lx x 2 3 几何方程几何方程 基于非局部弹性理论的概念 我们选择石墨烯片的基本六边形单元作为 研究对象 由于坐标系建立的角度不同以及石墨烯片的螺旋角度 石墨烯片可 分为 扶手椅 式和 锯齿形 式 如下图所示 图 2 石墨烯片种类划分 对于螺旋角为 的螺旋形石墨烯片如图2所示 石墨烯片的两边平行于 整体坐标系 需要将局部坐标系中的几何方程变换到整体坐标系 12 x x 12 x x 中 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 整体坐标系中 石墨烯片的几何方程为 2 5 i ji j zw 其中 为石墨烯片的挠度 w 2 i j ij w w x x 根据应变变换关系 局部坐标系中的应变为 2 6 ijiji j i j ll 其中 2 7 cos cos ijij i jij lx x lx x 2 8 ijij zw 图 3 具有一定螺旋角的石墨烯片 2 4 非局部本构方程非局部本构方程 基于方程 2 4 石墨烯片的非局部本构方程为 2 9 2 2 11 111122 22 1 2 2 22 222211 22 2 22 1212 0 208 1 0 208 1 1 0 208 1 E l x E l x E l 上式中 E 为石墨烯的杨氏模量 而 为泊松比 式 2 9 能近似表示为 1 x x1 x2 o 2 x 2 x x1 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 2 10 2 2 111122 22 1 2 2 222211 22 2 22 1212 1 0 208 1 1 0 208 1 1 0 208 1 E l x E l x E l 将式 2 6 代入式 2 10 中 有 222 222 111122 1122 222 1122 22 1122 1 0 2082 1 ijij ijij Ez lll ll xx xx ww llll x xx x 2 11 222 222 222222 1111 222 1122 22 2211 222 2 1212 22 12 1 0 2082 1 1 0 208 1 ijij ijij ij ij Ez lll ll xx xx ww llll x xx x Ezw lll xxx x 在整体坐标系中 应力分量为 12 x x 2 12 iji ji jij ij ll 2 5 石墨烯片的动力学微分方程石墨烯片的动力学微分方程 通过考虑上述的应力应变分量 我们的一组关于整个石墨烯片系统的运动 平衡方程 2 13 tttDttdMdKF 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 忽略横向剪切变形能 石墨烯片的应变能为 2 14 1122221212 11 1 d 2 V UV 石墨烯片振动的动能 2 15 2 1 d 2 A VmwA 其中 为石墨烯片单位面积的质量 m 假设施加在石墨烯片上的均布力集度为 忽略体力做功 外力做功为q 2 16 A q AqwWd 通过哈密顿原理我们可以得到石墨烯片的动力学微分方程 2 17 D q t w D m kkAkkA kkkkAkkkkAkkA 2 2 2 2 2 15 4 2 4 14 2 2 4 1 4 2 2 132 5 1 5 2 12 6 2 6 1 1 其中 弯曲刚度 泊松比 1 12 2 3 u Eh D 0 26 2 18 66 1 22 3 2 3 66 3 22 4224 4 422 5 4 0 208sincos 0 362 cossin 0 30784 cossin 0 30784 cossin 0 05408sincos 0 416 1 3 76cossin sin1 48sincoscos 2 52sin1 92sincos 2 52cos Al l Al l Al l A A 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 1 2 6 动力学微分方程求解动力学微分方程求解 由于是波动的瞬态响应分析 因此我们有 2 19 ty y kx x ki eAw 通过求二阶偏导我们可以得到下列方程 2 20 D q w D m wk 2 2 21 mDK q w 在 Eq 2 21 中的 K 可以通过下面的表达式得到 2 22 2 2 2 15 4 2 4 14 2 2 4 1 4 2 2 132 5 1 5 2 12 6 2 6 1 1 kkAkkA kkkkAkkkkAkkAK 在这里我们假定波数 k1 k2 的函数关系如下所示 2 23 sin cos 2 1 kk kk 2 7 波数域方程波数域方程 我们对 Eq 2 21 与 Eq 2 19 进行傅里叶变换得到 2 24 dxdyeetwqHw yik xik y x 由 Eq 24 我们可以得到石墨烯片的波数域方程如下所示 2 25 yx y x tyxtdd yik e xik etyxdtkkd 通过对 Eq 13 的傅里叶变换 我们可以得到系统的一组方程如下所示 2 26 tttttdKdMF 其中 以及分别是 的傅里叶变换 t F t d t d t F t d t d 所代表的是应力的固有振幅矢量 我们通过对 Eq 2 26 进行傅 t F0 里叶变换可以有 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 1 2 27 0 tqFF tt 一个垂直于石墨烯片的力加载在表面 该作用力的表达式如下所示 2 28 t D t QxtqF 2 在这里 指的是余弦动荷载函数 指的是关于 x 的单位脉冲函数 tq x x 的分布满足狄拉克分布 是一个恒定的矢量 表达式如下所示 t Q 2 29 0 0 0 0 0 0qqQT t 在这里的是一个常量 通过对 Eq 2 28 进行傅里叶变换 我们可以得 0 q 到 2 30 t xikD t D t QtqdxeFF x 22 因此 在 Eq 2 30 中的矢量我们就可以通过下列的表达式所获得 D t F 2 2 31 t D t QF 2 2 8 时域方程时域方程 2 8 1 三维响应三维响应 通过反傅里叶变换 在时域内所得到的响应可以明确的阐述如下 2 32 yx yik xik yxtt dkdkeetkkdtyxd y x 4 1 2 综上所述通过二维的快速傅里叶变换技术我们可以得到 Eq 2 32 2 8 2 二维响应二维响应 二维响应问题的分析和公式我们可以很容易的从三维问题中的到 我们假设载荷和在 y 方向上的轴位移是独立的 因此所有的表达式只有在 以及时保持有效 这个时域方程的位移响应可以通过一维傅里叶0 y 0 y k 变换来得到 如下所示 x xik x D t D t dketkdtxd x 2 1 22 2 33 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 第三章第三章 数值算例和结果分析数值算例和结果分析 3 1 石墨烯片的材料参数石墨烯片的材料参数 荷载参数 荷载参数 1e 3 0 q C C 键长 l 0 142e 9 面内刚度 360 E 泊松比 0 26 石墨烯片厚度 9 0 34eh 角度 30 平均质量 3 0 77 ehm 弯曲刚度 1 12 2 3 u Eh D 3 2 结果分析结果分析 通过计算以及分析得到的石墨烯片的挠度变化图 我们可以知道同一质点 石墨烯 片该点随时间的瞬态响应的比较 然后我们可以在控制螺旋角 来分析石墨烯片的波 动瞬态响应 3 2 1 时间为变量时间为变量 当我们确定在距离激励点 80 微米时 我们通过比较随着时间的增长 质点挠度 的变化在这里我们选择取 0 16 2 16 3 16 4 16 四个不同螺旋角的挠度图 来比较分析结果 通过图 3 1 图 3 2 图 3 3 图 3 4 我们发现一个共同点 均可 以看出在石墨烯片上的质点在激励产生以后 该质点刚开始产生小幅度的波动 随着 时间的变化 激励继续加载 波能量的继续叠加 此时我们可以显著的看到该质点挠 度的波动幅度在慢慢增加 1 在图 3 1 中 我们通过螺旋角为 0 以及螺旋角为 2 16 的两个石墨烯片 波动瞬态响应的比较 我们可以看出虽然两条波形图的波形相似 但是螺旋角为 0 的 石墨烯片较螺旋角为 2 16 的石墨烯片具有更大的波动瞬态响应 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 图 3 1 图 3 2 2 在图 3 2 中 我们通过螺旋角为 0 以及螺旋角为 3 16 的两个石墨烯片波 动瞬态响应的比较 我们可以看出虽然两条波形图的波形相似 在前期几乎重叠 但 是随着激励的继续激励 波能量的叠加 在波动后期 我们可以显著的看出螺旋角为 0 的石墨烯片较螺旋角为 0 16 的石墨烯片具有更大的波动瞬态响应 图 3 3 3 在图 3 2 中 我们通过螺旋角为 0 以及螺旋角为 4 16 的两个石墨烯片 波动瞬态响应的比较 我们可以看出虽然两条波形图的波形相似 在前期几乎重叠 但是随着激励的继续激励 波能量的叠加 在波动后期 我们可以显著的看出螺旋角 为 0 的石墨烯片较螺旋角为 4 16 的石墨烯片具有更大的波动瞬态响应 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 通过下图 3 4 在此图中 我们通过将四种螺旋角情况的波动瞬态响应在同一坐标 系中表示 我们通过五条曲线的波形曲线 可以看出随着螺旋角的增大 石墨烯片波 动瞬态响应的变化越来越小 当螺旋角为 0 时 石墨烯片的瞬态响应达到最大值 而 在螺旋角为 2 16 时 石墨烯片的瞬态响应值为最小值 由于石墨烯片特殊的六边形 结构 在螺旋角大于 4 16 小于 时的情况与小于 4 16 时相对称 在这里我们不做计 算 图 3 4 通过上述几点的分析 总而言之 我们可以在石墨烯片的波动瞬态响应分析中 石墨 烯片螺旋角对波动瞬态响应有着显著的影响 石墨烯片特殊的六边形结构 C 原子之 间 C 长程力的作用 螺旋角的变化 使得石墨烯片上波的传播收到不同大小长程力的 影响 同时我们也验证了在非局部弹性理论中 石墨烯片为代表的纳米材料的小尺度 效应 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 第四章第四章 结论结论 分析一个石墨烯片的波动瞬态响应可以得到以下几点结论 1 在一个石墨烯片上施加波动荷载时 弹性波在石墨烯片上的传播规律 随着 时间的变化 石墨烯片的波动瞬态响应越来越大 而螺旋角的改变 也使得同一时刻 同一质点的响应有显著改变 这验证了物体内部尺度结构对宏观力学物质的影响 石 墨烯片的力学性能在纳米尺度下有着明显的尺度效应 2 在螺旋角 0 时 石墨烯片波动瞬态响应最大 在 2 16 石墨烯片的波动瞬 态响应最小 此时切面垂直与 C C 键 3 通过以上两点 在分析石墨烯片波动瞬态响应的同时 我们也同时验证了非 局部理论的两点本质 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 参参 考考 文文 献献 1 Eringen A C Edelen D G B On nonlocal elasticity Int J Enging 1972 10 233 248 2 Y Q Zhang G R Liu and J S Wang Small scale effects on buckling of multi walled carbon nanotubes under axial compression Physical review B 2004 70 205430 3 G Q Xie X Han S Y Long Effect of small size scale on the radial Buckling pressure of a clamped multi walled carbon nanotube Smart Materials and Structures 2006 15 1143 1149 4 G Q Xie S Y Long Elastic vibration behaviors of carbon nanotubes based on micropolar mechanics Computers Materials 螺旋角 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 Eh 360 面内刚度 niu 0 26 泊松比 h 0 34e 9 石墨烯片厚度 m 0 77e 3 平均质量 D Eh h 2 12 1 niu niu 弯曲刚度 l 0 142e 9 C C 键长 alpha 30 180 pi syms q0 t q0 1e 3 动荷载振幅 r 1e15 动荷载频率 q q0 cos r t 动荷载函数 syms A x y k1 k2 k t 伽辽金解用到 k1 k cos alpha k2 k sin alpha w A exp k1 x k2 y r t i 求系数 A1 A5 s sin beta c cos beta A1 0 208 l s 6 c 6 0 362 l c 2 s 2 A2 0 30784 l c s 3 0 30784 l c 3 s A3 0 05408 l s 6 c 6 0 416 l 1 3 76 c 2 s 2 A4 s 4 1 48 s 2 c 2 c 4 A5 2 52 s 4 1 92 s 2 c 2 2 52 c 4 K A1 k1 6 k2 6 A2 k1 k2 5 k1 5 k2 A3 k1 2 k2 4 k1 4 k2 2 A4 k1 4 k2 4 A5 k1 2 k2 2 t 0 0 0 1e 7 1 8e 7 kk 1 1 factorial 2 t D K m 1 factorial 4 t D K m 2 1 factorial 6 t D K m 3 1 factorial 8 t D K m 4 1 factorial 10 t D K m 5 1 factorial 12 t D K m 6 w q0 cos r t D K m r r 1 kk x 80e 6 fx 1 2 pi int w exp k x i k 10000 10000 求 Ft 的傅里叶逆变 换 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 fx double fx plot t fx hold on beta 1 pi 16 螺旋角 Eh 360 面内刚度 niu 0 26 泊松比 h 0 34e 9 石墨烯片厚度 m 0 77e 3 平均质量 D Eh h 2 12 1 niu niu 弯曲刚度 l 0 142e 9 C C 键长 alpha 30 180 pi syms q0 t q0 1e 3 动荷载振幅 r 1e15 动荷载频率 q q0 cos r t 动荷载函数 syms A x y k1 k2 k t 伽辽金解用到 k1 k cos alpha k2 k sin alpha w A exp k1 x k2 y r t i 求系数 A1 A5 s sin beta c cos beta A1 0 208 l s 6 c 6 0 362 l c 2 s 2 A2 0 30784 l c s 3 0 30784 l c 3 s A3 0 05408 l s 6 c 6 0 416 l 1 3 76 c 2 s 2 A4 s 4 1 48 s 2 c 2 c 4 A5 2 52 s 4 1 92 s 2 c 2 2 52 c 4 K A1 k1 6 k2 6 A2 k1 k2 5 k1 5 k2 A3 k1 2 k2 4 k1 4 k2 2 A4 k1 4 k2 4 A5 k1 2 k2 2 t 0 0 0 1e 7 1 8e 7 kk 1 1 factorial 2 t D K m 1 factorial 4 t D K m 2 1 factorial 6 t D K m 3 1 factorial 8 t D K m 4 1 factorial 10 t D K m 5 1 factorial 12 t D K m 6 w q0 cos r t D K m r r 1 kk 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 x 80e 6 fx 1 2 pi int w exp k x i k 10000 10000 求 Ft 的傅里叶逆变 换 fx double fx plot t fx r hold on beta 2 pi 16 螺旋角 Eh 360 面内刚度 niu 0 26 泊松比 h 0 34e 9 石墨烯片厚度 m 0 77e 3 平均质量 D Eh h 2 12 1 niu niu 弯曲刚度 l 0 142e 9 C C 键长 alpha 30 180 pi syms q0 t q0 1e 3 动荷载振幅 r 1e15 动荷载频率 q q0 cos r t 动荷载函数 syms A x y k1 k2 k t 伽辽金解用到 k1 k cos alpha k2 k sin alpha w A exp k1 x k2 y r t i 求系数 A1 A5 s sin beta c cos beta A1 0 208 l s 6 c 6 0 362 l c 2 s 2 A2 0 30784 l c s 3 0 30784 l c 3 s A3 0 05408 l s 6 c 6 0 416 l 1 3 76 c 2 s 2 A4 s 4 1 48 s 2 c 2 c 4 A5 2 52 s 4 1 92 s 2 c 2 2 52 c 4 K A1 k1 6 k2 6 A2 k1 k2 5 k1 5 k2 A3 k1 2 k2 4 k1 4 k2 2 A4 k1 4 k2 4 A5 k1 2 k2 2 t 0 0 0 1e 7 1 8e 7 kk 1 1 factorial 2 t D K m 1 factorial 4 t D K m 2 1 factorial 6 t D K m 3 1 factorial 8 t D K m 4 湖南科技大学本科生毕业设计 论文 1 factorial 10 t D K m 5 1 factorial 12 t D K m 6 w q0 cos r t D K m r r 1 kk x 80e 6 fx 1 2 pi int w exp k x i k 10000 10000 求 Ft 的傅里叶逆变 换 fx double fx plot t fx r hold on beta 3 pi 16 螺旋角 Eh 360 面内刚度 niu 0 26 泊松比 h 0 34e 9 石墨烯片厚度 m 0 77e 3 平均质量 D Eh h 2 12 1 niu niu 弯曲刚度 l 0 142e 9 C C 键长 alpha 30 180 pi syms q0 t q0 1e 3 动荷载振幅 r 1e15 动荷载频率 q q0 cos r t 动荷载函数 syms A x y k1 k2 k t 伽辽金解用到 k1 k cos alpha k2 k sin alpha w A exp k1 x k2 y r t i 求系数 A1 A5 s sin beta c cos beta A1 0 208 l s 6 c 6 0 362 l c 2 s 2 A2 0 30784 l c s 3 0 30784 l c 3 s A3 0 05408 l s 6 c 6 0 416 l 1 3 76 c 2 s 2 A4 s 4 1 48 s