一元二次方程知识总结及习题.doc

一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2。 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）； （2）； （3）例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于的一元二次方程有一个根为0，则 例2 已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则 ， 例3 已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根及c的值。 知识点四 一元二次方程的解法(1)开平方法：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。如：的解是； 的解是； 的解是例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。注：配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。例 用配方法解下列一元二次方程（1）； （2）（3）公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.注：公式法的一般步骤： 把一元二次方程化为一般式； 确定的值；代入中计算其值，判断方程是否有实数根；若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；因式分解法的一般步骤：将方程的右边化为0； 将方程左边分解成两个一次因式的乘积。令每个因式分别为0，得两个一元一次方程解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。例 用因式分解法解下列方程 （1） （2）（5）解含有字母系数的方程含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； 对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 例 解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：（1） （2） （） 基础练习：1开平方法解下列方程：（1） （2） （3） （4） 2配方法解方程：（1） （2） 3公式法解下列方程：（1） （2） （3） （4） 4因式分解法解下列方程：（1） （2）（3） （4） （5） 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1） （2）（3） （4） 6解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：（1） （2） 提高练习：一、填空题1、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。2、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。3、 。4、若，则x + y的值为 。5、如果，那么代数式的值为 。6、当x= 时，最简二次根式与是同类二次根式。7、已知，则= 。8、若一个三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为 。9、已知，则= 。二选择题10、关于x的方程是一元二次方程，则（ ）A、 B、 C、a0 D、11、方程的根是（ ）A、x=2 B、x=1 C、x,x D、x,x12、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有边（ ）A、6条 B、7条 C、8条 D、9条13、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A、 B、 C、 D、14、某商品连续两次降价20%后价格为a元，则原价为（ ）元。A、1.2a B、 C、0.64a D、15、用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于y 的整式方程是（ ）A、 B、 C、 D、16. 当a _时，方程 (a21)x2 + 3ax + 10 是一元二次方程17已知，则的值等于 。18已知，那么代数式的值为 。19当x= 时，既是最简二次根式，被开方数又相同。20用配方法证明的值不小于1。21已知a、b、c均为实数，且，求方程的根。22.(1)对于二次三项式，小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都不可能是10.你是否同意他的说法？请你说明理由. (2)当x取何值时,代数式取得最大(小)值,这个最大(小)值是多少?（备选题）例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。【针对性练习】1、已知方