数学史在“扇形面积”教学中的应用.pdf

一材 数学教学年第期 数学史在 扇形面积 教学中的运用 上海外国语大学西外外国语学校 王 翎 全口制义务教育 数学课程标准 在 教学建 议 中指出 在教学活动中 教师 要创造 性地使用教材 积极开发 利用各种教学资源 为 学生提供丰富多彩的学习素材 数学史是数学 教学的重要资源 数学史上的有关问题则是学生 良好的学习素材但数学史料的选取应符合学生 的认知发展水平 满足相关知识点的教学要求 并体现新课程的理念本文利用数学史上的有 关资料 给出 扇形 面积 的一种教学设计 弧 长与扇形的面积 这个知识点在初中数 学新课程中是作为 圆中的计算问题 出现的作 为圆面的一部分 扇形在历史上很早就被人们所 认识在大英博物馆所藏古巴比伦时期 公元前 年 一公元前 年的数学泥版上 可以看 到许多求圆弧或圆弧与线段所围的一些有趣图 形的面积问题 如图图所示这些问题很可 能是当时的数学练习题 在图朴 希波克拉底发现 大圆内接正六 边形相邻三边上的半圆与大圆所围成的三个弓 月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形 面 积相等 阿基米德 公元前 一公元前 也研究过若干半圆所围成的有趣图形 如图 大半圆直径上的一点将直径分成两 段 在每一段上作半圆 则三个半圆所 围成的图 形 日 鞋匠刀形 如图 将大半圆直径分成三段 其中左右两 段相等 在左右两段上分别作半圆与大半圆同 侧 在中间一段上作半圆与大半圆异侧 则四 个半圆所围成的图形叫 盐瓶形 叫目曰阅户卜 图鞋匠刀形 钾州旧即脚脚卜 图盐瓶形 图风筝图双 弓图 凹四边形 古希腊数学家希波克拉底 前 世纪研究化圆为方问题时 求得了某些特殊的 弓月形的面积 与扇形面积密切相关 在图中 希波克拉底发现 等腰直角三角 形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心 直角边 为半径的四分之一圆弧所围成的 弓月形面积与 等腰直角三角形的面积相等 文艺复兴时期 意大利艺术大师达 芬奇 一研究过圆弧 所围成的许多图形的面积问题 如图 达 芬奇用出入相补的方法求得两段 四分之一圆弧与一段半圆所围成的图形的面积 图弓月形图弓月形与等腰梯形 图圆弧所围图形的而积 达 芬奇的求法 在达芬奇的笔记本里 我们还看到图所示 的 猫 眼 图 通过移动 容易发现阴影部分实际 上就是两个希波克拉底弓月形 故其面积等于外 切正方形面积之半图意大利人曾将其用 于课堂教学 年第期数学教学 一不 图达芬奇的 猫眼 图猫眼图的变形 早期历史上 人们研究的扇形大多是圆心角 为 和的特殊扇形 其面积和 圆面积之间有简单的比例关系从这些特殊的 比例关系中 人们想到圆心角为 的一般扇形 面积公式可以用 圆心角的度数来表达 即 燕 二尸 其中为扇形的半径但对于用弧长 切 犷 一 一 一 研 切 来表达的公式 几何上的推导方法是与圆面积公 式的推导方法一致的 世纪德国数学家和天文 学家开普勒 一 的直观但 并不严密 方法可以用于今天的课堂教学 教师首先讲述公元前世纪古希腊数学家 埃拉托色尼 公元前 一 公元前 测量地球的故事在这个故事中 埃拉托色 尼测得 了地球大圆的圆心角为周角的 鑫 时 一 咨 一 一 一 一 一 一 所对弧长为个单位 那么 如何求出地球 大 圆的周长呢从而突出 主题之必要性 创造 学习动机接下来 教师介绍如何求弧长在圆 内取一些特殊的圆心角如图所示 让学生思 考它们所对的弧长分别是圆周长的几分之几然 后引导学生发现 圆心角为 和 时的弧长 长为 高为的三角形面积相等 之后 教师告诉学生 在世纪 有一个名 叫开普勒的德国天文学家和数学家 他给出了一 种直观 的推导方法如图所示 如果我们把 圆看作由无数个顶点为圆心 底边为很短很短 的圆弧的三角形组成 把这些三角形变形为等底 等高 高为半径的三角形 并把创门拼在一起 得到直角三角形 其中直角边的长度 等于圆周长 因 匕 圆面积为 尝 一 二 目 一 护一 一 一 一 应地 圆内一个扇形也 由无数三角形组成 等积变形后对应于直角三角形内的三角形 其中底边 的长度等于扇形的弧长 故其面积为 一 喜 二 图圆心角为特殊角的扇形 接着 引入扇形概念 让学生思考与上述各 圆心角所对应的扇形 图中各阴影部分图形 其面积分别是圆面积的几分之几引导他们发 现圆心角为 的扇形面积 并结合弧长公式 得 出扇形面积与弧长之间的关系妥 其中 一 刁 心 一 一 一 一 一 一 表示 弧长这个公式表 明 扇形面积与一个底边 图扇形面积 开普勒的方法 在推导扇形面积后 教师让学生小组合作 解决如下扇形面积问题 问题公元前世纪 古希腊数学家阿基 米德研究过被称为 盐瓶形 的图形 图 这个 图形是由四个半圆所围成的已知最大的半圆 直径为 两边小半圆的直径均为 你能求出盐 瓶形的面积吗 问题古代巴比伦泥版上的几何图形 如 图 图和图 巴比伦人分别称它们为 风 筝 双 弓 和 凹 四边形 已知 图中的小正方 形边长为 试求出它们的面积 问题文艺复兴时期的艺术大师达 芬奇 曾经研究过 叫做 猫 眼 的图形图已知圆的 半径为 你能求出图中阴影部分的面积吗 本教学设计包含浓郁的历史文化气息 体现 数学是人类的一种文化 让学生体会数学的悠久 历史 数学与人类文明的密切相关性 利用背景 知识以及古人的问题情境 激发学生的好奇心与 学习兴趣 促进 自主学习由此可见 数学史为 中学数学教学的设计提供了一个新视角 这种视 角下的数学教学能较好地贯彻新课程的思想和 理念 完成或达到新课程的目标和要求 下转第 一 页 一夕 数学救学年第期 根据题意总有一个最小界值护 利用变化中数列 项的界值控制公差的变化 即有护成 一 方法事实上 该问题中的 夸是独立的两 变量 相互间并无制约关系 因此循着丙的思路 落 任 一 一 的最小值分离参数 一夕 来求 卿 一 沪 最大值 苦 曰 为护 一 投机取巧 孔 冬共 即竺生 竺子上三 了 一 乙 啊 即求 鬓 一 蚤 的最大值 丫 六 选择变量 例对于满足 尸毛 的所有实数尸 不等 式 呈 尸尸恒成立 求实数的取值范围 盲点用换元转化处理不等式 设亡 沙 尸 尸 尸任 一 在处理字 母亡与尸变化关系时 学生习惯于不假思索地将 艺选择为变量 运用二次函数探寻关系 由于变元 的选择失策 使问题反而复杂化 方法若将尸选择为变量 整个变化关系可 通过一次函数来描述 使量的关系更加简洁有效 由题意得 一 尸 护一 亡一 成尸成 令 亡一艺一亡 由题意 小 鬓 任 任 设亡二 任 当艺时 亡一亡取到最大值一 一 一 一 借助图形静化变量 已知无任 方程组 夕 峨 一 一夕一 八例 了少 恒有两解 求的范围 一 卜 一一 卜 一 得亡 一 或 即二 合 少 气 得 七 摆脱束缚放纵变量 例三位同学合作学习 对问题 已知不等 式 毛 对于 任 任 恒成立 求的取值范围 提出了各 自的解题思 路甲说 可视 为变量 军为常量来分析 乙 说 寻找 与夕的关系 再作分析 丙说 把字 母单独放在一边 再作分析 参考上述思路 或自己的其它方法 可求出实数的取值范围是 盲点甲与乙比较典型地代表学生在这道题 中处理方式 因为纠缠于 关系 在处理过程 中等价转换不易实现 增加了解题的难度 盲点在对这个方程组的研究过程中 学生 习惯性地将注意力放在对 军一组变量关系的 探询中 经过消元 却发现由于 的介入 增 加了问题的探求难度 方法 在代数方程或不等式处理过程中 尤 其是字母量很多时 可