数学物理方程讲义review.pdf

数理方程复习 December 27 2004 1分分分离离离变变变量量量法法法 2行行行波波波法法法与与与积积积分分分变变变换换换法法法 2 1行行行波波波法法法 行波法只用于解齐次波动方程的初值问题 利用公式 由问题的初始条件可立即求得解 2 1 1一一一维维维波波波动动动方方方程程程 无界弦的自由振动 utt a2uxx x 0 u x 0 x ut x 0 x 1 作变换 x at x at uxx u 2u u utt a2 u 2u u u 0 于是 u f1 f2 方程通解为 u x t f1 x at f2 x at 其中f1 f2为任意二阶可微的函数 又由初始条件解出 u x t 1 2 x at x at 1 2a Z x at x at d D Alebert s formula 2 斜率k 1 a的直线在上面的讨论中起着重要作用 直线族x at c称为utt a2uxx的特征线 x at x at叫作特征变换 行波法也叫特征线法 1 2 1 2双双双曲曲曲型型型方方方程程程初初初值值值问问问题题题的的的特特特征征征线线线法法法 对双曲型偏微分方程Auxx 2Buxy Cuyy 0 B2 AC 0 作代换 x ay x by a b 待定 可得 A 2Ba Ca2 u 2 A B a b Cab u A 2Bb Cb2 u 0 取a b为方程A 2Bx Cx2 0的两根 则有u 0 原方程通解为u x t f1 x ay f2 x by 特征线为x ay const 和x by const 相应特征方程为A dy 2 2Bdxdy C dx 2 0 2 1 3三三三维维维波波波动动动方方方程程程初初初值值值问问问题题题的的的Possion公公公式式式 utt a2 uxx uyy uzz x y z 0 u t 0 x y z ut t 0 x y z 3 u x y z t 1 4 a t Z Z SM at at dS Z Z SM at at dS 其中 SM at x 2 y 2 z 2 at 2 以M x y z 为心 以at为半 径的球面 Example 1 解定解问题 utt a2 uxx uyy uzz x y z 0 u t 0 U x2 y2 z2 R2 0 x2 y2 z2 R2 ut t 0 0 2 1 4二二二维维维波波波动动动方方方程程程初初初值值值问问问题题题的的的Possion公公公式式式 utt a2 uxx uyy x y 0 u x y 0 x y ut x y 0 x y 4 u x y t 1 2 a t Z Z CM at pa2t2 x 2 y 2 d d Z Z CM at pa2t2 x 2 y 2 d d 其中 CM at x 2 y 2 at 2 以M x y 为心 以at为半径的圆域 2 2积积积分分分变变变换换换法法法 偏微分方程 常微分方程 反演 2 2 2 1Fourier变变变换换换 求求求解解解无无无界界界空空空间间间定定定解解解问问问题题题的的的基基基本本本方方方法法法 f x 的Fourier 变换 F R f x e i xdx F 的Fourier逆变换 f x 1 2 R F ei xd Fourier变换的重要性质 1 F f0 x i F F f00 x i 2F F f n x i nF 2 F R x f d 1 i F 3 F f ax 1 aF a a 0 4 F f x a e ia F 5 F e ax 2 p ae 2 4a a 0 6 F f g F f F g 其中卷积 f g x Z f x y g y dy Example 2 无无无界界界弦弦弦的的的自自自由由由振振振动动动 utt a2uxx x 0 u t 0 x ut t 0 x 作Fourier变换 定解问题就变为 Utt a2 2U U t 0 Ut t 0 解此二阶常微分方程的初值问题 得其通解为 U t A cosa t B sina t 或改写为 U t A eia t B e ia t 代入初始条件后可得 U t 1 2 e ia t 1 2a 1 i eia t 1 2 e ia t 1 2a 1 i e ia t 对上式两端作Fourier逆变换 应用性质2和性质4 得 u x t 1 2 x at x at 1 2a Z x at x at d 3 Example 3 无无无限限限长长长细细细杆杆杆的的的有有有源源源热热热传传传导导导问问问题题题 课课课本本本p 75 ut a2uxx f x t x 0 u t 0 x 5 u x t 1 2a t Z e x 2 4a2td 1 2a Z t 0 d Z f t e x 2 4a2 t d Example 4 上上上半半半平平平面面面的的的Laplace方方方程程程 uxx uyy 0 x 0 u y 0 f x x u 0得 u x y y Z f x 2 y2 d 2 2 2Laplace变变变换换换 求解初值问题 不管方程及边界条件是否齐次 u t 的Laplace变换 U s R 0 u t e stdt Laplace变换的重要性质 1 Lu0 s sU s u 0 Lu00 s s2U s su 0 u0 0 2 L u v L u L v 其中卷积 u v x Z 0 u x y v y dy 3 L 1 1 s 4 Example 5 半半半无无无限限限长长长细细细杆杆杆的的的热热热传传传导导导 课课课本本本p 77 例例例2 ut a2uxx x 0 t 0 u t 0 0 u x 0 f t Example 6 无无无界界界弦弦弦的的的自自自由由由振振振动动动 utt a2uxx x 0 u t 0 x ut t 0 x Example 7 有有有限限限长长长杆杆杆上上上的的的热热热传传传导导导 非非非齐齐齐次次次边边边界界界条条条件件件 ut kuxx 0 0 u t 0 1 sin x l u x 0 u l 0 1 u x t 1 e k 2t l2 sin x l Example 8 ut a2uxx