（车辆工程专业论文）工程结构数据处理与疲劳强度评估系统的开发.pdf

y 7 4 1 1 9 8 。j ! 蔓茎垄查兰堡主兰堡笙壅 摘要 本论文以机车车辆转向架应力谱数据处理为基本研究内容，主要开展 了以下五方面的研究：有限长数字信号滤波、应力谱统计推断、疲劳强度 评估和疲劳累积损伤计算、实测数据量大小对疲劳寿命分析结果的影响、 转k 2 弹簧疲劳强度评估以及确定疲劳试验加载条件。在此基础上，应用 模块化程序设计方法，采用v i s u a lc + + 6 0 开发了功能更为完善的“工程 结构数据处理与疲劳强度评估系统”软件。软件系统采用菜单式模块结构， 并配有图象处理功能，可以通过模块组合，随时完成某功能的数据处理。 该软件系统操作简单直观、运行安全可靠。通过对c w - 2 0 0 型、转8 a 型、 转k 2 型等多种转向架现车实测数据的处理，证明本文展开的研究是现实 可行的，为进一步进行机车车辆转向架的疲劳强度及可靠性研究奠定了基 础。 该软件系统同样可以应用于汽车、船舶、工程机械、动力机械以及建 筑桥梁等领域。 关键词：数字滤波，应力谱，统计推断，疲劳强度评估，疲劳累积损伤 北京交通大学硕上学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h es t r e s s s p e c t r u md a t ap r o c e s s i n go ft h er o l l i n gs t o c k b o g i ei st a k e na st h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c ht o p i c i tc o v e r sf i v ea s p e c t s ：f i n i t e d i g i t a ls i g n a l sf i l t e r i n g ，s t a t i s t i c a li n f e r e n c eo ft h es t r e s ss p e c t r u m ，e s t i m a t i n g t h ef a t i g u es t r e n 醇ha n dt h ef a t i g u ea c c u m u l a t i v ed a m a g e ，t h er e l a t i o nb e t w e e n t h ea m o u n to fd a t aa n dt h ef a t i g u el i f e ，t h ef a t i g u es t r e n g t he v a l u a t i o na n dl o a d r e c o g n i t i o no fk 2b o g i es p r i n ga n dt h er e s e a r c ho ff a t i g u et e s tc o n d i t i o n o n t h i sb a s i s ，t h es o f t w a r ef o rd a t ap r o c e s s i n ga n df a t i g u es t r e n g t he v a l u a t i o no f e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e i s d e v e l o p e du s i n gm o d u l a rp r o g r a m m i n gm e t h o di n v i s u a lc + + l a n g u a g e t h es o f t w a r es y s t e mi sm a d eu po fas e r i e so fm e n u s b a s e do nt h em o d u l a rs t r u c t u r ew i t ht h ef u n c t i o no fi m a g e p r o c e s s i n g i tc a n c a r r y o u tac e r t a i nk i n do fd a t a p r o c e s s i n g a t a n yt i m et h r 0 1 i g h m o d u l a r c o m b i n a t i o n t h es o f t w a r ei sn o to n l ys i m p l ea n dv i s u a lf u ru s i n g , b u ta l s o s a f ea n dr e l i a b l ew h e nr u n n i n g t h r o u g ht h ep r o c e s s i n go ft h et e s t i n gd a t a f r o mt h eb o g i e t y p e dc w - 2 0 0 ，8 a ，k 2e t c ，i ts h o w s t h a tt h es t u d yi nt h i st h e s i s i sv a l i d i t ya n dr e a l i t y t h es t u d yh a ss e tu paf o u n d a t i o no ft h er o l l i n gs t o c k b o g i e t h es o f t w a r es y s t e mi sa l s os u i t a b l ef o rt h eo t h e rf i e l ds u c ha sa u t o m o b i l e ， s h i p ，e n g i n e e r i n gm e c h a n i s m ，p o w e rm e c h a n i s m ，b u i l d i n gb r i d g ea n d s oo n k e yw o r d s ：d i g i t a ls i g n a l sf i l t e r i n g ，s t r e s ss p e c t r u m ，s t a t i s t i c a li n f e r e n c e ， f a t i g u es t r e n g t he v a l u a t i o n ，f a t i g u ea c c u m u l a t i v ed a m a g e 前言 前言 现代工业正在向着重载、高速、高温、高压的方向发展，严重威胁着 现代工业设备安全的疲劳破坏问题日益突出。据统计，在现代工业的各个 领域，长期承受随机载荷的机械，大约有8 0 以上的结构强度失效是由于 疲劳破坏造成的。第二次世界大战前后，国际上发生了一连串的飞机失事， 引起了世界各国特别是航空部门的极大震惊，经过事故的调查分析，发现 这些事故都是由于疲劳破坏造成的。疲劳破坏不仅威胁着航空工业，也给 铁路、船舶、桥梁、动力机械、压力容器、工程机械等造成威胁。因此， 世界上工业发达的国家都极为重视随机载荷作用下承载构件的疲劳研究， 开展疲劳寿命预估、疲劳强度设计和可靠性分析等研究工作。 铁道车辆在运行过程中，转向架各部位所承受的实际应力是一个连续 的随机过程，这种应力的峰值和谷值随时间变化的情况称作应力时间历 程。在随机应力的长期作用下，承载构件将不断产生疲劳损伤，当累积损 伤达到一定程度，就会导致疲劳破坏，严重危及行车安全。 目前，在我国机车车辆主要构件的结构设计中正在逐步开展疲劳设 计，但采用名义应力法、局部应力一应变法以及损伤容限法等估算其疲劳 寿命时，还未考虑结构动态特性的影响，现行的疲劳试验也都采用单一加 载频率。事实上，在动态情况下，构件往往是在某一频带下工作，当线路 激扰频率与结构的固有频率接近或重叠时，将导致局部应力严重集中并使 其成为结构上的疲劳危险部位。例如，运行在大秦线上的波兰进口货车转 向架裂损严重，经过分析发现，构架侧粱在第四阶固有频率下产生了共振， 这是导致该部位裂损严重的主要原因。又如，北京地铁车辆厂生产的焊接 构架，按现行规范设计并通过了2 0 0 万次疲劳试验，但在运行了5 万5 0 第1 页 北京交通大学硕士学位论文 万公里后，有8 0 的构架横梁产生了疲劳裂纹，据试验分析，这是由于横 梁的一阶水平弯曲振型在电机吊座处产生了较大的应变集中所致。再如， 运行在京沪线上的t 2 1 2 2 次客车的c w 一2 0 0 转向架安全吊断裂严重，经过 分析发现，安全吊在第一阶固有频率下产生了共振，这是导致该吊断裂的 主要原因。不难看出，现有的设计计算方法和单一加载频率的疲劳试验难 以体现这些问题。机车车辆零部件承受交变载荷的作用，其主要失效形式 是疲劳破环。随着运行速度的提高，一方面动态激励的幅值和频率范围将 大幅度提高；另一方面要求结构进一步轻量化：因此主要承载构件的疲劳 破坏问题必将日益突出。 当前，我国主要干线的快速列车已经全面开行，客车高速化、货车重 载化已是铁路运输的既定发展方向。实现这一根本转变，无疑将对客、货 车辆的结构强度提出新的要求。但至今，在车辆的研制过程中仍主要采用 以安全系数保障强度裕度的定值方法，因此存在着静强度富裕、疲劳强度 不足、设计阶段不能预测寿命和没有疲劳可靠性指标等问题。 构件危险部位的应力谱是进行疲劳寿命评估及可靠性设计的基本数 据，世界上各铁路发达国家都投入了大量的人力、物力、财力进行现车实 测。如国际铁路联盟在转向架研制中，除了以u i c 标准规定的计算载荷、 g o o d m a n 曲线评定转向架的疲劳强度外，还十分重视危险部位应力谱的实 测，并以此为依据对转向架构架的疲劳强度进行评估。法国t g v 高速列车 转向架构架，在经过1 0 7 周次的实验室疲劳试验后进行结构修改，经过线 路试验，测出其应力谱后定寿为3 0 年。国内铁道部四方车辆研究所在“客 货车转向架承载构件载荷谱研究川”中对我国客货车转向架承载构件作了 随机载荷数据的采集并用雨流计数法进行数据处理，试验里程总计约 1 2 0 0 0 余公里，实际共处理了约2 0 0 0 余公里的数据。由于受到当时的条 件限制，他们采用的是选取典型路段进行分段测试，然后再将各段数据加 第2 页 刚矗 以联接，这样编制出的载荷谱具有一定的局限性。 为了更好的完成铁路机车车辆转向架结构疲劳强度评估的课题，并把 所取得的结论进一步推广到更广泛的工程结构上，本人在前人的基础上， 开发了“工程结构数据处理与疲劳强度评估系统”，以编审4 转向架的典型 实测一维应力谱、二维应力谱，实现载荷识别、对关键危险部位进行疲劳 寿命估算、对应力谱进行统计推断、作出典型工况下构架应力响应的频谱 并找到振动的主频范围，从而为其疲劳寿命评估与可靠性设计以及结构的 动态修改提供基本依据。 第3 页 北京交通大学硕士学位论文 第一章硬件测试系统与软件处理系统简介圆嘲h 1 1 1 机车车辆转向架动、静应力测试系统简介 动应力多通道应力时间历程数据采集系统的硬件结构如图1 1 所示。 图1 - 1多通道应力时间历程数据采集系统碗件结构 动态应变仪的动态响应范围为0 5 0 0 0 h z ；电阻平衡范围为 - * 1 0 0 0 0 t e ；电容平衡范围为5 0 0 0 p f ；应变测量范围为+ - 1 0 0 0 0 1 t e ；低通 滤波的截止频率有l o h z 、3 0 h z 、l o o h z 、3 0 0 h z 和1 0 0 0 h z ；输出电压为。 | p 公司的数据采集系统由五大部分组成：采用v x i 总线型式的数据 采集系统h p e l 4 0 1 b ；内置式控制单元模块h p e 6 2 3 3 s ；6 4 通道扫描式数据 系统板h p e l 4 0 1 b ( 扫描频率i o o k h z ) ；1 6 通道独立a d 数据采集板h p e l 4 3 2 ( 采样频率5 1 2 k h z ) ；8 g 字节存贮量的高速硬盘h p e l 5 6 2 。应力时间历 程数据采集系统的控制采集软件在l i p q e e 环境下开发。 布片方案的确定是进行转向架结构动、静应力钡i 试的关键环节之一。 对布片方案的基本要求是测点能够覆盖转向架结构的疲劳强度的控制点， 转向架结构在实际运用条件下的疲劳强度控制点大致可以分为三类：一类 为静态控制点，这些点的静应力水平比较高；另一类为动态控制点，这些 第4 页 第章硬件钡l 试系统与软件处理系统简介 点的静应力水平虽不高，但在运用条件下却可能发生较大动应力；还有一 类是结构控制点，主要位于主焊缝区和结构复杂部位。应变片布在转向架 的各测点上，在实际运用条件下，它随着该部位的局部变形而发生变形， 导致它的电阻发生变化。通过电缆将应变片信号输入动态应变仪，并通过 测量电阻的变化而输出与应变成正比的电压信号。h p e l 4 0 1 b 型数据采集 系统采样各个通道的电压信号，通过a d 转换将模拟信号生成数字信号并 将其通过两种途径进行输出：一是通过3 2 m b s 传输率的s c s i 接口将扫描 式采集板h p e l 4 1 3 采集的数据以一个大型二进制浮点格式数据文件存贮 在外置s c s i 硬盘中；二是通过本地总线l o c a lb u s 将1 6 通道独立a d 数据采集板h p e l 4 3 2 的采集信号存贮在高速硬盘h p e l 5 6 2 中，在数据采集 结束后，再通过软件回放把高速硬盘h p e l 5 6 2 的数据以1 6 个二进制浮点 格式数据文件存贮在外置s c s i 硬盘中。这个外置s c s i 硬盘中的数据即是 进行应力谱处理的原始数据。 1 2 工程结构数据处理与疲劳强度评估系统软件简介 工程结构数据处理与疲劳强度评估系统软件主要由系统设置、信号前 处理、数字信号处理、信号后处理、其他处理、图象处理、频谱分析、通 道计算、应变花处理、统计分析等十个一级菜单组成，如图1 2 所示。每 个一级菜单又包含一个或若干个二级菜单，有的二级菜单还包含若干个三 级菜单，如图1 - 3 - - 图1 7 所示。 第5 页 北京交通大学硕士学位论文 图1 - 2 工程结构数据处理与疲劳强度评估系统软件总体构成 系统设置一级菜单中各子菜单的主要目的是设置整个软件系统的运 行环境，包括：指定系统工作目录、恢复系统图象界面和退出系统等三个 二级菜单。系统设置一级菜单可以避免或减少重复性的工作，为后续数据 处理工作提供方便、友好的工作环境。当然，这些参数也可以在相应的具 体应用时进行设置。 图卜3 信号前处理一级菜单 第6 页 第一章硬件测试系统与软件处理系统简彳卜 信号前处理一级菜单包含实测应变信号数据分离、实测信号去除零点 漂移、应变信号转为应力信号、找应力时间历程峰谷值、应力时间历程小 波处理、应力时间历程雨流计数、非损伤载荷处理、应力谱编制、单向通 道批处理等九个二级菜单。实测应变信号数据分离模块是针对其它应力采 集系统保留的数据接口模块。实测信号去除零点漂移模块是将各通道的实 测信号运用线性零漂理论。1 去除电信号零线漂移，得到真实的信号。应变 信号转为应力信号模块是根据虎克定律将应变信号乘以弹性模量和应变 片灵敏系数，得到应力信号。找应力时间历程峰谷值模块的功能是查找并 记录应力时闻历程的峰值和谷值，忽略相邻峰值和谷值之闻的数据，从而 大大的缩减了数据文件的大小。应力时间历程小波处理模块采用“三峰谷 值应力水平比较法”1 ，消除了应力信号中幅值低于门槛值的微小波动( 通 称小波) 。应力时间历程雨流计数模块采用“改进的实时雨流计数法”“。， 得到相应的应力幅值和均值，为以后进行疲劳强度评估奠定了基础。非损 伤载荷处理模块的功能是去除幅值低于门槛值的应力循环。应力谱编制模 块的算法将在第三章作详细论述。单向通道批处理模块是根据需要将前述 各功能模块结合使用，从而大大提高了数据处理效率。 数字信号滤波一级菜单包含数字滤波参数设计、应变信号数字滤波 椭圆 、有限长数字滤波、无戳长数字滤波 切比雪夫 等四个二级菜单。 数字滤波参数设计和应变信号数字滤波两个模块将针对被干扰的信号，设 计出相应的椭圆数字滤波器，并对该信号进行数字滤波，恢复信号的真实 面目。无限长数字滤波 切比雪夫 则设计出相应的切比雪夫数字滤波器， 对信号进行数字滤波。有限长数字滤波的具体实现方法将在第二章中详细 介绍。 第7 页 北京交通大学硕士学位论文 图1 4 数字信号滤波一级菜单 信号后处理一级菜单包含由一维应力谱计算等效应力幅、由一维应 力谱计算等效使用里程、由一维应力谱计算损伤值、由二维应力谱计算等 效应力幅、由二维应力谱计算等效使用里程、由二维应力谱计算损伤值、 计算载荷谱等七个二级菜单。计算载荷谱模块就是由应力时间历程通过乘 以载荷系数得到载荷时间历程。其它各模块的算法推导与软件实现将在第 三章作详细论述。 图1 - 5 信号前处理一级菜单 第8 更 l由一维应力谱计算使用里程一 iil山一维应力谱计算等效应力幅一 l 第一章硬什测试系统与软件处理系统简介 其它处理一级菜单包含造时间文件、多段浮点数据连接、应力时间 历程最值、单列二进制文件转换为t e x t 文件、双列二进制文件转换为t e x t 文件 雨流前 、双列二进制文件转换为t e x t 文件 雨流后 等六个二级菜 单。造时间文件模块是牛成图象显示所需要的时间文件。其余各模块是为 了将二进制文件转换为t e x t 文件以便查看，其中单列二进制文件转换为 t e x t 文件适用于应变信号转为应力信号以前的数据文件，包括数字滤波 生成的文件；双y o - 进制文件转换为t e x t 文件 雨流前 适用于找应力时 间峰谷值到雨流计数所用的数据文件；双列二进制文件转换为t e x t 文件 雨流后 适用于非损伤处理牛成的文件。 图1 - 6 其它处理一级菜单 图象处理一级菜单包含信号波形绘制、生成g o o d d q 图、幅值法、微 分法等四个二级菜单。信号波形绘制是用于对一个或多个二进制浮点格式 数据文件进行波形绘制。波形绘制时，软件系统会自动对数据文件中的最 大、最小值进行搜索，进而确定波形缩放比例，使整个波形充满屏幕，同 第9 页 北京交通大学硕士学位论文 时每屏绘制的数据样点数也是可调的。而且用户对信号还有干预权，可以 用鼠标点击曲线，获得鼠标指定点的数值，也可以对指定长度的数据样点 作清零处理、连线处理等。在作数据处理时，数据处理过程中的各个阶段 与图象处理功能相结合，不仅可以验证数据处理过程的正确、合理性，还 可以为下一步的处理提供决策依据。生成g o o d m a n 图将根据不同的材料生 成g o o d m a n 图，为做疲劳强度评估提供判断的依据。幅值法、微分法模块 的功能是根据幅值的大小和相邻两点的斜率的大小，将其分组，然后统计 其在每一组中的频次，最后用图形显示出来。 频谱分析一级菜单包含信号傅立叶变换一个二级菜单。信号傅立叶 变换模块可以对抽样信号进行f f t ，并将变换生成的信号幅值用谱线图的 形式表示出来。不仅简单直观，而且可以逐步搜索到各具体频率所对应的 能量值，为对受噪声干扰的信号进行数字滤波提供依据；同时还可以找到 特定工况下机车车辆转向架结构的主频振动范围，这一结果与模态分析的 结论相结合，可以对承载构件的动力响应特性进行综合分析，为结构的动 态修改奠定基础。 通道运算一级菜单包含实测信号通道计算和实测信号通道乘除两个 二级菜单。将分别实现通道之间的加减乘除运算，为载荷识别提供条件。 应变花处理一级菜单包含计算主应力、剪应力一个二级菜单。其功 能是根据应变花采集的三个方向的应力计算出二向应力状态下的最大主 应力、最小主应力和最大剪应力。 统计一级菜单包含正态分布统计、一元线性回归分析、一维应力谱 统计推断和二维应力谱统计推断等四个二级菜单。正态分布统计和一元线 性回归分析可以对数据进行正态分布和线性回归分析并给出备自的参数； 一维应力谱统计推断和二维应力谱统计推断将对实测应力谱进行统计分 析，得到分布参数后再生成扩展应力谱，具体算法和软件实现见第三章。 第1 0 页 苎三里鍪兰婆婆兰茎堂生兰竺丛壅堡 第二章数字滤波参数设计与软件实现+ 对机车车辆转向架各部件的有限元计算和振动频响特性分析表明， 在动态运行过程中，各部位的五阶主频振动范围在1 0 0 h z 以内，因此， h p 数据采集系统的硬件滤波截止频率通常设置在1 0 0 h z 。然而，通过对 实测信号的频谱分析表明，由于各种干扰( 可能是机械干扰，也可能是电 磁场干扰) 的存在，有时个别信号会出现频率高于或低于1 0 0 h z 的干扰 信号( 主要有低频正弦干扰、以及没有明显规律的电磁干扰等形式) 。这 些干扰信号的存在，掩盖了真实信号的本来面目，必须采取软件数字滤波 的办法预以消除。 2 1数字滤波器简介 数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离 散时间线性非时变系统，其输入是组由模拟信号取样和量化的数字量， 其输出是经过变换的另一组数字量。数字滤波是用数字方法来增强信号， 压低干扰，把信号和干扰分开，从而提取所需的有用信息，保证实现信息 有效和可靠地传输、交换所不可缺少的技术，在实际工程领域有着广泛的 应用。 数字滤波器按照单位样值响应的时间可以分为：无限冲击响应滤波器 和有限冲击响应滤波器，前者简称i i r ( i n f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ) ，后者 简称f i r ( f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ) 。i i r 滤波器的输出不仅与即时的输入 数据以及过去的输入数据有关，而且还与过去输出数据有关，它在实际中 $ 本章参考文献有： 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 第l l 页 北京交通大学硕士学位论文 往往采用递归有反馈作用的结构来实现。f i r 滤波器的输出仅与即时的输 入数据以及过去的输入数据有关而与过去的输出数据没有直接关系，它在 实际中往往采用非递归无反馈作用的结构来实现。 i i r 数字滤波器继承了模拟滤波器成熟的设计方法和优良的幅频特 性，在相同的滤波参数情况下，有着比f i r 数字滤波器更陡更大的阻带 和衰耗。i i r 滤波器的主要缺点是相位特性为非线性，在设计过程中必须 考虑稳定性问题；f i r 最大的优点是不存在稳定性问题，很容易实现严格 的线性相位，而同时可以具有任意的幅度特性。f i r 滤波器由于单位冲击 响应是有限长的，因而可以用快速傅利叶变换( f f t ) 算法来实现过滤信 号，这可以大大提高运算效率。与i i r 相比，其主要缺点是：要获得较好 的特性，滤波器阶数较高，计算时间较长。因此，在数据处理过程中如果 对相位没有要求应尽量采用i i r 数字滤波器，相反如果对相位有要求则必 须采用f i r 数字滤波器。所以本章将对f i r 数字滤波器进行讨论并从软 件上加以实现。 2 2 线性相位f i r 滤波器的特点 为 f i r 滤波器的单位冲击响应h ( n ) 是有限长的( 0 r l n - 1 ) ，其z 变换 h ( z ) 。荟 “ 这是z 1 的n 1 阶多项式，在有限z 平面有( n 1 ) 个零点，而它的( n 1 ) 个极点都位于z 平面原点z = 0 处。 一、线性相位条件 如果f i r 滤波器的单位抽样响应h ( n ) 为实数，而且满足以下任一条件 偶对称h ( n ) = h ( n - 1 - n )( 2 1 ) 第1 2 页 第二章数韦滤波参数设计与软件实现 奇对称h ( n ) h ( n1 一n )( 2 - 2 ) 其对称中心在n = ( n 1 ) 2 处，则滤波器就具有准确的线性相位。 由于h ( n ) 的长度可分为n 为偶数和奇数两种情况，因而h ( n ) 可以有4 种类型，即：1 ) h ( n ) 偶对称 n 为奇数； 2 ) h ( n ) 偶对称 n 为偶数； 3 ) h ( n ) 奇对称 n 为奇数： 4 ) h ( n ) 奇对称 n 为偶数； 二、线性相位特点 在以下讨论中，将频率响应h ( e 加1 表示成 日0 。) 口h ( p 8 ( 2 _ 3 ) 其中h ( o j ) 是幅度函数，口( m ) 是相位函数。 1 h ( n ) 偶对称的情况 h ( 甜) 2 磊6 ( n ) c 。s 【( ( 一1 ) 2 一，1 ) 叫( 2 - 4 ) o ( c o ) ；一【( 一1 ) 2 】( 2 5 ) 幅度函数日( c o ) 包括正值和负值，相位函数口扣) 是严格的线性相位，由( 2 5 ) 式可知滤波器有( n - 1 ) 2 个抽样的延时，这等于单位抽样响应h ( n ) 的长 度的一半。 2 h ( n ) 奇对称的情况 h ( e o ) 一h ( n ) s i n ( ( n 一1 ) 1 2 一h ) 】( 2 6 ) 袖 口( ) = 一【( 一1 ) 2 】+ 2( 2 7 ) 幅度函数h ( ) 包括正值和负值，相位函数口( ) 是严格的线性相位， 第1 3 页 北京交通大学碗上学位论文 由( 2 - 7 ) 式可知滤波器不仅有( n 一1 ) 2 个抽样的延时，而且还产生一个9 0 。 的相移。 三、幅度函数的特点 下面分四种情况来说明日( m ) 的一些情况。 1 h ( n ) 偶对称，n 为奇数 化简得： h ) 2 蔫m ) c o s ( n 甜) ( 2 - 8 ) 其中 口( o ) = 【( 一1 ) 】2 ( 2 - 9 ) a ( n ) a2 h ( n 一1 ) 2 一n 】， n ：l ，2 ，( n 一1 ) 2( 2 - 1 0 ) 2 h ( r 1 ) 偶对称，n 为偶数 化简得： h ( w ) =b ( n ) c o s ( n 一1 2 ) t o 】 ( 2 11 ) 福 其中 b ( n ) ；2 h ( n 2 一，1 ) ， n = l ，2 ，n 2( 2 - 1 2 ) 由此看出 1 ) 当【- ) = 时，h ( 丌) = 0 ，即：h ( z ) 在z = 一1 处必然有一个零点 2 ) h ( ) 对= 呈奇对称； 3 ) 如果一个滤波器在u = 处，h ( ( ) ) 不应为零。 镐1 4 页 第= 章数字滤波参数设计与软件实现 c ( n ) = 抽【( 一1 ) 2 一，l 】， 由此看出 ( 2 1 3 ) 1 ) 由于s i n ( n ( 1 ) ) 在( ) = o ，2 处都为零，因此h ( ( ) ) 在= o ，2 处必为零。即：h ( z ) 在z = 1 处都为零。 2 ) 由于s i n ( n ( ) ) 在= o ，2 处都呈奇对称，因此h ( ( j ) ) 对 u = o ，2 亦成奇对称。 4 h ( n ) 奇对称，n 为偶数 化简得： n ，2 h ( m ) 一d o ) s i n 【印一i 2 ) 0 1 ( 2 - 1 5 ) 其中 d o ) ；2 h ( n 一1 ) 】，2 由此看出 ( 2 - 1 6 ) 1 ) 由于s i n ( n i 2 ) 在( ) = 0 ，2 处为零，因此h ( ( i ) ) 在= o ，2 处亦为零。即：h ( z ) 在z = l 处为零。 第1 5 页 数 西 舒 心 为 血 n d ， 2 “ 称 删v 龠 猕 荟 奇 卜 由 m 山 “ 豇得简 中 化 其 北京交通大学硕士学位论文 2 ) 由于s i n ( n 一1 2 ) 。 在( i ) = o ，2 处呈奇对称，对u = n 呈偶对 称，因此h ( ) 对6 0 = o ，2 亦成奇对称，对。= 呈偶对称。 四、零点位置 线性相位f i r 滤波器的系统函数满足 h ( z ) 一z 一“1 h ( z 一1 ) ( 2 - 1 7 ) 由此可见，若z = z ；是h ( z ) 的零点，则z = l z ；也一定是h ( z ) 的零点； 当h ( n ) 是实数时，h ( z ) 的零点必成共轭对出现，所以z = z ：及z = 1 z i 也 一定是h ( z ) 的零点，因而线性相位f i r 滤波器的零点必是互为倒数的 共轭对，因而零点z 。的位置有四种可能的情况： 1 ) z ；既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组 共轭对； 2 ) z ，不在实轴上，但在单位圆上，则共轭对的倒数就是它们本身， 故此时零点是共轭对： 3 ) z 。在实轴上，但不在单位圆上，这是实数零点，没有复共轭部 分，只有倒数部分，倒数也在实轴上： 4 ) z ，既在实轴上，也在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可 能，或 位于z = l ，或位于z = 一1 ； 2 3f i r 滤波器设计方法的选择 窗函数设计法也称为傅利叶级数法，其设计方法是先给定所要求的理 想滤波器的频率响应h d ( e ”) ，要求设计一个f i r 滤波器频率响应 ( e m ) 2 磊6 0 弦一细来逼近心e ”。先由叱e ”的傅利叶反变换导出 h 。( n ) ，由于h 。( e “) 是矩形频率特性，故h 。( n ) 一定是无限长的序列，且是 第1 6 页 第二章数字滤波参数设计与软件实现 非因果的，所以要用有限长的h ( r 1 ) 来逼近无限长的h 。( r 1 ) ，通过选择一个 适当的有限长的窗口函数序列w ( n ) 来截取h 。( n ) ，最后就得到了所设计的 f i r 滤波器的单位抽样响应 h ( n ) ；w ( n 冲d 0 ) ， n 2 0 ，l ，n - 1 窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。其缺点是 通带、阻带的截止频率不易控制。 频率抽样法是从频域出发，把给定的理想频率晌应h d ( e ”) 加以等间 隔抽样 h 。0 ”) i 。= h 。( t ) ， “百 然后以此h d ( k ) 作为实际f i r 数字滤波器的频率响应的抽样值h ( k ) ，即令 h ( 七) = h d ( i ) z h d ( e “) l2 。，k = 0 ，1 ，n 一1 一百 由d f t 定义，可以用频域的这n 个抽样值h ( k ) 来唯一确定有限长序列 h ( r 1 ) ，利用这n 个频域抽样值h ( k ) 同样可求得f i r 滤波器的系统函数n ( z ) 及频率响应h ( e ”) 。这个h ( z ) 或h ( e ”) 将逼近h 。( z ) 或h d ( e ”) 。 酢，= 等薹高争 酢1 - 蓑耶州埘一和 其中巾( m ) 是内插函数 巾渤11s i n ( o n 2 ) e - m ( 一1 ) ，2 、7 ns i n ( c o 2 1 在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应 数值相等，但在抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的 延伸叠加而形成，因而有一定的逼近误差，误差的大小取决于理想频率晌 第1 7 页 北京交通大学硕士学位论文 应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼 近误差越小。频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优 1 一 一 化设计。这种设计法的缺点是抽样频率只能等于等的整数倍或等于竺 nn 的整数倍加上兰，因而不能确保截止频率的自由取值，要想实现自由的 选择截止频率，必须增加抽样点数n ，但这又使计算量加大。 窗函数设计法和频率抽样法它们的共同缺点就是通带、阻带的截止频 率不易控制。为了克服这一缺点，本文采用了切比雪夫等波纹逼近法。 2 4 切比雪夫等波纹逼近法 切比雪夫等波纹逼近法是m c c l e l l a nj h ，p a r k st w 和r a b i n e r l r 等人应用切比雪夫逼近理论提出的一种f i r 数字滤波器的计算机辅助设 计方法。这种设计法由于在一般意义上对儿( e ”4 ) 作最佳逼近，因而获得 了较好的通带和阻带性能，并能准确的指定通带和阻带的边缘，是一种有 效的设计方法。其基本思想是在所需要的区间内使误差函数最小。 由于在滤波器的设计中通带与阻带误差性能的要求不一样，为了统一 使用最大误差最小化原则，因而采用误差函数加权的办法使得不同频段的 加权误差最大值相等。设所要求的滤波器的频率响应的幅度函数为 h d ( u ) ，用线性相位滤波器的幅度函数h ( u ) 做逼近函数，设逼近误差的 加权函数为w ( u ) ，则加权逼近误差函数为 e ( ) 盲以珊) f 阿。( n ，) 一日( 甜) 】 ( 2 - 1 8 ) 剥用这一表达式，线性相位f i r 滤波器的加权切比雪夫等波纹逼近问题可 看成是求一组系数a ( n ) ，使其在完成逼近的各个频带上( 只指通带或阻 带，不包括过渡带) e ( u ) 的最大绝对值达到极小，如果用8 e ( 砷i 表示这 个极小值，则 筻1 8 页 第二章数字滤波参数设计与软件实现 i i e ( ) il2 黜e a xi e ( ) | 其中a 表示所研究的各通带和阻带。 交错定理若p ( 。) 是r 个余弦函数的线性组合，即 h ( 珊) 3 磊口伽) c o s ( n ) ( 2 - 1 9 ) a 是( o ，) 内的一个闭区问( 包括各通带和阻带，但不包括过渡带) ， 儿( u ) 是a 上的一个连续函数，那么h ( m ) 是h d ( m ) 的唯一地和最佳的加 权切比雪夫逼近的充分必要条件是：加权逼近误差函数e ( m ) 在a 中至少 有( r + 1 ) 个极值，即a 中至少有( r + 1 ) 个点，且( ) 。 c o 。 ( 1 ) 。 ， ( _ ) 。， 使得 e ( q ) ；- e ( w 。) ， i ：l ，2 ，r ， 并且 旧( q ) 卜m a x e ) 线性相位f i r 滤波器频率响应极值点数目的限制 上面交错定理已指出，最优线性相位f i r 滤波器的加权逼近误差函 数e ( c o ) 至少有( r + 1 ) 个极值，而r 是用于逼近的余弦函数的个数。 e ( 。) 极值包括两种： 1 ) h ( ) 的极值点； 2 ) e ( ( ) ) 单有的极值点。 两种极点数目之和就是e ( u ) 极值点的最大数目。 以第1 种情况( h ( n ) 偶对称，n 为奇数) 来推导极值点最大数目。 将式( 2 1 9 ) 展开后可写成幂级数的形式，即 h ( ) 2 荟4 ( ，1 ) ( c 。s ) “( 2 - 2 0 ) 第1 9 页 北京交通大学硕士学位论文 对卜式求导得 譬一m 磊r - 2 酬- s m c o s 矽 0 2 一、圳m hr dj=f 其中b ( m ) 一( m + 1 ) a ( m + 1 ) 显然，在o = o 和m = n 处h ( 。) 必取得极大值或极小值。这样，在闭区闻 0 ，n 上，h ( ) 至多有r 个极值。 其次，看e ( m ) 单独有的极值点。显然在每个频率的端点上，误差函 数会得到一个极值，而这些点一般不是h ( 。) 的极值点，但是。= o 和m = n 除外。以第1 种情况为例，其低通、高通滤波器有两个频带( 一个通带， 一个阻带) ，其加权误差函数最多有r + 2 个极值：其带通、带阻滤波器有三 个频带，其加权误差函数最多有r + 4 个极值。 采用r e m e z 交换算法设计最优线性相位f i r 滤波器 这一算法是给定单位抽样响应长度n ，通带截止频率m 。和阻带截止频 率m ，来进行设计的，算法由加权切比雪夫逼近来描述，见式( 2 1 8 ) ，此 公式中逼近函数h ( m ) 是r 个独立的余弦函数之和，利用交错定理，可求 出加权逼近误差函数e ( 。) 应满足的一组必要且充分条件，这样就可以得 到晟大误差最小化的最优逼近h ( u ) ，将h ( c o ) 作逆变换，便可得到单位 抽样响应h ( n ) 。 2 5f i r 数字滤波的软件实现 2 5 1 fir 数字溶波器参数设计的软件实现 前面已经从理论上阐明了用切比雪夫等波纹逼近法设计f i r 数字滤 波器的基本方法，由于以第1 种情况( h ( n ) 偶对称，n 为奇数) 就可以 设计出所需的滤波器( 低通、高通、带通、带阻) ，因此选用第1 种情况 第2 0 页 第二章数字滤波参数设计与软件实现 ( h ( n ) 偶对称，n 为奇数) 进行滤波器设计，其设计步骤为 1 ) 输入部分，包括滤波器的性能要求，指的是所需的频率响应的幅 度( u ) ，加权函数w ( m ) 和滤波器单位抽样响应长度n 。 2 ) 用公式表示逼近问题，也就是用公式( 2 - 1 8 ) 来表示的加权逼近 误差e ( m ) 。 3 ) 用r e m e z 多次交换算法，求逼近问题的解。 4 ) 计算滤波器的单位抽样响应。 f i r 滤波器设计算法的框图如图2 1 所示。它完成上面四个设计步骤 更仔细的说，它包括1 ) 输入滤波器性能要求：2 ) 根据滤波器单位抽样 响应长度确定逼近函数 c o s 0 的个数r ；3 ) 在m 从0 到n 的频率区间， 用密集的格点来表示离散频率，两格点的距离可以表示成 总格点数格点密度x r 将格点处频率用有下标的频率来表示并赋以标称频率值；4 ) 子程序e f f 和w a t e 分别计算各格点频率上要求的函数值m ( u ) 和加权函数值w ( u ) ； 5 ) 用公式表达逼近问题，见式( 2 1 8 ) ；6 ) 用r e m e z 多次交换算法，求 逼近问题，这包括设定( r + 1 ) 个极值频率的初始假设值；7 ) 计算滤波器单 位抽样响应。 第2 l 页 北京交通大学硕士学位论文 图2 - 1f i r 滤波器设计算法框图 对应低通、高通、带通、带阻这四种滤波器，要求用户输入不同的 性能指标，现归纳如表2 1 所示。 表2 - 1四种类型数字滤波器参数设计待输入的性能指标 类型待输入的性能指标关系 低通d 、 ( or 。 ( _ 】， 带通 ( _ ) p 1 、r l 、( ) p 2 、nr l 口2 r 2 带阻 p 1 、6 0 r i 、 p 2 、r zp l r l 川，如若有，再在该点附近找出局 部极值点，用这一局部极值点代替原来的点。待这r + 1 个点都检查过后， 便得到一组新的交错点组，然后剥用( 2 2 5 ) 式重新计算6 值，并利用上面 有关的式子计算h ( 【- ) ) 和e ( m ) 值，这就构成了新一轮的迭代。 重复上述步骤，直到6 与前一次迭代的6 值相同时迭代即中止。此时 6 即是权值为1 的频带的最大误差。 第2 4 页 第二章数字滤波参数设计与软件实现 图2 - 2r e m e z 交换算法流程图 第2 5 页 北京交通大学硕士学位论文 2 5 3 计算滤波器的单位抽样响应 由上一节已求出h ( 。) 日( m ) 2 薹8 。) c o 咖 由于a ( n ) 是实数，故 h ( t o ) = r e 罗口o 弘一“ = r e 舻o ) 】 ( 2 2 9 ) l 1 = 2 ”，若l - r + l r 就不混叠，即l 2 r - 1 ，r = ( n + i ) 2 ，代 入可得l n 图2 - 3 不产生混叠现象的l 值示意图 第2 6 页 第二章数字滤波参数设计与软件实现 花体“舻”表示傅利叶变换。要求h ( n ) ，可以先求出a ( r t ) ，然后利用 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 得到h ( r 1 ) 。求解a ( n ) ，可以利用傅利叶反变换来求解。首先， 将h ( m ) 在频域抽样，设z 平面单位圆上抽样点数为l = 2 ”，( 取2 的幂次 是为了f f t 计算方便) 。频域抽样，时域就要按l 点为周期产生周期延拓， 为了防止混叠效应，应取l = 2 。n ，见图2 - 3 。由( 2 2 9 ) 可得 h ( 。口) ：h ( ) i 2 。k = r e 薹口( n 弦一j 等“ = r e 舻【口( ，1 ) 1 ) ( 2 3 0 ) 根据d f t 性质，a ( n ) 的d f t ( 即纠n ( h ) 】) 的实部的i d f t 等于a ( n ) 的圆周共 轭对称分量，由于没有混叠，在o u r 一1 范围内，它就等于a ( n ) 。这 样由( 2 3 0 ) 式求i d f t p ( k ) ，即可求得a ( n ) ，从而求得滤波器的单位 抽相响应h ( n ) 。 2 5 。4f i r 数字滤波的软件实现 到目前为止，f i r 数字滤波器的数学模型已经建立，现在的问题是 如何求解。前面曾经提到，数字滤波器是一个将输入系列x ( r 1 ) 变换成输 出系列y ( n ) 的离散系统，而差分方程则很适合描述离散系统，它真实的 反映了在离散时间r l 系统输入、输出的运动状态。 f i r 数字滤波器的数学模型为 喇= 5 扣矿“ 将上式作z 的逆变换，得 y ( ，1 ) 2 乏 ( 七) x ( n 一) 2 3 1 此即