5、全等三角形经典题目.doc

三角形全等例5、如图，已知线段ABCD，AD与B C相交于点K，E是线段AD上一动点。 连接BE，若BE平分ABC，则当AE= AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明 1、 如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD 证明：在AC上取AF=AE，连接OF，则AEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=1 2 （180-B）=60则AOC=180-ECA-DAC=120；AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60，（对顶角相等）则COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD例7如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN 若将中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由若将中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=_时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.解：（1）AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135 在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立 在边AB上截取AE=MC，连接ME ABC是等边三角形， AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC，BE=BM BEM=EMB=60 AEM=120 CN平分ACP，PCN=60， AEM=MCN=120CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAM AEMMCN，AM=MN （3）1、如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F（1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_；请证明你的上述猜想（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论解：（1）DE=EF；证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EB=AN=AE，AEN为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=180-45=135，BF平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，DNEEBF，DE=EF；（2）DE=EF，证明：连接NE，在DA边上截取DN=EB，四边形ABCD是正方形，DN=EB，AN=AE，AEN为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=180-45=135，BF平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，DNEEBF，DE=EF2、如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：（1）AB=AP； ABAP. （2）BQ=AP； BQAP. 证明：EF=FP，EFFP， EPF=45. 又ACBC， CQP=45， CQ=CP. 在BCQ和ACP中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长BQ交AP于点M. BCQACP， CBQ=CAP. CBQCQB=90， CQB=AQM， CAMAQM=90， QMA=90，即BQAP. （3）成立. 证明EPF=45， CPQ=45， 又ACBC， CQP=45， CQ=CP. 在BCQ和ACP中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长QB交AP于点N. BCQACP， CQB=APC. CBQCQB=90，PBN=CBQ， APCPBN=90， QNA=90，即BQAP.3、如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABGADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）设ABE的面积为S1，ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，GAE=BAD=90，GAE+EAB=BAD+EAB，即GAB=EAD，又AG=AE，AB=AD，ABGADE； （2）猜想BHD=90理由如下：设：AB和DE交于点N，正方形ABCD，BAD=90，又ABGADE，ABG=ADE，又AND=BNH，ANDHNB，则BHD=BAD=90；（7分）（3）证明：当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0BAE180时，S1和S2总保持相等（8分）证明如下：由于0BAE180分三种情况：当0BAE90时 （如图所示）过点B作BM直线AE于点M，过点D作DN直线AG于点N，MAN=BAD=90，MAB+BAN=90，BAN+DAN=90，MAB=DAN，又AMB=AND=90，且AB=AD，ANDAMB，BM=DN，又AE=AG，1 2 AEDM=1 2 AGBN，S1=S2；（9分）当BAE=90时，如图所示：AE=AG，BAE=DAG=90，AB=AD，ABEADG，S1=S2；（10分）当90BAE180时 如图所示：过点B作BM直线AE于点M，过点D作DN直线AG的延长线于点NMAN=GAE=90，MAB+BAD=90，DAN+MAB=90，MAB=NAD，由正方形ABCD，得到AMB=AND=90，且AB=AD，AMBAND，BM=DN，又AE=AG，1 2 AEBM=1 2 AGDN，S1=S2，综上所述，在（3）的条件下，总有S1=S2（11分）4、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：（1）答：AEGC；（1分）证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，ADE=CDG=90，DE=DG，ADECDG，1=2；（3分）2+3=90，1+3=90，AHG=180-（1+3）=180-90=90，AEGC（5分）（2）答：成立；（6分）证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，ADC=DCB=B=BAD=EDG=90，1=2=90-3；ADECDG，5=4；（8分）又5+6=90，4+7=180-DCE=180-90=90，6=7，又6+AEB=90，AEB=CEH，CEH+7=90，EHC=90，AEGC（10分）5、如图,ABC中,D是BC的中点,过D点得直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G点,DEDF,，交AB于点E，连接EG，EF 1）求证，BG=CF2）请你判断BECF与EF的大小，并说明理由提示：因为BG平行与AC 所以角GBD角DCA 又因为角BDG角CDF D为BC中点，所以BDCD，所以由角角边的定理推出三角形BGD全等于三角形CFD，所以BGCF。（2）：由于全等，所以D也为GF的中点，又因为ED垂直于GF，所以三角形EGF为等腰三角形！所以GEEF，又因为BGCF，所以再三角形BGE中有BEBG大雨GE，所以BECF也大于EC!6、如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由解：CD=BE理由如下：ABC和ADE为等边三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60BAE=BAC-EAC=60-EAC，DAC=DAE-EAC=60-EAC，BAE=DAC，ABEACDCD=BE2）AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点， BM= AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形 设AD=a，则AB=2a AD=AE=DE，AB=AC， CE=DE ADE为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o， EDC=ECD=30o ， ADC=90o 在RtADC中，AD=a，ACD=30 o ， CD=N为DC中点， ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABC SAMN解法二：AMN是等边三角形理由如下：ABE ACD，M、N分别是BE、CN的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN是等边三角形设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证BEAC，BE=，ADE，ABC，AMN为等边三角形7、已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；（2）求证：AMN是等腰三角形；（3）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向