2010年全国大学生数学建模竞赛A题.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： - 所属学校（请填写完整的全名）： - 参赛队员 (打印并签名) ：1. - 2. - 3. - 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： - 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究了储油罐的变位识别与罐容表的标定问题。首先，针对问题一，采用微元法，选取水平面，在竖直方向上进行积分，根据油位高度可计算出油量；变位后，分成不同情况，始终选取与罐体底面平行的面，方法类似，在与其垂直的方向上进行数值积分，得到油量依赖于油位的关系模型，从而得出油位高度间隔为1cm的罐容表的标定值；变位前后的罐容表标定值后，将两种情况的油位油量关系用图像表示出来，对比观察，明显可以看出变位后罐容表的标定值整体减小；计算变位前后油量数据的相对误差分别为1.26%，0.06%，在允许范围之内。针对问题二，分析实际油罐体的截面图，得到油位高度与变位参数的关系式，对于油位高度同样可以分成多种情况，每种情况下均可选取特定的截面，并在一定的方向上采用微元法对截面进行积分，从而建立储油量与油位高度之间的关系式，进而得到油位高度间隔为10cm罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型；通过分析附件2数据，可以发现当油高处于罐体中心高度左右时，误差较小，我们可以选取此时的若干组数据，再由建立的油量的数学模型求出变位参数，或者用全部的数据建立以相对误差尽量小作为目的的优化模型，求出最优变位参数；根据建立的数学模型可以确定罐容表的标定值；通过根据建立的模型计算出的数据与实验测得数据的相对误差，分析模型的可靠性。关键字：微元法；关系模型；变位；积分；标定一、问题重述加油站的地下储油罐，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度与储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。二、模型假设1、 储油罐内的温度是恒定的，不考虑温度的影响；2、 罐体发生变位后，罐体本身不受影响；3、 进油和出油时，粘附在罐体上可忽略不计；4、 油罐内装置不影响储油量。三、符号说明油位高度罐内储油量与罐体横截面平行的截面为油面变位前油位变位后油位变位前油量变位后油量用关系式得到的变位前的油量用关系式得到的变位后的变位前油量的相对误差变位后油量的相对误差油位显示值K油浮子的位置罐体球缺部分的体积四、问题分析加油站的地下储油罐采用流量计和油位计来测量进出油量与罐内油位高度，通过罐容表上的标定来得到罐内油位的高度和储油量的变化。以小椭圆型储油罐为例，我们来研究罐体变位后对罐容表的影响，可以先对变位前后的罐体分别进行标定，然后进行比较。根据储油罐图形的数据，写出计算储油量的公式，再根据给出的油位高度计算出相应的储油量。罐体变位后，需要对不同情况分别进行讨论，选取截面，进行积分，计算出不同油位下对应的油量，得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值；根据计算出的罐体变位前后的数据，将储油罐内的油位油量关系用图像表示出来，对比观察，可得罐体变位发生后罐容表的标定值整体减小；对实验测量数据与理论计算值进行相对误差分析。问题二，对于当油位高度一定时可以分成多种情况，根据油罐不同部分的特点选取特定的截面，在一定的方向上采用微元法进行积分，可以得到储油量与油位高度之间的关系，并建立油量与油高的关系式，从而得到罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系式，并列出罐容表标定值；通过根据建立的模型计算出的数据与实验测量数据的相对误差，分析模型的正确性与方法的可靠性。五、模型的建立与求解5.1问题一为研究罐体变位后对罐容表的影响，需要得到罐体变位前后的数据，将其进行对比。对于罐容表的标定，可以运用建立出的数学模型关系式求得。5.11罐体变位前首先对罐体变位前油位高度间隔为1cm的罐容表进行标定：0-0.42.05hsyx图1 变位前小椭圆油罐纵截面图其中s表示油罐的水平油面d=2.45l图2 s截面其中l为油面的宽度zyl00.89m1.2m图3 油罐的纵截面图建立模型：由图3可得椭圆方程由几何关系可得 （1）对s进行积分可得储油量 （2） 根据给出的罐体的参数，我们可以得出油位高度与储油量的关系式，如下： (3)其中h表示油位高度，v表示储油量。利用MATLAB计算每组高度对应的油量，具体表格在附件中(见附表1)5.12罐体变位后xyABCD0图4 变位后的罐体纵截面图图中圆点构成的虚线为与罐体横截面平行的截面，普通虚线为油面在倾斜角为的纵向变位下，根据题目中参数，可以得到油位高度与储油量之间的关系式，建立方程模型：为方便计算，我们用截面沿y轴积分来计算罐体的储油量1）罐体发生纵向变位，油浮子的反应有滞后当时，xyABCDEFm水平线图5变位后的罐体纵截面图2）A，B,C,D为截面四个顶点,以A为起点做水平线，与油位探针有一交点，为储油量达到此高度时油浮子的位置，计算可得油浮子的高度为0.1463m当时， (4)当时，3）以C为起点做水平线，与油位探针有一交点，为储油量达到此高度时油浮子的位置，计算高度为当时， (5)4)图5中设m点位油浮子可以上升的最高点，此时h为油罐高度当时， （6）5）当油浮子到达最高点时，再继续进油，油浮子不会变化，也就是说在一定高度范围内v继续增加，而h不在变化。然后对罐体变位后的罐容表进行的标定值如下：油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L0=2.721332.3421054631931842824105360715.622360431094641974852865106360521023388.64411336520178629061073647315.9244184511746620608729461083687423.525448.3461214672103882986109372553326479.34712556821478930261103760644.527511.1481296692190903066111379475828543.64913377022339131051123826873.829576.75013787122769231441133856991.930610.4511420722319933182114388410112.531644.7521462732362943220115391011135.532679.6531504742404953258116393412161.233715541546752447963295117395613189.534750.9551588762490973332118397714220.635787.3561631772532983368119399615191.836824.25716737825749934041204012.8，4110.216211.237861.5581716792616100343917232.638899.2591759802658101347418255.639937.360180281270010235081928040975.9611845822742103354120305.64110156218888327831043574下面分析罐体变位后对罐容表的影响：由于罐容表里的标定值太多，直接观察不太直观，因此我们可以通过相关图像来表示：图6 变位前后油量油位关系对比图由图像可以看出：罐体变位后，所有油位对应的油量基本都减小了，也就是说变位使罐容表的标定值整体减小了5.13误差分析与检验设用表示变位前油位高度，表示变位后油位高度，表示变位前油量，表示变位后油量，为用关系式得到的变位前的油量，为用关系式得到的变位后的油量，为变位前油量的相对误差，为变位后油量的相对误差 用MATLAB计算可得（见附件2） %,%可见误差值非常小，在一个被允许的范围内，则可断定模型是可信的，即通过模型可以根据油位显示值来确定油罐的储油量，进而可以使加油站尽可能精确的确认储油量来决定是否进油。5.2问题二5.21建立关系模型与求解实际储油罐横向偏转截面图：油位探针油面ko图7 实际油罐横向偏转截面图其中表示油位显示值，k表示油浮子的位置，表示k在竖直方向的投影，为切面的半径由几何关系可得 实际油面的油位为 现类比问题一，假设图7中垂直地面的线为有探针。xyCMC1图8 实际油罐的纵向偏转截面坐标图r=1.5mlzy图9 实际油罐正截面坐标图设A为左边球缺部分的球心，B为右边球缺部分的球心1、当时1.1、左边球面的方程为 （7）由图9知 (8)设, (9)由公式（8）（9）可得由题目知，可解得 设弧cm所在圆的半径为R 所以三角形cmc1面积为 (10)在图8中过点的线段的长为对面沿z轴定积分该部分在球面里的体积 (11)1.2、在圆柱体里的部分由图9可得圆的方程 该部分在圆柱体内的体积为 综上，当时， (12)xyHKDMN图10 实际油罐的纵向偏转截坐标图2、当时球B的方程 （13）由图10知 设将，代入（13）可得，由点距关系可求得，进而可求得面的面积面面积由公式可得球缺部分的体积：由问题一可求得圆柱部分体积下面具体讨论一下h的范围当左端球缺体中油量：当右端球缺体中油量当时当综上，当当当3、当时，罐体总体积减去罐内上部空余体积即得即时储存油量油罐的体积 油量 对倾斜角建立无约束最优化模型：因为给出的数据与理论值之间存在误差，我们可以在相对误差尽量小的基础上求出最优值 （14）其中，为测量油位，为数据给出的油量，为理论油量由MATLAB可求最优（见附件3） 5.22罐容表的标定值根据油位高度与油量的关系式可以求出罐容表的标定值如下：油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L油高/cm储油量/L10907010934130260971904169225053832201432801326614028771200440602605524630298590157001503143921046315270564384047291001821816034084220484372805739050664711020802170366862305040929058085608721120234351803922824052213300585035.23模型检验设用表示变位后油位高度，表示变位后油量， 为用关系式得到的变位后的油量 （15）利用MATLAB可以求得=0.2%,相对误差很小，说明模型是可信的六、参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊，数学建模（第三版）M，北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系，高等数学 （第五版），北京：高等教育出版社，20023 王沫然，MATLAB与科学计算（第2版），北京：电子工业出版社，2003七、附录附件1小椭圆罐体变位前罐容表的标定值油高/mm前储油量/L油高/mm前储油量/L油高/mm前储油量/L油高/mm前储油量/L油高/mm前储油量/L00250620.35350016217502702.34310003659.875105.29475260656.03175101664.067602744.47310103692.052014.93811270692.21045201707.2297702786.40110203723.5453027.37359280728.86795301750.4977802828.11410303754.3264042.03712290765.98365401793.857902869.59810403784.3615058.59826300803.5385501837.2758002910.8410503813.6126076.8311310841.51215601880.7628102951.82510603842.0387096.56758320879.88765701924.2978202992.53910703869.59680117.6757330918.64665801967.8698303032.96610803896.23790140.048340957.77195902011.4658403073.09110903921.909100163.594350997.24676002055.0738503112.89911003946.552110188.23673601037.0556102098.6818603152.37411103970.098120213.90853701077.186202142.2778703191.49911203992.47130240.553801117.6076302185.8488803230.25811304013.578140268.10783901158.326402229.3848903268.63411404033.315150296.53394001199.3056502272.879003306.60811504051.547160325.78444101240.5476602316.2969103344.16211604068.109170355.81924201282.0326702359.6499203381.27811704082.772180386.60114301323.7456802402.9169303417.93511804095.208190418.09574401365.6736902446.0869403454.11411904104.851200450.27064501407.8027002489.1459503489.79312004110.146210483.09594601450.1197102532.0829603524.949220516.54294701492.617202574.8839703559.561230550.58494801535.2637302617.5359803593.603240585.19634901578.0647402660.0279903627.05附件2问题一相对误差的求解h11=;%数据表中无变位进油时油位高度 v11=;%数据表中无变位进油时储油量 h12=; %数据表中无变位出油时油位高度 v12=; %数据表中无变位出油