渗透极限思想.doc

渗透极限思想，优化解题过程罗丽芳 （山东省东营市第一中学 257091）极限思想在数学中占有举足轻重的地位，早在公元3世纪，我国杰出数学家刘徽在创立“割圆术”的过程中，就丰富了和发展了极限思想，奠基并使用了极限方法，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，就是它对极限思想和方法的精辟论述。事实上，利用极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能。现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法，如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等，但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生。下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。xyFPQO一、寻求极限位置 实现估算与精算的结合例1、（2000年全国卷第11题）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是、,则等于（ ） xBCDAy(A) (B) (C) (D) 解析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为，而，所以，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例2、（2003年全国卷第10题）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为若则的取值范围是（ ）ABCDA解析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出的取值范围，根据极限的观点，令，不妨令与重合，依据入射角等于反射角，即知、均为各边中点，此时，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C）评注：将精算与估算相结合，是一种重要的数学能力，体现了教育改革倡导的新的思想方法，利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查。因此，这类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。二、考查极限图形 简化计算例3、（1994年全国高中数学联赛第5题）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、解析：设正n棱锥为，由于多变，所以底面正边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化。本例中底面正边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为。当点S向下运动无限趋近底面正边形的中心这个极限位置时，趋于平角；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时无限趋于底面正边形的内角，故二面角的取值范围是：，从而选(A)评注：“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。三、分析极限状态 探索解题思路例4、已知抛物线方程为。求证：在轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有为定值。分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有为定值，因此对过点M的一条特殊弦垂直于轴的弦也应该有为定值。设，则，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点。下面再考查弦的一个极限情形轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有，所以，它也应该是定值，且，由此可得，于是可以猜想定点，MFxyO下证过点的任一弦PQ均有（定值）。证明：设过点的直线参数方程为，代入抛物线方程得，设此方程的两根为，则，而的几何意义分别表示MP及MQ的值。因此点是满足题意的点。评注：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸现了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性。四、巧取极限 无限与有限的统一例5、（2002年全国高考（理）第22题）设数列满足（）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（）当时，证明对所有的，有（i）；（ii）。解析：本题是数列与不等式的综合题，是考查猜想、归纳、迭代、放缩推理及分析问题和解决问题能力的一道优秀试题。（）及（）（i）入口宽，也易解决。但是（）（ii）的放缩难度较大，拉开了档次，体现了较好的区分度。事实上，（）（i）的结论给解答（）（ii）有明确的启示。因为由可以推导出（），运用这个不等式来证明（）（ii），思路最为清晰、快捷。这种要求，是考查考生进入高校继续学习的潜能所必须的。（），（）（i）用数学归纳法证明（略）（ii）由（）（i）可知，即于是评注：本例利用了高等数学中的级数理论：正项级数的前n项和有上界，故级数收敛，但其收敛速度不大于的收敛速度（）。其实从初等数学的观点也很容易理解：若单调递增数列存在极限，则。通过无限与有限的统一，实现了对不等式的放缩。此题还留给我们重要的启示：在复习和备考中要有意识地渗透和关注高等数学与初等数学的衔接点，全方位培养学生的数学素养，着力提高个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。因此，极限思想是培养创新