饮酒驾车的数学模型.pdf

收稿日期 2005 08 29 作者简介 杨锦伟 1983 男 河南省叶县人 平顶山学院数学与信息科学学院助教 饮酒驾车的数学模型 杨锦伟 刁 群 平顶山学院 河南 平顶山467002 摘 要 定义了血醇浓度 借鉴药物动力学中的房室模型 建立了血醇浓度的微分方程模型 准确地模 拟出血醇浓度变化趋势的曲线 该模型可以预测喝酒后任一时刻的血醇浓度 同时对于血醇浓度达到最大值的 时间也给出了一个精确的解析解 最后还讨论了周期性连续喝酒条件下血醇浓度的变化情况 关 键 词 饮酒 微分方程模型 数据拟合 中图分类号 O141 4 文献标识码 A 文章编号 1673 1670 2006 02 0056 03 1 问题提出 针对交通事故高发的严重情况 新的酒精含量标准规 定 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg 100mL 小于80mg 100mL为饮酒驾车 血液中的酒精含量 大于或等于80mg 100mL为醉酒驾车 大李在中午12点喝 了一瓶啤酒 下午6点检查时符合标准 紧接着他在吃晚饭 时又喝了一瓶啤酒 凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车 两 次喝同样多的酒 检查结果却不一样 笔者建立饮酒后血液 中酒精含量的数学模型 并讨论以下问题 1 对大李碰到的情况做出解释 2 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内 驾车就会违反上述标准 a 酒是在很短时间内喝的 b 酒是在较长一段时间 比如 2h 内喝的 3 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高 4 根据你的模型论证 如果天天喝酒 是否还能开车 2 问题分析 当人们喝酒时 酒精 即乙醇 就会随着血液扩散到全 身的器官和组织中 然后不断地被吸收 代谢和排出 在这 里我们把乙醇在血液中的浓度 即每100mL血液中乙醇含 量 mg 称血醇浓度 它随时间和所处范围的变化而变化 为了建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型 我们需 要讨论乙醇在体内吸收 分布和排出的动态过程以及此过 程中的定量关系 为了达到这一目的 我们借鉴药物动力学 中的房室模型 所谓房室 是指由具有相近的药物转运速率 的器官 组织组合而成 同一房室内各部分的药物处于动态 平衡 可以认为乙醇在体内各部位间均有较高及相近的转 运速率 可在体内迅速达到分布平衡 即血醇浓度具有均衡 性 但是在不同的房室则可按一定的规律进行乙醇的转移 在这里我们简单地认为机体是一个血液均匀分布的中心 室 喝酒后 乙醇的扩散与分布可看作在进入中心室之前有 一个将乙醇由肠胃吸收入血液的过程 将之简化为一个吸 收室 这种简化在医学界和药理学界已被接受和承认 我 们称之为一室模型 1 下面在吸收室和中心室之间建立一 个血醇浓度的微分方程来描述其动态特征 3 模型的假设与符号表示 在不失真的前提下 我们可以建立线性常系数方程 为 此 我们作如下假设 1 机体可看作一个中心室 中心室的容积 即血液容 积 在过程中保持不变 乙醇由肠胃吸收入血液的过程简化 为一个吸收室 2 乙醇从吸收室向中心室的转移速率与吸收室的血醇 浓度成正比 中心室向体外的排出速率与中心室的血醇浓 度成正比 3 乙醇全部由吸收室进入中心室 又从中心室排出 在 此过程中 吸收室中转换的乙醇可忽略不计 4 假设大李在下午6点接受检查后由于现实原因等8 点开始吃晚饭 5 假设酒在很短时间内喝完即将酒瞬时导入胃肠 没 有耽搁 没有扩散 6 假设酒在较长时间内喝是匀速的 7 不考虑人体的个体差异 酒精扩散过程示意如下 吸收室c1 t k1 中心室 c t k 符号表示 c1 t 吸收室中血醇浓度 c t 中心室 中血醇浓度 k1 转移速率系数 k 排除速率系数 v1 吸 收室体积 v 中心室体积 第21卷第2期 2006年4月 平顶山学院学报 Journal of Pingdingshan University Vol 21 No 2 Apr 2006 4 模型的建立与求解 4 1 短时间内喝酒血醇浓度的确定 4 1 1 微分方程的建立与求解 设t 0时刻 一次喝的酒中乙醇含量为D 则c1 t 满 足方程 2 dc1 dt k1c1 c1 0 D v1 1 中心室酒精浓度 c t 的变化率由两部分组成 与c成 正比的排出 比例系数为k 与c1成正比的吸收 比例系数 为k1 则可得 c t 满足方程 dc dt kc v1 v k1c1 c 0 c0 2 由 1 可解出 c1 t D v1 e k1t 3 将 3 式代入 2 中可解得 c t D v k1 k1 k e kt e k1t c0e kt 4 可以看出 t c1 t 0 c t 0 4 1 2 c t 的最大值问题 在 4 中 记b D v 取初始浓度c0 0 则 c t b g k1 k1 k e kt e k1t 容易求出 当时间t取tm 1 k k1ln k k1 时 c t 取得最大 值 cm c tm b k1 k1 k e k tm e k1tm b k1 k1 k k k1 k k k1 k k1 k1 k k1 5 4 2 较长时间内连续饮酒血醇浓度的确定 在较长一段时间内连续饮酒 持续时间为 我们可以 认为酒精从肠胃吸收入血液的过程是一个匀速变化的过 程 即可假设从吸收室到中心室的转移速率为常数k0 则 此时 dc1 dt k0 c1 0 0 6 联合 2 式可解得 c t k0 vk 1 e kt 0 t k0 vk 1 e kt e k t t 7 4 3 每天喝酒情况下血醇浓度的分析 我们假设以时间T为周期喝酒 每周期开始时连续饮 酒 持续时间为 则在此情况下 我们根据 7 中的 c t 表达式可以得出当t 时 c t 的稳态浓度为 3 c nT n k0 vk 1 e k 1 e kT c nT n k0 vk ek 1 ekT 1 同时可以求得当 t0 T时 c nT t0 k0 vk 1 ek 1 ekTe k T t0 8 5 模型的检验与结果分析 1 短时喝酒模型中 4 式中的3个参数k1 k和D V 即 b 可依据参考资料中喝2瓶酒的试验数据拟合 我们 用MATLAB对其进行非线性最小二乘法拟合 在确定初始 值时考虑到排出速率k远小于吸收速率k1 那么k的初值 可设为0 b的初值可认为与实验数据中c的最大值相当 在此不妨设为85 k1的初值不易确定 可取1或10进行试 验 在此之前体内不含酒精 c0取值为0 用MATLAB中的优化工具箱中的leastsq函数进行拟 合运算 4 最后的拟合结果为 吸收速率k1 2 007 9 排出速率k 0 185 5 b D v 103 860 7 又瓶装啤酒可设其体积为650mL 酒精浓度为4 乙 醇密度0 8g cm3 则每瓶中乙醇的质量d 20 8g 两瓶 D 41 6g 于是v D b 0 400 5 则短时喝2瓶酒的血 醇浓度函数 图1中曲线 2 为 c t 114 432 6 e 0 185 5t e 2 007 9 t 短时喝一瓶酒的情况下可参考以上参数 得出血醇浓度函 数 图1中曲线1 为 c t 57 216 3 e 0 185 5 t e 2 007 9 t 9 对大李来说 t 6时 c 6 18 799 3 20 因此 凌晨2时被检查会被定为饮酒驾车 大李出错的 原因在于忽视了第2次喝酒前 体内仍有部分酒精残余 会 影响血醇浓度 2 a 短时喝3瓶啤酒 其血醇浓度函数可由 9 得到 为 c t 3 57 216 3 e 0 185 5t e 2 007 9t 75 第2期 杨锦伟 刁 群 饮酒驾车的数学模型 易求得 t 11 588 5时 c t 20 所以 在喝酒后的11 588 5h内驾车会违规 b 若在2h内喝了3瓶啤酒 则依 7 式的参数可取值 如下 2 k0 20 8 3 2 31 2 V 0 400 5 对于参数k仍取0 185 5 则有 c t 419 960 2 1 e 0 185 5t 0 t 2 130 187 7e 0 185 5 t 2 t 2 该函数可在MATLAB中编程实现 当t 12 098 35时 c 20 故在此模型下喝酒后的 12 098 35h内驾车会违规 3 要知道血醇浓度何时达到最大值 即是求 c t 的最 大值 该问题在4 1 2中已有论述 有公式可知 无论瞬时喝多少酒 体内血醇浓度达到最 高值所用的时间是不变的 如图1中的曲线1与曲线2 下面引入参数验证 例如 在短时喝2瓶酒的过程中 tm 1 k k11n k k1 1 0 185 5 2 007 91n 0 185 5 2 007 9 1 307 0 此时cm 81 500 7 对比试验数据 其最大值在t 1 和t 1 5处取到 为82 可以看出 该模型拟合度较高 比较精确 当参数改变 时 只需代入即可 4 天天喝酒时 根据上面分析 即使只喝一瓶啤酒也需 要5h血醇浓度才能降到20以下 因此对于一个上白班的 司机早上和中午是不宜喝酒的 要想天天喝酒 只能在晚上 下班之后喝适量的酒 并且在第二天早上上班以前血醇浓 度必须降到20以下 这样 我们来取参数 假设每天晚上8点开始 连续喝2h的酒 第二天早8 点上班 则为使早8点时的血醇浓度为20 取t0 12 c 20 T 24 2 v 0 400 5 k 0 185 5 利用式 8 可求得k0 30 283 1 即相当于2 911 8瓶 啤酒 也就是说 司机师傅要想天天喝酒 那么 他每天最多 可以在晚上10点以前喝2 911 8瓶啤酒或者含等量酒精的 白酒 6 模型的评价与改进 6 1 模型评价 1 笔者建立了描述酒精在血液中含量变化规律的微 分方程模型 讨论了短时间内喝酒和较长时间内连续喝酒 2种情况 分别得出了血醇浓度的变化函数 通过此模型可 以较准确的说明血液中酒精浓度的变化规律 2 所建立的模型比较简明 可以很方便的使用MAT2 LAB来编程实现其结果 并且采用了准确度较高的非线性 最小二乘进行拟合 曲线吻合度非常高 3 模型具有较好的稳定性 可以根据每天饮酒量来计 算可以安全驾车的时间 6 2 模型改进 1 笔者对酒精在血液中的扩散 吸收 排出机理并未 作过多探讨 2 只是近似的把全身看作一个分布均匀的机体 事实 上 全身血液分布是不均的 可以分为血液较丰富的中心室 心 肺 肾等 和血液较贫乏的周边室 四肢 肌肉组织等 可以建立一个两室模型进一步探讨 3 本模型存在近似误差 系数是通过拟合产生的 而 原始数据组有限 7 经常开汽车 喝酒须适量 自新交通法规颁布以来 对饮酒驾车的惩罚更加严厉 为了减少危害 避免无谓的损失 司机不得不控制自己的饮 酒习惯 但是仍不免有不少困惑 在此提出几点建议 1 不要以为第一次喝酒没事就认为每次喝同样的酒间 隔相同的时间是安全的 要知道经常饮酒体内酒精代谢不 完全 是有残余 2 经常出车的司机 饮酒频率应该降低 并且每次的饮 酒量也不应该太多 3 不经常开车的司机 要注意出车前的较长时间内不 要饮酒 至少不能饮太多的酒 参考文献 1 萧树铁 数学试验 M 北京 高等教育出版社 1999 2 姜启源 谢金星 叶 俊 数学模型 M 第3版 北京 高等教育出版社 2003 3 姜启源 谢金星 叶 俊 数学模型 第3版 习题参考解 答 M 北京 高等教育出版社 2003 4 张智星 MATLAB程序设计与应用 M 北京 清华大 学出版社 2002 Mathematical Model of Drinking and Driving YANGJin wei DIAO Qun Pingdingshan University Pingdingshan Henan467002 China Abstract In this paper we give two differential equations concerning situations in which a certain amount of alcohol drinks are given in a short time vs in a long time by analyzing the