特征值与特征向量复习题解答.pdf

特征值与特征向量复习题解答特征值与特征向量复习题解答 一 思考题 1 可能有相同的特征向量 例如 30 01 A特征值为 1 3 特征值为 2 6 60 02 B 故它们没有相同的特征值 但容易验证 向量既是 A 的属于特征值 1 的特征 向量 也是 B 的属于特征值 2 的特征向量 0 1 2 可能有 例如 它们显然有特征值零 不难验 证 向量是它们公共的特征向量 000 000 010 A 000 000 100 B 0 0 1 3 A 可相似于对角阵 因为 1 3 1 是 3 阶方阵 A 三个不同的特征值 4 A 不能相似于对角阵 因为只有零是 A 的特征值 而0 A 则 于 是A的属于0线性无关特征向量最大个数 1 Ar nArn 从而A没有n个线性无 关特征向量 5 一般矩阵有相同的特征值不一定相似 例如 10 01 A 10 11 B 二 选择题 1 用定义XAX 来判断 即计算AX 看其是否为向量X的多少倍 当 时 有 T X 1 1 1 XAX 故选 A 2 由 A BEAE 知A B 故 A 不对 A与B有相同的特征值 但可对应有不同的特征向量 故 B 不对 A与B 相似 但不能保证它们与对角阵相似 故 C 不对 由矩阵相似的定义知 存 在可逆阵P 使BAPP 1 由此 故与相 似 因此应选 D BtEPAtEP 1 AtE BtE 3 由于 但由已知 APPPAPPAPP TTTTTTT 11 A 故 TTTT PPPAPP 1 即矩阵属于特征值 T APP 1 的特征向量为 因而应择 B T P 4 A的特征向量应是方程0 XAE 的非零解 而不是全部解 A的属于同 一特征值的特征向量的线性组合中非零向量为A的特征向量 故 C 不对 A与 AT有相同特征值 但不保证有相同的特征向量 故 D 不对 应选 A 5 在 AE 中 把第2列到第n列都加到第1列上 则第1列有公因子a 提出后可知a 是 AE 的因子 所以是A的一个特征值 应选 A a 6 由于 21n A L n i i Atr 1 21n AE L 所以 A B D 正确 而取 特征值全为零 而r A 2 000 100 010 A 故 C 不正确 应选 C 7 由 000 XAX 得 故 0 1 00 1 0 11 XPAXPXPAPP 0 是P 1AP的特 征值 其对应的特征向量为 故 D 正确 其余3项都不正确 0 1X P 8 由 321 A得 24 533 42 111 a 而 6 6 533 42 111 aa 从而a 2 应选 B 9 A2的特征值为22 4 2 3 1 A有特征值 3 4 故 12 3 1 A有特征值 4 3 3 4 1 即选 B 10 因A的特征多项式 B的特征多项 式 而A与B相似 则 1 3 3 2 2 aaAE 2 2 bBE BEAE 所以可解得a 5 b 6 应选 B 三 计算题 1 A的特征多项式 4 2 266 157 113 2 AE 所以A的特征值是2 21 4 3 当2 21 时 代入特征方程组0 XAE 由 000 100 011 066 177 111 2AE 得基础解系 即 T X 0 1 1 1 0 111 kXk是属于特征值 2的全部特征向量 当4 3 时 代入特征方程组0 XAE 由 000 110 001 666 117 117 4AE 得基础解系 即 T X 1 1 0 2 0 222 kXk是属于特征值4的全部特征向量 由特征值与特征向量性质得 A 1特征值为 2 1 二重 4 1 属于 2 1 的全部特征向量为 0 1 1 1 k 0 1 k 属于 4 1 的全部特征向量为 1 1 0 2 k 0 2 k 2 解 设 是属于特征值 的特征向量 则 A 即 1 1 1 1 1 1 21 35 212 b a 此即 解之得 21 35 212 b a 1 3 a 0 b 3 解 由A的特征多项式 1 01 11 0 2 xy x AE 故当时 A有3个不同的特征值 从而必有3个线性无关特征向量 1 x 当时 A有特征值1 x1 1 1 32 当1 1 时 有一个线性无关特征向量 当1 32 要有二个线性无关特征向量 则有1 AEr 因经初等行变换 101 01 101 yAE 000 100 101 y 故只有y 1 0 即y 1 1 AEr 从而 1 当x 1且y 1时A有三个线性无关的特征向量 2 当时 任意y A都有三个线性无关的特征向量 1 x 4 解 1 因A与相似 故 EAE 即 b a 00 020 001 113 22 002 2 1 2 1 2 2 baa 将1 代入有 将0 a2 代入有2 b 2 A的特征值为 1 2 2代入特征方程组0 XAE 可分别求 得对应特征向量 1 2 0 1 X 1 1 0 2 X 1 0 1 3 X 令 可逆阵 111 012 100 321 XXXP 使 APP 1 3 由 APP 1 得 1 PPA 于是 1100100 PPA 其中 003 212 111 3 1 1 P 所以 121221 222222 0023 3 1 101100100 101100101 100 100 A 5 由 ii iA 得A的特征值为1 2 3 相对应特征向量依次为 1 2 3 令 212 122 221 321 P 有 APP 1 其中 300 020 001 212 122 221 9 1 1 P 于是 1 PPA 2 3 2 3 2 3 2 3 5 0 3 2 0 3 7 6 解 1 由和 有 T A 0 T TTTT AAA 2 0 TTTT 即 A2为n阶零矩阵 2 设 为A的任一特征值 属于 的特征向量为 0 xx 则xAx 于是 xAxxA 22 因为 所以 因0 2 A0 2 x 0 x 故 0 2 即 A的特征值全为零 不妨设问量 中分量0 1 a 0 1 b 考虑齐次线性方程组 0 0 XAE 由经初等行变换 nnnn n n bababa bababa bababa AE L LLLL L L 21 22211 12111 0 000 000 21 L LLLL L L n bbb 得基础解系 0 0 1 1 2 1 T b b L 0 1 0 1 3 2 LLL T b b 1 0 0 1 1 T n n b b L 即属于特征值0全部特征向量为 112211 nn kkak L 是不 全为零的任意常数 121 n kkkL 7 解 由及EAAA 0 3 AE有 3 3 3 0 EAAAAAAEA 也就是有0 3 AE A 故 3 A 是 A的一个特征值 又由题设且因 故有 2EAAT AAT 162 42 AAA T 由0 A得4 A 所以 3 4 3 A 是A 的一个特征值 8 解 设A的特征值为 对应特征向量为 即 A 由于 所以 07 A 0 又因 故有EAAA A A 于是有 11 11 P A PPAPPB 11 2 2 P A PEB 因此 2 A 为B 2E的特征值 对应的特征向量 1 P 由于 7 1 222 232 223 2 AE 故A的特征值为1 21 7 3 当1 21 时 求解 E A X 0的基础解系 得对应的线性无关特征向量可 取 0 1 1 1 1 0 1 2 当7 3 求解 7E A X 0的基础解系 对应的一个特征向量为 1 1 1 3 321 p 由 得 100 001 110 1 P 0 1 1 1 1 P 1 1 1 2 1 P 1 1 0 3 1 P 因此 B 2E的三个特征值分别为9 9 3 对应于特征值9的全部特征向量为 1 1 1 1 1 1 212 1 21 1 1 kkPkPk 不全为零常数 21 k k 对应于特征值3的全部特征向量为 1 1 0 33 1 3 kPk 0 3 k 9 解 A的特征多项式为 51 341 321 a AE 3188 2 2 a 若2 是特征方程的二重根 则 解得a 2 03181622 a 1 当a 2时 A的特征值为2 2 6 矩阵 的秩为1 故 321 321 321 2AE2 对应的线性无关的特征向量有 两个 从而A可相似对角化 若2 不是特征方程的二重根 则为完全平方 从而 18 3a 16解得 a3188 2 3 2 a 2 当 3 2 a时 A的特征值为2 4 4 矩阵 1 3 2 1 301 323 4AE 的秩 为2 故4 对应的线性无关的特征向量只有一个 从而A不可相似对角化 10 解 1 由题设得关系式 6 1 5 3 6 1 5 2 6 5 1 1 nnn nnnn yxy yxxx 整理得 nnn nnn yxy yxx 5 3 10 1 5 2 10 9 1 1 即 n n n n y x y x 5 3 10 1 5 2 10 9 1 1 故 5 3 10 1 5 2 10 9 A 2 由 11 1 4 A 22 2 1 2 1 2 1 A 根据特征值和特征向量定义 知 1 是A的属于特征值1 1 的特征向量 2 是 A的属于特征值 2 1 2 的特征向量 又 21 故 1 2 线性无关 3 因A中元素与n无关 故得 1 1 1 12 1 1 y x A y x A y x A y x n n n n n n n L 由 2 知A相似于对角阵 令 则 11 14 P 41 11 5 1 1 P 于是有 2 11 0 0 APP 即 1 2 1 0 0 PPA 1 2 1 0 0 PPA n n 故 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 2 1 4 5 1 41 11 2 1 0 01 11 14 5 1 nn nn n n A 从而 n n n n y x 2 3 2 2 3 8 10 1 1 1 11 解 1 因为r A 2 可知 A 0 所以A的另一特征值为0 又由6 21 是A的二重特征值 故A的属于特征值6的线性无关的特 征向量有2个 由题设可得 321 极大线性无关组为 21 故 21 为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量 设0 3 所对应的特征向量为 T xxx 321 则有 02 0 321 21 xxx xx 解此方程组 得一基础解系 即A的属于特征值 T 1 1 1 0 3 的特征向量 为 1 1 1 kk 0 k 2 令 21 p 则 000 060 006 1AP p 所以 1 000 060 006 pPA 又 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 110 1 p 故 422 242 224 A 四 证明题 1 证 设A的特征多项式 AEf 则 因A为正 交时 故AA 1 1 AEf n T ATA E 于是 EAEAAAAAAE TTT AEEAEA T 0 AE 0 1 f 即 1是A的一个特征值 2 证 由题设 知有nBrAr nAr 且nBr 故 A 0 B 0 于 是 方阵A B皆有特征值0 又方阵A B的属于特征值0的特征向量分别由 AX 0 BX 0 求解 考虑方程组 0 X B A 其系数矩阵满足 故有非零解 此非零解是AX 0 BX 0的公共解 故是A B属于特征值0的公共的特征向量 nBrAr B A r 3 证 设 取单位坐标向量是A的特征向量 而 nxnij aA n eeeL 21 n 21 L是对应的特征值 则有 2 1 nieAe iii L 0 0 1 M M M M i ni ii i i a a a Ae 故 iii a 0 ji a ij 这样 n A 0 0 2 1 O 因为也是A的特征向量 设0 ji ee 为对应特征值 则由 jijiji eeeeeeA 而 jjiijiji eeAeAeeeA 有0 jjii ee 因线性无关 故 ji ee ji 于是