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无穷级数一、无穷项级数的概念和性质 如果给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数记为 其中第n项un叫做级数的一般项。 作前n项的和 定义如果级数的部分和数列Sn有极限S，即 则称无穷级数收敛，这时极限S叫做这个级数的和，并写成 如果Sn没有极限，则称无穷级数发散。例1判断下面无穷级数的收敛性解：如果q1，则部分和 当|q|1时，从而 这时，次数发散 |q|=1，当q=1时，Sn=Sn=na级数发散 当q=1时，级数变为aa+aa+ 从而Sn的极限不存在，从而级数发散例2 判断无穷级数 的收敛性解：由于 故 从而 所以级数收敛，它的和是1。性质：1. 如果级数收敛于和S，则它的各项同乘以一个常数k，所得的级数也收敛，且其和为kS。2. 如果级数，分别收敛于S，则级数也收敛，且其和为S + 。性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质4 （级数收敛的必要条件）如果级数 收敛，则它的一般项un趋于零，即二、常数项级数敛散性判别 1. 正项级数 各项都是正数或零的级数，称为正项级数，对于正项级数有 若Sn有界，则级数必收敛。定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和序列Sn有界。定理（比较判别法） 设和都是正项级数，且（n=1,2,）若级数收敛，则级数收敛，反之，若级数发散，则级数发散。例3 讨论p级数 的收敛性，其中常数p0解：设p1则 由于级数发散。 所以级数发散。设p1，因为当n1xn，有所以 （n=2，3，）考虑 其部分和 因所以级数收敛由比较判别法 级数当p1时收敛综上述结果，得出：p一级数当p1时收敛，当p1时发散。比较判别法的极限形式（定理 ）： 设和都是正项级数，如果 （0l） 则级数和级数同时收敛或同时发散。注：调和级数是发散的例4 证明级数是发散的证：因为 由定理知此级数发散。例5 判别级数的收敛性 解：因为 所以级数发散。 又级数发散。 所以级数发散定理（比值判别法，达朗贝尔判别法） 若正项级数的后项与前项的比值的极限等于，即 则当1（或）时，级数发散 =1时，级数可能收敛也可能发散例6 判别级数 的收敛性解：因为 由比值判别法知所给级数发散。定理（根值判别法，柯西判别法） 设为正项级数，如果它的一般项un的n次根的极限等于，即 则当1（或）时级数发散； =1时级灵敏可能收敛也可能发散；例7 证明级数 收敛。证明，因 （n） 所以由根值判另法知所给级数收敛。交错级数及其判别法 交错级数 或 其中都是正数。莱布尼茨定理如果交错级数满足条件： （1） （n=1,2,3,） （2）则级数收敛，且共和，其余项rn的绝对值例8 判断级数的敛散性解： 所以级数收敛。绝对收敛和条件收敛 对于一般级数 如果正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而发散，则称级数条件收敛。定理 如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。例9 判别级数的收敛性。解：因为而级数收敛，所以级数收敛，从而级数绝对收敛。三、幂级数 1. 函数项级数的概念 如果给定一个定义在区间I上的函数列 则由这函数列构成的表达式 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。 2. 幂级数及其收敛性 幂级数的形式： 其中叫做幂级数的系数。阿贝尔定理 如果级数当时收敛，则适合不等式 的一切x使这幂级数绝对收敛，反之，如果级数当x=x0时发散，则适合不等式的一切x使这幂级数发散。推论（收敛半径） 如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，使得 当时，幂级数绝对收敛。 当时，幂级数发散。 当x=R与x=R时，幂级数可能收敛也可能发散。 正数R通常叫做幂级数的收敛半径。 由幂级数在x=R处的收敛性就可以决定它的收敛区间（R，R）,可能含端点。收敛半径的求法定理 如果 其中是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径。 例10 求幂级数 的收敛半径与收敛区间。 解：因为 所以收敛半径 对于端点x=1，级数为交错级数 级数收敛 对于端点x=1级数成为 级数发散，因此，收敛区间为（1，1），且含端点1例11 求幂级数 的收敛区间 解：因为 所以收敛半径R=+，从而收敛区间是（，+）例3 求幂级的收敛半径（记号0！=1）解 因为 所以收敛半径R=0，即级数仅在x=0处收敛。幂级数和函数的重要性质性质1 设幂级数的收敛半径为R（R0）则其和函数S（x）在区间（R，R）内连续，如果幂级数在x=R（或x=R）也收敛，则和函数S（x）在（R，R）连续。性质2 设幂级数的收敛半径为R（R0）则其和函数S(x)在区间（R，R）内可导的，且有逐项求导公式。 其中|x|0），则其和函数S(x)在区间（R，R）内可积，且有逐项积分公式： 其中|x|R，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。例14 在收敛半径内求级数的和函数 解 因 所以 故级数在（1，1）内收敛。令由性质3 有 两边求导得 函数展开成幂级数。 应收敛区间内用泰勒展式。