2011湖北数学高考试题及答案.doc

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(湖北卷)本试题卷共三大题21小题全卷满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i为虚数单位，则 ()Ai B1 Ci D12已知Uy|ylog2x，x1，则UP()A BC(0，) D3已知函数，xR，若f(x)1，则x的取值范围为()ABCD4将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1Cn2 Dn35已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(0 0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系(2)当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)(0，)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点试问：在C1上，是否存在点N，使得F1NF2的面积S|m|a2.若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由21 (1)已知函数f(x)lnxx1，x(0，)，求函数f(x)的最大值(2)设ak，bk(k1,2，n)均为正数，证明：若a1b1a2b2anbnb1b2bn，则a1b1a2b2anbn1；若b1b2bn1，则.1A2A 3B4C 5C 6B 7B8D 9C 10D11答案：1712(答案：13答案：14答案：(2,2)(x1)2y2115答案：214316解：(1)，c2.ABC的周长为abc1225.(2)，.ac，AC.故A为锐角.17解：(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb.再由已知得，解得.故函数v(x)的表达式为.(2)依题意并由(1)可得.当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时18解：法1：过E作ENAC于N，连结EF.(1)如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C.又底面ABC侧面A1CAC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影在RtCNE中，CNCEcos601.则由，得NFAC1.又AC1A1C，故NFA1C，由三垂线定理知EFA1C.(2)如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME，由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF.所以EMN是二面角CAFE的平面角，即EMN.设FAC，则045.在RtCNE中，.在RtAMN中 ，MNANsin3sin.故.又045，.故当，即当45时，tan达到最小值.此时F与C1重合法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E，F(0,4,1)，于是，则，故EFA1C.(2)设CF(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)则由(1)得F(0,4，)，于是由，可得，即，取又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n(1,0,0)于是由为锐角可得，.所以.由04，得，即.故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值.19解：(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，当r0时，数列an为：a,0，0，；当r0，r1时，由已知a0，an0(nN*)于是由an2(r1)an1，可得 (nN*)a2，a3，an，成等比数列当n2时，anr(r1)n2a.综上，数列an的通项公式为.(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：当r0时，由(1)知，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列；当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1.由(1)知，a2，a3，an，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列20解：(1)设动点为M，其坐标为(x，y)当xa时，由条件可得，即mx2y2ma2(xa)又A1(a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2y2ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2y2ma2.当m1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当m1时，曲线C的方程为x2y2a2，C是圆心在原点的圆；当1m0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线(2)由(1)知，当m1时，C1的方程为x2y2a2；当m(1,0)(0，)时，C2的两个焦点分别为F1，F2对于给定的m(1,0)(0，)，C1上存在点N(x0，y0)(y00)使得S|m|a2的充要条件是由得0|y0|a，由得.当，即，或时，存在点N，使S|m|a2；当，即，或时，不存在满足条件的点N.当时，由，可得.令，F1NF2.则由，可得，从而，于是由S|m|a2，可得，即.综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得S|m|a2，且tanF1NF22；当时，在C1上，存在点N，使得S|m|a2，且tanF1NF22；当时，在C1上，不存在满足条件的点N.21解：(1)f(x)的定义域为(0，)令，解得x1.当0x0，f(x)在(0,1)内是增函数；当x1时，f(x)0，从而有