（工程力学专业论文）车辆悬挂系统的随机最优控制.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文研究了具有滞迟悬挂部件的车辆悬挂系统基于等效线性化的l q g 控制与 基于随机平均法的非线性随机最优控制 第一种方法是应用等效线性法得到等效线 性系统方程 通过最优控制理论可得到最优控制力 然后通过求解l y a p u n o v 方程可 得到未控和已控系统的响应与性能 第二种方法是滞迟力代之以等效的非线性恢复 力与非线性阻尼力 应用随机平均法得到关于系统总能量的平均i t 6 方程 通过求 解与平均系统的遍历控制问题的动态规划方程得郅最优控制力 然后求解与平均n 6 方程相应的f o k k e r p l a n c k k o l m o g o r o v f p k 方程得未控和已控系统得响应与性能 数值结果表明第二种控制策略比第一种控制策略更有效 关键词 车辆悬挂系统 随机振动 随机平均法 随机最优控制 随机动态规划 a b s t r a c t t h el q gc o n t r o lb a s e do ne q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o na n dt h en o n l i n e a rs t o c h a s t i c o p t i m a lc o n t r o l b a s e do nt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o df o rs u s p e n s i o ns y s t e m so f v e h i c l e sw i t hh y s t e r e t i ce l e m e n ta r es t u d i e d f i r s t t h em e t h o do f e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o n i su s e dt od e r i v et h ee q u i v a l e n tl i n e a re q u a t i o na n dt h eo p t i m a lc o n t r o ll a w sa r eo b t a i n e d b yu s i n gs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r yb a s e d o nf u l ls t a t ei n f o r m a t i o n t h er e s p o n s e s o fc o n t r o l l e da n du n c o n t r o l l e dv e h i c l e sa l ee v a l u a t e df r o ms o l v i n gl y a p u n o ve q u a t i o n s e c o n d ah y s t e r e t i cf o r c ei sr e p l a c e de q u i v a l e n t l yb yan o n h y s t e r e t i cn o n l i n e a rr e s t o r i n g f o r c ea n dan o n l i n e a rd a m p i n gf o r c e a na v e r a g e di t 6s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a e q u a t i o ni s d e r i v e df r o mt h ee q u i v a l e n tn o n l i n e a rs y s t e mb y u s i n g t h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o d a d y n a m i c a lp r o g r a m m i n ge q u a t i o ni s s e tu pf o rt h ee r g o d i cc o n t r o lp r o b l e mo ft h e a v e r a g e ds y s t e m t h eo p t i m a lc o n t r o lf o r c ei sd e t e r m i n e df r o ms o l v i n gt h ed y n a m i c a l p r o g r a m m i n ge q u a t i o n t h er e s p o n s e s o fc o n t r o l l e da n du n c o n t r o l l e dv e h i c l e sa r e e v a l u a t e df r o ms o l v i n gf p k e q u a t i o na s s o c i a t e dw i t ha v e r a g e di t 6e q u a t i o n n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wb e t t e re f f e c t i v e n e s so f t h es e c o n dc o n t r o ls t r a t e g yt h a nt h ef i r s to n e k e yw o r d s v e h i c l es u s p e n s i o ns y s t e m r a n d o mv i b r a t i o n s t o c h a s t i ca v e r a g i n g m e t h o d s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l s t o c h a s t i cd y n a m i c a lp r o g r a m m i n g 浙江大学硕士学位论文 绪论 车辆振动是影响车辆性能的重要因素 这种振动不仅大大降低了车辆的行使平 顺性 也影响其操纵稳定性 并引起人们不舒适 悬挂系统则是车辆减振的主要手 段 传统的被动悬架系统由弹性元件和阻尼元件组成 其特性参数不能随车辆运行 工况及激励的变化而进行调节 由于这种固有的缺陷 被动悬挂减振性能很有限 主动悬挂则由于其优良的减振特性而受到e t 益广泛的重视 与传统的被动悬架相比 主动悬架的最大优点是具有高度的自适应性 悬架的动态特性在车辆运行中能任意 变更和进行调整 以满足不同的要求 1 4 1 车辆振动主动控制是当前世界各国瞩目的研究方向 国外工业发达国家不惜花 巨额资金进行研究 而国内的研究则刚刚起步 国外的研究以理论为主 同时结合 少量的原理性实验来检验理论分析的结果 一些著名的汽车公司已开始在样车上试 验简单的主动悬架系统 以求早日将理论成果商业化 f 5 1 随着汽车性能的提高 轻量化和高速度的发展 这种要求就更加迫切了 汽车 是个复杂的振动体 不但结构复杂 而且存在多种非线性f 6 j 在进行结构动力学分 析或计算时 需合理地选择一个动力学模型 使之内部特性尽量接近实际情况 d h r o v a t 口 在他的文章中系统地提出了路面激励模型和二分之一车辆模型和四分之 一车辆模型 在车辆的随机最优控制方面 s n a r a y a n a n 舢1 1 做t c a n 究的工作 他将等效 现性化法应用于单自由度和二自由度车辆模型 首先用等效线性法德到等效线性系 统方程 通过最优控制理论得到最优控制力 然后通过求解l y a p u n o v 方程得到末控 和已控系统的响应与性能 结果比较好 等效线性化是用一个等效的稳定的线性系 统来代替原非线性系统 而在稳定的系统中不可能发生本质的非线性现象 从而不 可能使等效线性系统与原非线性系统在响应性态上完全相似 因此 等效线性化法 的一个严重的缺点是它不适应于存在本质非线性现象的非线性系统 本文将基于随机平均法 1 2 l 的非线性随机最优控制策略 1 3 1 4 应用于车辆振动控制 1 5 1 6 首先滞迟力代之以等效的非线性恢复力与非线性阻尼力 应用随机平均法得 浙江丈学硕士学位论文 到关于系统总能量的平均i t 6 方程 通过求解平均系统的遍历控制问题的动态规划 方程得到最优控制力 然后求解与平均n 6 方程相应的 f o k k e r p l a n c k k o l m o g o r o v f p k 方程得未控和已控系统得响应与性能 并与等效线 性化法作了比较 数值结果表明所提出控制策略的有效性 浙江丈学硕士学位论文 第一章车辆悬挂系统非线性随机振动控制概述 车辆悬挂系统 车辆振动是影响车辆性能的重要因素 这种振动不仅大大降低了车辆的行使平 顺性 也影响其操纵稳定性 因此 在车辆悬架设计中 除了考虑支承车体及其承 载物的静载荷外 重点通常放在改善车辆的行使平顺性和操纵稳定性上 但车辆行 使平颂性和操纵稳定性对悬架系统的要求是相互矛盾的 因此设计悬粲时就必须有 所选择 进行一定的折中 悬挂系统则是车辆减振的主要手段 传统的悬架系统由弹性元件和阻尼元件组 成 其特性参数不能随车辆运行工况及激励的变化而进行调节 且诸元件工作时不 耗动力 这种悬架系统通常称为被动悬架 被动悬挂有以下两个主要缺陷 1 悬架元件仅对局部的相对运动作出反应 且受到悬架静挠度与系统固有频率 之平方成反比的约束 从而限制了悬架参数的取值范围 2 悬架参数不能随车辆运行工况及激励的变化而进行调节 被动悬挂由于这两个本质上的缺陷 限制了悬架性能的进一步提高 首先 由 于悬架参数的取值范围很小 加之行使平j 嚷往和操级稳定性对参数的矛盾要求 即 使采取优化设计的方法也难以得到令人满意的结果 第二个缺陷则使得车辆的行使 平顺性在很大程度上取决于路面条件 载荷 车速等因素 因此优化设计的结果也 只能对特定的激励产生最优响应 一旦激励变化 悬架性能便不再为最优 实际车 辆运行工况及激励变化范围非常大 很难选定一个合理的激励作为输入 因而失去 了应用优化设计的意义 为了克服被动悬架的缺陷 人们采取了各种措旌 如采取非线性变刚度弹簧和 车辆高度调节装置等 虽取得了一定的效果 但并不能从根本上消除这两个缺陷 近年来 由于随机最优控制理论的引入 提出了主动悬架的概念 这为彻底地改进 悬架性能提供了一条新的途径 浙江人学硕士学位论文 主动悬挂则由于其优良的减振特性而受到日益广泛的重视 与传统的被动悬架 相比 主动悬架的最大优点是具有高度的自适应性 悬架的动态特性在车辆运行中 能任意变更和进行调整 以满足不同的要求 此外 主动悬架在完成减振 隔振的 同时 在车辆应用急制动 起动和转向时 还可以实现对车体运动姿态的控制 以 减小车辆的点头 后坐和侧倾 这对装用柔软悬架的轿车和高速赛车具有很大的意 义 1 1 7 1 9 3 6 二随机控制理论发展概况 随机控制系统的量测量和被控量都是随机过程 因此 随机控制理论的发展是 与随机过程理论的发展密切相关的 随机过程理论产生于2 0 世纪初期 是为适应物 理学 生物学 通信与控制等方面的需要而逐步发展起来的 最初在布朗运动 电 话信息量和电子管的散粒效应噪声等问题的研究中取得成果 1 9 3 1 年 k o l m o g o r o v 奠定了随机过程的数学理论基础 1 9 5 3 年 d o o b 的著作论述了随机过程的数学理 论 以后 有关随机过程理论和应用的著作大批出现 并取得丰硕成果 1 9 5 1 年 k i t o 发表了 论随机微分方程 一文 随后 对随机微分方程的研究受到了广泛重 视 并渗透到很多领域 随机过程的研究和发展 为随机控制的发展提供了理论基 础 2 0 1 n w i e n e r 和k o l m o g o r o v 发展起来的滤波和预测理论 使从信号加噪声的观测 中抽取有用信号成为可能 这是随机控制理论的一个重要基础 有重大理论价值 但由于w i e n e r 和k o l m o g o r o v 理论需要求解一种难于求解的积分方程 维纳 霍普夫 方程 所以未能得到广泛应用 1 9 5 6 年p a n t r y a g i n 提出了极大值原理 1 9 5 7 年r b e l l m a n 提出的动态规划法 以及1 9 6 0 年r e k a l m a n 提出的滤波和预测理论使自动控制理论有了重大突破 1 9 6 0 年在美国的自动控制第一届联合会上 首次提出了 现代控制理论 这一名称 标 志着现代控制理论的正式产生 而这些理论与随机最优控制直接有关 数字计算机的广泛应用大大加速了随机控制理论的发展 r e k a l m a n 和 浙江大学硕士学位论文 r s b u c y 在1 9 6 0 年提出了求解滤波和预测问题的递推算法 对滤波和预测理论作 出了特殊贡献 求解随机控制问题紧密地依赖于动态规划的概念和方法 1 9 6 1 年 e d j o s e p h 和j t t 0 u 提出了分离定理 根据分离定理可把线性随机控制问题分为两 部分分别求解 一部分是状态估计器 另一部分是求解最优控制策略 还可以证明 对线性系统的线性控制 随机最优控制策略与确定性最优控制策略是相同的 这就 是确定性等价原理 自校正自适应控制和模型参考自适应控制的发展 丰富了随机控制内容 使之 得到更广泛的应用 随机控制理论对于具有集中控制器和状态完全能观测的线性系统已经具有相当 完善的理论 几十年来 随机控制理论在很多领域已有广泛和成功的应用 随机控制理论既有广阔的应用前景 也有很多富有挑战性的研究课题 自动控 制理论的传统模型已不能满足要求 应向非线性 随机 分布参数模型等更广的范 围扩展 实际系统很少是线性的 高度非线性对象更是如此 因此 这种系统的非 线性滤波器和非线性信号处理器的数字实现 可同时辨识未知参数和系统的自适应 随机控制就成为重要而困难的研究课题 在许多实际随机控制问题中 传感器和控 制器都受所处位置噪声的干扰 在处理这类因素或分散式随机控制问题时 还缺少 模型 概念体系和分析方法 这也是重要的具有挑战性的研究课题 到目前为止 尚未解决兼顾优化和状态估计的集成控制律闯题 从而影响了随机控制的进一步发 展 这又是个重要的研究课题 以状态空间模型为例 完整的随机控制系统如图1 1 所示 图中各部分及有关 问题都是随机控制理论的研究内容 具体包括下列各部分 图1 i 随机控制系统 浙江大学硕士学位论文 1 分析动力学系统和系统变量的统计特性 f 2 系统辨识和参数估计 3 状态变量的估计 f 4 最优随机控制 完整的随机控制系统包括上述各个部分 但具体的随机控制系统不一定都包括 每一部分 某些部分可能变得简单一些 如有的系统可通过理论计算 而不需用复 杂的试验辨识方法来得到系统模型 2 l 三车辆振动控制 为了提高车辆的安全性和乘坐舒适性 为汽车悬架系统设计一套好的控制方法 在汽车工业领域己进行了广泛的研究 良好的车辆悬架系统可以有效地降低由于路 面不规则激励造成的过大的车体加速度 使之具有良好的乘坐质量并能够维持良好 的可操作性 有关随机激励下减振装置的优化问题 主要研究 1 以线性无源元件构成的减 振装置的最优参数设计 比如弹簧 阻尼器等 2 在以无源元件或有源元件减振的 前提下 研究如何求得减振装置的最佳传递函数 2 2 隔振是振动控制中研究最多 应用最广的一项振动控制技术 它是在振源与系 统之间采取一定措施 安置适当制振 隔振器材以隔离振动的直接传递 其实质是 在振源与系统之间附加一个子系统 隔振器 隔振分为被动隔振和主动隔振 被动 隔振是在振源与系统之间加入弹性元件 阻尼元件甚至惯性元件以及它们的组合所 构成的子系统 主动隔振则是在被动隔振的基础上 并联能产生满足一定要求的作 动器 或用作动器代替被动隔振装置的部分或全部元件 1 1 被动隔振器结构简单 易于实现 经济性好 可靠性高 但控制效果和适应性 较差 随着科学技术的发展 以及人们对振动环境 对产品与结构振动特性的要求 越来越高 被动隔振器在很多方面已很难满足要求 因此 除了在被动隔振器的研 究领域继续探讨更为有效的隔振方案外 还应对主动隔振器开展深入研究 浙江大学硕士学位论文 振动主动控制系统由以下几个环节组成 f 1 受控对象 是控制对象一产品 结构或系统的总称 2 作动器 也称为作动机构 它是一种能提供作用力 或力矩 的装置 3 控制器 它是主动控制系统中的核心环节 由它实现所需的控制律 控制律 就是控制器输入与输出之间的传递关系 4 测量系统 包括传感器 适调器 放大器乃至滤波器等将受控对象的振动信 息转换并传输到控制器输入端的各个环节 5 能源 它是用来供给作动器工作所需的外界能量 与作动器形式相对应的有 液压油源 气源 点源等 6 附加子系统 这是附加的控制子结构或子系统的总称 不是任何的振动主动控制系统都必须有附加子系统 但是前面五个环节却是必不可 少的 1 9 3 7 近2 0 年来 振动主动控制的研究已从航天工程扩展至其它各工程领域 吸引了 越来越多的从事力学 控制 计算机及材料等科学的研究人员 促进了这门交叉学 科的发展 浙江大学硕士学位论文 第二章能量包线随机平均法 应用随机平均原理可以证明 在一定的条件下 线性或非线性动态系统对随机 激励的响应可以用扩散过程来近似 这个近似扩散过程的f p k 方程的漂移与扩散系 数可由给定动态系统的运动方程经适当的随机平均 或随机平均连同对时间的确定 性平均 得到 求解这个平均后的f p k 方程就可以得到原系统响应的近似统计量 这就是随机平均法 在随机振动中获得应用的有三种 标准随机平均法 f p k 方程 系数平均法和能量包线随机平均法 本节只介绍本论文中用到的能量包线随机平均 法 2 3 1 一 白噪声激励下非线性系统的能量包线随机平均法1 1 2 考虑在白噪声激励下的非线性系统 6 h x j o u x e 1 2 弼 r 一7 2 色 f 2 1 其中u x 1 是关于x 的奇函数 作如下变换 x x x s g n x 4 2 a 一2 u x 2 2 其中s g n x 为关于x 的符号函数 a 为总能量 u x 为系统的势能 即 a 丢膏2 u x u x r z a z 2 3 由于随机激励与阻尼均小 总能量a 是一个慢变量过程 可用一个平均i t 6 随机微 分方程近似描述 d a m a d t c r a d b t 2 4 式中的漂移系数和扩散系数可按下式得到 m a 一占 占 2 5 浙江大学硕 学位论文 其中 0 2 a 占 2 6 g x 4 2 a 2 u x g 压再面两 2 7 以对x 的平均代替对时间平均 q h 抓胪击r 志衍 亿s 式中的口为对应于能量a 的幅值 即 口是方程a u a 的解 t 为系统的准周期 由无阻尼下的自由振动方程求得 r 4 t i 4 4 r 面禹丽捌 o o o 在白噪声激励下 激励的谱密度为常数 互相关系数为零 自相关系数为 则方程 2 5 和方程 2 6 可以化为 d r 万 f 附m 去r 瞰m 盎坶 碱 以a 寺r 酗2 k 2 4 2 a 2 u x d x 二 菲白嗓声激励下非线性系统的能量包线随机平均法仁4 j 2 9 2 1 0 2 1 1 2 1 2 r o b e r t 提出了在宽带随机激励下的能量包线随机平均法 c a i t 2 4 1 作了推广 考虑一般的具有非线性恢复力的振动系统 其运动方程为 s h x 膏 z 一7 2 x 岩 r 2 1 3 其中茧 f 为平稳随机激励 相关函数为 e 屿 f 磊o f f 2 1 4 浙江大学硕士学位论文 令 s g n x 歹刁巧 4 x c o s o 岩 一 示s i n 巾 o 中 2 z c 2 1 5 系统 2 1 3 可以转化为两个关于能量过程a f 和相位过程巾 f 的一阶的微分方程 人 s 至劢 a p s i n s 1 7 2 示s i n a 中 白 2 1 6 面 e h a 一 c o s e o u c a s 中中 筹乃 蛐 彭 f 2 1 7 其中由转换规则 2 1 5 通过对矗 j o u x 岩 和f x j o 用人和巾替换 和2 可 得到厅 a 中 u a 巾 和八a o 方程 2 1 6 和方程 2 1 7 表明了能量过程a f 是慢 变量 但是相位过程 f 不是 能量过程a r 可以近似为一个m a r k o v 过程 并且是个慢变过程 对其 2 1 6 作 平均 得 d a m a d t x a d b t 2 1 8 其中 m 唰瓜s i i l 州枷 如 垒警 姒咖刚 毫擎驰w r 一 2 1 9 仃2 a 占 2 2 0 式中 岛2 一瓜s i n a 叫 驴一面1 c o s 畅 人 哟 2 2 1 首先考虑对时间的平均 从无阻尼自由振动入手 振动方程为 宫 甜 x 0r 2 2 2 1 浙江大学硕 e 学位论文 自由振动的周期t 由方程 2 9 给出由能量a 觉得其大小 对于指定的能量a x t 和工 f 为周期为t 的函数 在一个周期0 t t 时可以求解方程 2 2 2 得到爿o 和 z f 的解析解和数值解 由此 在一个准周期内 对函数f a 的时间平均为 7 1r f a o a t 亍1r f z 2 d r 2 2 3 现在可以对式 2 1 9 和式 2 2 0 中的漂移系数和扩散系数时间平均 对于式 2 1 9 1 中的第一项 表示在单位时间内 阻尼力产生的能量耗散 可得 t 专r 痢 戈 衍 2 2 4 式 2 1 9 中的剩余项的时间平均可以写为一般的形式 2 l r r d r 2 2 5 其中的墨和e 是a 和m 或x 和戈的函数 对于给定的x 和j 为周期 的函数 这 样 e 0 f 和e f 可以展开为傅立叶级数 f d t r 畔s i n n c o r t r c 1 c o s n c o r t r 2 2 6 h l e f c 5 2 蚪s i n n o r t c 2 c o s n o r t 2 2 7 n l 具甲f o t 2 x t 系数矗 砖 和屯 f 1 2 表达式为 矗 亭r f f 班 亭r e x r j 明出 s f f 吾r 鼻 f s i n n o r d t 知f d x 吐岩 明s i n 坼西 i 一 亍2r e f c s n c o r d t 吾r f x f 岩 f c o s n o t 出 这样可得式 2 2 5 的时间平均 享r e f r e r 出 2 2 8 2 2 9 2 3 0 浙江大学硕士学位论文 卅髫 丢喜似 卅q 2 c s 嘶r 西2 十 2 西 s i l l n o r z 2 3 1 将式 2 31 代入式 2 2 5 得 丌 1 2 中字 o 石善 胖 删2 嘲 吲 j 一 2 甲旁 h o o d 其中巾2 缈 和甲2 珊 定义为 中宁 土r 如 c o s c o r 如 石 甲窘 圭 咖i n 国r 如 厅 同样地 式 2 2 0 可以通过下式来计算 2 r c c 5 1 c 5 2 妒 o 万 砖 j 2 以 矗2 譬 n o g r n l 霹 一 2 以 p n c o 其中 譬 脚 和甲嚣 定义为 中趴咖去 驰 c o s e o t 咖 甲妒 咖去e 驰 s i n 训r 2 3 2 2 3 3 a r 2 3 3 b 2 3 4 r 2 3 5 a 2 3 5 b 在t 的情况下 甲铲 0 并且m 蜜 国 m g 西 是氕 f 的谱密度 通过式 2 2 4 式 2 3 2 和 2 3 4 n 可求得在给定能量a 下的漂移系数和扩散系数 可以得到支配转移概率密度p 五 ti 凡 t 的f p k 方程 浙江大学硕上学位论文 害 刍 小圭蒉呦m 平稳概率密度p 五 则是由求解下列简化f p k 方程得到 斋m 铆 一吉斋 铆 o f 2 3 6 2 3 7 浙江大学硕十学位论文 第三章车辆悬挂系统的被动控制 振动被动控制也称为无源控制 振动被动控制由于不需要外界能源 装簧结构 较简单 易于实现 经济性与可靠性好 在许多场合下减振效果满意 已广泛地在 各个工程领域中得到应用 主要研究 1 以线性无源元件构成的减振装置的最优参 数设计 比如弹簧 阻尼器等 2 在以无源元件减振的前提下 研究如何求得减振 装置的最佳传递函数 2 2 l 动力学模型 作为初步研究 考虑d h r o v a t 7 1 提出的车辆单自由度模型 如图3 1 所示 车辆 与路面间的悬挂系统由线性阻尼 滞迟部件及弹簧部件并联而成 系统的绝对运动 方程为 图3 1 单自由度非线性车辆模型 聊p c 矿一五 口 i 1 一向 1 一a k z 0 3 1 式中y 为车辆重心的绝对垂直位移 m 是车辆质量 c 为线性阻尼系数 k 为刚度 系数 h 表示路面不平度 z 为滞迟位移 a 为屈服后与屈服前刚度比 引入车辆 浙江大学硕士学位论文 重心与地面问的相对位移 则系统运动方程 3 1 变成 膏 2 阮一 积 1 一盯 簖z 一片 3 2 式中 女 柳为固有频率 f c 2 m c o o 为阻尼比 按b o u c w e n 模型口 6 1 滞迟位移由下列一阶非线性微分方程支配 2 互窖一 岩 z 一 戈j z z 3 3 式中a h 声 y 为滞迟参数 多与y 控制滞迟回路的形状 4 支配强度和刚度 n 决定从弹性区到塑性区过渡的光滑性 适当的选取这些参数 可给出具有各种能 量耗散能力 渐软与渐硬的滞迟系统 考虑轮胎和路面的接触 假定路面不平度h 为一维均匀随机场 h a r r i s o n 和 h a m m o n d 2 7 1 给出了车辆模型在空间领域的激励 j 的二次滤波形式 厅 5 占 叩 j e q h s f w s 3 4 其中 表示关于s 的一阶微分 j 表示车辆沿着路面的行程 式中 行为常参数 f 卵仃 2 s 盯为路面不平度标准差 w s 为关于于空间函数单位强度g a u s s 白 噪声 研 是 矽 函 8 s 2 一s 1 研 表示求期望 s 为时间的函数 假使车辆以匀速矿运动 则i f v 注意到 警 去等 古等 则方程 3 4 可写为 蠢o 矿 s 刁 磊 r 矿2 9 r l h t 矿2 r f 矿0 3 5 其中的占 s 乞 矿 s 艿 s 也 一s t o 0 为关于时间的单位强度g a u s s 自噪 声 方程 3 5 表明 路面不平度激励矗o 可看成一个二阶线性滤波器对g a u s s 白噪 声的平稳响应a 由于矿o o 等效于 r 矿 f 2 引 方程 3 5 变成 矗 f 矿 占 7 7 再 f 矿2 e r l h t 矿3 7 2 r 矿 3 6 浙江大学硕 学位论文 由 3 6 可导出路面不平度的谱密度 瓯 瓦1 丙百丽i v 3 矿f 2 丽 而h t 的谱密度为 s c o 0 3 4 s 细 图3 2 和图3 3 给出了两种速度矿下的谱密度 频率 图3 2 激励谱密度 一v l o m s 矿 1 5 m s 其他参数 占 0 2 r a d m q 2 o r a d l m 玎 3 嘲2 3 7 3 8 浙江大学硕士学位论文 频率0 图3 3 激励谱密度 一一占 o 2 r a d m 占 o4 r a d m 其他参数 y 1 5 r r g s r 2 o r m m 仃 3 m m 2 二基于等效线性化的被动控制 1 等效线性系统 等效线性法又称为统计线性化法 或随机线性化法 是工程中应用最广泛的预 测非线性系统随机响应的近似解析法 该方法的基本思想 是用一个具有精确解的 线性系统代替给定非线性系统 使两方程之差在某神统计意义上为最小 等效线性化灼一个重要丽较为成功的应用是预测滞迟系统的随机响应 c a u g h e y 2 9 l 苜先在响应为窄带随机过程 响应位移可用具有慢变幅值与相位的余弦 表示的假定下 将等效线性化法应用于双线性滞迟系统对白噪声激励的响应分析 应用等效线性化法于滞迟系统随机响应预测的另一种处理方法 将位移响应表 示成一个低频的漂移与一个随机过程之和 对后一分量所满足的非线性微分方程应 用等效线性化法 即用一个当量线性弹性元件代替非弹性的恢复力 用当量粘性阻 浙江大学硕士学位论文 尼元件表示滞迟能耗 其结果与数字模拟估计相当一致 四1 一般的多自由度非线性系统的运动方程描述为 m x c x k x g x 莉 f f 3 9 其中x 是包括滞回位移z 的状态向量 g x 文 是系统的非线性部分 运动方程 3 9 可用如下的等效线性系统代替 m x c 文 k x f f 3 1 0 其中 c c c k k k 3 1 1 c 和k 分别表示线性阻尼及刚度矩阵 c 和k 分别表示等效阻尼及刚度矩阵 为 使 3 1 0 成为 3 9 的最佳等效线性系统 需令两方程之差 e g x x 一c x k x 3 1 2 的均方值e e 7 e 为最小 3 0 若激励为高斯矢量随机过程 则等效线性系统的非平稳 响应也是高斯过程 在这样的条件下 等效参数形式上可表示为 c e a g a x k g 趣 o x 3 1 3 3 1 4 现将等效线性化法应用于车辆单自由度的滞迟系统 方程 3 1 和方程 3 3 的等 效线性的系统方程为 y 2 c o o y h 口 一h 1 a c o o z 0 3 1 5 2 p 一 吒z 0 3 1 6 其中c h 和吒为等效参数 由方程 3 1 3 和方程 3 1 4 n j 得等效参数为 2 x r e a t 1 a x 盹卜a 3 1 7 颤 压万 f l e 2 z i a z n 1 3 一1 8 路面不平度激励 r 可看成一个二阶线性滤波器对g a u s s 白噪声的平稳响应 为了应用等效线性化 方程 3 5 可以写成两个一阶的方程 浙江大学硕士学位论文 如 r 嘎 鹰o 一矿 节 岛0 v 2 e q h t v v g s t r 3 1 9 3 2 0 2 状态矢量方程和系统响应 定义一个状态向量x x 2 墨 x 4 墨 其中葺 y 如 p 邑 z x 4 岛 墨 吃 则等效线性的系统方程 3 1 5 与方n 3 1 6 以及路面激励 3 1 9 和 3 2 0 n 写 成状态向量方程 x d f x f d w 3 2 1 其中 f 01000 一a w 2 2 c o o a 一1 西口簖2 c o o v 0 一c h一吒0c h v oo00v 000 一v s r l v e 军 d o 00 0 节口拒万r 方程 3 2 1 存在唯一的均方解 x i f t o x o l m o j d w a s 3 2 2 f 3 2 3 3 2 4 式中o t t o 为与f 相应的n 玎基解矩阵 它是一个确定性的矩阵 具有如下性质 1 m 毛 t o 2 t 1 t 2 f m r 2 m t o 因此 m f t o 亦称为状态转移矩阵 3 o t t o 满足齐次方程由 t o f m t o 系统为时不变系统 f 为常数矩阵 方程 3 2 4 j l 解为 o t t o o t t o e 9 式中 浙江大学硕 卜学位论文 e f r 砉竿 uj 称为矩阵指数函数 假定初始条件与外激励无关 由方程 3 2 4 易得响应的平均矢量与相关矩阵 e x r m f t o e x o f 西 r s e d w s 胁 3 2 5 r x 岛 e x x 岛 m t o e x o x o m 7 t 2 t o e 西 s 1 r w s 2 0 7 t 2 s 2 a s l d s 2 3 2 6 若系统为时不变的 d w t 为白噪声 强度为q 则 e x i p 即一 目x o 3 2 7 r x x i t 2 e f o t o e x o x o e r 广 叫q t e g r q r d f 3 2 8 令 t 2 t 可由式 3 2 7 和式 3 2 8 得方差矩阵 若系统是渐进稳定的 矩阵f 的特征值都具有负实部 在r o o e x o 卜 0 p f e x f x l f 卜 常数矩阵 现在看方差矩阵所满足的微分方程 为简单起见 假定初始条件为零 激励的 平均矢量亦为零 从而日x i o 1 0 由式 3 2 1 和式 3 2 4 可得 方差矩阵 p e x f x f 满足的微分方程为 p f e x o x r 研x r 文 f f p t p t f 7 垂 f 垂7 f 3 2 9 式中 m f e d w f x e d w r 西 j d w j 凼 7 r f f j 巾7 r 5 a s 3 3 0 浙江大学硕士学位论文 方差矩阵 lx 1 x 1 fx 2 葺 p e i 墨五 lx 4 l 砖一 五 t 乇 屯 确屯 鼍恐 而鼍 而墨 墨墨 x 4 x 3 而为 x 4 而 b 托 托 x 5 x 4 x 5 屯 x 3 砖 x s x x 5 可见 只要知道基解矩阵m f t o 与激励的相关矩阵 即可通过解方程 3 2 9 得方差 矩阵 这里激励与响应都可以是非平稳得 假定实际激励为m 维矢量随机过程w t 则方程 3 2 9 q um o 化为 m f j o d r w t s d 中7 t s d s 3 3 1 当激励d w t 是白噪声时 f q 占 r 系统是时不变的 则 m f m 7 0 q 7 1 2 3 3 2 方程f 3 2 9 可化为 p f f p o p f f q 3 3 3 对于本文所研究的激励w t 是强度矩阵为q 的白噪声 则 3 3 3 式化为 p f p f p f f 7 d q d 3 3 4 式 3 3 3 和式 3 3 4 有时称为微分李亚普若夫方程 假定系统是渐近稳定的 对平稳激励存在平稳响应 则 p t 0 式 3 3 3 和式 3 3 4 分别化为下列代数李亚普若夫方程 fp pf q7 o 3 35 与 f p p f d q d 0 3 3 6 因此 在白噪声激励情形下 不必求基解矩阵 可直接求解微分或代数李亚普 浙江大学硕士学位论文 若夫方程得到方差矩阵 在求解方差矩阵的过程中 由于等效参数 和h 包含未知 的系统响应的统计量 所以要先给定一个初始值 然后通过迭代求解方程 3 1 7 方 程 3 一1 8 以及方程 3 3 5 或 3 3 6 得到系统响应的统计量 再由方程 3 3 5 着1 方程 3 3 6 求得方差矩阵p 后 就可以求得悬挂质量的垂直加 速度的均方响应值为 e l f 2 e 2 c o o y 一 z a c o o y 一厅 1 一a o j 0 z 2 由状态向量方程可知e 2 研 耳 f 2 f x l f 2 则绝对加速度的均方响应值 为 55 e f 2 f 2 i f 2 j p v 3 3 7 i i l 以及相对位移的均方值e x 2 研 一五 2 同样由状态向量方程可知 e x 2 e 五一x 4 2 所以相对位移的均方值 e x 2 p l l 一2p 1 4 p 3 3 8 3 数值结果与比较 对如下几组参数值作了计算 以比较系统响应在不同系统参数下随速度的变化 情况 图3 4 和图3 5 中给出了三个不同固有频率 5 s 1 0 s 1 3 t 1 5 s 下的系统 绝对加速度与相对位移的均方响应的比较 其他参数值为 f 0 0 5 口 0 2 a l h l 卢 0 5 y 0 5 路匾参数tg o 2 r a d m 砰 2 o r a d m 盯2 9 o m m 2 浙江大学硕士学位论文 图3 4 不同固有频率下绝对加速度均方响应e 产 图3 5 不同固有频率下相对位移均方响应e x 2 图3 6 和图3 7 给出t 个不同阻尼比f 0 0 3 o 0 5 2 2 0 0 7 下的系统绝对加速度与 相对位移的均方响应的比较 其他参数为系统参数 c o o 1 0 s 口 0 2 a 1 1 0 5 0 5 路面参数 占 0 2 r a d m 7 2 0 r a d m 盯2 9 0 r a m 2 浙江大学硕士学位论文 0 3 5 e x 2 0 3 0 2 5 0 2 0 1 5 o 1 0 0 5 o 速p 嚏o m s 图3 6 不同阻尼比下绝对加速度均方响应e p 2 05 1 01 52 02 5 3 0 速度 m s 图3 7 不同阻尼比下相对位移均方响应e x 2 浙江大学硕士学位论文 三基于随机平均法的被动控制 1 等效非滞迟非线性系统 滞迟力不仅依赖于现时位移 还依赖于位移历史 乃由非线性弹性恢复力与非 线性阻尼力藕合而成 为便于应用随机平均法 宜以等效的非线性弹性力与非线性 阻尼力代替滞迟力 1 5 2 3 1 从而方程 3 2 变成 2 昏c o o 2 h x o u o x 一5 f f 3 3 9 式中u 己 是系统势能 矗 i c 2 2 u x 为系统总能量 等效非线性阻尼系数 2 2 瓦爵c 焉o o a r 2 u x 一 c 3 4 0 2 e 2 一 7 其中4 为滞迟洄线所包围的面积 表示振动一周滞迟部件所消耗的能量 口为位移 幅值 由h u 口 确定 分区积分式 3 3 可得z z z 进而可得u x 与a r 的表达式 例如 当 吣 霹如2 两 c t x x o l f l p 忡 删 3 4 l a l 吣卜冀1 窖 1 t 1 r m 一y f l p 4 i r i i 筹 一 功 邯胁 v 叫 u z 簖 三2 a x 2 三2 1 一a d 而 2 一a x s 一矗 夕 吣 面 耐 专 1 训 1 e m m l 一x osx t 2 声 吣 瑶 扣 害 可1 6 t 妒2 m 一也 岣 由 嘲 m m 叫 浙江丈学硕士学位论文 吣 簖哇群 可i c x x o l n l 2 m 3 4 1 f 一x o 玉x d r 一卢 4 1 南 卜州矿眠 南旷 舢帅l l 3 4 2 a y 4 1 一口 2 7 一 稃一x o 2 y 4 1 一g 2 t y a x o 2 y 一 3 4 2 b f 3 4 2 c 式中x 0 为残余位移 在给定h 值下 因为日 u 口 u 口 可得到求解a y e n x o 的 大小的方程表达式为 f 1 e 7 一晰一匈 够一f 1 e 一 7 x 蛐 2 y y p 3 4 s a 2 y a x o 1 p 2 7 扣 3 4 3 b 2 r a x o 一l e 2 7 一 y 一 3 4 3 c 2h 口霹矿 瑶 1二4 a xo p 仲1 一d 3 44a r f 1 r 一户 2 h 一簖口4 1 司 j 一口 口一x o y 声 3 4 4 b 2 h 一面 2 o 0 一口 口一x d l 2 r 霹 一口 p 2 7 一 一w 4 r 2 y 一声 3 4 4 c 2 随机平均 矗 f 是一个宽带平稳随机过程 对系统 3 3 9 可应用随机平均法 得到关于系统 总能量h t 的平均i t 6 微分方程 d h m h d t a h d b t 3 4 5 式中b f 是标准w i e n e r 过程 舰寺f a t t e s t 的平均 为导出m j 州 与仃 作变换 浙江大学硕士学位论文 r 3 3 9 变成 s g n 爿厕 f f f c o s 力 一2 x 厨s i n q b 3 4 6 h 一 2 4 o o 2 t h 1 2 h s i n 2 f i t 2 孺s i n c d 击 击 2 氨 驯面s i n 嘶s 笔筹 等 应用随机平均法 可得 m n 2 4 c o o 2 s i n 2 中 式中 f 9 1 i f 十r 毒妒 9 2 l f r 考黝即冲 盯2 日 g r 2 日s i n d o g t 面c o s c d 胄 f e 矗o r 后 f 2 f f s 月 o j c s 国f d r 完成对f 的积分与对t 的平均后 得 m 日 一亍2j a 2 锄 2 f h 4 2 h 2 u x d x 式中 要妻 彳 醒 瓯 2 n 一 厶月 1 0 2 h 2 石日 a s a i 2 n 1 c o r o r 2 x t q i 未高f 鼻s i n 2 n 一1 c o r t d t q 2 面j 肌m 劢一 色2 赢f s g 略厕c o s 鼢 1 q f 降 3 4 7 a f 3 4 7 b 3 4 8 a 3 4 8 b 3 4 9 a 3 4 9 b 3 5 0 a 3 5 0 b r 3 5 l a 3 5 l b 3 5 1 c 浙江大学硕士学位论文 7 h 2 f 4 2 h 2 u x d x 3 5 1 d 3 糸筑啊理 关于系统总能量h f 的平均i t 6 微分方程 3 4 5 与之对应的平稳f p k 方程为 一o 台 堋 日 纠 三斋f 日 p 3 5 2 其解为 p 耻丽ce x p r 鬻砂 3 5 3 式中c 为归一化常数 由概率密度可求得绝对加速度的均方响应值e 少 盯 为 2 南f p 酮 h d e 2 2 觎嗡 硼2 厕 高拿泰地 3 5 4 0 u 2 以及相对位移的均方响应值日 2 e l y h 2 一为 2 磺筹 l a 藏x 2 d x 3 s s 4 数值结果与比较 同等效线性化一样 由以上的几个系统响应公式 就可以求系统的在各个参数 下的响应值 比较系统随参数的变化情况 可以选取最优的参数值达到被动控制的 效果 对如下几组参数值作了上述计算 比较系统绝对加速度与相对位移均方响应在 不同系统参数下随速度的变化情况 图3 g 和图3 9 给出了在三种不同固有频率 0 0 8 s 1 0 j 及1 2 j 下的系统响应的比较 其他参数为系统参数 f 0 0 5 口 0 2r a l 1 0 5 o 5 路面参数 占 o 2 r a d m r l 2 o r a d 棚 浙江大学颐士学位论文 盯2 9 o m m 2 o 0 9 0 0 8 e y 2 o 0 7 0 0 6 o 0 5 0 0 4 o 0 3 0 0 2 o 0 1 o e x 2 o5 2 02 53 0 速度v r r g s 图3 8 不同固有频率下绝对加速度均方响应e j 2 速度峻嗍 图3 9 不同固有频率下相对位移均方响应研盖2 图3 1 0 和图3 i i 给出了三种不同阻尼比f 0 0 3 o 0 5 和0 0 7 下的系统绝对加速度 浙江大学硕士学位论文 与相对位移均方响应的比较 其他参数为系统参数 d o l o s d 0 2 a 1 1 0 5 0 5 路面参数 占 0 2 r a d m