（基础数学专业论文）李三系上的非退化的不变双线性型与形心.pdf

摘要 摘要 本文由两部分构成 第一部分 带有一个非退化的不变双线性型的李三系 第 二部分 李三系的形心 关于带有一个非退化的不变双线性型的域k 上的有限维非结合代数的研究是 近二十年来代数研究的一个的主要方面 自对偶的李代数便是这样的一种非结合 代数 李代数与李三系有着非常密切的关系 李代数本身是一个李三系 而一个李 三系又可以嵌入到一个李代数中 因此可以很自然的将李代数中的结果与方法推 广到李三系中 本文拟将李代数的非退化的不变双线性型的性质推广到李三系中 其中三系t 上的双线性型f 的不变性定义为f d 哑a 舢产坟c b a 痧 众 所周知 k i l l i n g 型是研究李三系的一个重要工具 而通过k i l l i n g 型可以对半单李 三系进行刻画 即c a f t a n 准则 李三系半单的充要条件是它的k i l l i n g 型非退化 首先将t r i l l i n g 型的性质抽象出来 即非退化性 对称性与不变性 再研究具非退 化的不变的双线性 第二节首先介绍了p s e u d o m e t r i s e d 三系 即带有一非退化 不变的双线性型 的三系 与m e t r i s e d 三系 即带有一非退化的对称不变双线性型的三系 的概念 接下来给出了理想的正交结构及同态性质 最后证明了 反 交换的p s c l l s o 删s c d 三系一定是m e t r i s e d 三系 特别的p s e u d o m e 仃i s e d 李三系一定是m e t r i s e d 李三系 在第三节中 我们给出了分解理论 讨论了以下三个问题 三系的不可分解理 想的直和分解的唯一性问题 p s e u d o m e t r i s e d 三系的f 不可分解理想的正交直和分 解的唯一性问题 上述两种分解的关系 第四节主要讨论具有非退化的 对称不变双线性型的李三系的结构问题 即 p s e u d o m e t r i s e d 李三系 t f 上的不变对称双线性型空间分别满足什么条件时 摘要 t 成为单 半单及约化李三系 反之若李三系是单 半单及约化李三系时 其不变 对称双线性型空间具有哪些性质 我们的第二个目的是讨论李三系的形心 在第一节中首先引入三系形心的定 义 三系t 的形心即为乘积代数l r p r 1 在g l t q 的中心化子 与非结合代数单 代数的形心是个域相同 我们证明了单李三系的形心是个域 在第二节中 定义了李三系的s m a l l 形心的概念 并给出可以分解的李三系的 形心是s m a l l 的充要条件 第三节讨论了李三系形心与其标准嵌入李代数的形心的关系 主要结论是李三 系的形心中任意元素可以唯一的定义成为其嵌入李代数形心中的元素 第四节特别指出了m e t r i s e d 李三系 t f 上的双线性型与李三系形心rm 有 着密切的关系 m e t i s e d 李三系 t 中f 对称的可逆元素是一一对应的 退化对称不变双线性型与形心r t 关键诃三 黾三 李三系 双线形型 p s e u d 一m e r i s e d 三系 形j 已 1 l r i 一 f r a b s t r a c t a b s t r a c t ab i h n e a rf o r mfo nan o n a s s o c i a t i v et r i i p l es y s t e m2 i ss a i dt ob ei n v a r i a n t i f f a b e d f a d d f e 6 口却 f o re v e r y8 6 c d t f i n i t e d i m e n s i o n m c o m p l e xs e m i s i m p l e l i et r i p l es y s t e m w i t ht h e i rk i l l i n gf o r m c a r r ys 咖a s t r u c t u r e i na d d i t i o n t i sc a l l e da p s e u d o m e t r i s e dt r i p l es y s t e m i ffi sn o n d e g e n e r a t ea n d i n v a r i a n t i nt h ef i r s tp a r to f p r e s a n tp a p e r w em a i 山i n v e s t i g a t e t h e d e c o m p o s i t i o n t h e o r yo ft r i p l es y s t e m sa n dp s e u d o m e t r i s e dt r i p l es y s t e m s w ca l s oc h a r a c t e r i z e t h ef i n i t e d i m e n s i o n a lm e t r i s e dl i et r i p l es y s t e mb yt h es t r u c t u r eo fn o n d e g e n e r a t e i n v a r i a a ta n ds y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo ni t i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ec e n t r o i do ft r i p l e s y s t e m sa n d t h eb a s i cr e s u l t so ft h ec e n t r o i do fs i m p l et r i p l es y s t e m s i nt h ep r o g r e s s o ft h i sp a p e r t h ed e f i n i t i o nt h a tt h ec e n t r o i do fl i et r i p l es y s t e m i ss m a l li sg i v e a l a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tt h ec o m p o s a h l e l i et r i p l es y s t e mi ss m a ui sd i s c u s s e d i na d d i t i o n w ep u tf o r t ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec e n t r o i do fa l i et r i p l es y s t e m ta n dt h ec e n t x o i do ft h es t a n d a r de m b e d d i n gl i ea l g e b r ao ft f i n a l l y w ed i s c w s t h ep r o p e r t i e so ft h ec e n t r o i do fm e t r i s e dl i et r i p l es y s t e m s k e y w o r d sa n d p h r a s e s t r i p l es y s t e m l i et r i p l es y s t e m m e t r i c e d t r i p l es y s t e m p s e u d o m e t r i s e dt r i p l es y s t e m b i l i n e a rf o r m c e n t r o i d m n o n d e g e n e r a t el n v a r i a mb i l i n e a rf o r m so i ll i et r i f l es y s t e m s 0i n t r o d u c t i o n t h e r ei sn od e n y i n gt h ef a c tt h a tl i ea l g e b r a sa d m i t t i n gan o n d e g e n e r a t ea n d i n v a x i a n tb i l i n e a rf o r m i e s e r f d u a ll i ea l g e b r a so rp s e u d o m e t r i s e dl i ea l g e b r a s i s t h eh o tt o p i ei nt h es t u d yo fl i et h e o r y t h em o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gt h e s ea l g e b r a s c o m e sf r o mt h ef a c tt h a tm e t r i s e dl i eo ra s s o d a t i v e a l g e b r a s h a v es h o w n u p i ns e v e r a l a r e a so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s s e e 1 2 1 s t r u c t u r et h e o r y c o m p a r e dw i t h c a f t a n sc r i t e r i o nf o rt h es e m i s i m p l el i ea l g e b r a i t sn a t u r a lt os t u d yw h a tk i n do f s t r u c t u r et h e o r e m sc a nb ed e r i v e df r o mt h ea l g e b r ac a r t y i n ga n o n d e g e n e r a t e i n v a x i a n tb i l i n e a rf o r m s e e 1 6 l 1 7 1 1 8 1 2 1 1 2 p s e u d o r i e m a n n i a nm e t r i cc a s e e v e r y n o n d e g e n e r a t es c a l a rp r o d u c t o n t h el i ea l g e b r ago faf i n i t ed i m e n s i o n a lr e a ll i e g r o u pg c a nb ee x t e n d e dt oal e f t i n v a r i a n t o rr i g h t i n v a r i a n t p s e u d o r i e m a n n i a n m e t r i co ng s e e i 5 1 3 r e d u c t i v eh o m o g e n e o u ss p a c eg ht o g e t h e rw i t hag i n v a r i a n tp s e d o r i e m a n n i a n m e t r i c 口 s e e 2 0 1 2 8 1 4 m a n l nt r i p l e i nt h e t h e o r y o f t h o s ec o m p l e t e l y i n t e g r a b l eh a m i t o n i a ns y s t e m s s c e 3 1 5 s y m m e t r i cf r o b e n i u s a l g e b r a i nt h et h e o r yo f m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n so ff i n i t eg r o u p s l i et r i p l es y s t e m sp l a ya l li m p o r t a n tp a r ti nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a sa n dl i e g r o u p s i t sw e l lk n o w n t h a tal i ea l g e b r ai sa u t o m a t i cal i et r i p l es y s t e mw h e r e a sa l i et r i p l es y s t e mc o a lb ei m b e d d e di n t oal i ea l g e b r a s e e 2 h e n c ei t s i n t e r e s t i n g t oi n v e s t i g a t et h ea c t i o no fa n o n d e g e n e 譬a t ea n di n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mo na l i e t r i p l es y s t e m h o w e v e r t h es t u d yo n l i et r i p l es y s t e m sa d m i t t i n ga n o n d e g e n e r a t e i n v a r i a n tb i l i n e a xf o r mi sd o r m a n t t h i sp r o b l e mw a sf i r s ta d v a n c e db ym rz h a n g z h i x u ea n dh i ss t u d e n ts h iy i q i a nw h e nt h e yd i s c u s st h er e l a t i o n s h i po fs y m m e t r i c i n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m sb e w c e nal i et r i p l es y s t e ma n di t ss t a n d a r de m b e d d i n gl i e a l g e b r a 8 e e 2 2 1 i nt h ep r e s e n tp a p e r w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ed e c o m p o s i t i o n t h e o r yo ft r i p l es y s t e ma n dm e t r i s e dt r i p l es y s t e m t w ea l s o c h a r a c t e r i z e t h ef i n i t e d i m e n s i o n a lm e t r i s e dl i et r i p l es y s t e mb yt h es t r u c t u r eo fn o n d e g e n e r a t e i n v a f i a n ta n ds y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo ni t f u r t h e r m o r e i tt u r n so u tt h a tj a c o b i i d e n t i t yi sn o tn e e d e d i no i l rs t u d yu n t i l ls e c t i o n4 s ow ed o n tl i m i to u ia t t e n t i o n i nl i et r i p l es y s t e mb e f o r es e c t i o n4 i ns e c t i o n1 w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dc o n c e p t sf r o mt h et h e o r yo fn o n a s s o d a t i v et r i p l es y s t e ma n db i l i n e a rf o r m s m o s to ft h e mc a nb ef o u n di nt h eb o o k so f r s c h a f e r 5 1 n j a c o b s o n 6 1 a n dk m e y b e r g l a n da r t i d e so fm b o r d e m a n n 1 2 1 3 a n dw g l i s t e r 3 1 i l l it i 一 li a d i s s e r t a t i o n f o r t h e d e g r e eo f mso f h e b e i u n i v e r s i t y s e c t i o n2c o n t a i n si n f o r m a t i o no nt h eo r t h o g o n a ls t r u c t u r eo fi d e a l s 1 e m m a2 1 a n ds o m eh o m o r p h i s ms t a t e m e n t s 1 e l n m a2 2 w 毫a l s op r o v et h a ta a i n t i c o m m u t a t i v ep s e u d o m e t r i s e dt r i p l es y s t e mi sm e t r i s a b l e 1 e m m a2 3 a sac o r o l l a r y a p s e u d o m e t r i s e dl l et r i p l es y s t e mo v e ra 1 df i sa u t o m a t i cm e t r i s e dl i et r i p l e s y s t e mi ft h ec h a r a c t e r i s t i co ff i sd i f f e r e n tf r o m2 i ns e c t i o n3 w ei n v e s t i g a t et h ed e c o m p o s i t i o nt h e 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p o s a b l ei d e a l s i e d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m f i n a l l y 矛v e nad e c o m p o s i t i o no f t i n t od i r e c t8 1 1 1 1 1 o fi n d e c o m p o s a b l ei d e a l s w ec a rf i n dab i l i n e a rf o r mgs u c ht h a tt h i sd e c o m p o s i t i o n i sa no r t h o g o n a ld i r e c tq 衄o f g i n d e c o m p o s a b l ei d e a l s w e l l i ns e c t i o n4 w eo b t a i nt h em a i nr e s u l t so nm e t r i s e dl i et r i p l es y s t e m a n yl i e t r i p l es y s t e mt o v e raf i e l dfo fc h a r a c t e r i s t i cz e r oa d m i t t i n gau n i q u eu pt oa c o n s t a n tq u a d r a t i cs t r u c t u r ei sn e c e s s a r i l yas i m p l el i et r i p l es y s t e m t h ef i e l df i sa l g e b r a l l yd o s e d s u c hc o n d i t i o ni sa l s os u f f i c i e n t i na d d i t i o n w ec h a r a c t e r i z e s e m i s i m p l ea n dr e d u c t i v el i et r i p l es y s t e m sw i t ht h en o n d e g e n e r a t e i n v a r i a n ta n d s y m m 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