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第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 15 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 第三章基本知识小结第三章基本知识小结 牛顿运动定律适用于惯性系 质点 牛顿第二定律是核心 矢量式 2 2 dt rd m dt vd mamF 分量式 弧坐标 直角坐标 2 v mmaF dt dv mmaF maFmaFmaF nn zzyyxx 动量定理适用于惯性系 质点 质点系 导数形式 dt pd F 微分形式 pddtF 积分形式 pdtFI 注意分量式的运用 动量守恒定律适用于惯性系 质点 质点系 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零 则质点或质 点系的动量保持不变 即 恒矢量 则 若 外 pF 0 注意分量式的运用 在非惯性系中 考虑相应的惯性力 也可应用以上规律解题 在直线加速参考系中 0 amf 在转动参考系中 2 2 mvfrmf kc 质心和质心运动定理 iiciiciic amamvmvmrmrm c amF 注意分量式的运用 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 16 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 3 5 1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 jttitr 133 16 22 单位 米 秒 求证质点受恒力 而运动 并求力的方向大小 解 jidtrda 6 12 22 jiamF 12 24 为一 与时间无关的恒矢量 质点受恒力而运动 F 242 122 1 2 125N 力与 x 轴之间夹角为 34265 0 arctgFarctgF xy 3 5 2 质量为 m 的质点在 o xy 平面内运动 质点的运动学方程 为 jtbi tar sin cos a b 为正常数 证明作用于质点 的合力总指向原点 证明 rj tbi tadtrda 2222 sin cos rmamF 2 作用于质点的合力总指向原点 3 5 3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛 一方面由筛孔漏出谷 粒 一方面逐出秸杆 筛面微微倾斜 是为了从较低的一边将秸杆 逐出 因角度很小 可近似看作水平 筛面与谷粒发生相对运动才 可能将谷粒筛出 若谷粒与筛面静摩擦系数为 0 4 问筛沿水平方向 的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动 解 以地为参考系 设谷物的质量为 m 所受到的最大静摩擦 力为 mgf o 谷物能获得的最大加速度为 2 92 3 8 94 0 smgmfa o 筛面水平方向的加速 度至少等于 3 92 米 秒 2 才能使谷物与筛面发生相对运动 1 2 3 5 3 题图 3 5 4 题图 3 5 4 桌面上叠放着两块木板 质量各为 m1 m2 如图所示 m2 和桌面间的摩擦系数为 2 m1和 m2间的摩擦系数为 1 问沿水平 方向用多大的力才能把下面的木板抽出来 解 以地为参考系 隔离 m1 m2 其受力与运动情况如图所示 其中 N1 N1 f1 f1 1N1 f2 2N2 选图示坐标系 o xy 对 m1 m2 分别应用牛顿二定律 有 0 0 212222211 111111 gmNNamNNF gmNamN 解方程 组 得 2221211211 mgmgmgmFaga 要把木板从下面抽出来 必须满足 12 aa 即 gmgmgmgmF 12221211 gmmF 2121 m2 m1 F m1g f1 N1 a1a2 N2 N1 m2g F f1 f2 x y 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 17 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 3 5 5 质量为 m2的斜面可在光滑的水平面上 滑动 斜面倾角为 质量为 m1的运动员与斜面之 间亦无摩擦 求运动员相对于斜面的加速度及其对 斜面的压力 解 以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系 非惯性系 设斜面相对地的加速度为 a2 取 m1为研究对象 其受力及运动情 况如左图所示 其中 N1为斜面对人的支撑力 f 为惯性力 a 即人对 斜面的加速度 方向显然沿斜面向下 选如图所示的坐标系 o x y 应用牛顿第二定律建立方程 2 cossin 1 0sincos 1211 2111 amamgm amgmN 再以地为参考系 取 m2为研究对象 其受力及运动情况如右图 所示 选图示坐标 o xy 应用牛顿第二定律建立方程 4 0cos 3 sin 122 221 NgmN amN 1 2 3 联立 即 可求得 g mm mm ag mm mm N 2 12 21 2 12 21 1 sin sin sin cos 3 5 6 在图示的装置中两物体的质量各 为 m1 m2 物体之间及物体与桌面间的摩擦 系数都为 求在力 F 的作用下两物体的 加速度及绳内张力 不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦 绳不可伸长 解 以地为参考系 隔离 m1 m2 受力及运动 情况如图示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 N1 m2g m1 m2 g 在水平方向对两个质点应用牛二定律 amTgmmgmFamgmT 221111 可求得 g mm gmF a 21 1 2 将 a 代入 中 可求得 21 11 2 mm gmFm T 3 5 7 在图示的装置中 物体 A B C 的质量各为 m1 m2 m3 且两两不相等 若物体 A B 与桌面间的摩擦系数为 求三个物体的加速度及绳内的张力 不 计绳和滑轮质量 不计轴承摩擦 绳不 可伸长 解 以地为参考系 隔离 A B C 受力及运动情况如图示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 m2g T 2T 由于 A 的位移加 B 的位移除 2 等于 C 的位移 所以 a1 a2 2 a3 对 A B C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律 2 2 2133 222111 aamTgm amgmTamgmT m1 m2 m1 m2 F f1 N1 m1g T a F N2 m2g T a N1 f1 f2 C AB T f1 N1 m1g a1 T f2 N2 m2g a2 T m3g a3 y N2 a2x N1 N1 m2g x N1 a f m1a2 y m1g 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 18 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 Y Y2 Y1 0 联立 可求得 g mmmmm mmm a g mmmmm mm a g mmmmm mm a 21321 321 3 21321 31 2 21321 32 1 4 1 4 1 2 4 1 2 3 5 8 天平左端挂一定滑轮 一轻绳跨过定滑轮 绳的两端分别 系上质量为 m1 m2的物体 m1 m2 天平右端的托盘上放有砝码 问 天平托盘和砝码共重若干 天平才能保持平衡 不计滑轮和绳的质 量及轴承摩擦 绳不伸长 解 隔离 m1 m2及定滑轮 受力及运动情 况如图示 应用牛顿第二定律 2 2211 TTamTgmamgmT 由 可求得 21 21 21 21 2 2 mm gmm T mm gmm T 所以 天平右端的总重量应该等于 T 天 平才能保持平衡 3 5 11 棒球质量为 0 14kg 用棒击棒球的力随时间的变化如图所 示 设棒球被击前后速度增量大小为 70m s 求力的最大值 打击时 不计重力 解 由 F t 图可知 max03 0 08 0 max05 0 08 005 0 05 00 FFt FFt t t 时 当 时 当 斜截式方程 y kx b 两点式方程 y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 由动量定理 08 0 05 0 03 0 05 0 0 05 0 08 0 0 08 0 maxmax dtttdtFdtvm FF 可求得 Fmax 245N 3 5 12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示 火箭质量为 2kg t 0 时处于静止 求火箭发射后的最大速率和最大 高度 注意 推力大于重力时才启动 解 根据推力 F t 图像 可知 F 4 9t t 20 令 F mg 即 4 9t 2 9 8 t 4s 因此 火箭发射可分为三个阶段 t 0 4s 为第一阶段 由于推力小于重力 火箭静 止 v 0 y 0 t 4 20s 为第二阶段 火箭作变加速直线运动 设 t 20s 时 y y1 v vmax t 20s 为第三阶段 火箭只受重力作用 作 竖直上抛运动 设达最大高度时的坐标 y y2 第二阶段的动力学方程为 F mg m dv dt my dttdtdttdy dtttvdtdy smvv tttv tdttdtdv dttdtgdtdtmFdv y ttv 1672 9 448 94 9 4 9 448 94 9 4 314 20 209 448 94 9 4 208 92 9 4 8 92 9 4 1 20 4 20 4 20 4 2 0 2 max 2 440 1 第三阶段运动学方程 2 20 9 4 20 314 1 20 8 9314 2 1 ttyytv 令 v 0 由 1 求得达最大高度 y2时所用时间 t 20 32 代入 2 t s F N 98 20 m1m2 T m1g a T m2g a T T T 0 05 0 08t s F N Fmax 0 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 19 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 中 得 y2 y1 5030 y2 ymax 5030 1672 6702 m 3 5 13 抛物线形弯管的表面光滑 沿铅直轴以匀角速率转动 抛 物线方程为 y ax2 a 为正常数 小环套于弯管上 弯管角速度多 大 小环可在管上任一位置相对弯管静止 若为圆形光滑弯管 情况如何 解 以固定底座为参考系 设弯管的角速度 为 小环受力及运动情况如图示 为小环处 切线与 x 轴夹角 压力 N 与切线垂直 加速度 大小 a 2x 方向垂直指向 y 轴 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式 mgNN xmNN cos 90sin sin 90cos 2 得 tg 2x g 由数学知识 tg dy dx 2ax 所以 agaggxax2 2 2 22 若弯管为半径为 R 的圆形 圆方程为 x2 R y 2 R2 即 222 122 2 1 2 1222 122222 2 xRxxxRdxdytg xRRyxRyRxRyR 代入 中 得 22222 xRggxxRx 3 5 14北京设有供实验用的高速列车环形铁 路 回转半径为 9km 将要建设的京沪列车时速 250km h 若在环路上作此项列车实验且欲使铁 轨不受侧压力 外轨应比内轨高多少 设轨距 1 435m 解 以地为参考系 把车厢视为质点 受力 及运动情况如图示 车厢速度 v 250km h 69 4m s 加速度 a v2 R 设轨矩为 l 外轨比内轨高 h 有lhlhl sin cos 22 选图示坐标 o xy 对车箱应用牛顿第二定律 RmvlNhNmglhlNN sin cos 222 得 222 vgRhhl 两边平方并整理 可求得 h cmm Rgvlvh 8 70782 0 90008 94 69 435 14 69 22422242 3 5 15 汽车质量为 1 2 10kN 在半径为 100m 的水平圆形弯道 上行驶 公路内外侧倾斜 15 沿公路取自然坐标 汽车运动学方 程为 s 0 5t3 20t m 自 t 5s 开始匀速运动 问公路面作用于汽车与 前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内 侧 解 以地为参考系 把汽车视为质点 受力及运动情况如图示 v ds dt 1 5t2 20 v t 5 1 5 52 20 57 5m s an v2 R 57 52 100 33 设摩擦力 f 方向指向外侧 取图示坐标 o xy 应用牛顿第二定律 cossin cossin sincos sincos fmaN mafN fmgN mgfN n n 得 sin cos fmgfmatg n tg agtgm ffmatgfmgtg n n sincos cossin 0 043 3033158 9 ftgagtg n 说明摩擦力 x y mg N a x h l mg N y a y x 15 f N mgan 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 20 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 方向与我们事先假设方向相反 指向内侧 3 5 16 速度选择器原理如图 在平行板电容器间有匀强电场 jEE 又有与之垂直的匀强磁场kBB 现有带电粒子以速度 i vv 进入场中 问具有何种速度的粒子方能保持沿 x 轴运动 此 装置用于选出具有特定速度的粒子 并用量纲法则检验计算结果 解 带电粒子在场中受两个力的作用 电场力 F1 qE 方向向下 磁场力 F2 qvB 方向向上 粒子若沿 x 轴匀速运动 据牛顿定律 BEvqvBqE 0 1 11 11 1 dim dim MT MNA TNA B E MTv 3 5 17 带电粒子束经狭缝 S1 S2之选择 然后进入速度选择器 习 题 3 5 16 其中电场强度和磁感应强度各为 E 和 B 具有 合格 速度的粒子再进入与速度垂直的磁场 B0中 并开始做圆周运动 经 半周后打在荧光屏上 试证明粒子质量为 m qBB0r E r 和 q 分别表 示轨道半径和粒子电荷 解 由 3 5 16 题可知 通过速 度选择器的粒子的速度是 v E B 该粒子在 B0磁场中受到洛仑兹力 的作用做匀速圆周运动 其向心加 速度为 an v2 r 由牛顿第二定律 EBqrBvrqBm rmvqvB 00 2 0 3 5 18 某公司欲开设太空旅馆 其设计为用 32m 长的绳联结质 量相等的两客舱 问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大 可使 客舱感到和在地面上那样受重力作用 而没有 失重 的感觉 解 sradrgrmmg 78 016 8 9 2 3 5 20 圆柱 A 重 500N 半径 RA 0 30m 圆柱 B 重 1000N 半 径 RB 0 50m 都放置在宽度 L 1 20m 的槽内 各接触点都是光滑的 求 A B 间的压力及 A B 柱与槽壁和槽底间的压力 解 隔离 A B 其受力情况如图所示 选图示坐标 运用质点 平衡方程 有 4 0cos 3 0sin 2 0cos 0sin gmN NN NgmN NN AAB ABA ABBB BAB 通过对 ABC 的分析 可知 sin 0 4 0 8 0 5 30 cos 3 2 分别代入 1 2 3 4 中 即可求得 NB 288 5 N NB 1500 N NA 288 5 N NAB 577 N 3 5 21 图表示哺乳动物的下颌骨 假如肌肉提供的力 F1和 F2均 与水平方向成 45 食物作用于牙齿的力为 F 假设 F F1和 F2共点 求 F1和 F2的关系以及与 F 的关系 v E B x y F2 qvB F1 qE v E B s1s2 s B0 r y x o A B C AB RA RB 0 8 CB L RA RB 0 4 NBA B NB NB NA NAB A mBg mAg L 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 21 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 解 建立图示坐标 o xy 应用共点力 平衡条件 0 0 yx FF x 方向 F1cos F2cos 0 F1 F2 y 方向 F1sin F2sin F 0 111 245sin2sin2FFFF 3 5 22 四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四 个顶点处 另一端固结于一处悬挂重物 重量为 W 线与铅垂线夹 角为 求各线内张力 若四根线均不等长 知诸线之方向余弦 能算出线内张力吗 解 设四根绳子的张力为 T1 T2 T3 T4 由于对称 显然 T1 T2 T3 T4 T 设结点下 边的拉力为 F 显然 F W 在竖直方向上对结 点应用平衡条件 4Tcos W 0 T W 4cos 若四根线均不等长 则 T1 T2 T3 T4 由于有四个未知量 因此 即使知道各角的方向余弦 也无法求解 此类问题在力学中称为静 不定问题 3 6 1 小车以匀加速度 a 沿倾角为 的 斜面向下运动 摆锤相对小车保持静止 求 悬线与竖直方向的夹角 分别自惯性系和非 惯性系求解 解 1 以地为参考系 惯性系 小球受重力 W 和线拉力 T 的作用 加速度 a 沿斜面向下 建立图示坐标 o xy 应用牛顿第二定 律 sincos cossin maTmg maT 解得 sin cos agatg 2 以小车为参考系 非惯性系 小球除受重力 W 拉力 T 外 还受惯性力 f 的作用 见上图虚线表示的矢量 小球在三个力作 用下静止 据牛顿第二定律 0sincos 0cossin maTmg maT 解得 sin cos ag a tg 3 6 2 升降机内有一装置如图示 悬挂的两物体的质量各为 m1 m2且 m1 m2 若不计绳及 滑轮质量 不计轴承处摩擦 绳不可伸长 求当升降机以 加速度 a 方向向下 运动时 两物体的加速度各是多少 绳内的张力是多少 解 以升降机为参考系 隔离 m1 m2 受力及运动情况如图示 T 为 绳中张力 f1 m1a f2 m2a a1 a2 a 为 m1 m2相对升降机的加速度 以向下为正方向 由牛顿二定律 有 222 111 amamTgm amamTgm 解得 2 2121 21 1221 mmagmmT mm gmmamm a 设 m1 m2的加速度分别为 a1 a2 根据相对运动的加速度公式 aaaaaa 2211 写成标量式 aaaaaa 21 将 a 代入 求得 2 2 21 121 2 21 122 1 mm gmmam a mm gmmam a T T f1 f2 a a1 a2 m1g m2g f ma a y x T W mg m1m2 F x F1 F2 y 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 22 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 3 6 3 图示为柳比莫夫摆 框架上悬挂小球 将摆移开平衡位置 而后放手 小球随即摆动起来 当小球摆至最高位置时 释放框 架使它沿轨道自由下落 如图 a 问框架自由下落时 摆锤相对于框 架如何运动 当小球摆至平衡位置时 释放框架 如图 b 小球相 对框架如何运动 小球质量比框架小得多 解 以框架为参考系 小球在两种情 况下的受力如图所示 设小球质量为 m 框架相对地自由落体的加速度为 g 因此 小球所受的惯性力 f mg 方向向上 小 球所受重力 W mg 在两种情况下 对小 球分别应用牛顿第二定律 小球摆至最高位置时释放框架 小 球相对框架速度 v 0 所以法向加速度 an v2 l 0 l 为摆长 由于切向合力 F Wsin f sin 0 所以切向加速度 a 0 小球相对框架的速度为零 加速度为零 因此小球相对框架静止 小球摆至平衡位置时释放框架 小球相对框架的速度不为零 法向加速度 an v2 l 0 T man 在切向方向小球不受外力作用 所 以切向加速度 a 0 因此 小球速度的大小不变 即小球在拉力 T 的作用下相对框架做匀速圆周运动 3 6 4 摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转 筒内壁 半径为 3 0m 轮胎与壁面静摩擦系数为 0 6 求摩托车最小线速度 取 非惯性系做 解 设摩托车在水平面内旋转的最小角 速度为 以摩托车本身为参考系 车受力 情况如图示 运动状态静止 在竖直方向应用平衡条件 0N mg 在水平方向应用平衡条件 N m 2 r 得 r g r g 0 2 0 最小线速度 smrgrv 76 0 8 90 3 0 3 6 5 一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动 一小圆盘在雨伞上滚动 但相对地面在原地转动 即盘中心不动 小盘相对于雨伞如何运 动 以伞为参考系 小盘受力如何 若保持牛顿第二定律形式不 变 应如何解释小盘的运动 解 可把小盘当作质点 小盘相对 雨伞做匀速圆周运动 与伞相对地的转向 相反 以伞为参考系 小盘质点受 5 个 力的作用 向下的重力 W 与扇面垂直的 支持力 N 沿伞面向上的静摩擦力 f0 此外还有离心惯性力 fC 和科 氏惯性力 fk 方向如图所示 把这些力都考虑进去 即可保持牛顿 第二定律的形式不变 小盘正是在这些力的作用下相对伞做匀速圆 周运动 3 6 6设在北纬60 自南向北发射一弹道导弹 其速率为400m s 打击 6 0km 远的目标 问该弹受地球自转影响否 如受影响 偏离 目标多少 自己找其它所需数据 解 以地球为参考系 导弹除受重力作用外 还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用 离心惯 性力的方向在速度与重力加速度平面内 不会使 导弹前进方位偏离 而科氏惯性力的方向垂直速 度 重力加速度平面 指向纸面 要使导弹偏 离前进方向 由于导弹速度较大 目标又不是很远 可近似认为导弹做匀速 直线运动 导弹击中目标所需时间 t 6000 400 15s 在此时间内导弹 在科氏惯性力作用下偏离目标的距离 a b T f W n n T f W mg N f 0N f m 2r W fC fK N f0 fk v 60 fC 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 23 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 m tvt m mv t m f atS k 7 515 2 3 606024 2 400 60sin 60sin2 2 1 2 1 2 1 2 2222 3 7 1 就下面两种受力情况 ji tF 2 2 N s jti tF 1 2 N s 分别求出 t 0 1 4 1 2 3 4 1 时的力并用图 表示 再求 t 0 至 t 1 时间内的冲量 也用图表示 解 2 2ji tF 代入 t 值得 jiFjiFjF 2 2 2 0 2 1 2 1 4 1 jiFjiF 2 2 1 2 2 3 4 3 jidtjtdtidtFI 2 2 2 1 0 1 0 1 0 NsI521 22 与 x 轴夹角 arctgIy Ix arctg2 63 5 1 2jti tF 代入 t 值得 jiFjiFjF 0 2 1 2 1 4 3 2 1 4 1 iFjiF 2 1 4 1 2 3 4 3 jitdtjdtjtdtidtFI 2 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 NsI2 55 01 22 与 x 轴夹角 arctgIy Ix arctg0 5 26 5 3 7 2 一质量为 m 的质点在 o xy 平面上运动 其位置矢量为 j tbi tar sin cos 求质点的动量 解 质点速度 j tbi tadtrdv cos sin 质点动量 j tbmi tamvmp cos sin 大小 tbtamppp yx 2222 22 cossin 方向 与 x 轴夹角为 tg py px ctg t b a 3 7 3 自动步枪连发时每分钟可射出 120 发子弹 每颗子弹质量 为 7 9g 出口速率为 735m s 求射击时所需的平均力 解 枪射出每法子弹所需时间 t 60 120 0 5s 对子弹应用 动量定理 NtmvtpFptF6 115 0 735109 7 3 3 7 4 棒球质量为 0 14kg 棒球沿水平方向以速率 50m s 投来 经棒击球后 球沿水平成 30 飞出 速率为 80m s 球与棒接触时间 为 0 02s 求棒击球的平均力 v 解 以地为参考系 把球视为质点 30 v0 由动量定理 0 vmvmtF 画出矢 x y F 0 F 1 4 F 1 2 F 3 4 F 1 12 1 2 0 x y 12 1 2 0 I I x y 12 1 2 0 x y F 0 F 1 4 F 1 2 F 3 4 F 1 12 1 0 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 24 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 量图 由余弦定理 2 1 0 2 2 0 222 30cos2 vvmvmvmtF 代入数据 可求得 F 881N 由正弦定理 mv F t 30sin sin tFmv 代入数据 30 求得 3218 3179 0sin mv0 3 7 5 质量为 M 的滑块与水平台面间的静摩擦系数为 0 质量 为 m 的滑块与 M 均处于静止 绳不可伸长 绳与滑轮质量可不计 不计滑轮轴摩擦 问将 m 托起多高 松手后可利用绳对 M 冲力的平 均力拖动 M 设当 m 下落 h 后经过极短的时间 t 后与绳的铅直部 分相对静止 解 以地为参考系 选图示坐标 先以 m 为研究对象 它被托起 h 再落 y 回原来位置时 速度大小为ghv2 x 在 t 极短时间内与绳相互作用 速度 又变为零 设作用在 m 上的平均冲力为 F 相对冲力 重力作用可 忽略 则由质点动量定理有 ghmmvmvtF2 0 tghmF 2 再以 M 为研究对象 由于绳 轮质量不计 轴处摩擦不计 绳不可伸长 所以 M 受到的冲力大小也是 F M 受到的最大静摩擦 力为 fmax o Mg 因此 能利用绳对 M 的平均冲力托动 M 的条件是 F fmax 即 222 2 2 2mgtMhMgtghm oo 3 7 6 质量 m1 1kg m2 2kg m3 3kg m4 4kg m1 m2和 m4三个 质点的位置坐标顺次是 x y 1 1 2 0 3 2 四个质点的质心 坐标是 x y 1 1 求 m3的位置坐标 解 由质心定义式 4 1 4 1 4 1 4 1 ii Ciii ii Ciii ymymxmxm 有 1 1 4321 343 2 2 1 1 33 432144332211 xx xmmmmxmxmxmxm C 1 1 4321 2 430211 33 432144332211 yy ymmmmymymymym C 3 8 1 质量为 1500kg 的汽车在静止的驳船上在 5s 内自静止加 速至 5m s 问缆绳作用与驳船的平均力有多大 分别用质点系动量 定理 质心运动定理 牛顿定律求解 解 1 用质点系动量定理解 以岸为参考系 把车 船当作质点 系 该系在水平方向只受缆绳的拉 力 F 的作用 应用质点系动量定 理 有 F t m1v F m1v t 1500 5 5 1500N 2 用质心运动定理解 F m1 m2 ac 据质心定义式 有 m1 m2 ac m1a1 m2a2 a1为车对岸的加速度 a1 v 0 t v t a2为船对地的加速度 据题意 a2 0 ac a1m1 m1 m2 代入 a1 ac m1v m1 m2 t F m1v t 1500N 3 用牛顿定律解 a2 0 a1 分别分析车 船两个质点的 F f f 受力与运动情况 其中 f 为 静摩擦力 a1 v t 对两个质点分别应用牛顿二定律 NfFfFNtvmamf150001500 111 m2 m1 m M F x m1 m2 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 25 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 3 8 2 汽车质量 m1 1500kg 驳船质量 m2 6000kg 当汽车相对 船静止时 由于船尾螺旋桨的转动 可使船载着汽车以加速度 0 2ms 2 前进 若正在前进时 汽车自静止开始相对船以加速度 0 5ms 2与船 前进相反方向行驶 船的加速度如何 解 用质心定理求解 车相对船 无论静止还是运动 螺旋桨的水平推力 不变 即车 船系统所受外力不变 由 质心运动定理可知 车运动时的质心加 速度与车静止时的质心加速度相等 aC 0 2m s2 设车运动时相对船的加速度为 a 相对地的加速度为 a1 船相 对地的加速度为 a2 由相对运动公式 21 aaa 由质心定义式可知 C ammamam 212211 将 代入 中 可得 21 1 2 aaa mm m C 取船前进方向为正 代入数据 3 0 5 0 2 0 60001500 1500 2 am s2 用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为 F 在车静止 时 可把车 船当作质量为 m1 m2 的质点 加速度为 a 0 2 由牛 顿第二定律 ammF 21 设车运动时相对船的加速度为 a 相对地的加速度为 a1 船相 对地的加速度为 a2 由相对运动公式 21 aaa 对车 船应用质 点系动量定理的导数形式 2221221121 21 amaamamammmF dt dv dt dv 令 21 1 2222121 aaaamaamamm mm m 取船前进方向为正 代入数据 3 0 5 0 2 0 60001500 1500 2 am s2 3 8 3 气球下悬软梯 总质量为 M 软梯上站一质量为 m 的人 共同在气球所受浮力 F 作用下加速上升 当人以相对于软梯的加速 度 am上升时 气球的加速度如何 解 由质心定理 F m M g m M aC 设人相对地的加速度为 a1 气球相对地的加速度为 a2 由相对运动公式 a1 am a2 由质心定义式可知 m M aC ma1 Ma2 m am a2 Ma2 联立 可求得 g Mm maF a m 2 3 8 4 水流冲击在静止的涡轮叶片上 水流冲击叶片曲面前后的 速率都等于 v 设单位时间投向叶片的水的质量保持不变等于 u 求 水作用于叶片的力 解 以水为研究对象 设在 t 时间内质量 为 m 的水投射到叶片上 由动量定理 uvvvFvvmtF t m 2 1212 由牛顿第三定律 水作用叶轮的力 F F 2uv 3 8 5 70kg 重的人和 210kg 重的小船最初处于静止 后来人从 船尾向船头匀速走了 3 2m 停下来 问人向哪个方向运动 移动了几 米 不计船所受的阻力 解 以地为参考系 选图示坐标 o x 设人的质量为 m1 70kg 人相对地的速度 为 v1 相对船的速度为 v1 它们的方向显 然与 x 轴同向 设船的质量为 m2 210kg 船相对地的速度为 v2 方 向显然与 x 轴相反 据相对运动的速度变换公式 人对地的速度 v1 v1 v2 m1 a2 a x x v v m2 x 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 26 第 3 章动量定理及其守恒定律习题解答 由于不计水的阻力 所以在水平方向上 人与船构成的质点系 动量守恒 有 m1v1 m2 v2 0 即 m1 v1 v2 m2 v2 0 可求得 v2 v1 m1 m1 m2 将上式两边同时乘上相互作用时间 t v2 t s2 为船相对地的位移 v1 t s1 3 2m 即 s2 s1 m1 m1 m2 3 2 70 70 210 0 8m 3 8 6 炮车固定在车厢内 最初均处于静止 向右发射一枚弹 丸 车厢向左方运动 弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下 问此 过程中车厢移动的距离是多少 已知炮车和车厢总质量为 M 弹丸 质量为 m 炮口到对面墙壁的距离为 L 不计铁轨作用于车厢的阻力 解 以地为参考系 建立图示坐标 o x 设弹丸出口时相对车的 速度为 v 对地的速度为 v 车后退的速度为 V 据相对运动的速度 变换公式 可知 v v V 由于不计路轨对车的摩擦 阻力 所以 在水平方向 弹 车组成的质点系动量守恒 有 MV m v 0 将 v 代入 MV m v V 0 V v m m M 设弹发出到与车壁相碰所用时间为 t 用 t 乘上式两边 得 V t v t m m M 其中 v t L V t 即为车在此过程中前 进的距离 S S Lm m M 3 8 7 载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为 m1 165 10kg 和 m2 115 10kg 各以