2015年高考备考立体几何部分练习与答案理科.doc

2016年高考备考立体几何部分练习与答案（理科）1、（10新课标）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点(1)证明：PEBC;(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则（）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为2、（11新课标）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解：（）因为， 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，。设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，），故二面角A-PB-C的余弦值为 3、（12新课标）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合， 且是二面角的平面角， 设，则，既二面角的大小为4、（13新课标2）如图，直三棱柱中，分别是，的中点。AB（）证明：平面；（）求二面角的正弦值。5、（13新课标1）如图，三棱柱中，=60.（）证明;（）若平面平面，求直线 与平面所成角的正弦值。6、（14新课标2）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.证明：（1）设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG/PB,且EG在平面AEC上，所以PB/平面AEC.（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则7、（14新课标1）如图三棱锥中，侧面为菱形，.（） 证明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.解：8、（14江苏）如图，在三棱锥中，E，F分别为棱的中点.已知,求证: (1)直线平面；(2)平面平面.ADEBC9、（14浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，。 （1）证明：平面;（2）求二面角的大小（）证明：在直角梯形中，由，得由，得，即又平面平面，从而平面所以，又，从而平面（）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点G，连接BG，由（）知，则，所以是二面角的平面角。在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得在中，由，得，在中，由，得，在中，由，得，从而，在中，利用余弦定理分别可得，在中，所以，即二面角的大小是方法二：以D为原点，分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示。由题意知各点坐标如下：设平面ADE的法向量为，平面ABD的法向量为，可算得由得可取由得可取于是由题意可知，所求二面角时锐角，故二面角的大小是。10、（14辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.11、（14天津）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，.由为棱的中点，得.（）证明：向量，故. 所以，.（）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为.（）解：向量，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.（方法二）（）证明：如图，取中点，连接，.由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以. 因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（）解：连接，由（）有平面，得，而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，因此. 所以，直线与平面所成角的正弦值为.（）解：如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值为.12、（14重庆） 如图，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面， 为上一点，且.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值。13、（15新课标1）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面AEC平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值解：（）连结BD，设，连结在菱形中，不妨设，由，可得由平面，可知，又，所以，且在中，可得，故在中，可得，在直角梯形中，由，可得从而，所以又，可得平面因为平面，所以平面平面6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，由（）可得，所以10分故所以直线与直线所成角的余弦值为12分14、（15新课标2）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和