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第二章 质点力学 一 内容提要 1 运动的描述 物体的运动可以采用位矢 速度 加速度这 3 个物理量完全描述 其中的任一物理参量都可 以用 1 个标量函数与单位矢量的乘积来描述 矢量相加时需要遵循平行四边形法则 2 位矢 速度和加速度 这 3 个物理参量之间是微分关系 2 tttd rd d dv a d dr v 2 3 各坐标系下的位矢 速度和加速度 1 直角坐标系下的位矢 速度和加速度 2 极坐标系下的位矢 速度和加速度 3 自然坐标系下的位矢 速度和加速度 4 圆周运动 速度为 加速度为 5 两个做平动运动的参考系之间的速度和加速度 伽利略变换 6 牛顿三大定律 第一定律定义了惯性系 牛顿第二定律给出了力的定量关系 牛顿第三定律给出了作用力与 反作用力的关系 牛顿第二定律 二 要点 1 惯性系是牛顿力学的适用空间 因此对质点运动的描述 首先要选定参考系 一般是惯性 系 然后采用坐标系将物体运动在空间进行分解处理 如何选择坐标系是描述物体运动的 关键 要根据物体运动的特点来选择坐标系 直角坐标系下的微积分处理最简单 物体运动 有固定轨迹时用自然坐标系进行描述和处理比较方便 当需要引入转过的角度这一运动参量 描述物体时 用极坐标系描述比较方便 2 物体位矢 速度和加速度的微分关系是由运动的瞬时特性而定义得来的 和坐标系选择 没有关系 不同情况下位矢 速度和加速度这 3 个物理量之间的函数关系是运动学研究的核 心 参量之间的函数关系不明确时 可以由确定的几何约束关系求得参量微元之间的变换关 系 然后进一步求解 3 经典力学中 力是核心要素 注意把力的作用效果和力的各种时空对应起来 他们之间存 在明确的因果逻辑关系 4 应用牛顿定律解题的一般步骤 1 确定研究对象及其所适用的物理模型 选择参考系 通常是惯性参考系 2 隔离体法进行受力分析 画出受力图 3 选取坐标系以确定物理参量和公式的具体表达式 4 先用符号列方程 然后转化为函数的 微分 方程联立求解 5 带入具体的数值计算 讨论计算结果 习题解答 2 1 一质点沿一抛物线y x2运动 在任意时刻vx 3 m s 试求在x 2 3 m处这质点的速度 和加速度的大小和方向 分析 可由位矢 速度 加速度的关系来求 题目已经给出了y x的函数关系 可知vy vx 的函数关系 进一步可知ay ax的函数关系 由题意已知ax 0 因此本题宜采用直角坐标系 解 d y dy v t 将y x2带入 有 2 22 1 d yx d x dx vxxv tdt 在直角坐标系下 v vxi vyj 将x 2 3m处的运动参数带入 有 v 3i 2 2 3 3 j 3i 4j m s 由 22 xy vvv 可知此处的速率 v 5 m s arctg vy vx 53 速度大小为5 m s 方向与x轴正方向成53 将vy的表达式 1 带入加速度的关系式 有 2 22 d y yxx dv avxa t vx不变 所以 ax 0 上式简化为 2 2 yx av 将vx 3 m s 带入上式 有 a 18 j m s2 加速度大小为18 m s2 方向沿y轴正方向 注意 要先对函数表达式进行符号运算 最后再把具体各参数的数值带入计算 2 2 一物体沿x 轴运动 其加速度可以表示为ax 4x 2 m s2 已知x0 0 v0 10 m s 试求 在任意位置 x 处的速度 分析 题中已知物体加速度和位矢的函数关系a x 求物体运动的速度与位矢的函数关系v x 常用的运动学公式以时间为变量 但本题中是以x 为变量 因此要消去时间变量 采用微分 换元 解 微分换元 dd dd dddd vvxv av txtx 将本题中已知的函数表达式 ax 4x 2 带入 有 d 42 d v xv x 对上式进行分离变量处理 积分后可以得到v x 积分 有 222 0 1 22 2 vvxx 将x0 0 v0 10 m s带入上式 有 2 44100 m s vxx 2 3 一物体做直线运动 初速度为零 初始加速度为a0 出发后每经过时间间隔 加速度均 匀增加 a0 求经过时间 t 秒后物体的速度和距出发点的距离 分析 题目中给出了直线运动中的加速度和时间的函数关系a t 因此可以得到加速度的函 数表达式a t 再利用加速度 速度 位矢的基本关系 即可求得答案 解 注意 各参数之间是函数关系 要按题意写出函数表达式然后再进行后续处理 2 4 如图所示 跨过滑轮 C的绳子 一端挂有重物 B 另一端 A被人拉着沿水平方向匀速 运动 其速率 0 1 0 m s A点离地面的距离保持着 h 1 5 m 运动开始时 重物在地面上的 B0处 绳两侧都呈竖直伸长状态 且滑轮离地面 H 10 m 滑轮半径不计 求 1 重物上升的运动方程 2 到达滑轮前的任意 t时刻的速度和加速度以及到达滑轮处所需要的时间 分析 重物直线上升 可以用直角坐标系描述其运动 但是物体的位矢 速度 加速度在题 中没有直接的数学表达式 只知道左侧绳长l 的改变量 l 与右侧绳长改变量相同 由A点 的速度可知其位移 则右侧的绳长l与时间t的函数关系 l t 可知 由此可知左侧绳长的改变 重物的位移 对参量微元之间的函数关系进行变换 可进一步求得速度及加速度 解 如图建立简化的坐标系 以B0为原点 竖直向上方向为 x轴 由几何关系 得 将已知条件H h v0代入上式 得到 注意 题目中某些符号代表的是常数 另外一些符号是变量 隐含着参量 要写成相关参量 的函数表达式 2 5 在距河岸5 0 km处有一灯塔 它发出的光束每分钟转动一周 求 当光束扫至与岸边成 60 角时 光束沿岸边滑动 光点运动 的速度和加速度 分析 与5 0 km相比 河岸可以近似为直线 光束虽然在转动 但光点在河岸走的是直线 因此仍然可用直角坐标系描述和处理 也最方便 另外光束的转动 可采用极坐标描述 本 题也可采用极坐标求速度 光束旋转有顺时针和逆时针旋转两种可能性 角速度可能为正或 负 解法1 如图建立直角坐标 由图可得 x Ltg t 由此可知速度为 2 d Lsec d x vt t 将 2 60 当 60 时 t 30 带入 有 v 2 60 5 103 cos230 698 m s 进一步求加速度 有 22 3 60 sin 2L84 4 m s cos t a t 解法2 1 由题意有 r cos t L 对上式求导 有 d cossin0 d r trt t 即 d tan d r rt t 将以上结果带入极坐标的速度公式 1 有 r LsinL coscos t vee tt 2 因为光点就在岸边移动 所以速率v L cos2 t 2 将极坐标下的加速度公式应用于本题目中 有 cossinsin 22 coscoscos r LtLtLt ar ttt 22222 2 233 依照题意 匀速转动 有 d dt 2 2 0 横向加速度可简化为 sin 2tan2 cos Lt art t 2 2 加速度合成 可得到 33 2sinsin sin cos 2 coscos r LtLt aaatt tt 22 2222 显然 数值计算的结果同解法1 考虑到光点就在岸边移动 加速度方向和速度方向一致 本题也可以采用自然坐标计算加速 度 光点只有切向加速度a 对 2 式求导 容易得到a 2 2Lsin t cos3 t 注意 极坐标下通过公式求加速度 计算过于繁琐 容易出错 可采用其他坐标求得加速度 2 6 如图所示 绕过小滑轮A 和B 的绳两端各挂重物m1和m2 绳上的C 点起始位置与D 点 重合 若将此点以匀速率v0沿垂线DC 向下拉 求t 时刻两重物的速率 AD BD L 分析 本题中DC的距离lDC与时间t的函数关系可知 由此可进一步知道lBC或lAC与时间t的函 数关系 因为重物和DC的轨迹都是直线 因此以固定点D作为惯性参考系坐标原点 用直 角坐标处理最方便 解 由图可得 22 BC0 Llv t 则重物的位移为 x lBC L 因为两重物具有相同的速率v 因此有 2 0 22 0 d d L v tx v t v t 2 7 从地面向高空抛出一球 观察到它在高 9 1 米处的速度 v 7 6 i 6 1 j m s x 轴沿 水平方向 y 轴沿竖直向上方向 求 1 球上升的最大高度 2 球从抛出后所走过的总的水平距离 3 球在落地时的速度 分析 本题是已知物体在某点的速度 求物体运动的轨迹及速度等参量 运动可分解为 2 个方向的运动 水平方向做匀速直线运动 竖直方向做匀加速直线运动 加速度为 g 各有 其特点 然后进行合成 解 根据运动的叠加原理 把小球的运动分解为 x 方向和 y 方向两个运动的叠加 x 方向 小球不受力 作匀速直线运动 t 0 时 x0 0 vx 7 6m s y 方向 小球受重力作用 作匀加速直线运动 加速度为重力加速度 a g t 0 时 y0 9 1 m vy0 6 1 m s a 9 8 m s2 1 球上升到最高点时 y 方向的速度为 0 有 解得 t 6 1 9 8 0 62 s 即还需要 0 62 s 才能达到最高处 所以最高点的坐标 ymax y0 vy0t 1 2 gt2 即 ymax 11 m 2 球从最高点到落地 所需要的时间为t 有 2 ymax g t 2 解得 t 1 5 s 所以xmax 7 6 2 1 5 22 8m 3 球在落地时的速度为 vx 7 6 m s vy gt 14 7 m s 所以 所以 v 7 6 i 14 7 j m s 2 8 一半径为 0 1 m的圆盘 可以绕水平轴自由地转动 将一绳绕在圆盘上 绳的外端拴一 物体 A 假设 A匀加速降落 它的加速度小于重力加速度 已知在 t 0时 A的速度为 0 04 m s 2s后A落下 0 2 m的距离 求圆盘边缘上任意一点在任一时刻 t 的切向和法向加速度 分析 已知物体作匀加速直线运动 初始速度和位移 可知物体的速度和加速度 注意 此 时求得的加速度 物体A的加速度 为圆盘边缘的切向加速度 圆盘做匀加速圆周运动时 圆盘边缘还有法向加速度 解 物体做匀加速直线运动时 有 将 t 0时 物体速率为v0 0 04 m s t 2 s 时 x 0 2 m 这些已知条件代入上式 可解得 物体的加速度大小为 a 0 06 m s2 这里的a对应自然坐标下的切向加速度a 即 a 0 06 m s2 圆盘边缘的法向加速度为 an v2 R 对于匀加速直线运动 v v0 at 在本题中应写为 v v0 a t 所以有an 0 04 0 06 t 2 0 1 10 0 04 0 06 t 2 m s 2 9 物体的坐标为 x t2 y t 1 2 式中各量均为国际单位 求 1 何时物体速率有极小值 2 计算 t 1秒时的切向和法向加速度 分析 已知物体的位矢分解到2个垂直方向的坐标 可以分别求得速度及加速度的分量式 物体的速度和加速度与选用什么坐标没有关系 可以先合成切向速度 而后求得切向加速度 再对总的加速度求得法向加速度 解 1 由速度与位置矢量关系可知 vx 2t vy 2 t 1 因此物体的速率为 222 884 xy vvvtt 当dv dt 0时 物体的速率有极值 在本题中显然是极小值 即 2 d168 0 d 2 884 vt t tt 由上式解得t 0 5 s 此时物体速度有极小值 2 将t 2s带入上面的dv dt 表达式 可以得到切向加速度 2 d168 2 m s d 2 884 vt a t tt 对分解到 x 和 y 轴上物体运动的速度求导 可求得加速度为 ax 2 m s2 ay 2 m s2 可知加速度大小为 2 2 2 m s a 因为 22 n aaa 可知 an 2 m s2 2 10 一质点沿一圆周按下述规律运动 s t3 2t2 式中 s 是沿圆周测得的路程 以 m 为单位 t 以 s 为单位 如果当 t 2s 时质点的加速度为16 2m s2 求圆的半径 分析 已知路程与时间的函数关系 应选用自然坐标系 容易求得切向速率 切向加速度 由总的加速度可以反推其法向加速度 然后根据圆周运动的向心加速度公式可求出圆周的半 径 解 在自然坐标系下 速度和加速度分别为 将 t 2 s 带入 得到 v 20 m s a 16 m s 又由 可得到 an 16 m s2 圆周运动向心加速度 an v2 R 变换后可得 R v2 an 将 v 20 m s an 16 m s 带入上式 可得 R 25 m 2 11 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 s v0t bt2 2 运动 v0和 b 都是取正值的量 求 1 t 时刻质点的加速度 2 t 为何值时加速度的值等于 b 3 加速度为 b 时 质点已沿圆周行进了多少圈 分析 已知路程和时间的函数关系 s t 选择自然坐标系最方便 圆周运动速率与向心加速 度关系可计算 切向速度和切向加速度也可计算 解 1 自然坐标系下 v ds dt v0 b t 因此有 a dv dt b an v2 R v0 b t 2 R 2 加速度 22 n aaa 因此有 b b2 v0 b t 4 R2 1 2 解得 t v0 b 3 将 t v0 b 带入路程 s 的表达式 可得 s v0 v0 b b v0 b 2 2 v20 2b 圈数 N s 2 R 因此有 N v20 4 Rb 2 12 质点在一平面内运动 其径向速度 dr dt 4 m s 角速度 1 0 rad s rad 为平面角的 单位 称为弧度 试求质点距离原点 3 m 时的速度及加速度 分析 存在转动问题 而且已经确定径向速度 应采用极坐标 求极坐标系下的速度和加速 度 注意 径向加速度不仅与径向速度的时间变化率有关 还与横向速度有关 横向加速度 也不仅与横向速度的时间变化率有关 同时还与径向速度有关 解 极坐标系下 物体的速度为 因此本题中 物体的速度为 v 4er 3 1 e 4er 3e m s 本题中径向速度和角加速度皆为常数 因此有 d2r dt2 0 d2 dt2 0 再把 r 3 m 1 rad s dr dt 4 m s 分别带入径向加速度和横向加速度的表达式 可得 质点距离原点 3 m 时的加速度 a 3 12 er 2 4 1 e 3 er 8 e m s 2 13 一质点以角速度 d dt 常量运动 且 r r0ebt r0和 b 都是常量 且 b 求 径向速度 径向和横向加速度 分析 与上题相似 本题涉及旋转运动 应选择极坐标 求极坐标下物体的径向速度 横向 速度 径向加速度以及横向加速度之间的函数关系 解 极坐标系下 质点速度为 因此本题中质点的速度为 v r0bebter r0ebt e 径向速度为 vr r0bebter 法向速度为 v r0ebt e 本题中角加速度为常数 因此有 d2 dt2 0 径向加速度为 ar r0b2ebt 2r0ebt 0 横向加速度为 a 2 br0ebte 2 14 列车在圆形轨道上自南转向东行驶 t 0 时列车在 O 点 它距 O 点的路程由 l 80t t2给出 如图所示 轨道半径 R 1500 m 求列车时过 O 点以后前进至 1200 m 处的速 度和加速度 分析 本题已知路程与时间的函数关系 应选择自然坐标系 在自然坐标系下求物体运动的 速度和加速度 注意 在自然坐标系下 速度始终指向切线方向 所以由速率可直接推知速 度 解 自然坐标系下 质点的速度和加速度分别为 v dl dt 80 2t a dv dt 2 m s an v2 R 前进至 1200 m 处的时间 t 应满足方程 1200 80t t2 求得 t1 20 s t2 60 s 当 t2 60 s 时 v 40 m s 列车是返程 非前进方向 舍去 当 t1 20 s 时 有 v 80 2 20 40 m s a 2 m s2 an v2 R 402 1500 16 15 m s2 2 15 小船渡河 从 A 点出发 如果保持与岸垂直的方向划行 10 min 以后到达对岸的 C 点 C 点与正对着 A 点位置的 B 点之间的距离是 BC 120 m 如果要使小船正好到达 B 点 则小船必须向着 D 点方向划行 如题图所示 这时需要 12 5 min 才能到达对岸 试求小船 划行的速率 u 河面宽度 l 水流速度 v 以及航角 分析 本题是相对运动问题 速度合成 位移合成时要服从矢量相加的平行四边形法则 解 正对河岸划船时 v u t1 AC t1 600s 正对 D 点划船时 ucos t2 l t2 750 s usin v 由已知条件可知 ut1 l BC v t1 120 m 有 v 120 600 0 2 m s 联立方程 有 cos t1 t2 4 5 sin 3 5 则 arcos0 8 36 9 可知 u v sin 0 2 3 5 1 3 m s l ut1 600 1 3 200 m s 2 16 测得一质点在坐标系 O 中的位置为 r 6t2 4t i 3t2 j 3k m 1 如果在坐标系 O 内测得它的位置为 r 6t2 3t i 3t2 j 3k m 试确定 O 系相对于 O 系的速度 2 证明在这两个坐标系中 质点的加速度相同 分析 本题属于伽利略变换的问题 解 1 比较 2 个位矢的直角坐标 r 6t2 4t i 3t2 j 3k r 6t2 3t i 3t2 j 3k 有 x 6t2 4t x 6t2 3t y y 3t2 z z 3 由伽利略变换公式 x x ut 有 6t2 3t 6t2 4t ut 解得 u 7 i 或者分别求得质点在两个坐标系中的速度 然后相减 也可得到同样的结果 2 2 2 d 126 d r aij t 2 2 d 126 d r aij t 可见 在这两个坐标系中 加速度相同 2 17 一人在静水中划船的速率为 u 现在他在水流速率为 v 的小河中将船从一岸划向另一 岸 如果他希望用最短的时间到达对岸 应向什么方向划行 如果他希望用最短路径到达对 岸 应向什么方向划行 分析 本题与 2 15 题相似 是速度的合成问题 解 显然 垂直于河岸的方向路径最短 如果希望用最短时间过河 则船对地的速度应垂直 于河岸的方向 因此船速在河岸方向的分量刚好能够抵消水的流速时 路径最短 2 18 测量某两个物体之间的静摩擦因数时 可以将两个物体叠放在一个可以调节的斜面上 并将下面的物体跟斜面固定 逐渐增大斜面的倾角 当 0时 上面的物体开始滑动 求 s 分析 本题是静力学问题 关键在于受力分析 可用隔离体法分析各个物体的受力情况 解 用隔离体法分析物体受力情况 如图所示 可知物体受三个力 竖直向下的重力 平行于斜面的向斜上方的摩擦力和斜面对物体的支撑力 当重力沿斜面向下的分力的大小和最大静摩擦力的大小相等时 物体开始滑动 所以 cos sin s fN Nmg fmg 0 0 联立可解得 s tg 0 2 19 若一根绳当张力超过 1000 N 时就会被拉断 1 如果要用此绳在地板上拉动一只箱子 试问当摩擦因数为 0 35 时 它能拉动物体的 最大质量是多少 2 如果要用此绳提升箱子 箱子的加速度为 1 0 m s2 试问所提升箱子的最大质量是多 少 分析 同上题 关键也在受力分析 现在是拉力已知 1000 N 因为角度不同 质量 mmax 未知 拉动箱子 箱子水平方向有移动即可 而提升箱子 则需要在竖直方向移动 拉力 F 与重力 mg 的合力使箱子加速上升 解 1 受力分析如图所示 在木板上拉箱子 设拉力 F 与水平呈 角 列方程组 有 解得 F mg sin cos Fmax 1000 N 则拉力与水平呈 角时可拉动的最大物体质量为 mmax Fmax sin cos g 1 可见可拉动的最大物体质量随 角而变 dm d 0 时有极值 解得 tg 0 35 即 19 29 此时 d2m d 2 Fmax sin cos g 为负 是极大值 将 Fmax 1000N tg 0 35 带入 1 可求出此时所能拉动的最大重物为 mmax 308 9 kg 2 由 F mg ma 可得 m F g a 将 Fmax 1000 N a 1 m s2带入 有 mmax 92 6 kg 2 20 如题 2 20 图所示 用力 F 使木箱上升 若绳端的下降速度 v0不变 木箱质量为 m 定滑轮和绳的固定端在同一高度上 且相距为 l 动滑轮 定滑轮和绳的质量以及绳的伸长 量都忽略不计 求 1 以 x 为变量表示 m 的速率 v 2 求 F x 分析 本题将运动学和动力学结合在一起 依题意用直角坐标系处理比较方便 可根据几何 约束关系可得到 v0与木箱 m 的速率 v 之间的关系 因为不含有时间变量 所以可表为 v x 滑轮改变了力的方向 不改变力的大小 解 1 设重物右侧两个滑轮之间的绳长为 L t 根据几何约束关系 有 2 22 4 l xL t 对上式求导 有 ddd 22 d2 dd xllL t xL t ttt 1 根据已知条件 有 0 ddd 0 ddd2 vxlL t v ttt 带入求导结果 有 xv L t v0 2 2 即 22 00 2 L 22 vxlt v v xx 2 绳中拉力处处相等 木箱受绳的拉力 T 重力 mg 有 2Tcos mg ma 对 1 简化后再求导 有 22 22 22 ddd d 222 2 dddd xxL tL t xL t tttt 上式可简化为 2 2 d d L t xav t 3 已知 2 2 d 0 d L t t 将 2 式代入 3 式 有 222 00 2 44 L t vv xa x 化简后可得 2222 2 000 0 23 4416 vL t vv l a xx 注意 竖直方向绳长的改变量是重物左右两端绳长的改变量相加 2 倍 2 21 摩托快艇以速率 v0行驶 它受到的摩擦阻力 黏性力 与速度的平方成正比 可表示 为 F v2 设摩托快艇的质量为 m 求当摩托快艇发动机关闭后 1 速度 v 随着时间的变化规律 2 路径 x 随着时间的变化规律 3 证明速度 v 与路程 x 之间的关系为 v v0e x m 分析 本题物体将动力学与运动学结合在一起 由受力可知其加速度 a 与其运动距离之间 的函数关系 v t x t 首先做受力分析 考虑力的效应 变量之间的微分关系 然后应用 牛顿第二定律解题 解 1 快艇发动机关闭后 只受摩擦力作用 速度从 v0逐渐减小 分离变量 有 积分 可得到 t m 1 v 1 v0 经过整理 有 v v0 1 v0 t m 2 由速度和位矢的关系 有 00 0 0 d ln 1 1 t vtvtm x vt mm 3 欲求 v x 的关系 需要消去时间 t 观察 x t 的表达式 同时由 v v0 1 v0 t m 可得 1 v0 t m v0 v 带入 x t 的积分结果 有 x mln v0 v 反解 有 v v0e x m 2 22 在光滑的水平桌面上平放着一个固定圆环 其半径为 R 一物体沿环的内侧运动 摩 擦因数为 已知 t 0 时 物体的速率为 v0 求在 t 时刻物体的速率和在 t 时间内物体所 经过的路程 见题 2 22 图 分析 本题是动力学与运动学的综合问题 由动力学方程可解得其加速度 然后再通过运动 学求其速度 因为有固定运动轨迹 选择自然坐标 物体受到重力 摩擦力 桌面支撑力和 环的支撑力 桌面支撑力和重力平衡 摩擦力为环的切线方向 改变了物体运动的速率 环 的支撑力沿法线方向 改变运动的方向 解 根据受力分析 列方程 有 d d fN mv N R v fmam t 2 联立以上各方程 得到一个综合的动力学方程 2 d d vmv m tR 简化方程 分离变量后可得到 2 d d v t vR 定积分之后 有 t R 1 v 1 v0 整理后有 v v0R R v0 t 自然坐标下 v ds dt 积分可得路程 s t 即 00 0 dln 1 v RvR s ttt RvtR 2 23 若跑道为椭圆形的 通常意义的赛跑是测比赛选手的平均速率还是平均速度 分析 本题考察速度与速率的区别 注意矢量性 速率只有大小 没有方向 速度既有大小 又有方向 速度是位移的时间变化率 速率是路程的时间变化率 注意 1 这里路程和位移不是同一概念 当物体作直线运动时 路程与位移相等 但是当物 体作曲线运动时 路程与位移不相等 2 瞬时速度 率 与平均速度 率 不同 瞬时速率 等于瞬时速度的大小 直线运动中平均速率等于平均速度的大小 答 不管跑道是什么形状 通常都是比赛选手的平均速率 因为我们最后评判的选手的成绩 是跑过相同长度的跑道所需要的时间 即路程相同 看哪个选手所用的时间短 只不过当跑道为直线形时 在整个比赛时间内的平均速度的大小就等于平均速率 赛跑中我 们最后衡量的是比赛选手的平均速率的大小 单位时间内跑过的路程 2 24 利用速率和加速度的微分定义 推导匀加速直线运动的公式 1 0 2 0 22 0 v v at 1 2 s v t at 2 3 vv 2as 分析 对于匀速直线运动 可以在直角坐标系下处理 速度和加速度用标量表达即可 注意 速度和加速度都是瞬时量 需要采用微分定义 本题主要让同学们了解 微积分能方便解决 过去初等数学解决的问题 更具有普遍性 解 1 加速度定义为 a dv dt 设 t 时刻速度为 v 初始时刻速度为 v0 采用定积分处理 有 0 0 dd vt v va t 可得 v v0 at 即 v v0 at 2 速度定义为 v ds dt 设 t 时刻位移为 s 初始时刻位移为 0 初始时刻位置的坐标不为 0 但是位移是末态位置与 初始位置之差 采用定积分处理 有 0 000 dd d stt sv tvatt 积分后整理 有 2 0 1 s v t at 2 3 要消去时间变量 t 微分换元 由 v ds dt 有 dt ds v 将上式带入 a dv dt 有 a v dv ds 分离变量 有 a ds v dv 取定积分 有 00 22 0 dd 2 sv a sv v vv as 因此有 22 0 v v 2as 分析 本题考察平均速度和平均加速度的概念 平均速度是一段时间内速度的平均值 平均 加速度是一段时间内加速度的平均值 答 假设速度为 v t 平均速度的定义为 t 时间内的位移 r 为 r v t 0 d t t rv tt 因此 0 d t t v tt r v tt 是满足该公式的 平均加速度定义为 v a t t 时间内的速度改变量 v 为 0 d t t va tt 因此 0 d t t a tt v a tt 是满足该公式的 分析 两种方法看似差不多 然而是有差别的 注意矢量的微积分和标量的微积分是不同的 答 后一种方法正确 因为速度和加速度是矢量 直角坐标系下求微分处理不改变其方向 合成的结果是正确的 采用自然坐标系可以更加清晰地看出 第一种方法求得的加速度其实 是切向加速度 没有改变方向的法向加速度 计算的加速度要小于实际加速度 假设物体做 圆周运动 第一种方法得到的结果明显不对 可以清晰地看清这个结论的错误 2 27 讨论下面各种说法的正误或确切与否 分析 这些问题考察运动学中各物理参量之间的关系 注意物理参量的矢量性 瞬时 微分 与累积 积分 效应是不同的 1 物体 质点 具有恒定的速率时 必作直线运动 答 错误 速率只表示速度的大小 而不考虑方向 所以以恒定速率运动的物体 其运动方 向可能发生改变 此时物体不做直线运动 例如匀速圆周运动 物体具有恒定的速率 但却 做的是曲线运动 2 物体具有恒定的速度时 必作直线运动 答 正确 速度是一个矢量 它包括大小和方向两个因素 既然速度恒定 说明加速度为 0 物体会保持原来的惯性运动 必然是直线运动 3 物体的加速度为常量时 必作直线运动 答 错误 虽然加速度的大小和方向都不变 但是如果物体初始运动速度不为零 而且方向 与加速度的方向不共线 那么速度的方向将会发生改变 此时物体的运动轨迹不是直线 4 物体加速度的绝对值减小时 该物体的速率也一定在减小 答 错误 只要加速度的方向与速度的方向相同 不管加速度的绝对值是增大还是减小 物 体的速度都在增加 5 速度等于零的物体 其加速度可以不等于零 答 正确 加速度是瞬时效应 速度则包含了加速度的累积效应 静止的物体 速度为零 受力的瞬间即有加速度 但是速度仍然为零 6 在直线运动中 r 的方向始终不变 答 错误 如极坐标系下 极点不在直线上 即使物体作直线运动 r 的方向也是始终在变 化 在直线运动中 r 的方向始终不变 r 和坐标原点选择有关 7 物体作曲线运动时必定有加速度 加速度的法向分量必不为零 答 正确 速度的方向与曲线的切线方向一致 因此物体作曲线运动必须改变速度方向 而 加速度的法向分量会改变物体的运动方向 因此加速度的法向方向分量必不为零 8 物体作曲线运动时 其加速度一定指向内切圆一方 即凹侧 答 正确 曲线运动中 速度方向指向曲线切线方向 切线加速度只改变加速度的大小 而 法向加速度使物体的运动方向改变 垂直于切线指向内切圆的一侧 因此合成加速度的方向 一定指向物体运动的凹侧 9 物体作曲线运动时 其速度一定沿切线方向 即 vn 0 所以 an 0 答 不确切 前一句正确 物体在作曲线运动时 其速度一定沿切线方向 其法线方向的速 度为零 虽然法向速度 vn 0 法向加速度一般不为 0 用于改变速度的方向 例如 圆周 运动 法向速度为 0 但是法向加速度不为 0 极坐标和自然坐标下物体运动单位矢量的 方向都是随时间改变的 不是固定的 因此即使其大小不变 按照矢量相加的原则 也会存 在改变量 10 物体作圆运动时 其加速度一定指向圆心 答 不确切 如果是匀速圆周运动 加速度始终指向圆心 但是如果是变速圆周运动 存在 切向加速度 其加速度是切向加速度和法向加速度之和 不指向圆心 11 物体具有向西的速度 然而却同时具有向东的加速度 答 可以存在这种情况 加速度与速度的方向相反 也就是物体作减速运动 12 只有法向加速度的运动一定是圆周运动 答 不一定 法向加速度改变物体运动的方向 切向加速度改变物体运动速度的大小 由公 式看 速率 v 与 R 是两个独立变量 an v2 R 没有切向加速度只是说明其运动速率不变 并不能确定 R 是常数 这个运动不见得是常数 如果运动的曲率半径不变 法向加速度的 大小不变 则为匀速圆周运动 如果曲率半径改变 法向加速度的大小发生变化 运动轨迹 不是圆 13 只有切向加速度的运动一定是直线运动 答 正确 没有法向加速度 说明曲率半径无穷大 因此是直线 2 29 在平静的湖面上 甲乙两船各以恒速 v1和 v2行驶 判断两船是否相撞的最简单方法是 什么 分析 已知两物体速度 判断物体的行驶轨迹 如果我们选择甲船作为参照系 那么认为甲 船不动 只有乙船在运动 这样判断是否相撞就容易的多 注意参考系与坐标系的选择 答 在平静的湖面上 没有风 说明船无加速度 甲乙两船的速度恒定 那么两船均作匀速 直线运动 选择甲船作为坐标原点建立坐标系 以初始时刻甲船和乙船连线为坐标轴 甲指 向乙为正方向 则乙船相对于甲船的运动速度 得