（金融学专业论文）指数投资组合优化方法的比较研究.pdf

指数投整组合优化方法的比较研究 中文提要 中文提要 指数化投资是一种消极的投资策略 它试图完全复制某一证券价格指数或者 选取证券价格指数中的部分资产构建投资组合而进行证券投资 指数化构造方法 一般可以分为三类 完全复制法 优化选样法和抽样复制法 从其构造原理中可 以看出 分层抽样法和优化选样法是比较合理有效的构造方法 此外 指数投资 组合的构建及其优化问题是这两种指数化构造方法中最关键的环节 因此 本文 研究的重点是指数投资组合的优化问题 本文首先在介绍国外指数优化方法的基础上 提出了我们使用的9 种指数投 资组合优化方法的目标函数及需要考虑的约束条件 然后 在实证研究部分 本 文以上证1 8 0 指数的1 8 0 只成分股为优化对象 通过最小化9 种优化方法的目标 函数 求出 8 0 只成分股的最优持有权重和最优持有数量 从技术上构造最优的 指数投资组合 并进行样本外绩效的检验和比较 最后 得出两种比较符合我国 证券市场实际情况的较好的指数优化方法 最小最大化模型 m i n m a x 和均值一 方差优化方法 其中 m i n m a x 的整体表现要优于均值一方差优化方法 关键词 指数化投资优化方法跟踪误差投资组合 作者 李娟 指导老师 贝政新 t h ec o m p a r i s o na b o u to p t i m i z a t i o nm e t h o d st o c o n s t r u c ti n d e xi n v e s t m e n tp o r t f o l i o a b s t r a c t i n d e xi n v e s t m e n ti sak i n do fp a s s i v ei n v e s t m e n ts t r a t e g i e s hc a nb ed o n eb y i n v r i n gi na l lc o n s t i t u e n t so ft h ei n d e xp r o p o r t i o n a lt ot h e i rs h a r ei nt h ei n d e xo rb y s e l e c t i n gas m a l l e rs u b s e to ft h ea s 跳i nt h ei n d e x w e 咖c l a s s i f yt h ei n d e x i n v e s t m e n tm e t h o d si n t ot h r e ec a t e g o r i e s f u l lr e p l i c a t i o nm e t h o d o p t i m i z e ds a m p l i n g m e t h o d a n ds a m p l i n gr e p l i c a t i o nm e t h o d s e e nf r o mt h es t r u c t u r ep r i n c i p l e s t r a t i f i e d s a m p l i n gm e t h o da n do p t i m i z e ds a m p l i n gm e t h o da r e r a t i o n a la n de f f e c t i v e i n a d d i t o n a l c o n s t r u c t i n gt h eo p t i m a li n d e xi n v e s t m e n tp o r t f o l i oi st h em o s te s s e n t i a ll i n k i nt h et w oi n d e xi n v e s t a m c n tm e t h o d s t h e r e f o r e t h ee m p h a s i so ft h i sp a p e ri sh o wt o c 蚰s 打i l c tt h eo p t i m a li n d e xi n v e s t m e n tp o r t f o l i o i nt h i sp a p e r b a s e do nt h ei n t r o d u c t i o no fo v e n e a si n d e xo p t i m i z a t i o nm e t h o d s w ed e s i g nn i n ek i n do fo b j e c t i v ef u n c t i o n sa n ds o m ec o n 刚矗山1 tc o n d i t i o n sa b o u t o p t i m i z a t i o nm e t h o d st o c o t 1 s t r u c ti n d e xi n v e s t m e n tp o r t f o l i o t h e n i n 锄p i r i c a i a n a l y s i s w ec h o o s e1 8 0i n g r e d i e n ts t o c k so fs h 柚g i l a ii n d e x1 8 0a st h eo p t i m i z e d o b j e c t s t e c h n i c a l l yc o n s t r u c tt h eo p t i m a li n d e xi n v e s t m e n tp o r t f o l i ob ym i n i m i z i n gn i n e k i n do fo b j e c t i v ef u n c t i o n st oe x t r a c lt h es u p e f i o r j yw e i g h ta n dt h es u p e r i o r l yq u a n t i t y o f18 0i n g r e d i e n ts t o c k s a n dt e s tt h ea c h i e v e m e n t so fo u rp o r t f o l i ob y 璐i n go u to ft h e s a m p l ed a 衄f i n a l l y w ec h o o s et h et w ob e t t e ri n d e x so p t i m i z a t i o nm e t h o d sc o n f o r m i n g t ot h ea c t l l 蚰s i t u a t i o no fc h i n a ss t o c km a r k e t t h e 脚j i l i m i z c d 加脚 i m i 2 e dm o d e l m i n m a x a n dt h em e a n v a r i a n c eo p t i m i z a t i o nm e t h o da n dt h ew h o l ep e r f o r m a n c e u s i n gm i n m a xi sb e l t e r k e y w o r d s i n d e xi n v e s t m e n t o p t i m i z a t i o nm e t h o d s t r a c k i n ge 玎侃i n v e s u n e n tp o r t f o l i o i l w r i t t e nb y l ij u a n s u p e r v i s e db y b e iz h e n g x i n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明 所提交的学位论文是本人在导师的指导下 独立 进行砑究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果 也不含为获得苏 h 大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料 对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人承担本 声明的法律责任 研究生签名 年日期 2 呜l 学位论文使用授权声明 苏州大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆 清华大学论 文合作部 中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论 文 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 除在保密期内的 保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文的 全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权苏州大学学位办办理 研究生签名 左生目 日 期 翻 三 l 导师签名 固 咕 指数投资组合优化方法的比较研究 第一章引言 第一章引言 第一节指数化投资与指数化构造方法 一 指数化投资及其产生和发展 一 指数化投资的内涵 在投资管理中 基本上有两种公认的投资策略 即主动型投资策略和被动型 投资策略 也被分别称为积极的投资策略和消极的投资策略 主动型投资策略的目 标是通过积极主动地管理投资组合 使其增值或产生高于某一目标的回报 而被 动型投资策略正好相反 很大程度上看准某一指数作为其资产投资管理的基准 也称为指数化投资o 根据迪恩 利巴朗和罗迈什 瓦迪伦格姆 2 0 0 0 年 的定义 指数化投资是以获得某一特定市场的基准回报为目的的投资行为 在证券市场中 指数化投资被定义为 是一种消极的投资策略 它试图完全复制某一证券价格指 数或者选取证券价格指数中的部分资产构建投资组合而进行证券投资 其目标收 益水平是与所跟踪指数的变化幅度持平 同积极的投资策略相比 指数化投资具 有以下几点优势 1 指数化投资可以充分地分散投资组合 降低非系统性风险 投资组合理论认为 如果一个证券投资组合中所包含的证券数量较多 证券 分布面较广 通常可以有效地降低投资组合中的非系统性风险 指数化投资的对 象通常是某一特定的指数或者指数中的部分资产 构成投资组合的证券数量有保 证 而且来自各行业或各行业下的各部门 具有较大的代表性 因此 与积极的 投资策略相比 指数化投资的非系统性风险较小 2 指数化投资可以降低其费用支出 具有成本效率和税收效率 指数化投资采用的是跟踪某一特定指数的消极的投资策略 不需要花费大量 的人力 物力和财力去寻找和分析投资信息 可以降低其研发费用 同时 由于 被动型投资策略通常在理论上可具体分为三大类 第一类是买进并持有策略 第二类是局部风险免疫策略 第三类指数化投舞策略 在实践中 由于指数化投资具有分散化投资的特点 而且受到多种理论的支持 因此在许多教科书中常常将被动型投资和指教化投资的概念等同起来 指数投资组合优化方法的比较研究 第一章引言 指数化投资通常采用长期投资的方式 的交易成本和管理运作费用 如佣金 效率和税收效率 进出市场频率和换手率减少 节约了大量 市场冲击成本 税收等 具有一定的成本 3 指数化投资有助于降低基金经理人的风险 在积极的投资策略下 一方面基金经理人的投资选择取决于基金经理人自身 的投资分析能力 一旦判断失误将会使投资者蒙受损失 导致经营风险 另一方 面 由于基金经理人以追求自身利益最大化作为其目标 当基金经理人的利益与 投资者的利益发生冲突时 特别是当基金经理人的投资行为受某些 特殊利益 驱动时 基金经理人很难作出客观公正的选择 这将导致 道德风险 损害投资 者的利益 而指数化投资只需进行指数复制 无须过多涉及股票选择的问题 因 此降低了经理人的风险 由于指数化投资具有以上的优势 自2 0 世纪7 0 年代以来 指数化投资策略得 到了广泛的应用 指数化投资产品逐渐成为一种重要的投资方式 二 国外指数化投资的发展进程 指数共同基金是指数化投资的先驱 1 9 7 1 年 威弗银行为s a m s o n i t e 养老金计 划建立了一个以纽约综合股票指数为基础的等权重的投资组合 从此拉开了指数 化投资发展的序幕 标志着指数化投资开始从学术界引入实践 但是早期的投资 组合主要是针对机构投资者设计的 因此并不普及 世界上第一只指数共同基金 是先锋集团在1 9 7 6 年8 月发起设立的先锋标准普尔5 0 0 指数基金 在此之后 指 数化投资迅速普及和流行起来 到2 0 世纪8 0 年代末全美国只有4 3 只指数基金在 运作 1 9 8 0 年美国机构投资者持有的指数基金的资产为1 0 0 亿美元 到1 9 9 6 年底 这部分资产已经达到了1 0 0 0 亿美元 个人投资者持有的指数基金资产也从1 9 9 0 年 的4 0 亿美元增加到了1 9 9 6 年底的5 8 0 亿美元 截止1 9 9 9 年末美国指数基金总资 产量达到3 3 8 0 亿美元 占全美股票基金总量的8 3 7 根据美国 养老金与投资 新闻 p e n s i o na n di n v e s t m e n t n e w s 的资料 2 0 0 2 年全球指数化投资的资产已经 达到了2 3 万亿美元 其中用于国内证券指数化投资的资产达到了1 6 万亿美元 用于国际股票和债券指数化投资的资产也分别达到了4 5 8 0 亿美元和2 7 7 5 亿美元 与此同时 指数基金产品也在不断地创新和丰富 由单纯的标准普尔 s p 5 0 0 指数基金衍生出众多指数基金产品如成长型指数基金 价值型指数基金 混合型 2 指数投资组合优化方法的比较研究 第一章引言 指数基金等 1 9 8 2 年2 月美国密苏里州堪萨斯农产品交易所首次推出采用美国证券交易所 价值线综合指数为标的的股票指数期货交易 同年4 月 芝加哥商品交易所 c m e 开展了指数期货业务 5 月 纽约期货交易所 n y l 屯 也开展了指数期货业务 据美国期货业协会 f n 统计 到2 0 0 3 年全球股指期货的交易量已经超过了2 5 2 万亿美元 占金融期货交易总量的1 4 左右 1 9 8 3 年芝加哥期权交易所 c b o e 首先推出指数期权交易 由于股指期货与期权的独特功能和灵活多样的操作方式 迅速成为指数化投资的新型替代投资工具 通过股指期货与期权 投资者可以以 更具效率的方式构建投资组合 股指期货与期权具有四个主要功能 套期保值 价 格套利 股市投机 增强型指数化投资 这些短期交易功能与指数基金的长期投 资功能形成了职能上的互补与完善 1 9 8 9 年3 月 一种新型投资工具1 口s 在多伦多股票交易所取得成功 t i p s 是交易所交易基金的雏形 这些产品最早被称为 指数参与单位 1 r i p s 后来 更名为 交易所交易基金 e t f s e t f s 是继封闭型基金与开放型基金之后的第 三代投资基金 作为在交易所上市交易的储蓄存单或凭证 它所代表的投资组合 通常是以某一股市指数为基础 因而就构成了指数化投资的另一种新型工具 e t f s 与其他类型的基金相比具有独特优势 它结合了封闭式与开放式基金的优点 为 投资者提供了最大的交易便利 更为灵活的交易方式和更低的交易成本 因此 e t f s 拓展了指数化投资的内涵与深度 为市场提供了种类繁多而且简便易行的选 择 进入九十年代以后 指数化投资更是取得了显著的增长 截止到2 0 0 0 年 美 国机构采用指数化投资的免税资产已经从1 9 8 8 年的1 7 9 0 亿美元上升到1 6 1 9 0 亿 美元 此外 在欧洲和亚洲等其他国家指数化投资也正在迅速发展 指数类金融 创新产品不断涌现 1 9 9 3 年1 月2 9 日 美国证券交易所 a l 旺x 通过一个全资 子公司推出了标准普尔5 0 0 指数存托凭证s p d r s s t a n d a r da n dp o o r sd e p o s i t o r y r e c e i p t s 当天的交易量就超过1 0 0 万个基金单位 并持续地吸引投资者的参与 迄今的日均交易量超过了2 5 0 万个基金单位 1 9 9 5 年 a m e x 推出了标准普尔中 盘4 0 0 指数 s p m i d c a p 4 0 0 i n d e x 存托凭证 1 9 9 6 年3 月1 8 日 a m e x 又推 出了基于跟踪摩根斯坦利资本国际 m s c i 国家指数的e i t s 产品w e b s 世界 指数投资组合优化方法的比较研究 第一章引言 股权基准单位 t h ew o r l de q u i t yb e n c h m a r ks h a r e s 1 9 9 8 年1 月2 0 日 道琼斯公 司推出了基于道琼斯工业平均指数的e t f s 产品d i a m o n d s 其报价单位是道琼 斯工业平均数的百分之一 以行业指数为标的的可选择行业的s p d r s 和以纳斯达 克1 0 0 指数为标的的q q q 等多个e t f s 品种也相继推出 2 0 0 0 年 i s h a r e s 系列 5 0 多个e t f s 的同时推出 使e r f s 成为投资者进行长期投资和套利交易的重要工 具 根据美国投资公司协会 i c i 统计 2 0 0 3 年4 月 全球e t f s 的资产总额已 经超过了1 5 0 0 亿美元 1 0 年间共计增长了3 0 0 多倍 具体来看 截至2 0 0 3 年9 月 全球共有2 6 9 只e t f s 于2 8 个国家或地区交易 总规模达1 7 6 7 亿美元 图1 1 显示了1 9 9 3 年 2 0 0 3 年全球e t f s 的发展状况 也有资料显示 截至2 0 0 6 年4 月1 3 日 全球e t f s 基金规模已达到3 1 2 0 亿美元 近3 年的年均增长率达4 3 1 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 8 1 9 9 92 0 0 02 0 0 12 0 0 22 0 0 3 匡亟亘亟三珂 图1 1 1 9 9 3 年一2 0 0 3 年全球e t f s 的发展状况 左纵坐标一柱形 右纵坐标一线形 资料来源 m o r g a ns t a n l e yr e s e a r c ha n db l o o m b e r g 三 国内指数化投资的发展进程 随着国外指数化投资的发展 我国基金市场也受到了一定的影响 不仅带来 了基金投资品种的增加 还带来了投资方式和理念的改变 1 9 9 9 年7 月8 日 我 国出现了第一批优化型指数基金一基金兴和和基金普丰 标志着指数化投资理念 指数投资组合优化方法的比较研究第一章弓i 言 开始引入我国证券市场 到1 9 9 9 年底第三只优化型指数基金一基金景福也正式成 立 这三只优化型指数基金都是封闭式的指数基金 其投资组合是由三部分组成 指数化投资部分 主动股票投资部分和国债投资部分 其中指数化投资部分的目 标投资比例为基金资产的5 0 最低不少于基金资产的3 0 国债投资部分不低 于基金资产的2 0 其他部分的基金资产则可以用于股票的主动投资 由于这三 只优化型指数基金在资产投资分配比例 交易模式 管理方法等方面与国外真正 的指数基金相比还有很大的差异 因此 它们还不是真正意义上的指数基金 2 0 0 2 年l o 月8 日 国内第一只开放式增强型指数基金一华安上证1 8 0 指数增 强型基金获准成立 其投资目标定为 运用增强型指数化投资方法 通过控制股 票投资组合相对上证1 8 0 指数有限度的偏离 力求基金收益率适度超越比较基准 并在谋求基金资产长期增值的基础上 择机实现一定的收益和分配 m 虽然将控 制跟踪误差作为明确的投资目标 且指数化投资部分的目标投资比例设定为7 5 但该基金最终目标还是要超越指数 且指数化投资比例具有较大的可调整性 因 此 该基金仍然和标准意义上的指数基金有一定差距 到2 0 0 3 年2 月 天同1 8 0 指数基金正式推出 它以完全拟和上证1 8 0 指数为目标 指数化投资目标比例为 8 0 且不低于7 0 相对于前几只指数基金而言 它是一只与标准意义比较接近的 指数基金 标志着指数化投资理念在我国证券市场进一步发展 投资方式由过去 的 积极型投资 逐步向 被动型投资 转变 此后 我国基金市场又相继推出 了多只开放式指数基金 如博时裕富指数基金 融通深证1 0 0 指数基金 易方达 5 0 指数基金等 面对近年来迅猛发展的全球e t f 市场 我国证券市场在2 0 0 4 年1 1 月2 9 日正 式推出了国内首只交易型开放式指数基金上证5 0 e t f 从而揭开了我国指数衍生 产品深化的序幕 进入2 0 0 6 年以来 我国e t f 产品呈现出加快发展的势头 上证 1 8 0 日吓 深证1 0 0 e t f 上证红利f r f 中小板e t f 交易型开放式指数基金相继 发行 而南方中证小康e t f 等也在积极推进之中 另外 2 0 0 6 年1 0 月2 3 日 中 国金融期货交易所正式公布了 沪深3 0 0 指数期货合约 征求意见稿 交易细 则 征求意见稿 结算细则 征求意见稿 和 风险控制管理办法 征求意 华安上证1 8 0 指数增强型证券投蹙基金招募说明书 华安基金管理有限公司同站 2 0 0 2 年 5 指数投资组合优化方法的比较研究第一章引言 见稿 向全社会征求意见 这说明股指期货的推出进入了倒计时 目前 我国证券市场对外开放和产品创新的步伐不断加快 q v u 制度推出后 境外合格机构投资者依然把中国这个新兴市场纳入其全球资产配置的体系 可以 预见 在股权分置改革成功推进 各类指数日益丰富 证券市场监管制度和上市 公司治理结构日益完善的情况下 指数化投资理念和方式将在我国有更进一步的 发展 二 指数化构造方法 无论是指数基金 指数期货 指数期权还是e t f s 等 都要涉及到指数复制问 题即指数化构造问题 对指数基金 e t f s 来讲 实现追踪指数这一目的是通过构 建指数投资组合来复制标的指数 而对指数期货 指数期权等其他指数类金融产 品来讲 通过复制指数来进行以对冲交易为主要目的的指数套利操作是规避风险 和进行投机的必不可少的操作手法 可见 研究指数化构造问题有着重要的理论 意义和应用价值 它是指数衍生品 包括指数基金 e t f s 等 产品设计 指数套 利及实施指数化投资策略的一个核心环节 根据基本构造原理的不同 指数化构 造方法一般可以分为三类 完全复制法 优化选样法和抽样复制法 一 完全复制法是试图采用完全复制目标指数样本股的方法构建跟踪组合 即将目标指数中包含的所有成份股全部作为一个跟踪组合 并且按照每种成份股 在目标指数中的权重确定购买的比例构建跟踪组合 从而达到复制指数的目的 这种方法的优点是 管理方式较为简单 而且具有全面的代表性和投资的分散性 但在实际操作中 由于分红派息 新股上市和增发新股等因素的存在 会使其构 建的投资组合与目标指数之间产生偏差 还由于买入量需要整 手 数和其他一 些限制条件也使得它的投资组合发生一定程度的滞后和偏差 此外 完全复制指 数还可能面l 临很大的流动性风险 可能导致较高的调整频率和追踪成本 主要是 交易费用 因此 考虑在较小的跟踪误差范围内如何用少量的成份证券 少量资 产 来实现对整个目标指数的优化复制问题就显得尤为重要 优化选样法是通过对选定目标指数中各成份股的历史数据和相关指标 进行分析和优化 采用最优化算法模型来寻找一个可控数量和一定误差范围内的 投资组合 使该投资组合相对目标指数的追踪误差最小 如果优化求解得出的某 6 指数投资组合优化方法的比较研究第一章引言 成分股的权重值为零 就剔除该成分股 不为零 就保留该成分股并按计算出来 的权重值配置资产 然后使用这个包含股票数量较少的投资组合来拟和目标指数 以达到指数化投资的目的 优化选样法的优点是投资组合选取的证券数目大为减 少 分红派息的影响将大大降低 并且优化方法与跟踪管理之间很容易建立起比 较好的联系 从方法论上保持了投资策略的一致性 当然 该方法也有不足之处 由于优化所使用的许多指标和变量是来源于各种估计 估计都会存在一定的偏差 而优化结果对这些估计的偏差非常敏感 另一方面 由于各种估计值主要依赖于 历史数据 对未来的预测能力较弱 在一些极端的情形下可能会出现较大的偏差 因此 优化选样法一般要比其它的指数化投资方法占用更多的监控资源 但随着 计算机技术的发展以及最优化方法的应用 这已不再是问题 三 抽样复制法指的是采用一定的随机或非随机抽样方法从构成指数的成 份股中抽取若干股票构成用于复制指数的跟踪组合的方法 抽样法复制指数按照 其抽样原理可以进一步分为三类 简单随机抽样法 大权重样本复制法 分层抽 样法 1 简单随机抽样法是指根据简单随机抽样原则 从指数成份股中随机抽取指 定数量的股票 并按指数中对应股票的权重比例设置投资比例系数构成跟踪组合 的方法 这种方法通常不用于指数跟踪的实践 主要用于作为其它非全样本复制 跟踪指数的方法的一个比较和参照的基准 用于验证该方法的有效性 2 大权重样本复制法是抽取指数样本股权重最大的若干只股票 并以它们在 指数中的权重作为投资比例系数构成跟踪组合 即通过买卖指数中这些大盘股来 实现指数化投资的目的 相对于买卖小盘股 这些股票的流动性风险会更小 减 少了交易成本 但是 这种方法由于大权重的股票无法在流通市值 行业等属性 上均匀覆盖 造成大盘股组合相对指数有明显的系统性偏差 指数跟踪误差的效 果不佳 3 分层抽样法的一般做法是首先将构成指数的成分殷按某一特征分成若干个 互不相交的行业类别 以不同行业类别在目标指数中所占的权重来决定在该行业 类别内的投资量 然后分别从每个行业类别中按照与行业整体相关性 总市值及 市盈率水平等有关指标的综合评价结果 选取最能代表该行业类别的样本股构造 投资组合来拟和目标指数 分层抽样的这种做法是基于国内外大量的实证研究结 7 指数投资组合优化方法的比较研究第一章引言 论 研究表明 在对多个市场或在同一个市场中进行分行业投资的时候 投资结 果的好坏大约有7 0 是受市场或行业选择的影响 而只有3 0 的影响是由证券选择 造成的 当行业的划分比较适当的时候 采用分层抽样法可以对市场变化的主要 部分进行较好的控制 按行业分层抽样是一种最常用的分层抽样方法 除此之外 还有其他多种方法 比如按总股本或流通股本大小分层抽样 使用多元统计中聚 类分析方法分层抽样等 分层抽样法在两个不同的步骤上分别结合了完全复制法和优化选样法的长 处 同时又巧妙的回避了两者的不足之处 使其成为一种较为实用有效的方法 国外大多数指数基金也都是采用分层抽样法进行指数化投资的 分层抽样法 实 际上是两阶段优化法 即第一阶段是抽样 根据一定的标准选出最有代表性的样 本证券 第二阶段是权重的优化再配置 通过最优化算法模型的应用 求出追踪 组合内各样本股的犀优权重 使得组合的表现与标的指数相一致 即跟踪误差最 d 第二节问题的提出和本文研究的重点 从上文三类指数化构造方法的构造原理中可以看出 分层抽样法是一种比较 合理实用的构造方法 同时优化选样法在计算机技术的发展以及最优化方法的应 用中也成为一种可行有效的构造方法 此外 还可以看出指数投资组合的构建及 其优化问题是这两种指数化构造方法中最关键的环节 优化问题历来是数学家所关心的问题 牛顿 n e w t o n 和莱布尼茨 l e i b n i z 在1 7 世纪创造了微积分 通过函数的微分等于零来求函数的极值问题 而拉格朗 日 l a g r a n g e 采用拉格朗日乘法解决了多元函数求极值的问题 到2 0 世纪3 0 年 代末期 由于军事和工业发展的需要 提出了许多不能用古典的微分法 差分法 和简单拉格朗日乘法解决的最优化问题 后来 在许多数学家的努力下 逐渐发 展和形成了一些新的数学方法一最优化方法 最优化问题的基本概念是 设 x 而 7 1 为n 维欧氏空间e 内的一点 厂 工 岛 x o l 2 m 鬼 r f 珊 l p 为给定的n 元函数 则一般的最优化问题是指在约束条件 s 指数投资组合优化方法的比较研究第一章引言 蜀 x 0 f l 2 m 和略 x 0 f m l p 下 求向量x 使函数f x 取极小值 或极大值 这里厂 工 称为目标函数 吕 x 0 称为不等式约束条件 鼻 x 0 称为等式约束条件 x f x x 2 7 称为设计变量或决策变量 最优 化问题可简写为 f m i nf x k 岛 工 o 扣1 2 聊 囊 x 0 i m l p 公式1 1 本文研究的重点是指数投资组合的优化问题 即以上证1 8 0 指数的1 8 0 只成 分股为优化对象 通过最小化各种常用的指数投资组合优化方法的目标函数 求 出1 8 0 只成分股的最优持有权重和最优持有数量 从技术上构造最优的指数投资 组合 最后进行样本外绩效的检验 从而确定一种或两种比较符合我国证券市场 实际情况的较好的指数优化方法 便于基金管理公司和其他机构投资者借鉴 同 时也为推动指数化投资在我国的应用和发展以及进行指数类金融产品创新方面提 供借鉴 第三节本文的创新点 一 为了使研究结果更加符合我国证券市场的现实 本文在设立了一些优 化约束条件的情况下 对各种常用的指数投资组合的优化方法进行了比较 二 在构造最优投资组合时 研究时间段的选取更加具有有效性 由于上 证1 8 0 指数每半年调整一次 因此本文以上证1 8 0 指数第一次正式对外发布或调 整前半年的历史数据来构造最优的投资组合 并且 直持有此投资组合直至下一 次调整时为止 然后再重新构造投资组合 三 本文以上证1 8 0 指数第一次正式对外发布或调整之后的5 个交易日 3 0 个交易日和截至下次指数调整日期间的历史数据来进行样本外绩效的检验 此 检验区间的划分能更加全面的从近似短期 中期和长期的方面说明检验结果的有 效性 9 指数投资组台优化方法的比较研究 第二章文献回顾 第二章文献回顾 第一节国外的指数优化方法及实证研究 在指数投资组合的优化中 无论是分层抽样还是优化选样都要用到优化方法 中的模型算法来进行求解 求出投资组合内各样本股的最优权重 并使得该投资 组合相对目标指数的一些考核标准最优 这里的考核标准一般有两个 一是跟踪 误差 二是超额收益 国外的指数优化方法均是选择最小化跟踪误差作为考核标 准 而不是战胜指数 另外 这些优化方法均是在假定指数投资组合收益率与标 的指数收益率之间的偏差在时间序列上是独立的前提下提出的 有一定的局限性 下面就是对国外众多学者如何构建最优化模型算法并应用其对指数投资组合进行 优化求解的相关文献和研究的回顾 一 均值一方差优化方法 国外对指数投资组合优化方法 指数优化复制问题 的研究进行的比较早也 比较深入 早期主要是在m a r k o w i t z 建立的二次均值一方差模型的基础上来进行 的 m e a d e s a l k i n 1 9 8 9 和r i c h a r d r o l l 1 9 9 2 均提出了此类方法 r o l l 在 am e a n v a r i a n c ea n a l y s i so f t r a c k i n ge l l o r 一文中 利用m a r k o w i t z 的 均值一方差模型的研究方法对指数化投资中典型的跟踪误差最小化问题进行了研 究 基本原理是通过最小化组合收益率与标的指数收益率之差的平方和 即跟踪 误差波动率的最小化来改进组合对标的指数的复制效果 假设y 表示所跟踪指数随时间变化的收益率 y 是一个t 维列向量 x 表示 指数投资组合中的1 1 种股票随时间变化的收益率 x 是一个t x n 的矩阵 p 表示 需要求出的单支股票的价值占资产组合总价值的权重 e 表示指数投资资产组合与 指数收益率的线性偏差 即 e y 一 y j r r x r r m r f r r 公式2 1 此方法先将投资组合与指数收益率之间偏差的平方和占占定义为跟踪误差的 1 0 指教投资组合优化方法的比较研究第二章文献回顾 方差 然后通过确定n 种股票在投资组合中的权重p 使得跟踪误差的方差占占最 小化 目标函数为 呼s 弘m i n y x p 1 一x p 公式2 2 那么 容易求出最优权重为 x x 彳 y 公式2 3 由于计算简单 同时b 估计值具有良好的统计特性 计量经济学中的最优线 性无偏估计 这种方法在理论界是比较流行的 而且 还可以在模型中加入一系 列线性约束条件 比如不允许卖空 某股票的权重不能低于一个最低值 权重之 和等于l 等等 可以表示为 彳夕 b 夕 l 公式2 4 其中 a r 掣 b k 为约束个数 需要指出的是 如果增加不等式 的条件限制 b 估计值可能会失去良好的统计特性 作为二次跟踪误差的度量 一般把这个非居中偏差二阶矩的平方根称作跟踪 误差 尼 公式2 5 其中 r 表示投资组合的收益率 r b 表示同期基准指数的收益率 这就是理论 和实践中经常使用的跟踪误差的定义 它非常类似于标准差 但是由于它是一个 非中心的度量值 不论是正的和负的偏差 还是持续的低于或高于基准 都会影 响到跟踪误差的具体数值 r o l l 认为 利用跟踪误差波动率的方法进行优化而得到的组合一般不会是均 值方差有效的 它所产生的最优组合的标准偏差比基于收益波动率方法得到的最 优组合的标准偏差要大 r o h w e d e r 也认为 只有当投资者对投资组合的预期收益 及其与基准收益的协方差的估计准确无误时 跟踪误差最优化方法给出的最优组 合才是均值方差有效的 m e a d e 和s a l k i n 1 9 8 9 使用均值一方差优化方法 他们跟踪误差的定义与上 指数投资组合优化方法的比较研究第二章文献回顾 文提出的方法略有不同 但本质上是相同的 为 r x 8 一x p 或 一 一x 一x a r t 为数据的观测时间数 借助东京股票市场的数据分 别使用分层与不分层的方法构建指数投资组合 利用o u t o f s a m p l e 的数据对跟踪 误差进行检验 他们的结论是不分层的方法要优于分层的方法 y t a b a t a 和e t a k e d a 1 9 9 5 也在m a r k o w i t z 的有效边界和均值 方差模型的 基础上研究了指数基金的优化问题 他们对追踪误差的定义与r o l l 的定义一致 不同的是y t a b a t a 和e t a k o d a 在m a r k o w i t z 的有效边界的基础上发展出了一套优 化算法 并利用该算法进行了实证研究 该算法经过一系列的推理和简化 其目 标函数为 幽刚一矸 删觚一4 w 孱娅据 公龃6 其中 y 和x 分别代表有n 种成分证券的标的指数的收益率向量和有m 种证券的 投资组合收益率向量 4 厶和4 栅分别为对应维数的特征根实对称矩阵 成 为指数成分证券的权重向量 二 线性跟踪误差优化方法 9 0 年代以来 部分学者从线性的角度对指数投资组合优化方法进行了研究 k o n n o 和y a m a z a k i 在1 9 9 1 年提出了一种基于平均绝对偏差的模型 l l 础s km o d e l 并用它来代替传统的二次均值一方差模型 f e i n s t e i n 和t h a p a 1 9 9 3 将他们的模 型重新改写 使规划中非零资产的数量从2 t 减少到t 2 使计算量得到降低 c l a r k e 1 9 9 4 等人根据跟踪投资组合与基准收益率之间的绝对差额定义了跟踪误 差 在k o n n o 和c l a r k e 等人研究的基础上 m a r k 塔r u d o l f h a n s j u r g e nw o l t e r 和 h e i n zz i m m e r m a n n 1 9 9 9 在 al i n e a rm o d e lf o rt r a c k i n ge r r o rm i n i m i z a t i o n 一文 中 也把跟踪误差定义为组合收益率与标的指数收益率之问的差值 并因此提出 y 4 个线性跟踪误差最小化模型 即平均绝对偏差最小化模型 m a d 最小最大 化模型 m i n m a x 平均绝对向下偏差最小化模型 m a d d 向下最小最大化 模型 d m i n m a x l 平均绝对偏差最小化模型 m a d 指数投资组合优化方法的比较研究 第二章文献回顾 最早由k o n n o 和y a m a z a k i 1 9 9 1 提出 基本原理是求一权重夕 使得在样 本观测期内 投资组合收益率与指数收益率差的绝对值之和的均值最小化 目标 函数可定义为 唧n 扣眇一 i 公式2 7 其中 y 表示所跟踪指数的收益率 x 表示投资组合内各股票的收益率 b 表示 需要求出的单支股票的价值占资产组合总价值的权重 1 1 1 胄7 在实际计算中 投资组合的权重声也可以由绝对偏差之和来决定 即 呼 1 i x p r t 公式2 8 2 最小最大化模型 m i n m a x 基本原理是求一权重口 使得在样本观测期内 最大绝对偏差值最小化 即 将偏差最大的情况降为最小 目标函数可定义为 呼 m a x l x f l z 1 公式2 9 其中 z 表示t 时刻标的指数收益率 置表示t 时刻投资组合内各股票收益率 p 表 示需要求出的单支股票的价值占资产组合总价值的权重 3 平均绝对向下偏差最小化模型 m a d d 对于多数投资者而言 会认为投资组合的收益率低于所跟踪的标的指数收益 率时才存在风险 而在投资组合收益率高于指数收益率时则不存在风险 在投资 管理中 这种风险被称为 下跌风险 h a r l o w 1 9 9 1 在这种风险度量方法 下 最小化跟踪误差的问题被限制在最小化资产组合收益率低于指数收益率时的 偏差上 在m a d 模型中 这意味着在组合收益率低于指数收益率的限制下平均绝 对偏差最小化 目标函数可定义为 呼扣印一刁 劫 耳 公式2 1 0 其中 向量x 和 分别由x 和y 中满足置夕 r 的行组成 在实际计算中 目标函数也可写成 指教投资组合优化方法的比较研究第二章文献回顾 呼 1 p f 劫 f 公式2 1 1 4 向下最小最大化模型 d m i n m a x 在m i n m a x 模型中 这意味着在组合收益率低于指数收益率的限制下最大的 绝对偏差最小化 目标函数可定义为 r 1 扣 m a x x p z 9 z 0 定义总损失函 数为 r q x 仃 烈 r x p a 公式2 1 6 1 w l 若应用h u b e r 最大似然回归估计 则损失函数可以变换为 指数投资组合优化方法的比较研究第二章文献回顾 酏 嚣扣 公式2 1 7 其中 e y z 2 z x t t x e r n 盯 o u 1 o q e i o c 为 常数 若应用t u r k e y 最大似然回归估计 则损失函数可以变换为 岛 蚱 l z d 2 u t 1 a t 6 如果h i d 公式2 8 如果 d 其中d 为常数 定义目标函数为 m i n 烈x 实证结果表明 当样本区间的市 场指数波动较大时 应用鲁棒回归法来计算最优指数投资组合效果较好 j e b c a s l e y n m e a d e 和t j c h a n g 2 0 0 1 提出了一种启发式优化算法 他们 通过最小化组合收益率与标的指数收益率差的平方和的均值平方根来解决跟踪误 差的最优化问题 目标函数可定义为 j 三石 m i n ix y x p y x p m i l l m l n 1一 占占2 t pt 公式2 1 7 而后 m g i l l i 和e k e l l e z i 2 0 0 1 等人又提出了另一种启发式算法 既考虑到线 性跟踪误差又考虑到非线性跟踪误差 定义在样本时间段t 内的跟踪误差e 为 e 眇一j r 户卢 口 o l 公式2 1 8 定义投资组合收益率与指数收益率在样本时间段t 内的平均偏差r 为 r 扣 x 一j 最小化目标函数f 定义为跟踪误差e 与平均偏差r 的加权平均值 f a e 一 1 一五 r 公式2 1 9 公式2 2 0 其中五 o l f r a n c e s c oc o r i e l l i 和m a s s i m i l i a n om a r c e l l i n o 2 0 0 2 基于动态因素模型 考 虑了指数成分股动态变化的特征 通过最小化样本期内损失函数的方法来解决指 1 6 2 坼 4 6 d d 一2 一6 f 指数投资组合优化方法的比较研究 第二章文献回顾 数投资组合的最优化问题 他们以e u r o s t o x x 5 0 指数为样本傲了实证研究 在具 体的算法上使用了蒙特卡洛模拟来求解最优的成分股权重 蒙特卡洛模拟是用一 系列随机数来寻找近似解的一种方法 他们构建的模型如下 定义以市值加权的 标的指数的价值矩阵为 p p 并且价格基于只 m p 的因素模型来实现 其中 为l n 的权重向量 b 为n xl 的价格向量 z 为r x l 的因素向量 a 为 n x 的因素权重矩阵 岛为n xl 的随机扰动项 此外 定义标的指数的选择组 合市值为 届辆 其中 为l 9 的权重向量 s 为q x n 的选择矩阵 即从n 个价格只中选出g 个组成的矩阵 通常损失函数就定义为 r g r g d 仇 c g l 公式2 2 1 其中r l 1 1 一i i c g 为用以修正参数变换的惩罚因子 则目标函数为 m i n g r g 此外 研究者还尝试使用其他更为复杂的方法对求解最优的指数投资组合问 题进行研究 如p a o l od a ip r a w o l f g a n gj r u n g g a l d i e r 和m a r c ot o l o t t i 2 0 0 2 利 用随机控制和顺向优化法 d a v i dd y a o 2 0 0 3 等人采用随机线性二次控制法 s l q 并利用半限量规划 s d p 等方法求解 虽然这些方法在处理优化问题时更加灵活且具有较强的适应性 但计量和控 制都比较复杂 在实际操作中并不常用 随着最优化理论 方法和计算机技术的 发展 更多的新理论 新方法将被应用到指数基金以及其他相关产品的设计和管 理上来 使得指数投资组合优化问题的研究更加深入 第二节国内的实证研究 由于国外指数优化理论 方法及实证研究都处于领先地位 国内学者对我国 优化指数投资组合的研究一般是从理论与方法的介绍以及实证方面下工夫 通过 运用国外学者的理论 方法 结合中国的实际进行某些尝试 一 倪苏云 吴冲锋 2 0 0 1 从指数基金经理投资决策的实际出发 在k