（运筹学与控制论专业论文）一类发展方程的初边值问题.pdf

摘要 本文分四章，第一章为引言；第二章研究一类线性发展方程的初边值问题的整体广义 解和整体古典解的存在性与唯一性；第三章研究相应的非线性发展方程的初边值问题的 局部广义解的存在性与唯一性；第四章研究所述问题的解的爆破 我们研究下面这类非线性发展方程 u 悦一七l u + 七2 2 u t + 9 ( 钍) = ，( u ) ，( 嚣，t ) n ( 0 ，t ) 其初边值条件为 “( z ，o ) = 妒( 嚣) ，“t ( 。，o ) = 妒( z ) ， z n “= o ，“= 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，? ) 或者 “( z ，0 ) = 妒( 工) ，“( z ，o ) = 妒( 石) ， 。n u _ o ， 券_ o ， ( 州) a n ( o l p ( 茁) ， a “ a p “( z 0 ) = 妒( z ) ， 。n o ， ( z ，) a q ( o ，t ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 其中，u ( x ，t ) 是未知函数，l ，2 o 是常数，g ( s ) ，“s ) 是给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 是 已知的初始函数，v = ( 击，去，一，去) 表示梯度算子，ncr “m = 1 ，2 ，3 ) 是具有充分光 滑边界a n 的有界区域，v 是a n 的外法线方向，t o ，q t = n ( o ，t ) 我们先研究线性方程 “一七1 “+ 膏2 2 “= g ( z ，t )( 8 ) 其中g 是关于x ，t 的函数我们将证明方程( 8 ) 的三种初边值问题的整体广义解和整体 古典界的存在性与唯一性，然后利用压缩映射证明方程( 1 ) 的三种情况的局部广义解的 存在性与唯一性 定理1 设妒日4 ( n ) ，妒胪( n ) ，g g ( 【o ，t 】；l 2 ( q ) ) ，则问题( 8 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 或问 题( 8 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 或问题( 8 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 存在唯一的整体广义解“( 。，t ) g ( 【o ，引；日4 ( n ) ) ，且咄 g ( o ，明；日2 ( n ) ) n 工2 ( 【o ，卅；日4 ( q ) ) ，u “铲( 仇) ，且u ( x ，t ) 满足等式 r rr u “一南1 + 七2 2 t g ( 茁，t ) ( z ，t ) d z d t = o ， v 工2 ( q r ) 定理2 设妒日7 ( q ) ，妒胪( n ) ，g ( 。，t ) 日1 ( 【o ，卅；日4 ( n ) ) n g ( 【o ，t 1 ；日4 ( n ) ) ，g ( z ，o ) i ) 0 = 啦丝渺 耆或 w h e r e f ( s ) = c ，( r ) 打 ( 凰) e ( o ) = lj 妒lj 2 + 1 | | v 妒i j 2 + 2 如g ( 妒) 如一2 如f ( 妒) 出 t h e nt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) o rt h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) o rt h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 6 ) ，( 7 ) b l o w su pi nf l n i t et i m ei fo n eo ft h ef b n o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( a ) e ( o ) o ( b ) e ( o ) = o ，2 如妒妒d 。+ 七2 i l 妒l | 2 o ( g ) e ( o ) o ，2 如妒妒出+ 2 i i 妒lj 2 2 、2 卢( 2 芦+ 1 ) e ( o ) p 一1 ( | 】妒l j 2 + 2 ) k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a t i o n ；i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；g l o b a l g e n e r a l i z e ds o l u t i o n ；9 1 0 b a lc l a s s i c a ls o i u t i o n ；l o c a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ；b l o wu po f s o l u t i o n v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：擞 日期：麴丛兰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北 师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复 制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名指导教师 日期：勘61 61 2 日期：碰zz 学位论文作者毕业后去向 工作单位：当壅空电话：z q 2 】2 ( 固f 移 通讯龇幽蠡缝咝! 7 知编：二 第一章序 论 1引言 本文将研究下面这类非线性发展方程 其初边值条件为 或者 或者 “七i “+ 2 毗+ 9 ( “) = ，( u ) 毗扛，0 ) ：妒缸) ， 。q 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，t ) u ( z ，o ) = 妒( z ) ，2 “( z 、0 ) = 妒( z ) ， z n u 扎 笔= o ， ( 州) d qx 1 0t 2 l ( z ，o ) = 妒( z ) ， u t ( z ，0 ) = 币( t ) ， z n 嚣扎警扎l 州) a 叫咿) ( 12 ) ( 13 ) ( 1 4 ) ( 1 5 f 16 fl _ 7 其中，u ( x ，t ) 是未知函数，h b o 是常数，g ( s ) “s ) 是给定的非线性函数，p ( z ) 和口( z ) 是 已知的初始函数，v = ( 矗，毫- ，畚) 表示梯度算子，ncr “机= 1 ，2 3 ) 是具有充分光 滑边界a n 的有界区域，”是a n 的外法线方向，t o ，q t = n ( o ，t ) 文f 1 中的作者研究了一类抽象发展方程的c “c h v 问题： t 6 n + a 1 “v r j 4 2 毗+ 目( u ) = ，肚) “( o ) = 啪， uc ( 0 ) = 吼 其中a 1 ，a 2 和n 分别是h i l b e r t 空间上的有界线性算子，g 是非线性函数，f 是已知函数 文i l 】中提出了其中一种特殊情形的方程： 文1 1 中提出了其中一种特殊情形的方程： u t c + 七l 1 一十凫2 “一t + g ( u ：，) z 。= ，( ， ( 19 ) u 扣，o ) = 妒扛) ，“t ( z 0 ) = 中( 口) ， z 丽 2几个常用的定理 下面介绍本文所用的几个常用不等式及引理 1 y o u n g 不等式 设o o ，6 o ，p l ，q l ，且；+ ；= 1 刚有 0 6 o ，6 o ， o ，p l ，口 l ，且；+ j = 1 则有 n 6 1 ，且：+ ；= l ，若，l ( n ) ，9 口( q ) ，则，9 l 1 ( n ) 且 ll ，( z ) 9 ( 。) 洳s 岍z 舭邴2 ) t 似2 。( n ) j n 特别地，当p = g = 2 时，称之为s c b w a r z 不等式 4g r o n w a l l 不等式 设u ( t ) ，v ( t ) ，w ( t ) 是定义在【a l b 】上的三个实函数，其中u 非负并 且在【a l b 上l e b e s g l e 可积，w 在【a ，b 上连续，而v 在 a ，b 1 上绝对连续，若它们满足 rc 训( ) ( t ) + 札( s ) ，( 5 ) d s ，n t 扣 jn 则当t 【n ，6 时， 。( t ) 。( 。) e ru ( 。) 如十，2 。fn ( r ) 出宰d 。 j s 5 a r z e l a a s c o l i 定理 口ce ( q ) 相对列紧的充要条件是 集合b 中的函数一致有界，即v “b ，愀z ) i lsm 扛n ) 集合b 中的函数等度连续，即v o ，j 6 = 6 ( e ) o ，当z l ，。2 n ，i z l z 2 i 6 时， 对v u 口，牟亨l 让( z 1 ) 一“( 石2 ) i 6 g a g l i a i d o - n i r e l l b e r g 插值定理m 】设n 是形中的有界区域，a q 伊又设u 叫) n 岛。( q ) ，1 p l ，p 2 o 。，对于任意的正整数 ，o f 七和满足 asl 的任意 数a ，置 = 导州麦一：，一一一= 一+ i lp n p 1p 2 n 4 如果一f 一嚣不是非负整数时，则成立 皑( n ) g 乞埘i “慨) ( n ) 如果一2 一品是非负整数时，则( + ) 对于 = 成立，其中常数c 依赖于n ，p 2 ，p l ，z 和a 5 第二章线性发展方程的三种初边值问题 l整体广义解的存在性与唯一性 只以问题( 1 ，1 2 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的证明为例，其它类似 为了证明问题( 1 1 2 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的整体广义解和整体古典解的存在性，我们要采用g a l e l k i n 方法和紧致性定理 设g 。( 。) 是由特征值问题 f v 2 掣+ 细= o ， n ， 【0 ) l a n = o ，( z ) 1 8 n = o 对应于特征值a i 0 = 1 ，2 ，) 的特征函数构成的l 2 ( q ) 中的标准正交基 令问题( 1 1 2 ) ，( 1 ，2 ) ，( 13 ) 的g a l e r k i n 近似解为 | v ( z ，t ) = d 。( ) m ( 霉) ， l = l 其中a ，( 一1 2 ，) 是待定函数，n 是自然数设初值函数妒( z ) 和币( 。) 可表示为 妒( 。) = p ；m ( z )母( 。) = 幽( z ) 其中肌和毛( 一1 ，2 ，) 为常数将近似解“( z ，t ) 代入( 1 1 2 ) 后，方程两端同乘以玑( ，) 并在5 2 二积分得 ( “。) 一七l ( “，玑) + 2 ( 2 “ r 。玑) = ( g ( z ，t ) ，掣。) ( 2 1 ) 其中”) = 如“( z ) ”( z ) d 。将近似解“( z ，t ) 和初值函数的近似 _ 整体广义解和涵潼颡蒋近似解嚣蘧四蜊- r 嘴嶝勰峨烈霪慧! ? j 彗囊鲮臻蠢篓专蓑 叠孳带鬟l 辩；苜罄t i 毒“、l 春髫车体l 托钵：“；l i蓠攀攀东g 强强誊垒；? 【i ! i lj篓il；j；li惹8；?r，!iif翥稍群麓婆囊翟“黠墅丝萋骂纠萋嚣话点厢m 一型衔掣藏发警 x 证明 ( 2 1 ) 两端同乘以 ；o 虬( t ) ，对s = 1 ，2 ，求和得 ( t 肌一詹l u + 也2 “m ，v 4 u ) = ( g 扛，t ) ，v 4 u ) 于是碉 ( 七2 2 “m ，2 u v ) = ( g ( z ，t ) + 七l 一u m t ，2 ，) 由y 0 u n g 不等式得 譬爰| l 2 “圳2 詈忪( 。，驯1 2 + 击1 | 2 u 圳2 + 詈肌川2 + 匀饯删2 + 字忪训+ 却成删2 取e l = e 2 = e 3 = 1 ，且两边对t 积分得 铆矾圳2 扣( 硎l 为。十鞭忪2 训阳t + ；i “m e 刍。+ ；z 2 | | u 俨a e 由( 2 3 ) ，( 2 7 ) 知 忪2 “圳2s 岛( 驯搬n ) 刊训孙删g ( 酬l 昌，) + 未n 2 u v | | 2 出 由g r o n w a l l 不等式得 1 | 2 u 1 1 2 瓯( 丁) ( | | 咿| | i ( n ) + | | 妒i i ；( n ) + i i g ( z ，t ) i l 为，) 瓯( t ) ( | | 妒i l i ( n ) + l 妒l i ；( n ) + | | g ( z ，t ) l l 为，) 定理21在引理212 及推论2 1 的条件下，问题( 1 1 2 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 有唯一的整体 广义解“( z ，) c ( o ，卅；日4 ( n ) ) 且毗g ( 【o ，t ) ：日2 ( n ) ) n 工2 ( 【o ，列；日4 ( n ) ) ，“l 2 ( q ) 且u ( x ，t ) 满足等式 z 1 五 u “一1 u + 2 2 u t g ( z ，t ) ) ( z ，t ) 出出= o ， v h l 2 ( q t ) 并且u ( x ，t ) 有连续导数v u ( z ，t ) 和广义导数v “( z ，t ) o = 2 ，3 ，4 ) ，v 。“( f _ l ，2 ，3 ，4 ) 和“n 证明 由引理2 1 2 和推论2 1 知问题( 1 1 2 ) ，( 12 ) ，( 1 3 ) 的近似解( z ，t ) 满足 。暑导i l u i | i ( n ) + 。凳舅! | u 肌l i ；( n ) + 1 1 u j i i 。( f o ，卅；h 。( n ) ) + i l u 帆。| | 为， 0 t t 、 0 t t 、7 “。“ 岛( t ) ( 1 | 妒1 1 i ( n ) + i l 妒1 i ；( n ) + i i g ( z ，t ) i l ，) ( 2 1 1 ) 9 囊缓弱霎i 雾；坦! 溪攀i 誓；雾! ? 采甬些j i ! | s 曩鍪篙鬟i ；黧i | i 一蔷i 。g iu 需i ；目me ；j i j i i 一。瑟瞪豢嚣薪薷 翳 非# 一兰i 呲蔓臻川_ 螽“点 # 辨斡j 4 l | ；暇蓊 例漳i 5 一蓑( t e ；堪彗& 二i 剖堰， ；譬：g ；掣鬟竹 ；囊，詈； 一| ?爵m i ；瞥；i ；喜疆搿tj i ；誉i 子j k i g ；u 羹垂i ! ；。囊 _ 萋； 蟊甥蹲 4 j ； ! 壹：翻! 毳鍪羹囊臻i 蒜；= 羹s l 篓霞j 茎2 季 耋i 霆i i 斗j i _ w ! ；一斋i ；誊出l ；i ；囊 l l 珏薹。雾i l g i e ? ；薹篓 i “t f 羹耄；1 ； l ；甍蒌女女羹j | 外霎圆滚译 鬻黼：! ；蠹瀚。l 鬻篱 餮委 l j 蜒l 鬟 美l ；露i i ；一囊e l 誉；e j 耋董 一羹l i l = ；m j i i = ；l ： 南i ；法。? 二l “ 疆 、 囊墓“， ：l 。l 辫p i ：；攮妻r i l l 鬈簌 一羹剧i ? i 塑e i i 墼7 i 一窭 | ；彗雾ji 募t ! 一l ii 萎| ；i l 器i ； 要裂i 壁l 一墼”i 蒌g i | 蓦量j 。 ! 囊鬟5 f i # ? ( i 墓美l ；。：囊蠢 j ? ；l 二萝； 一；掣? 廷；蘑j ! 艘x ! ；逞4 i 甬目9 ；爵i 毫霍；蠹群- - - 誉l ；1 墓g 誊? 第三章非线性发展方程的三种初边值问题的局部广义解 在这章我们将证明问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的局部广义解的存在性和唯一性，主要利用压 缩映射其它两种初边值问题类似 首先，定义函数空间 x ( t ) = l ”a ( 【o ，t ；月。4 ( n ) ) ，仇g ( 0 ，t ；月。2 ( n ) ) n l 2 ( o ，t 】；日4 ( n ) ) ， “l 2 ( q t ) ，u = o ，口= o ，( 茹，t ) a n 【o ，t ) 范数定义为 i x ( t ) = t 。背鼻i i ( n ) + 。翼鼻慨嘎n ) + 慨怯( 0 ，卅h t ( n ) ) + 慨i i 。r ) j 0 t 、 0 o 定义集合 q ( t ) = 训 x ( t ) ，i l 1 | ，y f r lsc 厂) 下面对于u x ( t ) ，妒日4 ( n ) ，妒h 2 ( q ) ，9 g 3 ( r ) ，g 1 ( r ) 考虑下列线性方程的 初边值问题 “一七l “+ 七2 2 t “+ 9 ( ”) = ，( ) ，( z ，t ) q t “= o ，“= 0 ，( z ，t ) a q o ，t 】 “( z ，0 ) = 妒( z ) ，u ( z ，o ) = 妒( z ) ， z n 令r 表示由v 到问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的唯一解的映射由定理2 1 和( 2 1 3 ) 式知 到x ( t ) 的映射 定理3 1设妒h 4 ( q ) ，妒日2 ( n ) ，9 g 3 ( r ) ，g 1 ( r ) ，如果t 满足 t “ 1 嚣而面丽面鬲鬲0 骊 。 2 ( 1 ) 魄雪2 ( g u ) ( 1 + u 2 ) + 型茜；删 岛( 1 ) 【3 2 口2 ( g u ) ( 1 + 暖u 2 + 谚四u 4 + 4 暖u 2 ) 十8 尸( g u ) ) _ 1 ) 则r ：q ( u ，t ) 一q ( 阢t ) 是严格压缩的 证明定义函数 口： 0 ，+ o 。) _ + 【o ，十。) 令 州2 倦( 1 + | 9 ，( s ) 1 + 1 9 ，( s ) i + 矿 ( 2 1 4 ) 两端同乘以2 u t ( z ，t ) ，各加一项2 w t ，在n 上积分并通过计算得知训j 繁羹奏摊霞! 墨鬻i i 引攀黧f ；一i 萋鏊擎鳘羹鏊轰 堡j ；蟊i ! 川i ? i ? 呈墓攀i 2 汀! i 丌一；i ；! 篓誊；i l i 薯；2j ；l 静i l ；l 耋瞽| 函数 ，： 0 ，+ o o ) _ 0 ，十。) 令 m ) 5 馏尝( 1 m ) l + l 八s ) i ) ， r o | | g ( ，t ) 1 1 2 班 j 0 = 1 1 9 ( ”) 一，( ”) 1 1 2 出 2 z 丁jj 9 ( ”川2 出+ 2 z t ( ”) 2 出 = 2 z t 怕( ”) v 4 u + 9 ”( ”) ( v ”一1 2 出+ 2 z t 忖( ”川2 出 瓯互( e u ) t s u p ( 1 l v 4 u 1 | 2 十l l v u l 睦a f n l ) + 2 尸( e u ) l q i ? 0 t ( t 、7 由g a g l i a r d o n i r e n b e r g 插值定理得 i i v 帅( n ) 删”膊嵩 将( 3 5 ) 代入( 34 ) 得 l i g ( ，t ) | | 2 出 茎c k 矿( c u ) t ( | | 训f i ( n ) + l 口畦( n ) ) + 2 尸( g u ) n i t g k 互2 ( g u ) t ( u 2 + u 4 ) + 2 ，2 ( g u ) i n l t 由定理2l ，( 2 1 3 ) 式和上式得到 。翼巴嘎n ) 十。翼巴l i u 峨n ) + | | u t l l i 。( 【o ，r 】；盯a ( n ) ) 十i i uc t r o 7 1 、 0 l 7 “。、“ ( 3 4 ) f 3 5 1 魄( t ) ( 1 l 妒惦( n ) + i l 砂i l ；( n ) ) + 2 c 毫( t ) 尸( c u ) l n i t + 魄( t ) 瓯互2 ( g u ) t ( u 2 + 【，4 ) ( 36 ) 若u ，t 满足 u 、2 g 8 ( 1 ) ( 1 1 妒i i i ( n ) + l 币l i ；( n ) ) t 豳 1 瓦而面丽而五可卫霉两 2 凸( 1 ) ( 无雪2 ( g u ) ( 1 + u 2 ) + 型工茜竿凹】 则由( 3 6 ) 式得 i i “i i x f t l u 1 5 所以r 映q ( u ，t ) 到q ( u ，t ) 设给定 l ， 2 q ( 以t ) ，令u l = 勘l ，2 = r 2 ，= 1 一“2 ，”= ”l 一 2 则u 满足下列问 题 u n 一七1 u 十七2 2 t + g ( 1 ) 一9 ( 口2 ) 一，( 1 ) 十，扣2 ) = o ， ( 茁，t ) q t ( 3 7 ) u = o ，= o ，扛，t ) a q 【0 ，t 1 “( z ，o ) = o ，u ( ，o ) = o ， 茁磊 ( 3 8 ) ( 3 9 ) f 忪舭一9 ( 舢) 一m - ) + m 。2 出 2 f 1 1 9 ( ”t ) 一9 ( 忱) 酽+ 2 ：r 灯。扣) ，( ”。) 旷出 ( 3 1 。) 由g a g l i a r d o _ n h e n b e r g 插值定理知 ( n ) s 删。8 宁蔫 对于 ( 3 n 1 启l i 9 ( u 1 ) 一9 ( u 2 ) 酽出 = 口l l g7 ( 1 ) 2 l 一97 ( 2 ) 2 口2 + 9 ”( ”1 ) ( v u 1 ) 2 9 ”( 2 ) ( v 口2 ) 2 旷班 = 詹如 9 ( 1 ) ( 2 u l 一2 2 ) + b ( 口1 ) 一g ( ”2 ) 】2 1 ，2 + 一( 虮) 一9 ”( 2 ) 1 ( v l ) 2 十g “( “2 ) 【( v 1 ) 2 一( v 2 ) 2 】) 2 d z 出 = = 詹如f g ( u 1 ) 2 刨+ 9 ”( 口l + 日l ( 啦一”1 ) ) u 2 2 r 9 ”7 ( 1 + 口2 ( 2 一u 1 ) ) ( v 1 ) 2 + g ”( u 2 ) ( v u 1 + v 2 ) v u 2 d 。d f 茎4 互( g c 厂) 培、2 u i l 2 + “叫| i t 。c m ) u 2 口2 i 1 2 + i i 幢( n 】v l 崆t ( n ) + 2 l l v i i i a ( n ) ( l v 。li i 色( n ) + i l v 2 “笔“( n ) ) 1 小 其中o 臼1 l ，o 口2 l 将( 35 ) ( 31 1 ) 代入上式得 ，。f f 9 ( ”i ) 一g ( u 2 ) f 2 出 0 f f 9 ( ”i ) 一g ( ”2 ) 酽出 4 互2 ( g c 厂) t ( 1 + 暖u 2 + 暖暖u 4 + 4 e 譬u 2 、。器i ( n ) ( 31 2 ) 对于 知h ) - ，池州2 出 = ：t 加川 _，(蚴】2如出 出ooo 一 2扣3口+6l1fj厶7r名 s ，2 ( g u ) t l l 训1 2 严( g u 弦。器4 ( s ” ( 3 - 1 3 ) o t ? 其中o 如 1 将( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 代入( 3 1 0 ) 得 ，11 1 9 ( 1 ) 一9 ( ”2 ) 一，( ”1 ) + ，( ”2 ) 1 1 2 d 亡 8 口2 ( g u ) t ( 1 + 暖u 2 + 四暖矿4 + 4 谚u 2 ) s u p1 1 口旧( n ) + 2 ，2 ( g 【，) t 1s u p1 1 u i l 4 ( n ) 0 c r 、7 0 o ，问题( 11 ) ，( 1 2 ) ，( 13 ) 至多有 一解“x ( t ) 事实上，令“l ( z ，t ) 和u 2 ( z ，# ) 是问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的两个解，则“( z ，) = “1 ( z t ) 一“2 ( 。，t ) 是下列问题的解 u t 一矗l 札+ 七2 2 “+ b ( “1 ) 一9 ( u 2 ) 】= ，( u 1 ) 一，( 2 ) ， ( z ，) q y ，( 31 5 ) “= o ， “= o ， ( z ，) 0 qx 【o ，? j u ( 。，o ) = 0 ，珏( z ，0 ) = 0 ， z 晓 ( 31 5 ) 式两端同乘以2 u t ( z ，t ) ，各加一项2 u u # ，在n 上积分并通过计算得 知“1 1 2 岫1 i v u l l 2 + 1 2 ) + 2 2 脚t i l 2 f 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) = 一2 厶9 ( u 。+ 口t ( u z 一u ) ) u 毗d z + 2 五，7 ( u 十如( u 。一u ，) ) u 毗d z + 2 厶“t d zj n j iz j3 1 7 = 2 五9 ( u ，+ 日t ( u z 一u - ) ) v u v u t + 2 五，( ”+ 如( u 。一u - ) ) u u 。如+ 2 厶“u 。出 其中o 口4 l ，o o ( 1 ) 如果a l = a 2 = o ，日( o ) o ，日7 ( o ) o ，则存在一t ls 2 = 茹，使得 1 i m 日( t ) = + 。 - + t i ( 2 ) 如果a 1 + a 2 o ，日( o ) o ，h + ( o ) 三一争日( o ) ，则存在一3 “，使得 其中 l i i l l 日( t ) = + o 。 斗i 7 t ，2 = 一a l 、a ；+ 芦a 2 ，“ 我们以问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 为例 定理4 1假设 ( h 1 ) 妒日2 ( n ) ，妒l 2 ( n ) ( 日j ) 9 g 2 ( r ) ，g ( 妒) l 1 ( q ) 丽杀跏糍擀绷 2 、a i + 口a 2 他爿( u j + 爿( u j s 9 ( s ) 2 ( 2 卢+ 1 ) g ( s ) 其中g ( s ) = 片9 ( r ) d r ，卢 o 是常数 ( h 3 ) ，g ( r ) ， ，似) 2 ( 2 卢十1 ) f ( u ) 其中f ( s ) = 佑，( r ) 打 ( 甄) e ( o ) = l l 妒1 1 2 + h l l v 妒ij 2 + 2 岛g ( 妒) d 茁一2 2 f ( 妒) d z 则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的解在下列情况之一成立时于有限时刻爆破 ( 4 ) e ( o ) o ( b ) e ( o ) = o ，2 厶妒币d z + 七2 0 妒2 o 1 9 ( 41 ) ( 4 2 ) ( g ) e ( o ) o ，2 矗q 哪d z + 七2 i l i p l l 2 2 、乞万霜刁_ = f _ t - 雪研一1 ( 1 | 妒1 1 2 十2 ) 证明 设问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的解的最大存在区间是【0 ，o 。) 对( 1 1 ) 式两端同乘以2 饥，在n 上积分得 差川“疋，圳 2 + 蚓j v “( 圳一十2 蚓i 叫- ，驯1 2 + 2 五“t 9 ( “) 出一2 五撕，( u ) 如= 。 整理得 怕f ( ，圳1 2 + - l l v u ( ，t ) h 2 + 2 幻上i l u t ( ，驯1 2 d r + 2 厶g ( “扛，f ) ) d z 一2 厶f 托) d z l l 仳t ( - ，t ) 1 1 2 + 盎l l l v u ( ，t ) h 2 + 2 幻i l 让t ( ，t ) 0 2 d t + 2 g ( “( z ，f ) ) d 茁一2 f ( “) d z j oj ni j = i i 妒l 2 + 七l i i v 妒j 2 十2 g ( 妒) d z 一2 f ( 妒) d 。= f ( o ) ( 4 3 ) j nj n 从而 e ( ) = 目：0 ) ， t o ( 4 4 ) 其中 e ( t ) 2f | “( ，) 2 + l f f v “( ，t 2 + 2 自2 z | l 毗) 2 d r + 2 厶g ( u ( z ，t ) ) 如一2 厶f ( “) d z j 0j5 2j l2 令 ，： m 0 ) = i l u ( ，t ) 1 1 2 + 良2 l u ( t ) 1 1 2 d f + p t 2 十p p ：+ 2 ( 4 5 ) 其中p o 为待定常数 ，( ) = 2 u ( z ，) “c ( z ，) d z + 七2 | | ( ，t ) 1 1 2 + 2 p t ( 46 ) 其中= 表利周不等式 ( 【b l + 。2 b 2 十0 3 b ) 2 曼( 。j + 。；+ 。；) ( 睹+ 醒+ 醒) ( v o 。，b 。r “= 1 ，2 ，3 ) ) 肋2 ( ) = 2 厶u ( z “t ( z ，t ) 如+ 2 t 厶z 。u ( z 、r ) u 。( z ，r ) d r 出十2 删2j nj nj 0 2 | | u ( z ，) l l | | 札( z ，t ) | | + 2 七2 | | 札( 。r ) | | o