求解给定第一、第二基本形式的曲面方程的求解方法.doc

曲面论的基本定理 第一节 由给定的第一、第二基本形式，求曲面方程的直接解法例1 已知，求该曲面.【解】 设所求曲面为 ，由已知条件，可得 ，；所以， ，；，；于是 ，；展开，即得，由此，积分，得；将，代入，得；代入，得；故 ，其中为常向量。而， 所以，因此又，所以，再注意到，于是可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为， 因此所求曲面是半径为1的圆柱面。例2 证明不存在曲面，使。证明 证法1假若存在这样的曲面 ，由已知条件，可得 ，；所以， ，；，；于是 ，；展开，即得，由此得到， ， 于是（常向量），这是矛盾的。所以，不存在这样的曲面。证法2 假若存在这样的曲面 ，一方面；另一方面，这是矛盾的。所以，不存在这样的曲面。例3 已知，其中，求该曲面.解 解法1 设所求曲面为，由条件，知，所以，因此所求曲面是球面，。，。解法2 设所求曲面为 ，由已知条件，可得 ，；所以， ，；，；于是 ，；展开，即得，由此，积分，得；将，代入，得；代入，得，；代入，得；故 。 例4 求曲面的参数方程，使得它的第一基本形式和第二基本形式分别为， 。解 解法1 直接解曲面的微分方程比较困难。观察曲面的两个基本形式，发现，并且其余系数只是参数的函数，于是可以假定该曲面是一个旋转曲面，它的参数方程是，易知， 由条件，得，从前两个方程得到 ，经直接验证可知它们也适合后两个方程。因此，所求曲面的参数方程是 。 解法二 设曲面为 ，由已知条件，可得 ，；由此可得，；将分别表示为的线性组合；将分别表示为的线性组合，待定系数，可得，由第1，4个方程得到，所以，由得，比较系数，得，因此；再由第1个方程得到，由第3个方程得到，将两式对照得到，于是，这里都是常向量。因为，代入得到，所以，因此，并且向量构成右手系。直接验证知第5个方程是成立的。取，则得所求的曲面是。解法3 设曲面为 ，由已知条件，可得 ，；由此可得，；，；，；于是 ，；展开，即得，例5 证明不存在曲面，使。证明 假若曲面为 ，由已知条件，可得 ，；所以， ，将分别表示为的线性组合；将分别表示为的线性组合，待定系数，可得，代入计算，发现，矛盾。所以，不存在这样的曲面。第二节 曲面的基本方程中系数之间的关系1. 验证：曲面的平均曲率可以表示成。证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义， . 因此 。.证法二：运用Weingarten变换. 由定义，.所以是Weingarten变换在切空间的基下的矩阵. 而，它的两个特征值，也就是主曲率，满足， ，所以.2. 证明下列恒等式：(1) ； (2) ；(3) ，其中. 证明. (1) 因为，对求偏导数，得.由于，于是，代入，得， 从而，这就是(1)的矩阵形式. (2) 由，可得左边右边.(3) 左边为，右边为 ， ，（3）式得证。3、设 ，（1）， （2）证明：（1）与（2）是等价的。证明: 将（1）式左边乘，并对求和，得 ，利用，可得上式，将以上等式，写成矩阵形式，得，由此，即得（1）与（2）是等价的。第三节 曲面上高斯曲率计算公式的应用 1、设 曲面在参数坐标网下的第一基本形式为，求高斯曲率。 解 由于， ， 所以 ，其中是关于变量的Laplace算子. 2、 求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。 解 因为 ，所以。3. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是，.证明：(1) 函数满足；(2) 和只是的函数. 证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率、Gauss曲率分别是， ， ，；由Codazzi方程，得，.因此，.由Gauss方程，可得 . 因此，并且仅依赖于. 4、 证明下列曲面之间不存在等距对应. (1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面. 证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此 ，其中为球面半径. 故球面的Gauss曲率. (2) 柱面是可展曲面，因此Gauss曲率. (3) 对于双曲抛物面，参数方程为 .故有 ， ，. 于是 ，； ，. 由此得 . 由于这三个曲面的高斯曲率不同，根据Gauss定理，这3个曲面之间不存在等距对应. 5、证明: 曲面 ，（正螺面）， (旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等, 但曲面S 与不存在等距对应.证明 容易算出正螺面与旋转曲面 的第一基本形式分别为，再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S 和 的高斯曲率分别为， 。因此取对应点，便成立。但是曲面S 与不存在等距对应.我们用反证法. 若曲面S 与之间存在等距对应,它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出 ，即，或 ；(1) 若 则或 。因此对应关系为这时的第一基本形式，