导数与函数的单调性.doc

导数与函数的单调性xyOPQ1Q2y=f(x) 【基础知识】1、导数的几何意义:如图,曲线在点 处切线的斜率 ;切线方程为 .2、用导数求函数的单调区间:解不等式可得函数 的单调递 区间;解不等式可得函数的单调递 区间.3、知单调区间求参数的范围:函数在区间上为增函数 在区间上恒成立; 函数在区间上为减函数 在区间上恒成立(且);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围.4、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数的单调区间,并说明单调区间端点值的取舍原则为 ;(2)试举一例子说明“函数在区间上为增函数 在区间上恒成立”,例子 .5、常用求导公式: , , , , , , , .6、求导运算: , , , .【例题选讲】【例1】(2010全国2)若曲线在点处的切线方程是,则A. B. C. D.【题情捉摸】(1)切线的斜率 ,得 ; (2)切线的方程为 ,与对比得 .【例2】(1)已知函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数 恒成立; (2)得 在上恒成立,于是得的取值范围.(2)已知函数在上是增函数,求实数的取值范围.【题情捉摸】(1)在上为增函数 恒成立,得 ; (2)又当 时, , ,不合题意,舍去.【例3】(1)函数的递增区间为 .【题情捉摸】(1)计算得 ;(2)令 0,解得 .(2)已知函数,试讨论的单调性.【题情捉摸】(1)注意到的定义域为 ,算得 ; (2)由于,故只需抓住 ,讨论它在上的正、负即可.【巩固训练】一、选择题1、(2009宁夏)曲线在点(0,1)处的切线方程为( )A. B. C. D.2、设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如左图所示,则导函数的图象可能为( )xyOxyOAxyOBxyOCxyOD二、填空题3、已知点P在曲线上,则点P到直线的最小距离为 .4、设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 三、解答题5、(2009北京)设函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.6、(2010山东)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,讨论的单调性.【参考答案】【例1】解:,有,切线的方程为,即,与对比得,选A.【例2】(1)解:得恒成立,当在上为增函数时,有,即恒成立,.填【例2】(2)解:由,得,又当时,恒成立,在上不是增函数，.填.【例3】(1)解:由或.故填(或).【例3】(2)解:(1)函数的定义域为, ,令,其对称轴为.(i)当,即时,在上恒成立,即有,在上为增函数;(ii)当,且,即时,有恒成立,在上为增函数;(iii)当,那么时,所以是增函数;(iv)当时,方程有两不等实根,且均为正数,当或时,是增函数,当时,是减函数;综上:当时,在是增函数;当时,在,是增函数,在是减函数.1.B 2.D 当时,;当时,的符号变化依次为、.3. 将直线平移到与曲线相切，设切点为，则，有，切点到直线的距离为.4. ,是奇函数,有,设切点为,则,得或(舍去),.5.解:(1),曲线在点处的切线方程为.(2)由,得,若,则当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,若,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,(3)由(2)知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增;若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.6.解:(1)当时,即曲线又所以曲线在点处的切线方程为,即(2)因为, 所以, 令(i)当时,所以当时,此时,函数单调递减;当函数(ii)当时,由,即解得 当时,恒成立,此时,函数f在上单调递减;当时,时,此时,函数单调递减;时,此时,函数单调递增;时,此时,函数单调递减;当时,由于,x(0,1)时,g(x)0,此时,函数f(x)单调递减;x(1,)时,g(x)0此时,函数单调递增.综上所述:当时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x